2020-2021学年上海市宝山区一模数学试卷及答案
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一、填空题(本大题共有12题，满分54分)
1． 2． 3． 4． 5． 6．
7．π 8．π 9． 10． 11． 12．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
13． 14． 15． 16．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．
解：方法一：
（1）联结，在长方体中，
因为平面，即 平面，
所以直线与平面所成的角即为，
在中，由，可得，
显然 ，故，
所以 直线与平面所成角的大小为．
（2） 由已知可得，，
所以．又易得．
设点到平面的距离为．在长方体中，
因为平面，即平面，
再由得，
所以，＝＝．即 点到平面的距离为．
方法二：
（1）如图，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系．
由已知可得、、、、，
故， 又平面的一个法向量，
设直线与平面所成角的大小为，
则＝ ＝＝，注意到，故，
所以 直线与平面所成角的大小为．
（2）注意到，，及，，
故 ，，，
设平面的一个法向量为，
由已知，得，即 ，所以， 可取，
所以点到平面的距离为 ＝＝．
即 点到平面的距离为．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分
解：（1）当时，，由得，即 ， 解得或，
所以，原不等式的解集为．
（2）函数存在零点 方程有解， 亦即 有解，
注意到在上递减，故 ，从而，实数的取
值范围为．
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．
解：（1）依题意，可得 ，所以 ，故，因为的图象过坐标原点，所以，即 ，
注意到， 因此，．
（2） 由（1）得，故由已知，可得，
利用正、余弦定理，并整理得 ，
因为 ，所以 ，
又，所以，且，，
故．
20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分6分．
解：（1）由已知条件得 ，因为，所以，又的坐标分别为，
因此，的面积为．
（2）设，由得，显然，且，
又，所以，
，
即 为定值．
（3）满足的锐角不存在．
理由如下：
因为直线：与相切，所以，即 ，
同理，由直线：与相切，可得 ，
于是，是关于ξ的方程的两实根，
注意到，且，故 ，
因为定值，故不妨设（定值），
于是有 ，即 ．
依题意可知，变化，而均为定值，所以，解得，，
再设，由得；同理可得．
所以 ，
即 ，亦即 ， （※）
若锐角θ ，使，则，与（※）相矛盾．
因此，这样的锐角不存在．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满分8分．
解：（1）因为有穷数列具有性质，所以，|－|≥t，（），
再由已知条件可得，，
即 ，而，所以，．注意到，所以，．
（2）当时，有穷数列不具有性质；当时，有穷数列具有性质．
理由如下：
若，则有穷数列显然不具有性质．
若，则由，可得 ，
所以，（），且，
同理可得，（），所以， ，且，
…，
一般地，若（），则，且，
于是，，
所以，，且（仍有，这里，，），
因此，当时，有穷数列具有性质．
综上，当时，有穷数列不具有性质；当时，有穷数列具有性质．
（3）由已知可得，
，
…………，
，
故，即 ，整理得 ，
显然，于是有 ，
注意到，且，
所以A＋n≥110，可取，
因此，的最小值为110．
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