2020-2021学年河北省张家口市高二（下）期末数学试卷

2020-2021学年河北省张家口市高二（下）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）设集合，，则　　

A． B． C． D．

2．（5分）已知命题：“，”，则命题为　　

A．， B．， 

C．， D．，

3．（5分）已知，则　　

A． B．3 C． D．4

4．（5分）某高中学校高二和高三年级共有学生2400人，为了解该校学生的视力情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取25人，则高一年级学生人数为　　

A．1000 B．800 C．200 D．600

5．（5分）已知，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6．（5分）现有5名学生坐成一排，其中乙和甲相邻而坐，并且乙和丙也相邻而坐，则不同的坐法共有　　

A．18种 B．16种 C．14种 D．12种

7．（5分）函数的大致图象是　　

A． 

B． 

C． 

D．

8．（5分）已知函数为偶函数，且在上是增函数，若，，，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

二.选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．（5分）设，则下列叙述中正确的是　　

A．的虚部为 

B． 

C． 

D．在复平面内，复数对应的点位于第四象限

10．（5分）在的展开式中，下列叙述中正确的是　　

A．二项式系数之和为32 B．各项系数之和为0 

C．常数项为15 D．的系数为15

11．（5分）甲、乙两名学生在环保知识竞赛的6次成绩的茎叶图如图所示，则下列说法正确的是　　

A．甲的竞赛成绩的平均分比乙的竞赛成绩的平均分高 

B．甲的竞赛成绩的中位数大于乙的竞赛成绩的中位数 

C．甲的竞赛成绩的众数为110 

D．甲的竞赛成绩的方差小于乙的竞赛成绩的方差

12．（5分）已知函数，，均有，，当，时，，函数在上至少有7个零点，则下列说法正确的是　　

A．是周期为2的偶函数 B．当，时， 

C．的解集为， D．的取值范围是

三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）在某市举行的庆祝建党100周年学党史知识竞赛中，参赛人员成绩，已知，则从全市参赛人员中任选一名，他的成绩大于85分的概率为 　　．

14．（5分）已知，，，则的最小值为 　　．

15．（5分）盒中有6个大小，形状完全相同的小球，其中有3个红球、2个绿球、1个黄球．现从盒中随机取3个球，每次取1个，不放回，则取出的3个球中恰有1个红球、1个绿球、1个黄球的概率为 　　．

16．（5分）设函数，若，，使得不等式成立，则实数的取值范围是 　　．

四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，

17．（10分）某中学准备组织学科文化节活动，为调查学生是否愿意成为文化节志愿者，该中学在高二年级学生中随机选取了90人，进行了问卷调查，得到了如下列联表：

（1）补全列联表；

（2）是否有的把握认为是否愿意成为志愿者与性别有关？请说明理由．

参考公式：，其中．

参考数据：

18．（12分）已知函数．

（1）若曲线的切线方程为，求的值；

（2）若函数在区间，上的最大值为16，求的值．

19．（12分）槲寄生是一种寄生在大树上部树枝的寄生植物，可以从寄主植物上吸取水分和无机物，进行光合作用制造养分．它喜欢寄生在树龄较小的大树上．如表给出了在一定条件下完成的实验中采集的数据：

（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（精确到，说明变量间的线性相关性很强；，说明变量间的线性相关性一般）；

（2）求出关于的线性回归方程精确到，并估算一棵树龄为12年的大树上，槲寄生的株数（精确到．

参考公式：相关系数；线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式：，；

参考数据：，，，．

20．（12分）已知函数为定义在上的奇函数，且当时，．

（1）求在上的解析式；

（2）若，，都有，求实数的取值范围．

21．（12分）随着全球经济一体化进程的不断加快，机械零件的加工质量决定了制造工厂的生存，零件加工精度逐渐成为供应商判断制造公司产品的标准．零件加工精度受到机械加工工艺的影响，只有提高机械加工工艺水平，才能够尽可能地减少机械加土零件的失误．某制造工厂检测部门抽查了200个机械零件，将其直径长度（单位：毫米）作为样本，经统计得频率分布直方图如图所示，已知零件的直径长度在区间，内的为合格品，其他为不合格品．

（1）求样本中零件的直径长度在区间，内的零件个数；

（2）若从样本的不合格品中随机抽取2个零件，求恰有一个零件的直径长度在区间，内的概率；

（3）若将样本的频率视为概率，从生产线中随机抽取3个零件，记合格品的个数为，求的分布列、数学期望及方差．

22．（12分）已知函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数存在极值点，且，恒成立，求实数的取值范围．

2020-2021学年河北省张家口市高二（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）设集合，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

．

故选：．

2．（5分）已知命题：“，”，则命题为　　

A．， B．， 

C．， D．，

【解答】解：命题为特称命题，则命题的否定为：，，

故选：．

3．（5分）已知，则　　

A． B．3 C． D．4

【解答】解：根据题意，，则，

则；

故选：．

4．（5分）某高中学校高二和高三年级共有学生2400人，为了解该校学生的视力情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取25人，则高一年级学生人数为　　

A．1000 B．800 C．200 D．600

【解答】解：设高一年级学生人数为，

根据分层抽样的定义可得，

解得，

故选：．

5．（5分）已知，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：解不等式得：或，

故选：．

6．（5分）现有5名学生坐成一排，其中乙和甲相邻而坐，并且乙和丙也相邻而坐，则不同的坐法共有　　

A．18种 B．16种 C．14种 D．12种

【解答】解：根据题意，分2步进行分析：

①将甲乙丙三人看成一个整体，并且将乙安排在甲和丙的中间，有2种情况，

②将这个整体与其他2人全排列，有种安排方法，

则有种不同的坐法，

故选：．

7．（5分）函数的大致图象是　　

A． 

B． 

C． 

D．

【解答】解：函数的定义域为，

又，

所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，

故选项错误；

又，故选项错误；

因为（2），故选项错误；

故选：．

8．（5分）已知函数为偶函数，且在上是增函数，若，，，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为函数为偶函数，且在上是增函数，

所以函数在上单调递减，

因为，，，

，，，

所以，

所以，

即．

故选：．

二.选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．（5分）设，则下列叙述中正确的是　　

A．的虚部为 

B． 

C． 

D．在复平面内，复数对应的点位于第四象限

【解答】解：，

的虚部为，故选项错误，，故选项正确，

，故选项正确，复数对应的点为，该点位于第一象限，故选项错误．

故选：．

10．（5分）在的展开式中，下列叙述中正确的是　　

A．二项式系数之和为32 B．各项系数之和为0 

C．常数项为15 D．的系数为15

【解答】解：在的展开式中，二项式系数和为，故错误；

令，可得各项系数之和为0，故正确；

根据通项公式为，

令，求得，可得常数项为，故正确；

令，求得，

可得的系数为，故正确，

故选：．

11．（5分）甲、乙两名学生在环保知识竞赛的6次成绩的茎叶图如图所示，则下列说法正确的是　　

A．甲的竞赛成绩的平均分比乙的竞赛成绩的平均分高 

B．甲的竞赛成绩的中位数大于乙的竞赛成绩的中位数 

C．甲的竞赛成绩的众数为110 

D．甲的竞赛成绩的方差小于乙的竞赛成绩的方差

【解答】解：选项，甲的平均数为，乙的平均数为，故错误；

选项，甲的中位数，乙的中位数，故正确；

选项，甲成绩中，110出现的次数最多，故众数为110，故正确；

选项，甲的成绩更集中在段，所以方差小于乙的方差，故正确；

故选：．

12．（5分）已知函数，，均有，，当，时，，函数在上至少有7个零点，则下列说法正确的是　　

A．是周期为2的偶函数 B．当，时， 

C．的解集为， D．的取值范围是

【解答】解：对于：因为，

所以是定义域为的偶函数，

由，得，

所以是周期为4的偶函数，故错误；

对于，

所以函数的图象关于对称，

当，时，，

则，时，，，，故正确；

函数的图象如图所示：

当时，，

当时，，

则的解集为，，故正确；

对于：函数在上至少有7个零点，

0为函数的零点，且为偶函数，

则在上至少有3个零点，

即函数与的图象在上至少有3个交点，

如图所示，可得，（6）（6），即，

所以，故错误．

故选：．

三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）在某市举行的庆祝建党100周年学党史知识竞赛中，参赛人员成绩，已知，则从全市参赛人员中任选一名，他的成绩大于85分的概率为 　0.65　．

【解答】解：参赛人员成绩，

曲线关于直线对称，

，，

．

故答案为：0.65．

14．（5分）已知，，，则的最小值为 　7　．

【解答】解：根据题意，，

又由，，则，当且仅当时等号成立，

则，

故的最小值为7；

故答案为：7．

15．（5分）盒中有6个大小，形状完全相同的小球，其中有3个红球、2个绿球、1个黄球．现从盒中随机取3个球，每次取1个，不放回，则取出的3个球中恰有1个红球、1个绿球、1个黄球的概率为 　　．

【解答】解：设取出的3个球中恰有1个红球、1个绿球、1个黄球为事件，

基本事件总数为，

事件包含的基本事件数为，

（A）．

故答案为：．

16．（5分）设函数，若，，使得不等式成立，则实数的取值范围是 　，　．

【解答】解：将化为，

则，

设，

所以在，上单调递减，

所以（2），

则，在，上单调递减，

所以（2），

所以实数的取值范围为，．

故答案为：，．

四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，

17．（10分）某中学准备组织学科文化节活动，为调查学生是否愿意成为文化节志愿者，该中学在高二年级学生中随机选取了90人，进行了问卷调查，得到了如下列联表：

（1）补全列联表；

（2）是否有的把握认为是否愿意成为志愿者与性别有关？请说明理由．

参考公式：，其中．

参考数据：

【解答】解：（1）高二年级学生中随机选取了90人，不愿意成为志愿者为45人，

愿意成为志愿者为人，

故可得列联表如下：

（2），

没有的把握认为是否愿意成为志愿者与性别有关．

18．（12分）已知函数．

（1）若曲线的切线方程为，求的值；

（2）若函数在区间，上的最大值为16，求的值．

【解答】解：（1）由，解得，

切点为，

所以，

所以．

（2），

令，得或，

令，得，

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

又，（4），

所以，

解得．

19．（12分）槲寄生是一种寄生在大树上部树枝的寄生植物，可以从寄主植物上吸取水分和无机物，进行光合作用制造养分．它喜欢寄生在树龄较小的大树上．如表给出了在一定条件下完成的实验中采集的数据：

（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（精确到，说明变量间的线性相关性很强；，说明变量间的线性相关性一般）；

（2）求出关于的线性回归方程精确到，并估算一棵树龄为12年的大树上，槲寄生的株数（精确到．

参考公式：相关系数；线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式：，；

参考数据：，，，．

【解答】解：（1）相关系数

，

，与的相关性很强，可以用线性回归模型拟合与的关系；

（2），，

，．

线性回归方程为．

当时，．

则估算一棵树龄为12年的大树上，槲寄生的株数为15．

20．（12分）已知函数为定义在上的奇函数，且当时，．

（1）求在上的解析式；

（2）若，，都有，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）根据题意，函数为定义在上的奇函数，则，

当时，，

则，

又由为奇函数，则，

则；

（2）根据题意，由（1）的结论；

当时，，

则上为增函数，且，

又由为奇函数，在区间上，有为增函数，且，

故在上为增函数，且，

则，

变形可得，

又由、，则，当且仅当时等号成立，

必有，即的取值范围为，．

21．（12分）随着全球经济一体化进程的不断加快，机械零件的加工质量决定了制造工厂的生存，零件加工精度逐渐成为供应商判断制造公司产品的标准．零件加工精度受到机械加工工艺的影响，只有提高机械加工工艺水平，才能够尽可能地减少机械加土零件的失误．某制造工厂检测部门抽查了200个机械零件，将其直径长度（单位：毫米）作为样本，经统计得频率分布直方图如图所示，已知零件的直径长度在区间，内的为合格品，其他为不合格品．

（1）求样本中零件的直径长度在区间，内的零件个数；

（2）若从样本的不合格品中随机抽取2个零件，求恰有一个零件的直径长度在区间，内的概率；

（3）若将样本的频率视为概率，从生产线中随机抽取3个零件，记合格品的个数为，求的分布列、数学期望及方差．

【解答】解：（1）由频率分布直方图可得，，解得，

则样本中零件的直径长度在区间，内的零件个数为．

（2）样本中零件的直径长度在区间，内的零件个数为，不合格品共个，

则恰有一个零件的直径长度在区间，内的概率为．

（3）由频率分布直方图可知，零件的直径长度在区间，内的频率为，

故合格品的概率为，从生产线中随机抽取3个零件，可得，

的所有可能取值为0，1，2，3，

，，

，，

故的分布列为：

，．

22．（12分）已知函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数存在极值点，且，恒成立，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）的定义域是，，

当时，恒成立，则在上单调递增，

当时，令，解得：，令，解得：，

故在递减，在递增，

综上，当时，在上单调递增，

当时，在递减，在递增；

（2）若函数存在极值点，

由（1）知且，，

则，即，

化简得，

设，则，

设，则，

易知在上递减，在上递增，

故（1），故，

则在上单调递增，

又（2），则（a）（2），解得：，

即的取值范围是，．

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