热点10 解析几何-2021年高考数学【热点·重点·难点】专练(新高考)

热点10   解析几何

【命题趋势】

解析几何一直是高考数学中的计算量代名词，在高考中所占的比例一直是2+1+1模式。新高考中同样也是考察的重难点，题型模式和以前没有过多的变化，即两道选择，一道填空，一道解答题。高考中选择部分，一道圆锥曲线相关的简单概念以及简单性质，另外一道是圆锥曲线的性质会与直线、圆等结合考查一道综合题目，一般难度诶中等。填空题目也是综合题目，难度中等。大题部分一般是以椭圆抛物线性质为主，加之直线与圆的相关性子相结合，常见题型为定值、定点、对应变量的取值范围问题、面积问题等.双曲线一般不出现在解答题中，一般出现在小题中。即复习解答题时也应是以椭圆、抛物线为主。本专题主要通过对高考中解析几何的知识点的统计，整理了高考中常见的解析几何的题型进行详细的分析与总结，通过本专题的学习，能够掌握高考中解析几何出题的脉略，从而能够对于高考中这一重难点有一个比较详细的认知，对于解析几何的题目的做法能够有一定的理解与应用。

【满分技巧】

1.将圆锥曲线几何性质与向量数量积、不等式等交汇是高考解析几何命题的一种新常态，问题解决过程中渗透数学的转化化归，函数与方程和数形结合等的数学思想方法。

2. 点差法是一种常用的模式化解题方法，这种方法对于解决有关斜率，中点等问题有较好的解题效能。

3、圆及其直线与圆的位置关系，轨迹等问题是全国I卷的常考点，点到直线的距离、弦长公式，圆的几何性质,解三角形等知识点交汇融合，数形结合、分类讨论等数学思想方法有机渗透，解法常规，思路清晰。

4、直线与圆锥曲线的位置关系在虽然没有明确指出，但是在高考则是常考不衰的考点，同时常常与不等式、最值等相交汇，题型常见，理解容易，思路明确，交汇点较多。直线与圆锥曲线位置关系解法步骤直接明了，关键计算(解方程、求最值等)是否准确，规范是否到位，细节是否圆满。

5、抛物线的切线及其性质，存在性的问题 都是高考的常考点，将求证目标 ∠OPM=∠OPN 转化为 k1+k2=0 是解题的关键，体现转化化归思想的应用，同时利用设而不求实现整体化简是减少计算量的有效方法，应当熟练掌握。

6、“定义型”的试题是高考的一个热点。这种题目设问新颖，层次分明，贯穿解析几何的核心内容，解题的思路和策略常规常见，通性通法，直线与圆锥曲线的位置关系的解法和基本在此呈现，正确快速的多字母化简计算是解析几何解题的一道坎。

7、定值问题：采用逆推方法，先计算出结果.即一般会求直线过定点，或者是其他曲线过定点.对于此类题目一般采用特殊点求出两组直线，或者是曲线然后求出两组直线或者是曲线的交点即是所要求的的定点。算出结果以后，再去写出一般情况下的步骤。

    利用结果写过程的形式。先求结果一般会也是采用满足条件的特殊点进行带入求值（最好是原点或是（1.0）此类的点），所得答案即是要求的定值，然后再利用答案，写出一般情况下的过程即可。注：过程中比较复杂的解答过程可以不求，因为已经知道答案，直接往答案上凑即可。

8、取值范围问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.对于答案的求解，一般利用边界点进行求解，答案即是在边界点范围内。知道答案以后再写出一般情况下的步骤比较好写。一般情况下的步骤对于复杂的计算可以不算。

9、特殊值发：在证明问题中，一些特殊点往往很重要，决定了命题成立于否，因此，恰当地带入一些特殊点，心里有个大致的结论后再去证明，会更有方向性，效率会提高。记住一些特殊方程的基本特征，会在求解过程中省掉很多的麻烦，即使有些结论不能直接用，自己也知道是如何证明得来的，就能快速解决问题了。

10、形结合的思想：解析几何，很显然，解析是数字的，公式的，而几何是图形的，图形一目了然，给人直观的感受，而公式抽象，能准确的描述图像的特征，结合之后一定会对解题有很大的帮助。并且解析几何想比较其他题型的优点在于，它可以带回试题中检验，如果算出答案后有时间，建议同学们花一两分钟检验一下你的答案，这样也有利于你对算出来的答案更有信心，提高准确率。

【考查题型】选择题、填空、解答题

【常考知识】圆锥曲线的概念、图像、性质

【限时检测】（建议用时：90分钟）

一、单选题

1．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（    ）

A． B． C． D．

2．（2020年天津市高考数学试卷）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（    ）

A． B． C． D．

3．（2020年北京市高考数学试卷）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（    ）．

A．经过点 B．经过点

C．平行于直线 D．垂直于直线

4．（2020年浙江省高考数学试卷）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（    ）

A． B． C． D．

5．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ）

A． B． C． D．

6．（2020·云南昆明市·高三其他模拟）已知双曲线的右焦点为， 以为圆心，实半轴长为半径的圆与双曲线的某一条渐近线交于两点，若（其中为原点），则双曲线的离心率为（  ）

A． B． C． D．

7．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（    ）

A．1 B．2 C．4 D．8

8．（2020·上海闵行区·高三一模）已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有，则双曲线的渐近线方程是（    ）

A． B．

C． D．

9．（2020·广西玉林市·高三其他模拟（理））点为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

10．（2020·广西高三一模（理））已知椭圆上有相异的三点A，B，C，则S△ABC的最大值为 （    ）

A． B． C． D．

二、多选题

11．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））已知曲线.（    ）

A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上

B．若m=n>0，则C是圆，其半径为

C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为

D．若m=0，n>0，则C是两条直线

12．（2020·全国高三专题练习）下列说法正确的是（    ）

A．“”是“点到直线的距离为3”的充要条件

B．直线的倾斜角的取值范围为

C．直线与直线平行，且与圆相切

D．离心率为的双曲线的渐近线方程为

三、填空题

13．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________.

14．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．

15．（2020·上海虹口区·高三一模）设､分别是双曲线(，)的左､右焦点，点在双曲线右支上且满足，双曲线的渐近线方程为，则___________.

16．（2020年江苏省高考数学试卷）在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是__________．

四、解答题

17．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点.

18．（2020·上海嘉定区·高三一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的长轴长为6，且经过点，为左顶点，为下顶点，椭圆上的点在第一象限，交轴于点，交轴于点.

（1）求椭圆的标准方程

（2）若，求线段的长

（3）试问：四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由

19．（2020年浙江省高考数学试卷）如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．

（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；

（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．

20．（2020·全国高三专题练习（文））已知点在抛物线：上，直线：与抛物线有两个不同的交点.

（1）求的取值范围；

（2）设直线与抛物线的交点分别为，，过点作与的准线平行的直线，分别与直线和交于点和（为坐标原点），求证：.