重难点02 三角函数与解三角形-2021年高考数学【热点·重点·难点】专练(新高考)
展开重难点 02 三角函数与解三角形
【高考考试趋势】
新高考环境下，三角函数与解三角形依然会作为一个热点参与到高考试题中，其中对应的题目的分布特点与命题规律分析可以看出，三角试题每年都考。
1、题目分布："一大一小",或"三小"，或"二小"("小"指选择题或填空题，"大"指解答题)，解答题以简单题或中档题为主，选择题或填空题比较灵活，有简单题，有中档题，也有对学生能力和素养要求较高的题。
2、考察的知识内容：（1）三角函数的概念；（2）同角三角函数基本关系式与诱导公式及其综合应用；（3）三角函数的图像和性质及综合应用；（4）三角恒等变换及其 综合应用；（5）利用正、余弦定理求解三角形；（6）与三角形面积有关的问题；（7）判断三角形的形状；（8）正余弦定理的应用。
3、新题型的考察：（1）以数学文化和实际为背景的题型；（2）多选题的题型；（3）多条件的解答题题型。
4、与其它知识交汇的考察：（1）与函数、导数的结合；（2）与平面向量的结合；（3）与不等式的结合；（4）与几何的结合。
【知识点分析及满分技巧】
1、夯实基础，全面系统复习，深刻理解知识本质
从三角函数的定义出发，利用同角三角函数关系式、诱导公式进行简单的三角函数化简、
求值，结合三角函数的图像，准确掌握三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性等性质，并能正确地描述三角函数图像的变换规律。要重视对三角函数图像和性质的深入研究，三角函数 ，是高考考查知识的重要载体，是三角函数的基础。
“五点法”画正弦函数图像是求解三角函数中的参数及正确理解图像变换的关键，因此复习时应精选典型例题(选择题、填空题、解答题)加以训练和巩固，把解决问题的方法技巧进行归纳、 整理，达到举一反三、触类旁通。
2、切实掌握两角差的余弦公式的推导及其相应公式的变换规律
以两角差的余弦公式为基础，掌握两角和与两角差的正余弦公式、正切公式、二倍角公式，特别是用一种三角函数表示二倍角的余弦，掌握公式的正用、逆用、变形应用，迅速正确应用这些公式进行化简、求值与证明，即以两角差的余弦公式为基础.推出三角恒等变换的相应公式，掌握公式的来龙去脉。
3、回归课本，掌握正余弦定理与三角形中的边角关系及应用
从正余弦定理的公式出发，结合三角形的面积公式，精选课本中的例、习题进行解答推广并加以应用，灵活求解三角形中的边角问题以及三角形中边角互化，得出面积公式的不同表达式，判断三角形的形状等间题，同时注意三角形中隐含条件的挖掘利用.
4、注意在三角函数和解三角形中渗透思想方法的应用复习
三角函数是特殊的函数，其思想方法多种多样，复习时要重视思想方法的渗透。数形结合思想在三角函数中有着广泛的应用，如三角函数在闭区间上的最值问题可以利用三角函数的图像和性质，三角函数的零点问题、对称中心、对称轴以及三角函数的平移变换、伸缩变换等都渗透数形结合思想。在三角函数求值中，把所求的量作为未知数，其余的量通过三角函数转化为未知数的表达式，列出方程，就能把问题转化为含有未知数的方程问题加以解决。
【限时检测】（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．（2020·四川成都市·高三其他模拟（理））已知且满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·四川宜宾市·高三一模（理））已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·全国高三其他模拟（文））将函数的图象上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020·河南开封市·高三一模（理））中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁(如图1)，扇面形状较为美观.从半径为的圆面中剪下扇形，使扇形的面积与圆面中剩余部分的面积比值为，再从扇形中剪下扇环形制作扇面，使扇环形的面积与扇形的面积比值为.若为一个按上述方法制作的扇面装饰品装裱边框(如图2)，则需要边框的长度为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020·河南开封市·高三一模（理））在中，是边的中点，是线段的中点.若，的面积为，则取最小值时，（ ）
A．2 B．4 C． D．
6．（2020·江西高三其他模拟（理））如图是函数图象的一部分，对不同的，若，有，则（ ）
A．在区间上是增函数 B．在区间上是减函数
C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数
7．（2020·全国福建省漳州市教师进修学校高三二模（文））若曲线在，两点处的切线互相垂直，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·全国高三其他模拟（文））在中，，，分别是，，的对边，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2020·全国高三其他模拟）已知函数(为常数，)的图象有两条相邻的对称轴和，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的图象关于直线对称
C．在上单调递增 D．的图象关于点对称
10．（2020·石家庄市·河北正中实验中学高二月考）中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即（为三角形的面积，、、为三角形的三边）.现有满足，且的面积，则下列结论正确的是（ ）
A．的周长为 B．的三个内角、、成等差数列
C．的外接圆半径为 D．的中线的长为
三、填空题
11．（2020·四川泸州市·高三一模（文））在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，则______．
12．（2020·上海虹口区·高三一模）已知，且有，则___________.
13．（2020·云南高三其他模拟（文））在中，角所对的边为，若，则角的大小为__________.
14．（2020·浙江高三其他模拟）在中，角4，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则角 ，若的角平分线交于点D，且，则的最小值是______.
四、解答题
15．（2020·四川泸州市·高三一模（理））已知函数．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若函数图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍得函数的图象，且关于的方程在上有解，求的取值范围．
16．（2020·四川泸州市·高三一模（理））的内角，，的对边分别为，，．已知．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）已知，，且边上有一点满足，求．
17．（2020·全国高三其他模拟）在① ，②这两个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．
已知，，分别为的内角，，的对边，若，______，求面积的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（2020·贵州安顺市·高三其他模拟（理））已知向量，.
（1）求的最大值及取得最大值时的取值集合；
（2）在中，分别是角的对边，若且，求面积的最大值.
19．（2020·上海青浦区·高三一模）如图，矩形是某个历史文物展览厅的俯视图，点在上，在梯形区域内部展示文物，是玻璃幕墙，游客只能在区域内参观.在上点处安装一可旋转的监控摄像头，为监控角，其中､在线段(含端点)上，且点在点的右下方.经测量得知：米，米，米，.记(弧度)，监控摄像头的可视区域的面积为平方米.
（1）分别求线段､关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）求的最小值.
