重难点06 函数与导数-2021年高考数学【热点·重点·难点】专练(新高考)

重难点 06  函数与导数  

【高考考试趋势】

在新高考全国卷的考点中，导数板块常常作为压轴题的形式出现，这块部分的试题难度呈现非减的态势，因此若想高考中数学拿高分的同学，都必须拿下导数这块的内容 。函数单调性的讨论、零点问题和不等式恒成立的相关问题（包含不等式证明和由不 等式恒成立求参数取值范围）是出题频率最高的。

对于导数内容，其关键在于把握好导数，其关键在于把握好导数的几何意义即切线的斜率，这一基本概念和关系，在此基础上，引申出函数的单调性与导函数的关系，以及函数极值的概念求解和极值与最值的关系以及最值的求解。本专题选取了有代表性的选择，填空题与解答题，通过本专题的学习熟悉常规导数题目的思路解析与解题套路，从而在以后的导数题目中能够快速得到导数问题的得分技巧。

【知识点分析及满分技巧】

对于导数的各类题型都是万变不离其宗，要掌握住导数的集中核心题型，即函数的极值问题，函数的单调性的判定。因为函数零点问题可转化为极值点问题，函数恒成立与存在性问题可以转化为函数的最值问题，函数不等式证明一般转化为函数单调性和最值求解，而函数的极值和最值是由函数的单调性来确定的。所以函数导数部分的重点核心就是函数的单调性。

对于函数零点问题贴别是分段函数零点问题是常考题型，数形结合是最快捷的方法，在此方法中应学会用导数的大小去判断原函数的单调区间，进而去求出对应的极值点与最值。

恒成立与存在性问题也是伴随着导数经典题型，对于选择题来说，恒成立选择小题可以采用排除法与特殊值法相结合的验证方法能够比较快捷准确得到答案，对于填空以及大题则采用对函数进行求导，从而判定出函数的最值。

函数的极值类问题是解答题中的一个重难点，对于非常规函数，超出一般解方程的范畴类题目则采用特殊值验证法，特殊值一般情况下是0,1等特殊数字进行验证求解。

对于比较复杂的导数题目，一般需要二次求导，但是要注意导数大小与原函数之间的关系，搞清楚导数与原函数的关系是解决此类题目的关键所在。

含参不等式证明问题也是一种重难点题型，对于此类题型应采取的方法是：

一、双变量常见解题思路：

1、双变量化为单变量→寻找两变量的等量关系；2、转化为构造新函数；

二、含参不等式常见解题思路：

1、参数分离；2、通过运算化简消参（化简或不等关系）；3、将参数看成未知数，通过它的单调关系来进行消参。

【限时检测】（建议用时：90分钟）

一、单选题

1．（2021·湖南株洲市·高三一模）区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域.在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有种可能；因此，为了破解密码，最坏情况需要进行次运算.现在有一台机器，每秒能进行次运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下这台机器破译密码所需时间大约为（    ）（参考数据：）

A．秒 B．秒 C．秒 D．秒

【答案】B

【分析】

根据题目意思得到，根据对数运算求出.

【详解】

解：设这台机器破译所需时间大约为秒，

则，两边同时取底数为10的对数

得，

所以，

所以

所以，

所以，

而，

所以.

故选：B.

【点睛】

对数运算的一般思路:

（1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并；

（2）合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.

2．（2019·天津高三其他模拟）设 ，， ，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果.

【详解】

，，

， ，

，，

，

故选：C．

【点睛】

方法点睛：解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.

3．（2020·开原市第二高级中学高三三模）已知函数，若，，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

应用零点存在定理求解．

【详解】

函数，若，，

可得，解得或，则实数的取值范围是，

故选：A．

4．（2020·河南开封市·高三一模（理））某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

根据函数图象，由函数基本性质，逐项判断，即可得出结果.

【详解】

A选项，，

则，

所以是定义在上的奇函数，其图象关于原点对称，满足题中图象；

又当时，，由可得，解得或；由可得，解得，满足题中图象，故该函数的解析式可能是；A正确；

B选项，当时，，，所以，不满足题意；排除B；

C选项，由得，即不过原点，不满足题意；排除C；

D选项，因为，所以，则，不满足题意，排除D；

故选：A.

【点睛】

思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

5．（2019·天津高三其他模拟）已知函数（且）在上单调递增，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

由题意可知在两段上均为增函数，且在上大于或等于，作出和的图象，根据交点个数判断与3的大小关系，以及直线和抛物线相切的条件，列出不等式组解出．

【详解】

解：是上的单调递增函数，

在，上单调递增，

可得，

且，即，

作出和的函数草图如图所示：

由图象可知在上有且只有一解，

可得，或在上有且只有一解，即有，

即有或；

由，解得，即时，有且只有一解．

则的范围是．

故选：A．

【点睛】

本题考查分段函数的单调性，函数零点的个数判断，结合函数图象判断端点值的大小是关键．

6．（2020·四川泸州市·高三一模（理））定义在上的函数满足，，当时，，则函数的图象与的图象的交点个数为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】A

【分析】

由题设可知的周期为2，关于对称的偶函数，结合已知区间的解析式及，可得两函数图象，即知图象交点个数.

【详解】

由题意知：的周期为2，关于对称，且，

∴为偶函数，即可得、的图象如下：

即与交于三点，

故选：A.

【点睛】

结论点睛：

1、有的周期为m；

2、有关于；

7．（2020·江西高三其他模拟（理））已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数k的最大值是（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】B

【分析】

首先代入函数，变形为，再通过换元设()，则，利用参变分离转化为，设()，转化为求函数的最小值.

【详解】

设，

因为，

变形为，即，

等价于，

因为，令()，则，即.

设()，则.

当时恒成立，故在上单调递增，.

所以，k的最大值为0.

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：本题的关键是将条件变形为，并进一步变形为，再通过换元，参变分离后转化为求函数的最值.

8．（2020·江西高三其他模拟（文））已知函数是定义域为R的奇函数，且当x<0时，函数，若关于x的函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

由得或，而时，无解，需满足有两个解．利用导数求得在时的性质，由奇函数得时的性质，然后可确定出的范围．

【详解】

或，

时，，，

时，，递减，时，，递增，

∴的极小值为，又，因此无解．

此时要有两解，则，

又是奇函数，∴时，仍然无解，要有两解，则．

综上有．

故选：C．

【点睛】

关键点点睛：本题考查函数的奇偶性与函数的零点，考查导数的应用．首先方程化为或，然后用导数研究时的性质，同理由奇函数性质得出廛的性质，从而得出无解，有两解时范围．

二、多选题

9．（2020·扬州大学附属中学东部分校高三月考）设为函数的导函数，已知，，则下列结论不正确的是（    ）

A．在单调递增 B．在单调递增

C．在上有极大值 D．在上有极小值

【答案】AC

【分析】

首先根据题意设，得到，再求出的单调性和极值即可得到答案.

【详解】

由得，则

即，设

，

即在单调递增，在单调递减

即当时，函数取得极小值.

故选：AC

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，同时考查了构造函数，属于中档题.

10．（2020·山东济宁市·高三其他模拟）定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，下面关于的判断正确的是（    ）

A．是函数的最小值 B．的图像关于点对称

C．在上是增函数 D．的图像关于直线对称.

【答案】ABD

【分析】

A，,可判断；

B，由偶函数的定义和条件可判断；

C，利用在上是减函数、是偶函数、周期函数可判断；

D，,可判断.

【详解】

A，,，

是周期为的周期函数，又在上是减函数，在上是偶函数，所以在是增函数，所以是函数的最小值，正确；

B，由，所以关于点中心对称，正确；

C，又在上是减函数，在上是偶函数，所以在是增函数，是周期为的周期函数，所以在上是减函数，错误；

D，,，的图像关于直线对称，正确.

故选：ABD.

【点睛】

对于抽象函数，要灵活掌握并运用函数的图象与奇偶性、单调性、周期性、对称性等性质，还应该学会解决的基本方法与技巧，如对于选择题，可选用特殊值法、赋值法、数形结合等，应用分析、逻辑推理、联想类比等数学思想方法.

三、填空题

11．（2020·开原市第二高级中学高三三模）曲线在处的切线方程是______.

【答案】

【分析】

先求出，再求出导函数，则，再得出切线方程.

【详解】

由，，且

所以

所以曲线在处的切线方程为：，即

故答案为：

12．（2020·河南新乡市·高三一模（理））已知函数是定义域在上的奇函数，当时，，则______．

【答案】

【分析】

先利用函数是上的奇函数，求出的值，进而得到的解析式，求出，再利用奇偶性即可得出结果.

【详解】

因为为奇函数，

所以，

则，

则，

所以，

．

故答案为：.

13．（2020·四川宜宾市·高三一模（理））已知函数(e为自然对数的底数)有两个不同零点，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】

求出，当，则，此时，在上单调递增，不满足条件，当，讨论出的单调性，得出最小值，根据条件可得出答案.

【详解】

由，得，且

由，则

若，则，此时，在上单调递增，至多有一个零点，不满足题意.

若，设，则，所以在上单调递增

由，所以有唯一实数根，设为，即

则当时，，，则在单调递减，

当时，，，则在单调递增，

所以当时，

由可得，即，即

所以，

又当时，，

当，指数函数增加的速度比对数函数增加的速度快得多，可得

所以函数有两个不同零点，则

设，则

当时，有，则在上单调递增.

当时，有，则在上单调递减.

又当时，，

所以当时，，当时，，

所以的解集为

故答案为：

【点睛】

方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解

14．（2020·上海闵行区·高三一模）已知函数，给出下列命题：

①存在实数，使得函数为奇函数；

②对任意实数，均存在实数，使得函数关于对称；

③若对任意非零实数，都成立，则实数的取值范围为；

④存在实数，使得函数对任意非零实数均存在个零点.

其中的真命题是___________.（写出所有真命题的序号）

【答案】②③

【分析】

利用特殊值法可判断①的正误；验证，可判断②的正误；利用基本不等式可判断③的正误；当时，分析出函数在上先递减再递增，记，可得出，利用不恒成立判断④错误，同理得知当时，命题④也不成立，从而得出命题④为假命题.综合可得出结论.

【详解】

令，

函数的定义域为，则，

所以，函数为偶函数.

对于①，若，则，则，此时，函数不是奇函数；

若，则函数的定义域为且，，

，显然.

综上所述，对任意的，函数都不是奇函数；

对于②，，

所以，函数关于直线对称.

因此，对任意实数，均存在实数，使得函数关于对称，②正确；

对于③，，当且仅当时，等号成立，

，当且仅当时，等号成立，

所以，

因为，当时，两个等号可以同时成立，所以，.

因此，实数的取值范围是，③正确；

对于④，假设存在实数，使得直线与函数的图象有个交点，

若，当时，，

此时，函数在区间单调递减，在区间上单调递增，

当时，；

当时，任取、，且，即，

则

，

，随着、的增大而增大，

当且时，；

当且时，.

所以，存在，使得当时，，则，所以，函数在区间上单调递减；

当时，，则，

所以，函数在区间上单调递增，

所以，当时，.

若存在实数，使得函数对任意非零实数均存在个零点，

即直线与函数的图象有个交点，

由于函数的图象关于直线对称，

则直线与函数在直线右侧的图象有个交点，

所以，.

由于为定值，当且当逐渐增大时，也在逐渐增大，

所以，不可能恒成立，

所以，当时，不存在实数，使得函数对任意非零实数均存在个零点；

同理可知，当时，不存在实数，使得函数对任意非零实数均存在个零点，故命题④错误.

故答案为：②③.

【点睛】

方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法：

（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；

（2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.

四、解答题

15．（2020·河南开封市·高三一模（理））已知函数.

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）若对于任意的都成立，求的最大值.

【答案】（1）；（2）最大值为.

【分析】

（1）先由，得到，对其求导，根据导数的几何意义，即可求出切线方程；

（2）先由不等式恒成立，得到，构造函数，利用导数的方法判定其单调性，得到对于任意的都成立，分离参数，得到对于任意的都成立，再由导数的方法求出的最小值，即可得出结果.

【详解】

（1）当时，，得，

则，，

所以在处的切线方程为：.

（2）当且时，

由于，

构造函数，

得在上恒成立，所以在上单调递增，

，

由于对任意的都成立，

又，，再结合的单调性知道：

对于任意的都成立，即对于任意的都成立.

令，得，

由，由，

则在上单调递减，在上单调递增，

故，故，

所以的最大值为.

【点睛】

思路点睛：

由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.

16．（2020·辽宁葫芦岛市·高三月考）已知函数（，且，为自然对数的底）．

（1）求函数的单调区间．

（2）若函数在有零点，证明：．

【答案】（1）当时，增区间为，减区间为．当时，增区间为，减区间为；（2）证明见解析.

【分析】

（1）求导，分和两种情况分别讨论导函数取得正负的区间，从而得出函数的单调区间；

（2）由（1）先得出函数的单调性，由此求得函数的最值，从而将函数有正零点问题转化为，再由函数的单调性，分析得当时，，换元可得证．

【详解】

（1）解：由，知．

①当时，定义域为，由，得，由，得．

②当时，定义域为，由，得，由，得．

综上，当时，增区间为，减区间为．

当时，增区间为，减区间为．

（2）证明：因为有正零点，所以，

由（1）知在上单调递减，在上单调递增．

所以，即．

对于函数，有，在上单调递减，在上单调递增，故，即不等式恒成立，当且仅当时，取等号．

故当时，，即．

在不等式中，取，可得，即，从而，所以，即．

【点睛】

方法点睛：1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；2、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到；3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式.

17．（2020·江西高三其他模拟（理））已知函数，.

（1）当时，求的极值；

（2）当时，求函数极大值的最小值.

【答案】（1）极小值是，无极大值（2）最小值为.

【分析】

（1）当时，得到函数，求得函数的导数，根据导数的符号，得到函数的单调区间，进而求得极值；

（2）当时，求得，得出函数单调性与极值，求得函数，再结合的符号，得出函数的单调性，进而求得最小值.

【详解】

（1）当时，函数，

则，+

令，即，解得，

所以函数在上单调递减，在上单调递增.

所以的极小值是，无极大值.

（2）当时，由，

可得，

令，解得，

∴在上单调递增，在上单调递减.

∴的极大值.

∵，∴在上单调递减.

故.

【点睛】

解决函数极值、最值综合问题的策略：

1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；

2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；

3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.

18．（2020·四川泸州市·高三一模（理））已知函数，其中，是自然对数的底数．

（Ⅰ）求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）设关于的不等式对恒成立时的最大值为，求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【分析】

（Ⅰ）先对函数求导，分别讨论和两种情况，解对应的不等式，即可求出单调递增区间；

（Ⅱ）先由题中条件，得到对恒成立，令，对其求导，利用分类讨论的方法，结合导数的方法判定函数单调性，得出最值，即可求解出结果.

【详解】

（Ⅰ）因为，

所以，因为，，

所以①当即时，恒成立，即恒成立，

所以单调递增，即的单调递增区间为；

②当即时，方程的两根为：

，，且，

由得或；

由得，

则的单调递增区间为，；

综上当时，的增区间为，

②当时，的增区间为，；

（Ⅱ）关于的不等式对恒成立，等价于对恒成立，

因为，，所以，

令，

则，

令，则在上恒成立，

所以在上递增；则，即；

①当，即时，

因为，所以，

当，，即，所以在上递增，

所以，

故；

②当即时，

因为，，即，

所以在上递减，所以，

故；

③当，即时，

因为在上递增，

所以存在唯一实数，使得，即，

则当时，，即；

当时，，即，

故在上单减，上单增，

所以，

所以，

设，则，

所以在上递增，所以．

综上所述，．

【点睛】

思路点睛：

由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.