八年级数学下册知识点汇聚测试卷：正方形（含详解）

正　方　形

一、选择题(每小题4分,共12分)

1.如图是一张矩形纸片ABCD,AD=10cm,若将纸片沿DE折叠,使DC落在DA上,点C的对应点为点F,若BE=6cm,则CD=(　　)

A.4cm   B.6cm   C.8cm   D.10cm

2.(2013·凉山州中考)如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边的正方形ACEF的周长为(　　)

A.14 　　B.15

C.16 　　D.17[来源:www.shulihua.net]

3.如图,四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD于点E,且四边形ABCD的面积为8,则BE=(　　)

A.2 　　　B.3

C.2 　　　D.2

二、填空题(每小题4分,共12分)

4.如图正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合,将△AEF绕其顶点A旋转,在旋转过程中,当BE=DF时,∠BAE的大小可以是　　　　.

5.如图,已知正方形ABCD的边长为1,连接AC,BD,相交于点O,CE平分∠ACD交BD于点E,则DE=　　　　　.

6.(2013·绵阳中考)对正方形ABCD进行分割,如图1,其中E,F分别是BC,CD的中点,M,N,G分别是OB,OD,EF的中点,沿分化线可以剪出一副“七巧板”,用这些部件可以拼出很多图案,图2就是用其中6块拼出的“飞机”.若△GOM的面积为1,则“飞机”的面积为　　　　.[来源:数理化网]

三、解答题(共26分)7.(8分)(2013·黔东南州中考)如图,在正方形ABCD中,点M是对角线BD上的一点,过点M作ME∥CD交BC于点E,作MF∥BC交CD于点F.求证:AM=EF.

8.(8分)如图,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,点P,Q分别是AB,AC上的一动点,且满足BP=AQ,D是BC的中点.

(1)求证:△PDQ是等腰直角三角形.

(2)当点P运动到什么位置时,四边形APDQ是正方形,并说明理由.

【拓展延伸】

9.(10分)在正方形ABCD中,点P是CD边上一动点,连接PA,分别过点B,D作BE⊥PA,DF⊥PA,垂足分别为E,F,如图①.

(1)请探究BE,DF,EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系?若点P在DC的延长线上,如图②,那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系?若点P在CD的延长线上呢,如图③,请分别直接写出结论.

(2)就(1)中的三个结论选择一个加以证明.

[来源:www.shulihua.net]

答案解析

1.【解析】选A.∵四边形CEFD是正方形,AD=BC=10cm,BE=6cm,

∴CE=EF=CD=10-6=4(cm).

2.【解析】选C.∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,

∵∠B=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AC=AB=4,

∴正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+FA=4×4=16.

3.【解析】选C.过B点作BF⊥CD,与DC的延长线交于点F,

则有△BCF≌△BAE,

∴BE=BF,四边形BEDF是正方形,

∴S四边形ABCD=S正方形BEDF=8,

∴BE==2.

4.【解析】由SSS知△ABE≌△ADF,∴∠BAE=∠DAF,当△AEF在正方形内部时,∠BAE=15°,当△AEF在正方形外部时,

如图∠BAE+∠DAF=330°,∴∠BAE=165°.

答案:15°或165°

5.【解析】过E作EF⊥DC于点F.

∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD.

∵CE平分∠ACD交BD于点E,∴EO=EF.

∵正方形ABCD的边长为1,

∴AC=,∴CO=AC=.

∴CF=CO=,∴EF=DF=DC-CF=1-,[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

∴DE==-1.

答案:-1

6.【解析】连接AC,四边形ABCD是正方形,AC⊥BD,E,F分别是BC,CD的中点,EF∥BD,AC⊥EF,CF=CE,△EFC是等腰直角三角形,直线AC是△EFC底边上的高所在直线,根据等腰三角形“三线合一”,AC必过EF的中点G,点A,O,G和C在同一条直线上,OC=OB=OD,OC⊥OB,FG是△DCO的中位线,OG=CG=OC,M,N分别是OB,OD的中点,OM=BM=OB,ON=DN=OD,OG=OM=BM=ON=DN=BD,等腰直角三角形GOM的面积为1,OM·OG=OM2=1,OM=,BD=4OM=4,2AD2=BD2=32,AD=4,图2中飞机面积等于图1中多边形ABEFD的面积,飞机面积=正方形ABCD的面积-三角形CEF的面积=16-2=14.

答案:14

7.【证明】如图,过点M作MP⊥AB于点P,过点M作MQ⊥AD于点Q.

∵四边形ABCD是正方形,

∴四边形MFDQ和四边形PBEM是正方形,四边形APMQ是矩形,

∴AP=QM=DF=MF,PM=PB=ME,

∵在△APM和△FME中,

∴△APM≌△FME(SAS),∴AM=EF.

8.【解析】(1)连接AD.

∵△ABC是等腰直角三角形,D是BC的中点,

∴AD⊥BC,AD=BD=DC,∠DAQ=∠B,

又∵BP=AQ,∴△BPD≌△AQD,

∴PD=QD,∠BDP=∠ADQ,

∵∠BDP+∠ADP=90°,

∴∠ADP+∠ADQ=∠PDQ=90°,

∴△PDQ为等腰直角三角形.

(2)当P点运动到AB的中点时,四边形APDQ是正方形;理由如下:

由(1)知△ABD为等腰直角三角形,

当P为AB的中点时,DP⊥AB,即∠APD=90°,

又∵∠BAC=90°,∠PDQ=90°,

∴四边形APDQ为矩形,

又∵DP=AP=AB,∴四边形APDQ为正方形.

9.【解析】(1)在图①中,BE,DF,EF这三条线段长度具有这样的数量关系:BE-DF=EF;

在图②中,BE,DF,EF这三条线段长度具有这样的数量关系:DF-BE=EF;

在图③中,BE,DF,EF这三条线段长度具有这样的数量关系:DF+BE=EF.

(2)答案不唯一.对图①中结论证明如下:[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

∵BE⊥PA,DF⊥PA,∴∠BEA=∠AFD=90°,

∵四边形ABCD是正方形,

∴AB=AD,∠BAD=90°,

∴∠BAE+∠DAF=∠ADF+∠DAF=90°,

∴∠BAE=∠ADF,∴△BAE≌△ADF,∴BE=AF,AE=DF,

∵AF-AE=EF,∴BE-DF=EF.