热点04 函数及其性质-2021年高考数学【热点·重点·难点】专练(新高考)

热点04  函数及其性质

【命题形式】

 函数是高考数学中的必考内容，函数中的基本处理方法和解题思想贯穿于整个高中数学，可以说函数是整个高中数学的核心。从难度上来说，难度较大的函数小题经常以压轴题目出现，是客观题中最易出难题的部分。函数题目的功能都以“选拔性”为主，是高考最具区分度的能力考点。因此，新高考中函数与性质任然是考察的重点内容，要想在新高考中获得较为理想的成绩，抓好这一内容是必须的。下面分析一下新高考数学函数这部分的基本命题方向。

1、考察的题型：函数与性质主要集中在客观题上，往年平均每年3个，足见其重要性；特别注意在新题型多选题上的考察。

2、考察的内容：主要考查基本初等函数图象和性质，包括：定义域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性、平移、零点等，分段函数和绝对值函数都是重要载体。不仅有对函数知识内部的综合考查，也有与其他主干知识（数列、解析几何、概率、三角等）相关联的交汇考查。

3、考察的数学思想：函数这部分内容有着极深的思想性，函数与方程思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、转化与化归的思想、特殊与一般的思想、配方法、放缩法、换元法等在每年的考题中得到了很好的体现。

4、高频考题类型：（1）函数的性质与图像；（2）函数零点、方程的根（零点、根的个数或已知个数求参数取值范围）；（3）解函数不等式；（4）分段函数求值问题；（5）求参量的取值范围问题；（6）以数学文化和实际生活为背景的题型。

【满分技巧】

1、做函数与性质题时要注意以下几点：

(1)要克服对函数内容的畏难情绪，首先要抓好基本的常规题型，高考考得是熟练，考的是能力。因为我们所作的所有题目都不是全新的，它们都是需要不断转化，将新问题转化为老问题、熟悉的问题，因此熟练是能力的基础，很难设想一个对知识不熟练的学生能在高考考场上，灵感迸发、才若泉涌，在抓好常规题型的前提下，还要特别关注建立在基本题型下的非常规思路；

(2)在易错点上要格外注意，不要忽视定义域、该分类时分类讨论，该舍解时根据条件舍去；

(3)有关不等式的题目都要联想到函数单调性，看看是否需要根据特征构造函数；

(4)注意解题时极端化思想、排除法、赋值法这些解选填题的解题技巧的灵活运用；

(5)不要忽视函数图像的力量，数形结合思想可以帮助你绝地逢生。

2、热点问题的解题策略：

热点1：函数的性质

策略：函数的四大性质是高考对函数内容考查的重中之重，其中单调性与奇偶性更是高考的必考内容。在高考命题中，函数常与方程、不等式等其他知识结合进行考查。

热点2：函数图像的判断

策略：根据函数的解析式判断函数的图像，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图像进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是判断函数图像问题的基本方法。

热点3：函数的零点

类型一：函数零点（即方程的根）的确定

常见的有：函数零点大致存在区间的确定，零点个数的确定，两函数图像交点的横坐标或有几个交点的确定。

策略：解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是等号两端对应的函数类型不同的方程，多以数形结合法求解。

类型二：由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题

策略：利用函数与方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式进行求解。

热点4：不等式恒成立时逆求参数的取值范围 （最值）

策略：直接含参讨论函数的性质，有点烦琐，却是正统解法，要仔细体会和掌握。分离变量法是有效方法。【常考知识】基本初等函数图象和性质、函数的零点和方程的解、函数的实际应用

【限时检测】（建议用时：60分钟）

一、单选题

1．（2020·天津市高考数学试卷）函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

2．（2020年新高考山东数学卷）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （    ）

A．1.2天 B．1.8天

C．2.5天 D．3.5天

3．（2020·青铜峡市高级中学高三期中（文））已知是定义在上的函数，且满足，当时，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

4．（2020年北京市高考数学试卷）已知函数，则不等式的解集是（    ）．

A． B．

C． D．

5．（2020·福建莆田·高三其他模拟）已知函数，若方程恰有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6．（2020年新高考山东数学卷）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

7．（2020·福建高三其他模拟）若函数的值域为，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．（2020年天津市高考数学试卷）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

9．（2020·云南文山·高三其他模拟（理））对于奇函数，若对任意的，，且，则当时，实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

10．（2020·太原·山西大附中高三期中）已知定义在上的函数满足，且当时，，若函数图象与的图象恰有10个不同的公共点，则实数a的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

11．（2020·广东湛江·高三其他模拟）已知a＝log3π，b＝logπ3，，则（    ）

A．ab＜a＋b＜b＋c B．ac＜b＋c＜bc

C．ac＜bc＜b＋c D．b＋c＜ab＜a＋b

12．（2020·福建莆田·高三其他模拟）函数在，上有定义，若对任意，，，有，则称在，上具有性质．设在，上具有性质，下列命题正确的有（    ）

A．在，上的图象是连续不断的

B．在，上具有性质

C．若在处取得最大值1，则，，

D．对任意，，，，，有

三、填空题

13．（2020年江苏省高考数学试卷）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.

14．（2020·广东湛江·高三其他模拟）已知f（x）是定义域为R的偶函数，且在区间（-∞，0]上单调递增，则不等式，f（3x-1）＞f（2）的解集是________．

15．（2020·江苏苏州中学高三其他模拟）若二次函数有一个零点小于，一个零点大于3，则实数的取值范围是____________.

16．（2020·云南曲靖一中高三其他模拟（理））已知是定义在上的偶函数，且.若当时，，则________.