备战2021年高考数学（理）一轮复习 易错点03 函数概念与基本函数 学案

易错点03  函数概念与基本函数

易错点1：讨论复合函数单调区间时忽视定义域

研究与函数有关的问题时，一定要先明确函数的定义域是什么，才能进行下一步工作。

易错点2：在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函数的真数的限制条件；

判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.

易错点3：指对型函数比较大小

要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围（大于1还是小于1），特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制）.

易错点4：用函数图象解题时作图不准

“数形结合”是重要思想方法之一，以其准确、快速、灵活及操作性强等诸多优点颇受数学学习者的青睐。但我们在解题时应充分利用函数性质，画准图形，不能主观臆造，导致图形“失真”，从而得出错误的答案。

            01  讨论复合函数单调区间时忽视定义域

例1．（2019全国Ⅱ理20）已知函数.

（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；

【警示】在研究函数的单调性时，很多考生容易默认定义域为R而导致错误。

【解析】 （1）f（x）的定义域为.

因为，所以在（0，1），（1，+∞）单调递增．

因为f（e）=，，

所以f（x）在（1，+∞）有唯一零点x1，即f（x1）=0．

又，，

故f（x）在（0，1）有唯一零点．综上，f（x）有且仅有两个零点．

【叮嘱】 研究与函数有关的问题时，一定要先明确函数的定义域是什么，才能进行下一步工作。

1．（2014天津）函数的单调递增区间是（   ）

A．       B．     C．       D．

【解析】，解得或.由复合函数的单调性知的单调递增区间为．故选D.

2．（2012辽宁）函数的单调递减区间为（   ）

A．(－1,1]    B．(0,1]   C． [1,+)       D．(0,+)

【解析】∵,∴,由，解得，又，

∴故选B．

            02  在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函数的真数的限制条件；

例2．（2020•全国2卷）设函数，则f(x)（    ）

A. 是偶函数，且在单调递增 B. 是奇函数，且在单调递减

C. 是偶函数，且在单调递增 D. 是奇函数，且在单调递减

【警示】对数运算公式不熟悉，或者说奇偶性的判别方法不灵活.定义中f(-x)=-f(x)

f(-x)=f(x)，也可改为研究f(-x)+f(x) =0 ，f(-x)-f(x)＝0是否成立.

 根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.

【解析】 由得定义域为，关于坐标原点对称，又，

为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递增，排除B；

当时，，

在上单调递减，在定义域内单调递增，

根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.

【叮嘱】 判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.

1．(2015湖南)设函数，则是

A．奇函数，且在上是增函数

B．奇函数，且在上是减函数

C．偶函数，且在上是增函数

D．偶函数，且在上是减函数

 【解析】由题意可知，函数的定义域为，且，易知在上为增函数，故在上为增函数，又，故为奇函数．故选A.

2．（2017北京）已知函数，则

A．是奇函数，且在R上是增函数         B．是偶函数，且在R上是增函数

C．是奇函数，且在R上是减函数         D．是偶函数，且在R上是减函数

【解析】，得为奇函数，

，所以在R上是增函数．选A．

            03  指对型函数比较大小

例3．12.（2020•全国3卷）已知55＜84，134＜85．设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则（    ）

A. a＜b＜c B. b＜a＜c C. b＜c＜a D. c＜a＜b

【警示】 此题全国三卷的第12题，会做的考生并不多。难点是对基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用不能灵活运用。由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系.

【解析】 由题意可知、、，

，

；由，得，由，得，，可得；

由，得，由，得，，可得.综上所述，. 

故选：A.

【叮嘱】 要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围（大于1还是小于1），特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制）.

1.(2016全国III)已知，，，则（  ）

A.  B.  C.  D.

【解析】因为，，，且幂函数在上单调递增，指数函数在上单调递增，所以，故选A．

2.（2019全国Ⅲ理11）设是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则

A．（log3）＞（）＞（） 

B．（log3）＞（）＞（）

C．（）＞（）＞（log3）

D．（）＞（）＞（log3）

【解析】 是定义域为的偶函数，所以，
因为，，所以，
又在上单调递减，所以. 故选C．

            04   用函数图象解题时作图不准

4.(2011全国新课标)函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于________.

A.2  B. 4   C. 6   D.8

【警示】零点问题往往需要用到函数图像来解题。本题考生因忽视三角函数的周期性，及反比例函数增减速度快慢对作图的影响而出错。

【解析】图像法求解．的对称中心是也是的中心，他们的图像在的左侧有4个交点，则右侧必有4个交点．不妨把他们的横坐标由小到大设为，

则，所以选D

【叮嘱】“数形结合”是重要思想方法之一，以其准确、快速、灵活及操作性强等诸多优点颇受数学学习者的青睐。但我们在解题时应充分利用函数性质，画准图形，不能主观臆造，导致图形“失真”，从而得出错误的答案。

1.设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是（  ）

A.  B.   C.   D.

【解析】由函数零点的定义，知不存在零点，，即方程 在这个区间上无解。设，则这两个函数图像在这个区间上无交点。做出的图像，观察图像知选A.

【解析】

1．（2012新课标）当时，，则的取值范围是（  ）

A．       B．      C．      D．

【解析】由指数函数与对数函数的图像知，

解得，故选B.

2.（2017新课标Ⅰ）函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（  ）.

A．        B．      C．      D．

【解析】由函数为奇函数，得，

不等式即为，

又在单调递减，所以得，即，选D．

3.（2019全国Ⅱ理12）设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是（  ）

A．     B．   C．    D．

【解析】因为，所以，
    当时，，

当时，，

    ，

当时，，

   ，

当时，由解得或，

若对任意，都有，则．故选B．

4．若，则　　

A． B． C．  D．

【解析】取

,故选C

6.(2018全国卷Ⅰ)已知函数，．若 存在2个零点，则a的取值范围是（   ）

A．[–1，0）    B．[0，+∞） 

C．[–1，+∞）  D．[1，+∞）

【解析】函数存在 2个零点，即关于的方程有2 个不同的实根，即函数的图象与直线有2个交点，作出直线与函数的图象，如图所示，由图可知，，解得，故选C．

7. 已知函数=，若存在唯一的零点，且＞0，则的取值范围为

A.（2，+∞）  B.（-∞，-2）    C.（1，+∞）  D.（-∞，-1）

【解析】

8．(2018全国卷Ⅲ)设，则(    )

A．    B．

C．   D．

【解析】由得，由得，

所以，所以，得．

又，，所以，所以．故选B．

9.(2015新课标Ⅰ)若函数为偶函数，则______.

【解析】由题意，

所以，解得．

10.（2019全国Ⅲ理12节选）设函数，已知在有且仅有5个零点．的取值范围是____________.

【解析】当时，，

因为在有且仅有5个零点，所以，
所以，