热点09 立体几何-2021年高考数学【热点·重点·难点】专练(新高考)

热点09   立体几何

【命题趋势】

立体几何一直在高中数学中占有很大的分值，新高考中立体几何也会持续成为高考的一个热点。新高考中立体几何淡化了三视图的相关内容，以基础题和中档题为主，热点问题主要有证明点线面的关系，如点共线、线共点、线共面问题；证明空间线面平行、垂直关系；求空间的角和距离；利用空间向量，将空间中的性质及位置关系的判定与向量运算相结合，使几何问题代数化等等。考查的重点是点线面的位置关系及空间距离和空间角，突出空间想象能力，侧重于空间线面位置关系的定性与定量考查，算中有证。其中选择、填空题注重几何符号语言、文字语言、图形语言三种语言的相互转化，考查学生对图形的识别、理解和加工能力；解答题则一般将线面集中于一个几何体中，即以一个多面体为依托，设置几个小问，设问形式以证明或计算为主。

【满分技巧】

1.平行、垂直位置关系的论证的策略

(1)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。

(2)利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一。

(3)三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑。

2.空间角的计算方法与技巧

主要步骤：一作、二证、三算；若用向量，那就是一证、二算。

(1)两条异面直线所成的角①平移法；②补形法；③向量法。

(2)直线和平面所成的角

①作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算。

②用公式计算。

(3)二面角

①平面角的作法：(i)定义法；(ii)垂面法。

②平面角的计算法：

(i)找到平面角，然后在三角形中计算(解三角形)或用向量计算；(ii)射影面积法；(iii)向量夹角公式。

3.空间距离的计算方法与技巧

(1)求点到直线的距离：经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解，也可以借助于面积相等求出点到直线的距离。

(2)求两条异面直线间距离：一般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长。在不能直接作出公垂线的情况下，可转化为线面距离求解(这种情况高考不做要求)。

(3)求点到平面的距离：一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算;也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离；有时直接利用已知点求距离比较困难时，我们可以把点到平面的距离转化为直线到平面的距离，从而“转移”到另一点上去求“点到平面的距离”。求直线与平面的距离及平面与平面的距离一般均转化为点到平面的距离来求解。

4.熟记一些常用的小结论

诸如：正四面体的体积公式是；面积射影公式；“立平斜关系式”；最小角定理。弄清楚棱锥的顶点在底面的射影为底面的内心、外心、垂心的条件，这可能是快速解答某些问题的前提。

5.翻折、展开关注不变因素

平面图形的翻折、立体图形的展开等一类问题，要注意翻折前、展开前后有关几何元素的“不变性”与“不变量”。

6.与球有关的题型

只能应用“老方法”，求出球的半径即可。

7.立体几何读题

(1)弄清楚图形是什么几何体，规则的、不规则的、组合体等。

(2)弄清楚几何体结构特征。面面、线面、线线之间有哪些关系(平行、垂直、相等)。

(3)重点留意有哪些面面垂直、线面垂直，线线平行、线面平行等。

8.解题程序划分为四个过程

①弄清问题。也就是明白“求证题”的已知是什么?条件是什么?未知是什么?结论是什么?也就是我们常说的审题。

②拟定计划。找出已知与未知的直接或者间接的联系。在弄清题意的基础上,从中捕捉有用的信息,并及时提取记忆网络中的有关信息,再将两组信息资源作出合乎逻辑的有效组合,从而构思出一个成功的计划。即是我们常说的思考。

③执行计划。以简明、准确、有序的数学语言和数学符号将解题思路表述出来,同时验证解答的合理性。即我们所说的解答。

④回顾。对所得的结论进行验证,对解题方法进行总结。

【考查题型】选择题、填空、解答题

【常考知识】空间几何体的几何特征、体积、面积、点线面的位置关系、空间向量

【限时检测】（建议用时：90分钟）

一、单选题

1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

2．（2020·河南郑州·高三其他模拟（理））过平面外的直线，作一组平面与相交，若所得交线为，则这些交线的位置关系为（    ）

A．平行或交于同一点 B．相交于同一点

C．相交但交于不同的点 D．平行

3．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（    ）

A．20° B．40°

C．50° D．90°

4．（2020年天津市高考数学试卷）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

5．（2020·河南郑州·高三月考（文））如图，在三棱柱中，M，N分别为棱，的中点，过作一平面分别交底面三角形的边，于点E，F，则（    ）

A．

B．四边形为梯形

C．四边形为平行四边形

D．

6．（2020·安徽高三其他模拟（理））已知三个不同的平面、、，两条不同的直线、，则下列结论正确的是（    ）

A．，，是的充分条件

B．与，所成的锐二面角相等是的充要条件

C．，，是的充分条件

D．内距离为的两条平行线在内的射影仍是距离为的两条平行线是的充要条件

7．（2020·广西高三其他模拟（理））如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AD，CC1的中点，则异面直线A1E与BF所成角的大小为（    ）

A． B． C． D．

8．（2020·河南郑州·高三其他模拟（理））将一个半径为的半球切削成一个正方体（保持正方体的一个面在半球底面所在平面上），所得正方体体积的最大值为（    ）

A． B．8 C． D．4

9．（2020·广西高三一模（理））如图，在正方体中，，、分别是、的中点，平面分别与、交于、两点，则（    ）

A． B．

C． D．

10．（2020·广西北海·高三一模（理））如图是一个由正四棱锥和正四棱柱构成的组合体，正四棱锥的侧棱长为6，为正四棱锥高的4倍.当该组合体的体积最大时，点到正四棱柱外接球表面的最小距离是（ ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．

12．（2020·贵州安顺·高三其他模拟（文））已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为_______.

13．（2020·云南昆明·高三其他模拟）已知正三棱柱外接于一个半径为2的球，则正三棱柱的侧面积取得最大值时，其底面边长为______.

14．（2020·广西高三其他模拟（理））在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为_______．

15．（2020·安徽高三其他模拟（理））在三棱锥中，平面，，，，是线段上的动点，记直线与平面所成的角为，若的最大值为，为线段的中点，过点作三棱锥外接球的截面，则该截面面积的取值范围为________.

三、解答题

16．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值．

17．（2020年天津市高考数学试卷）如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

18．（2020·安徽高三其他模拟（理））如图，已知圆的直径长为2，上半圆圆弧上有一点，，点是弧上的动点，点是下半圆弧的中点，现以为折线，将下半圆所在的平面折成直二面角，连接、、.

（1）当平面时，求的长；

（2）当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值.

19．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．

（1）证明：l⊥平面PDC；

（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．

20．（2020·云南昆明·高三其他模拟）如图,四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，

PA=BC=1，PD=AB=,E、F分别为线段PD和BC的中点．

（Ⅰ） 求证：CE∥平面PAF；

（Ⅱ）在线段BC上是否存在一点G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°？若存在，试确定G的位置；若不存在，请说明理由．