重难点05 概率统计-2021年高考数学【热点·重点·难点】专练(新高考)

重难点 05  概率与统计  

【高考考试趋势】

新高考统计主要考查统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其特征的思想，以排列组合为工具，考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算。试题考查特点是以实际应用问题为载体，小题部分主要是考查排列组合与古典概型，解答题部分主要考查独立性检验、超几何分布、离散型分布以及正态分布对应的数学期望以及方差。概率的应用立意高，情境新，赋予时代气息，贴近学生的实际生活。取代了传统意义上的应用题，成为高考中的亮点。解答题中概率与统计的交汇是近几年考查的热点趋势，应该引起关注。

【知识点分析及满分技巧】

1.明确变量间的相关关系，体会最小二乘法和线性回归方法是解决两个变量线性相关的基本方法，就能适应高考的要求。

2.求解概率问题首先确定是何值概型再用相应公式进行计算，特别对于解互斥事件（独立事件）的概率时，要注意两点：（1）仔细审题，明确题中的几个事件是否为互斥事件（独立事件），要结合题意分析清楚这些事件互斥（独立）的原因；（2）要注意所求的事件是包含这些互斥事件（独立事件）中的哪几个事件的和（积），如果不符合以上两点，就不能用互斥事件的和的概率.

3.离散型随机变量的均值和方差是概率知识的进一步延伸，是当前高考的热点内容.解决均值和方差问题，都离不开随机变量的分布列，另外在求解分布列时还要注意分布列性质的应用.

【限时检测】（建议用时：90分钟）

一、单选题

1．（2020·广西高三其他模拟（理））从4个男生､3个女生中随机抽取出3人，则抽取出的3人不全是男生的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

先计算其对立事件“抽出的3人全是男生”的概率，用1减去“抽出的3人全是男生”的概率即可得到答案.

【详解】

将“抽取出的3人不全是男生”记为事件A，则表示“抽取出的3人全是男生”，，所以.

故选：C

【点睛】

解答本题时，若从正面考虑，则应该按照抽出的3人中女生人数的个数分别为1，2，3三种情况讨论，比较繁琐，所以可以转化为计算其对立事件发生的概率从而得到答案.

2．（2020·陕西西安市·高新一中高三期末（理））某班举行了由甲、乙、丙、丁、戊5名学生参加的“弘扬中华文化”的演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”从这个回答分析，5人的名次排列情况可能有（    ）

A．36种 B．54种 C．58种 D．72种

【答案】B

【分析】

先考虑乙有种可能，接着考虑甲，除了冠军和乙名次外，甲名次有种可能，其他3名同学名次有种，根据乘法原理，即可求解.

【详解】

根据题意5人的名次排列情况可能有.

故选:B.

【点睛】

本题考查排列组合混合应用问题，限制条件元素优先考虑，属于基础题

3．（2020·浙江高三其他模拟）设，随机变量的分布列为

那么，当在内增大时，的变化是（    ）

A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小

【答案】B

【分析】

先利用期望公式求得，然后再利用求解.

【详解】

因为，，

所以，

当时，单调递增．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

4．（2020·全国高三专题练习（理））已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，记次品数为，已知，且该产品的次品率不超过，则这10件产品的次品数为（    ）

A．2件 B．4件 C．6件 D．8件

【答案】A

【分析】

设10件产品中存在件次品，根据题意列出方程求出的值．

【详解】

设10件产品中存在件次品，从中抽取2件，其次品数为，

由得，，

化简得，

解得或；

又该产品的次品率不超过，

；

应取，

故选：A

【点睛】

本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列问题，是基础题．

5．（2020·四川省泸县第二中学高三开学考试（理））设随机变量服从正态分布，函数没有零点的概率是，则等于（    ）

A．1 B．2 C．4 D．不能确定

【答案】C

【分析】

由二次函数的性质，可得，再根据正态曲线的对称性，即可求解.

【详解】

由题意，当函数没有零点时，，解得，

根据正态曲线的对称性，当函数没有零点的概率是时，

所以.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了正态分布的概率的计算，以及二次函数的图象与性质的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.

6．（2020·山东高三专题练习）某校将5名插班生甲、乙、丙、丁、戊编入3个班级，每班至少1人，则不同的安排方案共有（    ）

A．150种 B．120种 C．240种 D．540种

【答案】A

【分析】

根据题意，分2步分析：先将5名插班生分为3组，有2种分组方法，①分为3、1、1的三组，②分为2、2、1的三组，由组合数公式可得其分组方法数目，由分类计数原理将其相加可得分组的情况数目，第二步，将分好的三组对应3个不同的班级，由排列数公式可得其对应方法数目,由分步计数原理计算可得选项．

【详解】

由题意可知，可分以下两种情况讨论，①5名插班生分成：， ，1三组；②5名插班生分成：，，三组，

当5名插班生分成：， ，1三组时，共有种方案；

当5名插班生分成：，，三组时，共有种方案；

所以，共有种不同的安排方案.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查两个基本原理和排列组合，在对排列、组合的综合问题时，一般先组合再排列，属于中档题.

7．（2020·重庆市第七中学校高二月考）若，则(    )

A．0 B．1 C．﹣1 D．2

【答案】A

【分析】

令求得，再令即可求解结论．

【详解】

解：因为：，

令可得：；

令可得：；

故.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．

8．（2020·长沙市·湖南师大附中高三月考）某公司引进先进管理经验，在保持原有员工人数的基础上，注重产品研发及员工待遇，提高产品质量和员工积极性，效益显著提高.同时该公司的各项成本也随着收入的变化发生了相应变化.下图给出了该公司2018年和2019年的运营成本及利润占当年总收入的比例，已知2019年和2018年的材料设备费用相同，则下列说法不正确的是（    ）

A．该公司2019年利润是2018年的3倍

B．该公司2019年的员工平均工资是2018年的2倍

C．该公司2019年的总收入是2018年的2倍

D．该公司2019年的研发费用等于2018年的研发和工资费用之和

【答案】B

【分析】

设2018年全年收入为，则2019年全年收入为，由2019年和2018年的材料设备费用相同得，再根据题意依次讨论即可得答案.

【详解】

解：2018年全年收入为，则2019年全年收入为，

因为2019年和2018年的材料设备费用相同，所以，即：，故C选项正确；

对于A选项，2018年的利润为：，2019年的利润为：，故正确；

对于B选项，2019年的平均工资为：， 2018年的平均工资为：，故B选项不正确；

对于D选项，2019年的研发费用为：，2018年的研发和工资费用之和为：，故正确．

故选：B．

【点睛】

本题考查根据折线图分析相关的统计数据，考查数据分析能力与运算能力，是中档题．

二、多选题

9．（2020·全国）某大型电子商务平台每年都会举行“双11”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2011年到2019年共9年“双11”当天的销售额（单位：亿元）并作出散点图，将销售额y看成以年份序号x（2011年作为第1年）的函数.运用excel软件，分别选择回归直线和三次多项式回归曲线进行拟合，效果如下图，则下列说法错误的是（    ）

A．销售额y与年份序号x呈正相关关系

B．根据三次多项式函数可以预测2020年“双11”当天的销售额约为8454亿元

C．销售额y与年份序号x线性相关不显著

D．三次多项式回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果

【答案】BC

【分析】

采用验证法，通过散点图，根据相关系数以及图形的增长情况，简单判断即可.

【详解】

对于A，散点从左下到右上分布，所以销售额y与年份序号x呈正相关关系，故A正确，不符合题意；

对于B，令，由三次多项式函数得，所以2020年“双11”当天的销售额约为2684.54亿元，故B错误，符合题意；

对于C，因为相关系数，非常接近1，故销售额y与年份序号x线性相关显著，故C错误，符合题意；

对于D，用三次多项式回归曲线拟合的相关指数，而回归直线拟合的相关指数，相关指数越大，拟合效果越好，故D正确，不符合题意.

故选：BC.

【点睛】

本题考查散点图的应用以及相关系数的应用，熟记概念，考查观察能力，属于基础题.

10．（2020·阳江市第一中学高三其他模拟）某校高二年级进行选课走班，已知语文、数学、英语是必选学科，另外需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中任选3门进行学习. 现有甲、乙、丙三人，若同学甲必选物理，则下列结论正确的是（    ）

A．甲的不同的选法种数为10

B．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件

C．乙同学在选物理的条件下选化学的概率是

D．乙、丙两名同学都选物理的概率是

【答案】AD

【分析】

本题首先可以根据从剩下5门课中选两门判断出A正确，然后根据甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件判断出B错误，再然后根据条件概率的计算判断出C错误，最后根据乙、丙两名同学各自选物理的概率判断出D正确.

【详解】

A项：由于甲必选物理，故只需从剩下5门课中选两门即可，即种选法，故A正确；

B项：甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故B错误；

C项：由于乙同学选了物理，乙同学选化学的概率是，故C错误；

D项：因为乙、丙两名同学各自选物理的概率，

所以乙、丙两名同学都选物理的概率是，D正确，

故选：AD.

【点睛】

本题考查古典概型的概率的相关计算，考查组合的应用以及组合数的运算，考查对立事件的判定以及条件概率的计算，考查运算求解能力，考查推理能力，是中档题.

三、填空题

11．（2020·全国高三专题练习（理））某地区高考改革，实行“”模式，即“”指语文、数学、外语三门必考科目，“”指在物理、历史两门科目中必选一门，“”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有_______.（用数字作答）

【答案】

【分析】

本题可分为在物理、历史两门科目中只选一门以及在物理、历史两门科目中选两门两种情况进行计算，然后相加，即可得出结果.

【详解】

若在物理、历史两门科目中只选一门，则有种；

若在物理、历史两门科目中选两门，则有种，

则共有种，

故答案为：.

【点睛】

本题考查通过排列组合解决有多少种不同的组合方式的问题，考查学生从题目中提取信息的能力，考查推理能力，考查分类讨论思想，是简单题.

12．（2020·济南市·山东省实验中学高三一模）从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为______________.(用数字作答)

【答案】5040.

【解析】

分两类，一类是甲乙都参加，另一类是甲乙中选一人，方法数为。填5040.

【点睛】

利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，甲与乙是两个特殊元素，对于特殊元素“优先法”，所以有了分类。本题还涉及不相邻问题，采用“插空法”。

13．（2020·江西高三二模（理））若对任意，都有，（为正整数），则的值等于_______.

【答案】4

【分析】

将式子变形后，重新组合，变为关于按的升幂排列的等式，再根据等式左右两边相等，可得到系数之间的关系，推出，即可求得结果.

【详解】

,解得：，

即.

故答案为：4.

【点睛】

本题考查二项式定理，考查利用展开式对应项系数相等求参数问题，属于中档题.

14．（2020·内蒙古赤峰市·高三二模（理））验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素（防止），由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由0，1，2，…，9中的五个数字随机组成.将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率为__________.

【答案】

【分析】

首先判断出中间号码的所有可能取值，由此求得基本事件的总数以及中间数字是的事件数，根据古典概型概率计算公式计算出所求概率.

【详解】

根据“钟型验证码” 中间数字最大，然后向两边对称递减，所以中间的数字可能是.

当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.

当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.

当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.

当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.

当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.

当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.

所以该验证码的中间数字是7的概率为.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查古典概型概率计算，考查分类加法计数原理、分类乘法计数原理的应用，考查运算求解能力，属于中档题.

四、解答题

15．（2020·全国高三专题练习）某市在争取创建全国文明城市称号，创建文明城市简称创城.是极具价值的无形资产和重要城市品牌.“创城”期间，将有创城检查人员到学校随机找人进行提问.问题包含：中国梦内涵、社会主义核心价值观、精神文明“五大创建”活动、文明校园创建“六个好”、“五个礼让”共个问题，提问时将从中抽取个问题进行提问.某日，创城检查人员来到校，随机找了三名同学甲、乙、丙进行提问，其中甲只背了个问题中的个，乙背了其中的个，丙背了其中的个.计一个问题答对加分，答错不扣分，最终三人得分相加，满分分，达到分该学校为合格，达到分时该学校为优秀.

（1）求校优秀的概率（保留位小数）；

（2）求出校答对的问题总数的分布列，并求出校得分的数学期望；

（3）请你为创建全国文明城市提出两条合理的建议.

【答案】（1）；（2）分布列见解析，校得分的数学期望为；（3）答案见解析.

【分析】

（1）记校答对的题目个数为，记事件校优秀，可得出，利用组合计数原理以及古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；

（2）由题意可知随机变量的可能取值为、、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可计算得出，进而可得出校得分的数学期望为，即可得解；

（3）根据题中的问题可得出两条合理的建议.

【详解】

（1）记校答对的题目个数为，记事件校优秀，则；

（2）由题意可知随机变量的可能取值为、、、、、，

，

，

，

，

，

，

所以，随机变量的分布列如下表所示：

随机变量的数学期望为，

因此，校得分的数学期望为；

（3）建议：①强化公民道德教育，提高市民文明程度；②加强基础设施建设，营造优美人居环境.

【点睛】

方法点睛：求随机变量分布列的基本步骤：

（1）理解随机变量的意义，写出的全部可能取值；

（2）求出在不同取值下的概率；

（3）写出的分布列；

（4）利用分布列的性质对结果进行检验.

还可以判断随机变量满足常见的分布列：两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布.

16．（2020·黑龙江大庆市·大庆实验中学高三月考（理））某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很快找到宝宝想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人（以下简称产品），统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）：

产品的性能指数在的适合托班幼儿使用（简称A类产品），在的适合小班和中班幼儿使用（简称B类产品），在的适合大班幼儿使用（简称C类产品），A，B，C，三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）.以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率.

（1）求每件产品的平均销售利润；

（2）该公司为了解年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用，和年销售量数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值.

表中，，，.

根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程.

（i）建立关于的回归方程；

（ii）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？

（收益=销售利润-营销费用，取）.

参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.

【答案】（1）每件产品的平均销售利润为4元（2）（i）（ii）该厂应投入256万元营销费.

【分析】

（1）分别求出三类产品的频率，求出分布列及其数学期望即可；

（2）（i）利用公式求出相关系数，即可求出回归方程；（ii）设年收益为万元，求出，设，，求出函数的导数，根据函数的单调性即可求出的最大值.

【详解】

（1）设每件产品的销售利润为元，则的所有可能取值为1.5，3.5，5.5，

由直方图可得，，，三类产品的频率分别为0.15、0.45、0.4，

所以，，，，

所以随机变量的分布列为：

所以，，

故每件产品的平均销售利润为4元；

（2）（i）由得，，

令，，，则，

由表中数据可得，，

则，

所以，，

即，

因为，所以，

故所求的回归方程为；

（ii）设年收益为万元，则，

设，，

则，

当时，，在单调递增，

当时，，在单调递减，

所以，当，即时，有最大值为768，

即该厂应投入256万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大768万元.

【点睛】

本题主要考查线性回归方程，属于难题，求回归直线方程的步骤：（1）依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；（2）计算的值；（3）计算回归系数；（4）写出回归直线方程.

17．（2020·泰安市基础教育教学研究室高三其他模拟）某工厂为了提高生产效率，对生产设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度(单位：天)数据，整理如下：

改造前：19，31，22，26，34，15，22，25，40，35，18，16，28，23，34，15，26，20，24，21

改造后：32，29，41，18，26，33，42，34，37，39，33，22，42，35，43，27，41，37，38，36

（1）完成下面的列联表，并判断能否有99％的把握认为技术改造前后的连续正常运行时间有差异?

（2）工厂的生产设备的运行需要进行维护，工厂对生产设备的生产维护费用包括正常维护费，保障维护费两种．对生产设备设定维护周期为T天(即从开工运行到第kT天，k∈N*)进行维护．生产设备在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立．在一个维护周期内，若生产设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不会产生保障维护费；若生产设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费外，还产生保障维护费．经测算，正常维护费为0.5万元／次；保障维护费第一次为0.2万元／周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2万元．现制定生产设备一个生产周期(以120天计)内的维护方案：T=30，k=1，2，3，4．以生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及均值．

附：

【答案】（1）见解析，有99%的把握认为技术改造前后的连续正常运行时间有差异.（2）见解析；均值为2.275万元.

【分析】

（1）根据已知改造前后数据完成列联表，计算，查表与临界值比较大小即可确定；

（2）依题意可知，一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为，一个生产周期内需保障维护的次数服从二项分布.计算出一个生产周期内的正常维护费和保障维护费即可得出一个生产周期内的生产维护费，根据二项分布概率公式可求出分布列及期望.

【详解】

解：（1）列联表为：

有99%的把握认为技术改造前后的连续正常运行时间有差异.

（2）由题知，生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天，一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为.

设一个生产周期内需保障维护的次数为，则；一个生产周期内的正常维护费为万元，保障维护费为万元.

一个生产周期内需保障维护次时的生产维护费为万元.

设一个生产周期内的生产维护费为X，则X的所有可能取值为2，2.2，2.6，3.2，4.

所以，的分布列为

一个生产周期内生产维护费的均值为2.275万元.

【点睛】

本题考查独立性检验的应用、二项分布及期望，属于中档题.

18．（2020·山西晋中市·祁县中学高二月考（理））近期，西安公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，表示活动推出的天数，表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表下所示：

根据以上数据，绘制了散点图.

（1）根据散点图判断，在推广期内，与（均为大于零的常数），哪一个适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；

（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立与的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；

（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下表：

西安公交六公司车队为缓解周边居民出行压力，以万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知，每辆车每个月的运营成本约为万元.已知该线路公交车票价为元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠.预计该车队每辆车每个月有万人次乘车，根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，假设这批车需要（）年才能开始盈利，求的值.

参考数据：

其中其中，，

参考公式：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.

【答案】（1）（2），3470（3）7

【分析】

（1）由散点图可知，更接近指数增长，所以适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型.

（2）根据（1）的判断结果两边取对数得，则两者线性相关，根据已知条件求出得回归方程，进而得到y关于x的回归方程，再令，求预测值

（3）设一名乘客一次乘车的费用为元，根据题意得可能取值为：1.4、1.6、1.8、2，求出分布列，进而求得期望，然后再建立不等式求解.

【详解】

（1）根据散点图判断，在推广期内， （均为大于零的常数），适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型.

（2）根据（1）的判断结果，

两边取对数得，

其中，，，

，

，

所以。

所以。

当时， 。

所以活动推出第8天使用扫码支付的人次3470人.

（3）设一名乘客一次乘车的费用为元，

根据题意得可能取值为：1.4、1.6、1.8、2

，

，

。

假设这批车需要（）年才能开始盈利，

则，

解得。

所以需要7年才能开始盈利.。

【点睛】

本题主要考查用样本估计总体，变量得相关性以及离散型随机变量得期望，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.

19．（2020·江苏高三其他模拟）甲，乙两人进行抛硬币游戏，规定：每次抛币后，正面向上甲赢，否则乙赢.此时，两人正在游戏，且知甲再赢(常数)次就获胜，而乙要再赢(常数)次才获胜，其中一人获胜游戏就结束.设再进行次抛币，游戏结束.

（1）若，，求概率；

（2）若，求概率的最大值(用表示).

【答案】（1）.（2）

【分析】

（1）根据比赛4次结束，可知甲、乙两人获胜次数之比可能是：2：2且最后一次甲胜或者1：3且最后一次乙胜，利用独立重复试验公式可求结；

（2）先表示出，构造函数，作商比较，判断出单调性，结合单调性可得最大值.

【详解】

（1）依题意，游戏结束时，甲、乙两人获胜次数之比可能是：2：2且最后一次甲胜或者1：3且最后一次乙胜，

.

（2）依题意，.

设

则.

而 (*)

.(#)

因为的判别式

(显然在时恒成立)，

所以.

又因为，所以(#)恒成立，从而(*)成立.

所以，即(当且仅当时，取“=”)，

所以的最大值为，

即的最大值为.

【点睛】

本题主要考查独立重复试验，赛制问题注意结束的情况有两种，先分清类别再进行求解，最值问题主要是判断单调性，组合数有关的单调性判断一般借助比较法进行，侧重考查数学运算的核心素养.