河北省张家口市2021届高三上学期期末考试 数学 (含答案)

张家口市2020~2021学年度第一学期期末教学质量监测

高三数学    2021.1

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.

1.已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.是虚数单位，复数满足，则（    ）

A. B. C. D.

3.已知命题，.若为假命题，则的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

4.某班优秀学习小组有甲、乙、丙、丁、戊共5人，他们排成一排照相，则甲、乙二人相邻的排法种数为（    ）

A.24 B.36 C.48 D.60

5.在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，，分别为，的中点，则与所成角的余弦值是（    ）

A. B. C. D.

6.圆分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点，则（    ）

A.5 B.10 C.15 D.25

7.已知是R上的奇函数，且对，有，当时，，则（    ）

A.40 B. C. D.

8.太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿梁柱，到老子楼观台、三茅宫、白云观的标记物；到中医、气功、武术及中国传统文化的书刊封面、会徽、会标这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”.已知函数，则以下图形中，阴影部分可以用不等式组表示的是（    ）

A. B.

C.  D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.两个相关变量，的5组对应数据如下：

根据上表，可得回归直线方程，求得.据此估计，以下结论正确的是（    ）

A. B. C. D.当时，

10.已知数列的前项和为，下列说法正确的是（    ）

A.若，则是等差数列

B.若，则是等比数列

C.若是等差数列，则

D.若是等比数列，且，，则

11.已知函数的部分图象如图所示，则（    ）

A.

B.

C.若，则

D.若，则

12.抛物线的焦点为F，直线l过点F，斜率，且交抛物线C于A，B（点A在x轴的下方）两点，抛物线的准线为m，于，于，下列结论正确的是（    ）

A.若，则 B.

C.若，则 D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.双曲线的左、右顶点分别为A，B，右支上有一点M，且，则的面积为______________.

14.若数列满足：，，则________________.

15.莱昂哈德·欧拉是科学史上一位杰出的数学家.他的研究论著几乎涉及到所有数学分支，有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的.欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F之间总满足数量关系，此式称为欧拉公式.已知某凸八面体，4个面是三角形，3个面是四边形，1个面是六边形，则该八面体的棱数为_____________，顶点的个数为___________.

16.随机变量X的概率分布满足，则______________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中.若问题中的三角形存在，请求出；若问题中的三角形不存在，请说明理由.

问题：是否存在，满足且，________________？

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.（12分）

数列是等比数列，前n项和为，，.

（1）求；

（2）若，求.

19.（12分）

如图，在三棱台中，平面，，，，.

（1）求的长；

（2）求二面角的正弦值.

20.（12分）

甲、乙两队举行围棋擂台赛，规则如下：两队各出3人，排定1，2，3号.第一局，双方1号队员出场比赛，负的一方淘汰，该队下一号队员上场比赛.当某队3名队员都被淘汰完，比赛结束，未淘汰完的一方获胜.如图表格中，第m行、第n列的数据是甲队第m号队员能战胜乙队第n号队员的概率.

（1）求甲队2号队员把乙队3名队员都淘汰的概率；

（2）比较第三局比赛，甲队队员和乙队队员哪个获胜的概率更大一些？

21.（12分）

已知函数.

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）若，且在上的最小值为0，求的取值范围.

22.（12分）

椭圆过点，其上、下顶点分别为点A，B，且直线，的斜率之积为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C的左顶点作两条直线，分别交椭圆C于另一点S，T.若，求证：直线过定点.

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高三数学参考答案及评分标准    2021.1

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1.【答案】D

【解析】，，故，故选D.

2.【答案】D

【解析】.∴.

3.【答案】A

【解析】，为真命题，故恒成立，∴.

4.【答案】C

【解析】排法种数为.

5.【答案】D

【解析】如图，不妨设.

取的中点为Q，

则且，

故四边形为平行四边形，

∴，

∴即为所求异面直线所成的角.

在中，，，

则.

6.【答案】A

【解析】如图，在中，易求得，∴.

7.【答案】C

【解析】，，

故.

∵，故.

8.【答案】B

【解析】题中的不等式组表示的平面区域为

，故选B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9.【答案】AC

【解析】易求得，，∴.

.

故选AC.

10.【答案】BC

【解析】若，当时，，不满足，故A错误.

若，则，满足，所以是等比数列，故B正确.

若是等差数列，则，故C正确.

，故D错误.

11.【答案】AC

【解析】，故.

为图象的一条对称轴.

为图象的一条对称轴，故对，有.

故AC正确.

12.【答案】ABD

【解析】延长，交准线于.

设，，，

则，

故，故，A正确；

，B正确；

，故C错误；

，，故D正确.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.【答案】3

【解析】直线的方程为，代入，解得，故.

14.【答案】5049

【解析】.

两式相减，得.

.

故是首项为4、公差为5的等差数列的第1010项，

故.

15.【答案】15；9

【解析】棱数：；

设顶点的个数为，则.

16.【答案】5

【解析】，则.

倒序：.

∵，，，…，

故，则.

四、解答题：本题共6小题，共70分.

17.（10分）

解：选①

∵，

∴.………………………………………………………………2分

∴.…………………………………………………………………………3分

又，

∴B为锐角，故.……………………………………………………………………5分

∵，

∴……………………………………………………6分

∴，.……………………………………………………………………7分

即.

∵，

∴.………………………………………………………………………………8分

代入，求得.………………………………………………………9分

故存在，且.……………………………………10分

选②.

∵，

∴.……………………………………………………………………2分

.…………………………………………5分

∵，

∴.……………………………………………………6分

∴，.………………………………………………………………7分

即.

∵，

∴.………………………………………………………………………………8分

代入，求得.………………………………………………………9分

故存在，且.……………………………………10分

选③.

∵，

∴.……………………………………………………………………1分

∴.………………………………………………………………………………2分

∴或.

∴或.……………………………………………………………………3分

∵，

∴不合题意.…………………………………………………………………………4分

∴.

∴.……………………………………………………………………5分

∴.…………………………………………………………………………6分

∵，

∴.………………………………………………………………7分

∴.…………………………………………………………………………8分

可看成是关于的一元二次方程，

，.………………………………………………………………………………9分

故不存在.……………………………………………………………………………………10分

18.（12分）

解：（1）由.……………………………………………………1分

当时，两式相减，得.

∵是等比数列，∴..…………………………………………………………3分

又.……………………………………………………………………5分

（2），.…………………………………………………………………………6分

，

得.………………………………………………………8分

两式相减，得.

.……………………………………………………………………12分

19.（12分）

解：（1）如图，连接.

由，平面，.……………………………………2分

故.

又，.………………………………4分

可得平面，

故.………………12分

（2）如图，以A为原点，，，方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，.…………………………………………………………8分

为平面的一个法向量.

设为平面的一个法向量，

则，

取，得，.…………………………………………………………10分

则，.…………………………………………………………11分

∴.

故所求二面角的正弦值为.……………………………………………………12分

20.（12分）

解：（1）甲队2号队员把乙队3名队员都淘汰的概率为.…………4分

（2）第3局比赛甲队队员获胜可分为3个互斥事件.…………………………………………………5分

（i）甲队1号胜乙队3号，概率为；.…………………………………………6分

（ii）甲队2号胜乙队2号，概率为；.……………………8分

（iii）甲队3号胜乙队1号，概率为.…………………………………………9分

故第3局甲队队员胜的概率为.……………………………………10分

则第3局乙队队员胜的概率为.……………………………………………………11分

因为，

故甲队队员获胜的概率更大一些.……………………………………………………………………12分

21.（12分）

解：（1）当时，，.………………………………………1分

∴，，.………………………………………………………………3分

∴切线方程为，.………………………………………………………4分

即.………………………………………………………………………………5分

（2）∵，

∴原条件等价于：在上，恒成立.

化为.……………………………………………………………………6分

令，

则.……………………………………7分

令，则.…………………………………………………………8分

在上，，.………………………………………………………………9分

∴在上，.………………………………………………………………10分

故在上，；在上，.…………………………………………11分

∴的最小值为，∴.……………………………………………………12分

22.（12分）

（1）解：∵，，

∴.……………………………………………………2分

将，都代入椭圆方程，得.………………………………………………4分

∴椭圆方程为.………………………………………………………………………………5分

（2）证明：设，，直线的方程为.

将代入椭圆方程，整理得.………………………………6分

，.………………………………………………………………7分

由，得.

整理，得，

即.

化简，得，

即.

当时，直线的方程为.

恒过左顶点，不合题意.………………………………………………………………11分

当时，直线的方程为.

恒过点.……………………………………………………………………12分