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    2020届四川省泸州市泸县第五中学高三上学期期末考试数学(文)试题(解析版)

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    这是一份2020届四川省泸州市泸县第五中学高三上学期期末考试数学(文)试题(解析版),共21页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2020届四川省泸州市泸县第五中学高三上学期期末考试数学(文)试题

     

     

    一、单选题

    1.已知集合,则   

    A B C D

    【答案】B

    【解析】先计算集合,再计算得到答案.

    【详解】

    .

    故选:

    【点睛】

    本题考查了集合的交集运算,属于基础题型.

    2.若是虚数单位,在复平面内复数表示的点在(   

    A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限

    【答案】D

    【解析】运用复数除法的运算法则,化简复数,最后选出正确答案.

    【详解】

    因为,所以复平面内复数表示的点的坐标为,该点在第四象限.

    故选:D

    【点睛】

    本题考查了复数除法的运算法则.考查了复数在复平面表示点的位置问题.

    3.命题的否定形式是(   

    A

    B

    C

    D

    【答案】B

    【解析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.

    【详解】

    因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题“∃n0Nfn0Nfn0n0的否定形式是:nNfnNfn)>n

    故选:B

    【点睛】

    本题考查命题的否定.特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查.

    4.设边上的中线为,点O满足,则()

    A B C D

    【答案】A

    【解析】根据已知关系式及向量的加减法运算计算即可.

    【详解】

    边上的中线为,点O满足,如图所示:

    ,且的中点,所以的三等分点靠近点

    ,又

    从而,即

    所以+

    =.

    故选:A

    【点睛】

    本题考查向量的加减法运算,三角形中线的性质应用,平面向量基本定理的应用,属于中档题.

    5.已知(    )

    A B C D

    【答案】D

    【解析】利用二倍角公式()即可求解.

    【详解】

    故选:D.

    【点睛】

    本题考查三角恒等变换求值,考查二倍角余弦公式、诱导公式.把待求转化为已知需要增倍、降次,自然可以联想到二倍角公式.

    6.现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛,其中只有一位获奖. 有人走访了四人,甲说:乙、丁都未获奖,乙说:是甲或丙获奖,丙说:是甲获奖,丁说:是乙获奖,四人所说话中只有一位是真话,则获奖的人是(   )

    A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

    【答案】B

    【解析】结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况,然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人.

    【详解】

    结合题意分类讨论:

    若甲获奖,则说真话的人为:甲乙丙,说假话的人为:丁,不合题意;

    若乙获奖,则说真话的人为:丁,说假话的人为:甲乙丙,符合题意;

    若丙获奖,则说真话的人为:甲乙,说假话的人为:丙丁,不合题意;

    若丁获奖,则说假话的人为:甲乙丙丁,不合题意;

    综上可得,获奖人为乙.

    故选:B.

    【点睛】

    本题主要考查数学推理的方法,分类讨论的数学思想,属于中等题.

    7.我们常用的数是十进制数,如,数要用10个数码(又叫数字):0123456789,在电子计算机中用的二进制,只要两个数码:01,如二进制中等于十进制的数6等于十进制的数53.那么十二进制数66用二进制可表示为(   

    A1001110 B1000010 C101010 D111000

    【答案】A

    【解析】先将十二进制数66化为十进制数,再将十进制数化为二进制即可.

    【详解】

    十二进制数 等于十进制的数.

    十进制的数.

    故十进制的数等于二进制的数.

    故选:A.

    【点睛】

    本题考查进制化二进制,其方法是,先将进制化十进制,再将其化为二进制.属于基础题.

    8.将函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将所得图像向左平移个单位后得到的函数图像关于原点中心对称,则(   )

    A B C D

    【答案】C

    【解析】先根据条件写出图像变换后的函数解析式,然后根据图像关于原点中心对称可知函数为奇函数,由此得到的表示并计算出的结果.

    【详解】

    因为变换平移后得到函数,由条件可知为奇函数,

    所以.

    故选:C

    【点睛】

    本题考查三角函数的图像变换以及根据函数奇偶性判断参数值,难度一般.正弦型函数为奇函数时,为偶函数时.

    9.已知点是圆上任意一点,则点到直线距离的最大值为(   

    A B C D

    【答案】D

    【解析】计算出圆心到直线距离的最大值,再加上圆的半径可得出点到直线的距离的最大值.

    【详解】

    的圆心坐标为,半径为,点到直线的距离为

    因此,点到直线距离的最大值为.

    故选:D.

    【点睛】

    本题考查圆上一点到直线距离的最值问题,当直线与圆相离时,圆心到直线的距离为,圆的半径为,则圆上一点到直线的距离的最大值为,最小值为,解题时要熟悉这个结论的应用,属于中等题.

    10.若函数R上的奇函数,且当时,,则   

    A-2 B-3 C-4 D2

    【答案】A

    【解析】根据奇函数的性质可知解得,利用奇函数可知即可求解.

    【详解】

    R上的奇函数,

    ,解得

    时,

    .

    故选:A

    【点睛】

    本题主要考查了奇函数的性质,对数的运算,属于中档题.

    11.已知等比数列满足,则等于(   

    A B C D

    【答案】A

    【解析】根据数列为等比数列可得,可证明是以为首项,为公比的新等比数列,根据等比数列前n项和计算即可.

    【详解】

    整理得解得-3(舍),

    对于

    其本质是以为首项,为公比的新等比数列的前项和,

    故选:A

    【点睛】

    本题主要考查了等比数列通项公式与前项和公式,考查了等比数列基本量的运算,属于中档题.

    12.已知三棱锥四个顶点均在半径为的球面上,且,若该三棱锥体积的最大值为,则这个球的表面积为(  

    A B C D

    【答案】B

    【解析】根据勾股定理可知,从而求得;根据棱锥体积公式可知,若三棱锥体积最大,则可得点到平面的最大距离,在中利用勾股定理构造关于球的半径的方程,解方程求得半径,代入球的表面积公式可求得结果.

    【详解】

      

        

    如下图所示:

    若三棱锥体积最大值为,则点到平面的最大距离:

    即:

    设球的半径为,则在中:,解得:

    球的表面积:

    故选

    【点睛】

    本题考查三棱锥外接球表面积的求解问题,关键是能够通过体积的最值确定顶点到底面的距离,根据外接球的性质可确定球心的大致位置,通过勾股定理构造关于半径的方程求得外接球半径.

     

     

    二、填空题

    13.已知满足,则的最大值为______.

    【答案】5

    【解析】画出不等式表示的可行域,利用目标函数的几何意义当截距最小时取z取得最大值求解即可

    【详解】

    画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示),化直线

    当直线平移过点A时,z取得最大值,联立直线A1,2),故

    故答案为:5

    【点睛】

    本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值,是基础题

    14.已知为数列的前项和,且,则______.

    【答案】853

    【解析】的关系可得,,,进而得到是以为首项,为公比的等比数列,可得,,即可得到的值

    【详解】

    由题,,,

    ,

    ,,

    是以为首项,为公比的等比数列,

    ,

    ,

    故答案为:853

    【点睛】

    本题考查等比数列通项公式,考查由的关系求,根据,可构造数列为等比数列,公比为

    15.已知圆C经过两点,圆心在轴上,则C的方程为__________

    【答案】.

    【解析】由圆的几何性质得,圆心在的垂直平分线上,结合题意知,求出的垂直平分线方程,令,可得圆心坐标,从而可得圆的半径,进而可得圆的方程.

    【详解】

    由圆的几何性质得,圆心在的垂直平分线上,结合题意知,的垂直平分线为,令,得,故圆心坐标为,所以圆的半径,故圆的方程为.

    【点睛】

    本题主要考查圆的性质和圆的方程的求解,意在考查对基础知识的掌握与应用,属于基础题.

    16.已知抛物线的焦点为F,定点.若射线FA与抛物线C相交于点M(点MFA中间),与抛物线C的准线交于点N,则________.

    【答案】

    【解析】由直线斜率公式可得,则在中,,即,再由,运算即可得解.

    【详解】

    解:如图所示,因为抛物线方程为,所以焦点,准线方程为

    因为定点,所以直线FA的斜率,过于点

    中,,所以,所以,

    因为,

    所以,

    故答案为:.

    【点睛】

    本题考查了直线与抛物线的位置关系及直线斜率的运算,重点考查了运算能力,属中档题.

     

    三、解答题

    17.已知向量,函数.

    1)求函数的最小正周期;

    2)若,求的值;

    【答案】1

    2

    【解析】1)首先利用向量数量积得到,利用三角函数恒等变形得到 ,然后利用周期公式求周期;(2)由(1)可知,求的值,然后利用求解.

    【详解】

    1

    函数的最小正周期.

    2

    .

    【点睛】

    本题考查三角函数的恒等变形和三角函数的性质,意在考查变形与转化,以及计算求解能力,属于基础题型.

    18.习近平总书记在党的十九大报告中指出,要在幼有所育、学有所教、劳有所得、病有所医、老有所养、住有所居、弱有所扶上不断取得新进展,保证全体人民在共建共享发展中有更多获得感.现S市政府针对全市10所由市财政投资建设的敬老院进行了满意度测评,得到数据如下表:

    敬老院

    A

    B

    C

    D

    E

    F

    G

    H

    I

    K

    满意度x%

    20

    34

    25

    19

    26

    20

    19

    24

    19

    13

    投资原y(万元)

    80

    89

    89

    78

    75

    71

    65

    62

    60

    52

     

    1)求投资额关于满意度的相关系数;

    2)我们约定:投资额关于满意度的相关系数的绝对值在0.75以上(含0.75)是线性相关性较强,否则,线性相关性较弱.如果没有达到较强线性相关,则采取末位淘汰制(即满意度最低的敬老院市财政不再继续投资,改为区财政投资).求在剔除末位淘汰的敬老院后投资额关于满意度的线性回归方程(系数精确到0.1

    参考数据:.

    附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:.线性相关系数.

    【答案】(1)0.72(2)

    【解析】1)由题意,根据相关系数的公式,可得的值,即可求解;

    2)由(1)可知,得投资额关于满意度没有达到较强线性相关,利用公式求得的值,即可得出回归直线的方程.

    【详解】

    1)由题意,根据相关系数的公式,可得.

    2)由(1)可知,因为,所以投资额关于满意度没有达到较强线性相关,

    所以要末位淘汰K敬老院.

    重新计算得

    所以

    .

    所以所求线性回归方程为.

    【点睛】

    本题主要考查了回归分析的应用,同时考查了回归系数的计算,以及回归直线方程的求解,其中解答中利用公式准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.

    19.如图,在三棱锥中,平面平面为等边三角形,的中点.

    1)证明:

    2)若,求到平面的距离.

    【答案】1)证明见解析(2

    【解析】(1) 中点,连接,平面可得.

    (2)作平面的垂线,或利用三棱锥的等积转换求解.

    【详解】

    1)证明:取中点,连接.

    为等边三角形,.

    的中点,中点,.

    平面.

    2)方法一:取中点,连接CM.

    为等边三角形,.

    平面平面

    平面..

    平面.

    为等边三角形,.

    的中点,

    到平面的距离的倍等于到平面的距离.

    到平面的距离为.

    方法二:由平面平面

    可得平面,则.

    为等边三角形,则.

    的中点,.

    到平面的距离为,设到平面的距离为

    ,解得.

    【点睛】

    本题考查空间垂直关系的转化,空间距离的求解.面面垂直、线面垂直、线线垂直之间可以互相转化,要合理创造转化的条件.求点面距离的常用方法是作求和等积转换.

    20.已知抛物线,直线.

    1)若直线与抛物线相切,求直线的方程;

    2)设,直线与抛物线交于不同的两点,若存在点,满足,且线段互相平分(为原点),求的取值范围.

    【答案】12)见解析

    【解析】1)联立直线方程与抛物线方程,利用即可求解。

    2)由直线与抛物线相交可得:,由(1)可得,由线段OCAB互相平分可得四边形OACB为平行四边形,得到C,利用得到,即:=-1,再将代入即可求得,对的范围分类,利用基本不等式即可得解。

    【详解】

    解:(1)法1:由

    所以,所求的切线方程为 

    2:因为直线恒过(0-4),所以由

    设切点为,由题可得,直线与抛物线在轴下方的图像相切,

    所以切线方程为,将坐标(0-4)代入得

    即切点为(8-8),再将该点代入得,

    所以,所求的切线方程为

    2)由

    所以

    因为线段OCAB互相平分,所以四边形OACB为平行四边形

    ,即C

    得,

    1:所以=-1

    ,又

    所以,所以

    2:因为

    ,即

    【点睛】

    本题主要考查了直线与抛物线相切的关系,还考查了韦达定理及向量的坐标运算,考查了两直线垂直的斜率关系,还考查了分类思想及利用基本不等式求最值,考查化归能力及计算能力,属于难题。

    21.已知函数

    讨论函数的单调性;

    ,对任意的恒成立,求整数的最大值.

    【答案】1)答案不唯一,具体见解析(2)整数的最大值-2

    【解析】(1)根据的取值范围,分类讨论的单调性;

    (2)先考虑特殊情况:,然后分析,借助的单调性以及恒成立对应的最值得到关于的不等式,构建新函数分析新函数的零点与之间的关系,从而求解出的最大整数值.

    【详解】

    1)因为,所以

    时,上单调递增,

    时,上单调递增,

    时,令,解得:,令,解得:

    所以上递增,在上递减,

    综上可知:当时,上单调递增;当时,上递增,在上递减;

    2)当时,则,不满足恒成立.

    ,由(1)可知,函数上递增,在递减.

    所以

    又因为恒成立,所以恒成立,

    ,所以,所以上递增,

    又因为

    所以存在唯一的使

    时,,当时,

    所以,所以

    又因为,所以

    所以整数的最大值为.

    【点睛】

    本题考查导数与函数的综合应用,难度较难.(1)导函数中含有参数时,在分析函数单调性时要注意是否需要对参数分类讨论;(2)恒成立问题可以通过函数的最值进行分析,根据最值满足的不等式构造新函数,分析出其中参数范围.

    22.已知曲线的参数方程为为参数),以直角坐标原点为极点,轴非负半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系.

    求曲线的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹.

    若直线的极坐标方程为,求曲线上的点到直线的最大距离.

    【答案】1,表示以为圆心,为半径的圆 ;(2.

    【解析】(1)把曲线的参数方程利用平方关系转化为普通方程,再结合转化为极坐标方程;

    (2)把直线的极坐标方程化为普通方程,利用点到直线的距离得到结果.

    【详解】

    解:

    两式两边平方并相加,得.

    所以曲线表示以为圆心,为半径的圆.

    代入得

    化简得.

    所以曲线的极坐标方程为.

    ,得,即,得.

    所以直线的直角坐标方程为.

    因为圆心到直线的距离.

    所以曲线上的点到直线的最大距离为.

    【点睛】

    参数方程主要通过代入法或者已知恒等式(如等三角恒等式)消去参数化为普通方程,通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程,利用关系式等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化,本题这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程,用直角坐标方程解决相应问题.

    23.已知函数.

    1)当时,解不等式

    2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.

    【答案】1; (2.

    【解析】1)分类讨论去绝对值,得到每段的解集,然后取并集得到答案.2)先得到的取值范围,判断为正,去掉绝对值,转化为时恒成立,得到,在恒成立,从而得到的取值范围.

    【详解】

    1)当时,

    ,得,即

    ,即

    ,即

    综上:

    所以不等式的解集为.

    2

    因为

    所以

    .

    不等式恒成立,即时恒成立,

    不等式恒成立必须

    解得.

    所以

    解得

    结合

    所以

    的取值范围为.

    【点睛】

    本题考查分类讨论解绝对值不等式,含有绝对值的不等式的恒成立问题.属于中档题.

     

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