重难点04 解析几何-2021年高考数学【热点·重点·难点】专练(新高考)

重难点 04  解析几何  

【高考考试趋势】

    解析几何一直是高考数学中的计算量代名词，在高考中所占的比例一直是2+1+1模式。即两道选择，一道填空，一道解答题。高考中选择部分，一道圆锥曲线相关的简单概念以及简单性质，另外一道是圆锥曲线的性质会与直线、圆等结合考查一道综合题目，一般难度诶中等。填空题目也是综合题目，难度中等。大题部分一般是以椭圆抛物线性质为主，加之直线与圆的相关性子相结合，常见题型为定值、定点、对应变量的取值范围问题、面积问题等。双曲线一般不出现在解答题中，一般出现在小题中。复习解答题时也应是以椭圆、抛物线为主。本专题主要通过对高考中解析几何的知识点的统计，整理了高考中常见的解析几何的题型进行详细的分析与总结，通过本专题的学习，能够掌握高考中解析几何出题的脉略，从而能够对于高考中这一重难点有一个比较详细的认知，对于解析几何的题目的做法能够有一定的理解与应用。

【知识点分析及满分技巧】

1、定值问题：采用逆推方法，先计算出结果.即一般会求直线过定点，或者是其他曲线过定点.对于此类题目一般采用特殊点求出两组直线，或者是曲线然后求出两组直线或者是曲线的交点即是所要求的的定点。算出结果以后，再去写出一般情况下的步骤。

    2、定值问题：一般也是采用利用结果写过程的形式。先求结果一般会也是采用满足条件的特殊点进行带入求值（最好是原点或是（1.0）此类的点）.所得答案即是要求的定值.然后再利用答案，写出一般情况下的过程即可。注：过程中比较复杂的解答过程可以不求，因为已经知道答案，直接往答案上凑即可。

    3、关于取值范围问题：一般也是采用利用结果写过程的形式。对于答案的求解，一般利用边界点进行求解，答案即是在边界点范围内。知道答案以后再写出一般情况下的步骤比较好写。一般情况下的步骤对于复杂的计算可以不算。

【限时检测】（建议用时：90分钟）

一、单选题

1．（2020·江西新余市·新余一中高三其他模拟（文））已知为双曲线的右顶点，为双曲线右支上一点，若点关于双曲线中心的对称点为，设直线，的倾斜角分别为，且，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

2．（2020·全国高三专题练习（理））设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若＝2，且·＝1，则点P的轨迹方程是（    ）

A． x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0) B．x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)

C．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0) D．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0)

3．（2020·河南开封市·高三一模（文））已知双曲线的离心率与椭圆的离心率互为倒数，则该双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

4．（2020·全国高三专题练习）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则的周长为（    ）

A． B． C． D．

5．（2020·太原市·山西大附中高二其他模拟（理））设是椭圆的一个焦点，是上的点，圆与直线交于，两点，若，是线段的两个三等分点，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

6．（2020·河南新乡市·高三一模（理））已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为．若，则该双曲线离心率的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

7．（2020·全国高三其他模拟）已知点在拋物线的准线上，是拋物线的焦点.过点的两条直线分别与抛物线相切于点，，直线交直线于点，则下列结论正确的是（    ）

A．拋物线方程为 B．直线的方程为

C． D．

8．（2020·山东高三专题练习）抛物线的焦点为F，P为其上一动点，设直线l与抛物线C相交于A，B两点，点下列结论正确的是（    ）

A．|PM| +|PF|的最小值为3

B．抛物线C上的动点到点的距离最小值为3

C．存在直线l，使得A，B两点关于对称

D．若过A、B的抛物线的两条切线交准线于点T，则A、B两点的纵坐标之和最小值为2

三、填空题

9．（2020·上海长宁区·高三一模）设为双曲线的右焦点，为坐标原点，､是以为直径的圆与双曲线渐近线的两个交点.若，则___________.

10．（2020·江西高三其他模拟（理））平面直角坐标系xOy中，已知AB是圆C：的一条弦，且，M是AB的中点.当弦AB在圆C上运动时，直线l：上总存在P，Q两点，使得恒成立，则线段PQ长度的取值范围是_____.

11．（2020·全国高三其他模拟）过抛物线的焦点作斜率为2的直线，与该抛物线交于，两点，若的面积等于(为坐标原点)，则______．

12．（2020·广西柳州市·高三二模（理））已知椭圆：，是轴正半轴上一动点，若以为圆心任意长为半径的圆与椭圆至多有两个交点，则的取值范围是_____.

四、解答题

13．（2020·上海闵行区·高三一模）已知椭圆过点，其长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，直线与轴的正半轴和轴分别交于点，与椭圆相交于两点，各点互不重合，且满足.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线的方程为，求的值；

（3）若，试证明直线恒过定点，并求此定点的坐标.

14．（2020·上海青浦区·高三一模）已知动点到直线的距离比到点的距离大.

（1）求动点所在的曲线的方程；

（2）已知点，是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值；

（3）已知点，是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率之和为，证明：直线过定点.

15．（2020·河南开封市·高三一模（理））已知椭圆经过点，且离心率.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若斜率为且不过点的直线交于两点，记直线，的斜率分别为，，且，求直线的斜率.

16．（2020·广东广州市·高二期末）如图，已知圆：，点是圆内一个定点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点.当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）设过点的直线与曲线相交于两点（点在两点之间）.是否存在直线使得？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.

17．（2020·江西省临川第二中学高三二模（文））已知双曲线的方程为：，其左右顶点分别为：，，一条垂直于轴的直线交双曲线于，两点，直线与直线相交于点.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过点的直线，与轨迹交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，试探讨是否为定值.若为定值，求出定值，否则说明理由.