2020-2021学年河北省张家口市高一（下）期末数学试卷

2020-2021学年河北省张家口市高一（下）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）（2021春•张家口期末）已知复数是纯虚数，则实数　　

A． B． C．0 D．1

2．（5分）（2021春•张家口期末）树人中学高一年级8名学生某次考试的数学成绩（满分150分）分别为85，90，93，99，101，103，116，130，则这8名学生数学成绩的第75百分位数为　　

A．102 B．103 C．109.5 D．116

3．（5分）（2021春•张家口期末）在中，角，，的对边分别为，，，，则的形状为　　

A．直角三角形 B．等边三角形 

C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

4．（5分）（2021春•张家口期末）如图所示，在中，，，若，，则　　

A． B． C． D．

5．（5分）（2021春•张家口期末）袋子中有六个大小质地相同的小球，分别标号1，2，3，4，5，6，从中随机摸出一个球，设事件为摸出的小球编号为奇数，事件为摸出小球的编号为2，则　　

A． B． C． D．

6．（5分）（2021春•张家口期末）若，则的值为　　

A． B． C． D．

7．（5分）（2021春•张家口期末）已知函数部分图象大致如图所示．则的最小正周期为　　

A． B． C． D．

8．（5分）（2021春•张家口期末）如图所示，在直三棱柱中．，，，是上的一动点，则的最小值为　　

A． B． C． D．3

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，

9．（5分）（2021春•张家口期末）一组数据，，，的平均数是3，方差为4，关于数据，，，，下列说法正确的是　　

A．平均数是3 B．平均数是8 C．方差是11 D．方差是36

10．（5分）（2021春•张家口期末）已知函数，，要得到函数的图象可由函数的图象　　

A．先将横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 

B．先将模坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 

C．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩小为原来的，纵坐标不变 

D．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩小为原来的，纵坐标不变

11．（5分）（2021春•张家口期末）下列命题中正确的是　　

A．已知平面向量，，则与共线 

B．已知平面向量，满足，在上的投影向量为，则的值为2 

C．已知复数满足，则 

D．已知复数，满足，则

12．（5分）（2021春•张家口期末）已知正四棱柱中，，点为线段上的动点，则下列叙述正确的有　　

A．当点运动时，总有 

B．当点运动时，三棱锥的体积为定值 

C．当在线段上运动到某一点时，直线与平面所成角为 

D．点为线段上一动点，则的最小值为2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）（2021春•张家口期末）已知复数，则　　．

14．（5分）（2021春•张家口期末）已知圆锥的底面圆的半径为2，高为，则该圆锥的侧面积为 　　．

15．（5分）（2021春•张家口期末）已知，，，，则　　．

16．（5分）（2021春•张家口期末）在中，，，，点是线段上一动点，则的最小值是 　　．

四、解答题：本题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）（2021春•张家口期末）已知，，且．

（1）求的值；

（2）求．

18．（12分）（2021春•张家口期末）某公司为了解员工对食堂的满意程度，对全体100名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂打分，将最终得分按，，，，，，，，，，，分成6段，并得到如图所示频率分布直方图．

（1）估计这100名员工打分的众数和中位数（保留一位小数）；

（2）现从，，，，，这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取11个人，求，这组抽取的人数．

19．（12分）（2021春•张家口期末）已知袋子内装有大小质地完全相同的小球，其中2个红球，个黄球，1个白球，若从中随机抽取一个小球，抽到每个小球的概率为．

（1）求的值；

（2）若从中不放回地随机取出两个小球，求只有一个黄球的概率．

20．（12分）（2021春•张家口期末）如图，在正方体中，棱长为2．

（1）证明：；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

21．（12分）（2021春•张家口期末）在中，三个内角，，所对的边分别为，，，且 ．

（1）求角的大小；

（2）若，求周长的范围．

22．（12分）（2021春•张家口期末）在梯形中，，是线段上一点，，，，，把沿折起至，连接，，使得平面平面．

（1）证明：平面；

（2）求异面直线与所成的角小；

（3）求点到平面的距离．

2020-2021学年河北省张家口市高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）（2021春•张家口期末）已知复数是纯虚数，则实数　　

A． B． C．0 D．1

【解答】解：因为为纯虚数，

则且，解得，

故选：．

2．（5分）（2021春•张家口期末）树人中学高一年级8名学生某次考试的数学成绩（满分150分）分别为85，90，93，99，101，103，116，130，则这8名学生数学成绩的第75百分位数为　　

A．102 B．103 C．109.5 D．116

【解答】解：因为，

则这8名学生数学成绩的第75百分位数为，

故选：．

3．（5分）（2021春•张家口期末）在中，角，，的对边分别为，，，，则的形状为　　

A．直角三角形 B．等边三角形 

C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

【解答】解：在中，角，，的对边分别为，，，，

利用正弦定理：，

整理得：，

由于、，

所以．

故该三角形为等腰三角形；

故选：．

4．（5分）（2021春•张家口期末）如图所示，在中，，，若，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

，

，

故选：．

5．（5分）（2021春•张家口期末）袋子中有六个大小质地相同的小球，分别标号1，2，3，4，5，6，从中随机摸出一个球，设事件为摸出的小球编号为奇数，事件为摸出小球的编号为2，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：袋子中有六个大小质地相同的小球，分别标号1，2，3，4，5，6，

从中随机摸出一个球，基本事件总数，

设事件为摸出的小球编号为奇数，事件为摸出小球的编号为2，

则包含的基本事件有1，2，3，5，共4个，

．

故选：．

6．（5分）（2021春•张家口期末）若，则的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，则，

故选：．

7．（5分）（2021春•张家口期末）已知函数部分图象大致如图所示．则的最小正周期为　　

A． B． C． D．

【解答】解：当时，，

故，

解得，

当时，，

所以最小正周期为．

故选：．

8．（5分）（2021春•张家口期末）如图所示，在直三棱柱中．，，，是上的一动点，则的最小值为　　

A． B． C． D．3

【解答】解：连接，得△，以所在直线为轴，将△所在平面旋转到平面，

设点的新位置为，连接，则即为的最小值，

由题意可知，，，得，

，

所以在△中，，

故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，

9．（5分）（2021春•张家口期末）一组数据，，，的平均数是3，方差为4，关于数据，，，，下列说法正确的是　　

A．平均数是3 B．平均数是8 C．方差是11 D．方差是36

【解答】解：数据，，，的平均数是3，方差为4，

数据，，，的平均数是，方差为．

故选：．

10．（5分）（2021春•张家口期末）已知函数，，要得到函数的图象可由函数的图象　　

A．先将横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 

B．先将模坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 

C．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩小为原来的，纵坐标不变 

D．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩小为原来的，纵坐标不变

【解答】解：（1）函数，先将模坐标缩小为原来的，纵坐标不变得到的图象，先向右平移个单位长度，

得到的图象，故正确；

（2）函数，先向右平移个单位长度，得到的图象，再将横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，

得到的图象，故正确；

故选：．

11．（5分）（2021春•张家口期末）下列命题中正确的是　　

A．已知平面向量，，则与共线 

B．已知平面向量，满足，在上的投影向量为，则的值为2 

C．已知复数满足，则 

D．已知复数，满足，则

【解答】解：对于：平面向量，，则，，

故，故与不共线，故错误；

对于：知平面向量，满足，在上的投影向量为，则，

则，故正确；

对于：设，则，，所以，故正确；

对于：设，，复数，满足，则，故错误．

故选：．

12．（5分）（2021春•张家口期末）已知正四棱柱中，，点为线段上的动点，则下列叙述正确的有　　

A．当点运动时，总有 

B．当点运动时，三棱锥的体积为定值 

C．当在线段上运动到某一点时，直线与平面所成角为 

D．点为线段上一动点，则的最小值为2

【解答】解：对于选项：若选项结论成立，则需要平面，所以选项不正确；

对于选项：在点运动时，△的面积保持不变，点到平面的距离保持不变，所以正确；

对于选项：当在点处，直线与平面所成角的正切值为2；当在点处，直线与平面所成角的正切值为0，所以正确；

对于选项：当在点处，当在点处，取得最小值为2．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）（2021春•张家口期末）已知复数，则　　．

【解答】解：由已知可得，

故答案为：．

14．（5分）（2021春•张家口期末）已知圆锥的底面圆的半径为2，高为，则该圆锥的侧面积为 　　．

【解答】解：圆锥的底面圆半径为，高为，

所以圆锥的母线长为，

所以圆锥的侧面积为．

故答案为：．

15．（5分）（2021春•张家口期末）已知，，，，则　　．

【解答】解：，，

，，，

．

，，

．

，

．

．

．

故答案是：．

16．（5分）（2021春•张家口期末）在中，，，，点是线段上一动点，则的最小值是 　　．

【解答】解：由余弦定理可得，

则，故有，即为直角三角形，，

如图，以为原点，，所在直线为，轴建立直角坐标系，

则，，，，

可得直线的方程为，

设，即有，故，其中，，

则有，，且，

所以，

因为，，

所以，，

故的最小值为．

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）（2021春•张家口期末）已知，，且．

（1）求的值；

（2）求．

【解答】解：（1），，且，

，．

（2）．

18．（12分）（2021春•张家口期末）某公司为了解员工对食堂的满意程度，对全体100名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂打分，将最终得分按，，，，，，，，，，，分成6段，并得到如图所示频率分布直方图．

（1）估计这100名员工打分的众数和中位数（保留一位小数）；

（2）现从，，，，，这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取11个人，求，这组抽取的人数．

【解答】解：（1）由题意可得，众数为75，

，的频率为，

，的频率为，

设中位数为，

，

（分．

（2），的人数，，的人数，，的人数，抽样比，

故从，抽取的人数．

19．（12分）（2021春•张家口期末）已知袋子内装有大小质地完全相同的小球，其中2个红球，个黄球，1个白球，若从中随机抽取一个小球，抽到每个小球的概率为．

（1）求的值；

（2）若从中不放回地随机取出两个小球，求只有一个黄球的概率．

【解答】解：（1）根据题意，有，解得；

（2）记两个红球分别为，；两个黄球为，，一个白球为，

则从中不放回地随机抽取两个小球的所有可能情况为：

，，，，，

，，，，共10个基本事件，

其中只有一个黄球的有6个基本事件，

所以只有一个黄球的概率为．

20．（12分）（2021春•张家口期末）如图，在正方体中，棱长为2．

（1）证明：；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

【解答】解：（1）证明：是正方体，

平面，

平面，，

，，

平面，

平面，，

（2）：连结，交于点，连结，

则，，

是二面角的平面角，

设正方体棱长为2，

在△中，，，

，

二面角的平面角的余弦值为

21．（12分）（2021春•张家口期末）在中，三个内角，，所对的边分别为，，，且 ．

（1）求角的大小；

（2）若，求周长的范围．

【解答】解：（1）在中，三个内角，，所对的边分别为，，，且 ．

利用正弦定理：，

整理得：，

所以：，

由于，所以，

由于，

所以．

（2）由正弦定理：，

故，，

故，

由于，

所以，

故，

所以三角形的周长为，．

22．（12分）（2021春•张家口期末）在梯形中，，是线段上一点，，，，，把沿折起至，连接，，使得平面平面．

（1）证明：平面；

（2）求异面直线与所成的角小；

（3）求点到平面的距离．

【解答】（1）证明：由题可得，又因为平面，平面，

所以平面；

（2）解：由（1）可知，异面直线与所成角就是直线与所成角，

，，

四边形时平行四边形，则，

，，

原图中，，，

连接，在中，由余弦定理可得，，

平面平面，平面平面，平面，

平面，

平面，，

在中，，

在中，，，

异面直线与所成的角为；

（3）由（2）知，，，，、平面，

平面，

，

设点到平面的距离为，

，

，

．

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