2021届上海市宝山区一模数学试卷 (含答案)
展开2020学年度第一学期期末
高三年级数学学科教学质量监测试卷
考生注意：
1．本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟；
2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；
3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；
4．可使用符合规定的计算器答题．
一、填空题(本大题共有12题，满分54分，其中第1题至第6题每题填对得4分，否则一律得零分；第7题至第12题每题填对得5分，否则一律得零分．)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．
- 若集合，则 ．
- 抛物线的准线方程为 ．
- 已知复数满足（i为虚数单位），则 ．
- 设向量，，则与的夹角的大小为 （结果用反三角函数值
表示）．
- 已知二项式，则其展开式中的常数项为 ．
- 若实数满足则的最大值为 ．
- 已知圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的大小为 ．
- 方程在区间上的所有解的和为 ．
- 已知函数的周期为2，且当时，，那么 ．
- 设数列的前项和为，对任意，均有，则 ．
- 设函数（），给出下列结论：
①当时，为偶函数；
②当时，在区间上是单调函数；
③当时，在区间上恰有3个零点；
④当时，设在区间（）上的最大值为，最小值为，则．
则所有正确结论的序号是 ．
- 若定义在上的函数满足：存在，使得成立，则称与在上具有性质．设函数与，其中，已知与在上不具有性质，将的最小值记为．设有穷数列满足，（，），这里[]表示不超过的最大整数．若去掉中的一项后，剩下的所有项之和恰可表为（），则的值为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
- 直线的一个法向量可以是 （ ）
（） （） （） （）
- “函数（，且）的最小正周期为2”是“”的 （ ）
（）充分非必要条件 （）必要非充分条件
（）充要条件 （）既非充分又非必要条件
- 从这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数
的中位数为4的概率为 （ ）
（） （） （） （）
- 下列结论中错误的是 （ ）
（）存在实数满足并使得成立；
（）存在实数满足并使得成立；
（）满足且使得成立的实数不存在；
（）满足且使得成立的实数不存在．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
- （本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．
如图，在长方体中，为上一点，已知，
．
（1）求直线与平面所成角的大小（用反三角函数值表示）；
（2）求点到平面的距离．
- （本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．
已知函数（）．
（1）当时，解不等式；
（2）设，且函数存在零点，求实数的取值范围．
- （本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．
设函数（，）最小正周期为，且的图象过坐标原点．
（1）求的值；
（2）在中，若，且三边所对的角依次为．试求的值．
- （本题满分16分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分6分．
已知分别为椭圆：的左、右焦点，为上的一点．
（1）若点的坐标为（），求的面积；
（2）若点的坐标为，且直线（）与交于两不同点，求证：为定值，并求出该定值；
（3）如右图，设点的坐标为，过坐标原点作圆：（其中为定值，，且）的两条切线，分别交于点，直线的斜率分别记为．如果为定值．试问：是否存在锐角，使得？若存在，试求出的一个值；若不存在，请说明理由．
- （本题满分18分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分8分．
若有穷数列：满足，（这里，，，常数），则称有穷数列具有性质．
（1）已知有穷数列具有性质（常数），且，试求的值；
（2）设（，，，常数），判断有穷数列是否具有性质，并说明理由；
（3）若有穷数列：具有性质，其各项的和为，将
中的最大值记为A．当时，求的最小值．
参考答案
一、填空题(本大题共有12题，满分54分)
1． 2． 3． 4． 5． 6．
7．π 8．π 9． 10． 11． 12．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
13． 14． 15． 16．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．
解：方法一：
（1）联结，在长方体中，
因为平面，即 平面，
所以直线与平面所成的角即为，
在中，由，可得，
显然 ，故，
所以 直线与平面所成角的大小为．
（2） 由已知可得，，
所以．又易得．
设点到平面的距离为．在长方体中，
因为平面，即平面，
再由得，
所以，＝＝．即 点到平面的距离为．
方法二：
（1）如图，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系．
由已知可得、、、、，
故， 又平面的一个法向量，
设直线与平面所成角的大小为，
则＝ ＝＝，注意到，故，
所以 直线与平面所成角的大小为．
（2）注意到，，及，，
故 ，，，
设平面的一个法向量为，
由已知，得，即 ，所以， 可取，
所以点到平面的距离为 ＝＝．
即 点到平面的距离为．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分
解：（1）当时，，由得，即 ， 解得或，
所以，原不等式的解集为．
（2）函数存在零点 方程有解， 亦即 有解，
注意到在上递减，故 ，从而，实数的取
值范围为．
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．
解：（1）依题意，可得 ，所以 ，故，因为的图象过坐标原点，所以，即 ，
注意到， 因此，．
（2） 由（1）得，故由已知，可得，
利用正、余弦定理，并整理得 ，
因为 ，所以 ，
又，所以，且，，
故．
20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分6分．
解：（1）由已知条件得 ，因为，所以，又的坐标分别为，
因此，的面积为．
（2）设，由得，显然，且，
又，所以，
，
即 为定值．
（3）满足的锐角不存在．
理由如下：
因为直线：与相切，所以，即 ，
同理，由直线：与相切，可得 ，
于是，是关于ξ的方程的两实根，
注意到，且，故 ，
因为定值，故不妨设（定值），
于是有 ，即 ．
依题意可知，变化，而均为定值，所以，解得，，
再设，由得；同理可得．
所以 ，
即 ，亦即 ， （※）
若锐角θ ，使，则，与（※）相矛盾．
因此，这样的锐角不存在．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分8分．
解：（1）因为有穷数列具有性质，所以，|－|≥t，（），
再由已知条件可得，，
即 ，而，所以，．注意到，所以，．
（2）当时，有穷数列不具有性质；当时，有穷数列具有性质．
理由如下：
若，则有穷数列显然不具有性质．
若，则由，可得 ，
所以，（），且，
同理可得，（），所以， ，且，
…，
一般地，若（），则，且，
于是，，
所以，，且（仍有，这里，，），
因此，当时，有穷数列具有性质．
综上，当时，有穷数列不具有性质；当时，有穷数列具有性质．
（3）由已知可得，
，
…………，
，
故，即 ，整理得 ，
显然，于是有 ，
注意到，且，
所以A＋n≥110，可取，
因此，的最小值为110．
