热点06 三角函数与解三角形-2021年高考数学【热点·重点·难点】专练(新高考)

热点06  三角函数与解三角形

【命题形式】

 新高考环境下，三角函数与解三角形依然会作为一个热点参与到高考试题中，其中对应的题目的分布特点与命题规律分析可以看出，三角试题每年都考。

1、题目分布："一大一小",或"三小"，或"二小"("小"指选择题或填空题，"大"指解答题)，解答题以简单题或中档题为主，选择题或填空题比较灵活，有简单题，有中档题，也有对学生能力和素养要求较高的题。

2、考察的知识内容：（1）三角函数的概念；（2）同角三角函数基本关系式与诱导公式及其综合应用；（3）三角函数的图像和性质及综合应用；（4）三角恒等变换及其 综合应用；（5）利用正、余弦定理求解三角形；（6）与三角形面积有关的问题；（7）判断三角形的形状；（8）正余弦定理的应用。

3、新题型的考察：（1）以数学文化和实际为背景的题型；（2）多选题的题型；（3）多条件的解答题题型。

4、与其它知识交汇的考察：（1）与函数、导数的结合；（2）与平面向量的结合；（3）与不等式的结合；（4）与几何的结合。

【满分技巧】

1、夯实基础，全面系统复习，深刻理解知识本质

从三角函数的定义出发，利用同角三角函数关系式、诱导公式进行简单的三角函数化简、

求值，结合三角函数的图像，准确掌握三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性等性质，并能正确地描述三角函数图像的变换规律。要重视对三角函数图像和性质的深入研究，三角函数 ，是高考考查知识的重要载体，是三角函数的基础。

“五点法”画正弦函数图像是求解三角函数中的参数及正确理解图像变换的关键，因此复习时应精选典型例题(选择题、填空题、解答题)加以训练和巩固，把解决问题的方法技巧进行归纳、 整理，达到举一反三、触类旁通。

2、切实掌握两角差的余弦公式的推导及其相应公式的变换规律

以两角差的余弦公式为基础，掌握两角和与两角差的正余弦公式、正切公式、二倍角公式，特别是用一种三角函数表示二倍角的余弦，掌握公式的正用、逆用、变形应用，迅速正确应用这些公式进行化简、求值与证明，即以两角差的余弦公式为基础.推出三角恒等变换的相应公式，掌握公式的来龙去脉。

3、回归课本，掌握正余弦定理与三角形中的边角关系及应用

从正余弦定理的公式出发，结合三角形的面积公式，精选课本中的例、习题进行解答推广并加以应用，灵活求解三角形中的边角问题以及三角形中边角互化，得出面积公式的不同表达式，判断三角形的形状等间题，同时注意三角形中隐含条件的挖掘利用.

4、注意在三角函数和解三角形中渗透思想方法的应用复习

三角函数是特殊的函数，其思想方法多种多样，复习时要重视思想方法的渗透。数形结合思想在三角函数中有着广泛的应用，如三角函数在闭区间上的最值问题可以利用三角函数的图像和性质，三角函数的零点问题、对称中心、对称轴以及三角函数的平移变换、伸缩变换等都渗透数形结合思想。在三角函数求值中，把所求的量作为未知数，其余的量通过三角函数转化为未知数的表达式，列出方程，就能把问题转化为含有未知数的方程问题加以解决。

【常考知识】三角函数概念、公式、图像、性质；正、余弦定理；与函数、导数、平面向量、不等式、几何等知识结合。

【限时检测】（建议用时：90分钟）

一、单选题

1．（2020年全国新课标Ⅰ试卷（理科））已知，且，则（    ）

A．            B．           C．           D．

2．（2021届·安徽高三其他模拟（文））已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则（    ）

A． B． C． D．

3．（2021届·广西高三其他模拟（理））在中，角，，的对边为，，着，，，则（    ）

A． B． C． D．1

4．（2021届·广西高三其他模拟（文））当（    ）时，.

A． B． C． D．

5．（2021届·福建莆田·高三其他模拟）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得函数的图象.若，，且函数在上具有单调性，则的值为（   ）

A．2 B．3 C．5 D．7

6．（2021届·四川遂宁·高三零模（理））秦九韶，字道古，汉族，鲁郡（今河南范县）人，南宋著名数学家，精研星象、音律、算术、诗词、弓、剑、营造之学．1208年出生于普州安岳（今四川安岳），咸淳四年（1268）二月，在梅州辞世． 与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他在著作《数书九章》中创用了“三斜求积术”，即是已知三角形的三条边长，求三角形面积的方法．其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为，若满足，，且a<b<c，则用“三斜求积”公式求得的面积为（    ）

A．            B．             C．              D．

7．（2021届·安徽高三其他模拟（理））已知函数，若存在实数，对任意都有成立.则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

8．（2021届·渝中·重庆巴蜀中学高三其他模拟）设函数，则下列说法正确的是（ ）．

A．是奇函数 B．是周期函数

C．的图象关于点对称 D．

二、多选题

9．（2021届·广东湛江·高三其他模拟）已知函数，f（x）＝2sinx-acosx的图象的一条对称轴为，则（    ）

A．点是函数，f（x）的一个对称中心    B．函数f（x）在区间上无最值

C．函数f（x）的最大值一定是4               D．函数f（x）在区间上单调递增

10．（2021届·海南高三一模）已知函数的最小正周期为.将该函数的图象向左平移了个单位长度后，得到的图象对应的函数为奇函数，则（    ）

A． B．是的图象的对称中心

C．在上单调通增 D．在上的值域为

三、填空题

11．（2020年江苏省高考数学试卷）将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.

12．（2021届·海南高三一模）已知，则______.

13．（2020年新高考山东试题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．

14．（2021届·福建莆田·高三其他模拟）在△ABC中，三边a，b，c所对应的角分别是A，B，C，已知a，b，c成等比数列.若，数列满足，前n项和为，__________.

四、解答题

15．（2020年全国高考新课标Ⅱ理科试卷）中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．

（1）求A；

（2）若BC=3，求周长的最大值.

16．（2020年江苏省高考数学试卷）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求的值；

（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．

17．（2020年新高考山东试题）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18．（2020年北京市高考试卷）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：

（Ⅰ）a的值：

（Ⅱ）和的面积．

条件①：；

条件②：．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

19．（2021届·安徽高三其他模拟（理））已知函数.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）已知的三个内角、、的对边分别为、、，其中，若锐角满足，且，求的值.

20．（2021届·四川遂宁·高三零模（理））已知函数.

（1）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；

（2）设的内角满足，若，求边上的高长的最大值．