2020届四川省凉山州高三上学期期末模拟（二）数学试卷（解析版）

2020届四川省凉山州高三上学期期末模拟（二）数学试卷（解析版）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知全集，，，则

A.  B.
C.  D.

【答案】C

【解析】解：；
．
故选：C．
可求出集合A，然后进行并集的运算即可．
考查描述法的定义，以及并集、补集的运算．
 

2. 复数z满足为虚数单位，则复数

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】解：由，得，
则．
故选：A．
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
 

3. 展开式中项的系数是

A. 270 B. 180 C. 90 D. 45

【答案】A

【解析】解：，
展开式中项的系数为270，
故选：A．
把按照二项式定理展开，可得展开式中项的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
 

运行如图程序框图，输出m的值是
 

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4





 

【答案】D

【解析】解：，否，，，
，否，，，
，否，，，
，否，，，
，是，输出，
故选：D．
根据程序框图进行模拟运算即可．
本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件利用模拟运算法是解决本题的关键．
 

5. 已知为锐角，且，则

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】解：为锐角，且，则，
故选：A．
利用诱导公式、二倍角公式，同角三角函数的基本关系，求得的值．
本题主要考查诱导公式、二倍角公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．
 

6. 已知双曲线的焦距为8，一条渐近线方程为，则此双曲线方程为

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】解：双曲线的焦距为8，可得；
一条渐近线方程为，可得，，
可得：，，
所以双曲线方程为：．
故选：D．
经验双曲线的焦距，求出c，结合渐近线方程求解a，b，即可得到双曲线方程．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
 

7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
    

A. 2

B.
C.
D.


 

【答案】C

【解析】解：由题意，几何体的直观图如图，是正方体的一部分，四棱锥，
几何体的表面积为：．
故选：C．
画出几何体的直观图，经验三视图的数据求解几何体的表面积即可．
本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．
 

8. 已知抛物线的准线与圆C：相切，则抛物线的方程为

A.  B.
C.  D. 或

【答案】B

【解析】【分析】
本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，注意应用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径．
由抛物线的准线与圆C：相切，知，解得由此能求出抛物线方程．
【解答】
解：圆C：，抛物线的准线为，
抛物线的准线与圆C：相切，
，解得．
抛物线方程为：．
故选：B．
 

9. 已知外接圆的圆心为O，若，，则的值是

A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

【答案】C

【解析】解：如图，取AC中点D，AB中点E，并连接OD，OE，则：
 

，；
，；
．
故选：C．
可画出图形，并将O和AC中点D连接，O和AB中点E连接，从而得到，，根据数量积的计算公式及条件即可得出，而，从而便可得出的值．
考查三角形外心的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量减法的几何意义，三角函数的定义．
 

10. 公元前5世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方．如图，以O为圆心的大圆直径为1，以AB为直径的半圆面积等于AO与BO所夹四分之一大圆的面积，由此可知，月牙形图中阴影部分区域的面积可以与一个正方形的面积相等．现在在两个圆所围成的区域内随机取一点，则该点来自于阴影所示月牙形区域的概率是

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】【分析】
本题考查几何概型，属于中档题．
先求出阴影部分面积，再用几何概型概率公式可得．
【解答】
解：阴影部分面积等于，
所以根据几何概型得．
故选：B．
 

11. 中，BD是AC边上的高，，，则

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】解：中，BD是AC边上的高，，
在等腰直角三角形ABD中，设，
可得，
在直角三角形BDC中，
，
即有，
则，
可得，即，
则．
故选：A．
在等腰直角三角形ABD中，设，可得AD，再由两角差的余弦公式可得，求得，由正切函数的定义，可得CD，进而得到所求值．
本题解直角三角形的知识，考查锐角三角函数的定义，以及运算能力，属于基础题．
 

12. 函数有且只有一个零点，则实数a的取值范围是

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】解：，
时不成立，
时，化为：．
．
可得：时，，函数单调递增；
时，时，函数单调递减；
时，，函数单调递增．
画出图象．
．
可得：当且仅当时，函数与函数由且仅有一个交点．
即函数有且只有一个零点，则实数a的取值范围是
故选：C．
，时不成立，时，化为：利用导数研究函数的单调性极值与最值，画出图象，转化为图象的交点个数即可得出．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、数形结合方法、函数零点、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
 

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 某人在公园进行射击气球游戏，排除其它因素的影响，各次射击相互独立，每次击中气球的概率均为，若连续射击10次，记击中气球的次数为，则______．

【答案】

【解析】解：由题意可知各次射击相互独立，每次击中气球的概率均为，若连续射击10次，记击中气球的次数为，
可得，
所以．
故答案为：．
根据变量对应的事件和独立重复试验的概率公式，求出期方差即可．
本题主要考查了n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，以及离散型随机变量的方程，同时考查了计算能力，属于基本知识的考查．
 

14. 若实数x，y满足约束条件，则的最大值是______．

【答案】9

【解析】解：作出实数x，y满足约束条件对应的平面区域如图：
由得，平移直线，由图象可知当直线，经过点B时，
直线，的截距最小，此时z最大，
由，解得解得．
故答案为：9．
作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．
本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
 

15. 正四面体ABCD的体积为，则正四面体ABCD的外接球的体积为______．

【答案】

【解析】解：如图，

设正四面体ABCD的棱长为x，过A作，
设等边三角形ABC的中心为O，则，
，
，即．
再设正四面体ABCD的外接球球心为G，连接GA，
则，即．
正四面体ABCD的外接球的体积为．
故答案为：．
由题意画出图形，设正四面体ABCD的棱长为x，由已知求得x，进一步求出外接球半径，代入体积公式求解．
本题考查多面体外接球体积的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．
 

16. 已知函数，若在区间上单调递增，则a的最小值是______．

【答案】1

【解析】解：函数，若，
在区间上单调递增，
，可得，，
可得，．
所以a的最小值为：1．
故答案为：1．
化简函数的解析式，利用函数的导数，转化求解函数的最大值，即可得到结果．
本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
 

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17. 已知数列的前n项和为，且满足．
    求证为等比数列；
    数列满足，求的前n项和．

【答案】证明：由时，，化为：，
时，，解得．
．
为等比数列，首项为2，公比为2．
解：由可得：．
，
的前n项和，
，
相减可得：，
整理为：．

【解析】由时，，化为：，时，，解得即可证明结论．
由可得：，利用错位相减法即可得出．
本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

18. 某水果种植户对某种水果进行网上销售，为了合理定价，现将该水果按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

已知销量与单价之间存在线性相关关系求y关于x的线性回归方程；
若在表格中的6种单价中任选3种单价作进一步分析，求销量恰在区间内的单价种数的分布列和期望．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．

【答案】解：，
．
，．
关于x的线性回归方程为；
种单价中销售量在内的单价种数有3种．
销量恰在区间内的单价种数的取值为0，1，2，3，
，
，
，
．
的分布列为：

期望为．

【解析】由已知表格中数据求得与，则线性回归方程可求；
求出的所有可能取值为0，1，2，3，求出概率，可得分布列与期望．
本题考查线性回归方程的求法，考查离散型随机变量的期望与方差，考查计算能力，是中档题．
 

19. 如图四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，．

求证：平面平面PAD；
若AB与平面PBD所成的角的正弦值为，求二面角的余弦值．


 

【答案】证明：，，，．
，
，
，
在四棱锥中，平面平面ABCD，，
，，
平面PAD，
又平面PBD，
平面平面PAD．
解：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
设，则4，，0，，4，，2，，0，．
4，，4，，2，，
设平面PBD的法向量y，，
则取，得，
与平面PBD所成的角的正弦值为，
，
解得，，
0，，4，，
设平面PBC的法向量y，，
则
取，得，
设二面角的平面角为，
则．
所以二面角的余弦值为．

【解析】推导出，从而推出平面PAD，又平面PBD，则平面平面PAD，得证．
以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．
本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

20. 已知椭圆C：上的动点P到其左焦点的距离的最小值为1，且离心率为．
    求椭圆的方程；
    若直线l与椭圆C交于A，B两点，Q是椭圆C的左顶点，若，试证明直线l经过不同于点Q的定点．

【答案】解：由已知可得，，解得，，
椭圆的方程；
证明：由，得，
设直线AB方程为，，，
联立，得．
．
，．
由题意，，则，，
由，得
，
，
即，
，即或．
当时，满足，此时直线方程为：，过定点；
当时，满足，此时直线方程为：，过定点，不合题意．
综上，直线l经过不同于点Q的定点

【解析】由已知可得，求解可得a，b的值，则椭圆方程可求；
由，得，设直线AB方程为，，，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系及向量数量积可得，即或，验证判别式后可得直线l经过不同于点Q的定点
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．
 

21. 已知函数，．
    当时，求在点处的切线方程；
    当时，是否存在两个极值点，若存在，求实数a的最小整数值；若不存在，请说明理由．

【答案】解：函数导数，
当时，，，
，，即在点处的切线斜率，
则对应的切线方程为即．
当时，若存在两个极值点，
则有两个不同的解，
即，有两个根，
即有两个不同的根，
设，，设切点，
则，
即过原点的切线方程为，
即
当，时，，
设，
则，
即在上为减函数，
，，
当时，，
即当时，和有两个交点，
，，
当时，与没有交点，
当时，与有两个交点，
即当时，是存在两个极值点，此时最小的a的整数值为4

【解析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程．
求函数的导数，结合极值与导数之间的关系，转化为有两个不同的根，构造函数结合导数的几何意义转化求切线，利用数形结合进行求解即可．
本题主要考查导数的几何意义以及函数极值的应用，求出函数的导数，结合导数的应用是解决本题的关键．考查学生的运算推理能力．
 

22. 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的参数方程为为参数，曲线的极坐标方程为．
    写出的普通方程和的直角坐标方程；
    若点P、Q分别为曲线及曲线上任意一点，求的最小值及此时P的坐标．

【答案】解：因为，，
得，即的普通方程为，
曲线的极坐标方程为，，
由，，可得的直角坐标方程为：．
设直线l与平行，且与曲线相切，设l方程为，联立l与的方程消去y得：，
因为l与曲线相切，故，解得：，或．
的方程为：
当时，设切点为P，过P作的垂线，垂足为Q，则此时最小，且此时，值等于l与的距离，
．
将代入得，，
即P点坐标为
综上，点P、Q分别为曲线及曲线上任意一点，则的最小值为，此时P点坐标为

【解析】本题考查了椭圆的参数方程、直线的极坐标方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关系、曲线上的点到直线上一点的距离的最小值的求法等知识，具有一定的综合性，属中档题．
根据消参即可得到的普通方程，由，，可得的直角坐标方程．
设出的平行线l：，且l为的切线，联立l与令，得C，将最小值转化为直线l和的距离，得到的最小值，再将C代入联立后的方程，得到P点的坐标．
 

23. 已知函数．
    当时，求不等式的解集；
    若恒成立，求a的取值范围．

【答案】解：Ⅰ时，，
即，
不等式即为或或，
即有或或，
则为或，
所以不等式的解集为或；Ⅱ由Ⅰ知，函数的值域为，
若恒成立，则，
即，解得或．
实数a的取值范围是．

【解析】Ⅰ时利用分段函数表示，再求不等式的解集；Ⅱ由Ⅰ知函数的值域，把不等式恒成立化为，即可求得a的取值范围．
本题考查了不等式恒成立应用问题，也考查了分类讨论思想应用问题，是中档题．