上海市宝山区2021届高三下学期4月期中等级考质量监测（二模）数学（含答案）

这是一份上海市宝山区2021届高三下学期4月期中等级考质量监测（二模）数学（含答案），共9页。

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点到准线的距离为
2. 不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为
3. 若关于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的方程组 SKIPIF 1 < 0 有无穷多组解，则 SKIPIF 1 < 0 的值为
4. 若 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 是虚数单位）是方程 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的一个根，则 SKIPIF 1 < 0
5. 已知常数 SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 反函数的图像经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
6. 设无穷等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
7. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长侧棱的长度为
8. 在 SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 项的系数为 （结果用数值表示）
9. 如图，点 SKIPIF 1 < 0 为矩形 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将矩形 SKIPIF 1 < 0 绕直线 SKIPIF 1 < 0
旋转所得到的几何体体积记为 SKIPIF 1 < 0 ，将△ SKIPIF 1 < 0 绕直线 SKIPIF 1 < 0 旋转所得到的几何体体积记为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的值为
10. 为巩固交通大整治的成果，某地拟在未来的连续15天中随机选择4天进行交通安全知
识的抽查，则选择的4天恰好为连续4天的概率为 （结果用最简分数表示）
11. 设函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），若函数 SKIPIF 1 < 0 的零点为4，则使得
SKIPIF 1 < 0 成立的整数 SKIPIF 1 < 0 的个数为
12. 如图，若同一平面上的四边形 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ），则当△ SKIPIF 1 < 0 的面积是△ SKIPIF 1 < 0 的面积的 SKIPIF 1 < 0 倍时， SKIPIF 1 < 0 的最大值为
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 设 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
14. 某班有学生40人，将这40人编上1到40的号码，用系统抽样的方法抽取一个容量为4
的样本，已知编号为3、23、33的学生在样本中，则另一个学生在样本中的编号为（ ）
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
15. 在平面直角坐标系中，角 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的顶点与坐标原点重合，始边与 SKIPIF 1 < 0 轴的非负
半轴重合，终边经过函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点，角 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
16. 如果数列同时满足以下四个条件：（1） SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）；（2）点 SKIPIF 1 < 0 在
函数 SKIPIF 1 < 0 的图像上；（3）向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互相平行；（4） SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0
的等差中项为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）；那么，这样的数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，， SKIPIF 1 < 0 的个数为（ ）
A. 78 B. 80 C. 82 D. 90
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是边长为2的正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为侧棱 SKIPIF 1 < 0 的中点.
（1）求四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积；
（2）求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.
18. 将关于 SKIPIF 1 < 0 的函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的图像向右平移2个单位后得到的函数图像
记为 SKIPIF 1 < 0 ，并设 SKIPIF 1 < 0 所对应的函数为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，试直接写出函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）对于任意 SKIPIF 1 < 0 ，总存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
19. 某地区的平面规划图中（如图），三点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别表示三个街区， SKIPIF 1 < 0 ，
现准备在线段 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 处建一个停车场，它到街区 SKIPIF 1 < 0 的距离为1，到街区 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的距
离相等.
（1）若线段 SKIPIF 1 < 0 的长为3，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）若△ SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离.
20. 设平面直角坐标系中的动点 SKIPIF 1 < 0 到两定点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的距离之和为 SKIPIF 1 < 0 ，记动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）过 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，切点为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴
的交点依次为异于坐标原点 SKIPIF 1 < 0 的点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，试求△ SKIPIF 1 < 0 的面积的最小值；
（3）过点 SKIPIF 1 < 0 且不垂直于坐标轴的直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于不同的两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直
平分线与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），使得 SKIPIF 1 < 0 成立？请说明理由.
21. 若数列满足：从第二项起的每一项不小于它的前一项的 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）倍，则称该数列
具有性质 SKIPIF 1 < 0 .
（1）已知数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 具有性质 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）删除数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，， SKIPIF 1 < 0 ，中的第3项，第6项，，第 SKIPIF 1 < 0 项，，余下的项
按原来顺序组成一个新数列 SKIPIF 1 < 0 ，且数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若数列 SKIPIF 1 < 0 具有性质 SKIPIF 1 < 0 ，
试求实数 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
（3）记 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），如果 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），证明：“ SKIPIF 1 < 0 ”的充要条件是“存在数列 SKIPIF 1 < 0 具有性质 SKIPIF 1 < 0 ，且同时满足以下三个条件：（Ⅰ）数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，且互异；（Ⅱ）存在常数 SKIPIF 1 < 0 ，使得数列 SKIPIF 1 < 0 收敛于 SKIPIF 1 < 0 ；（Ⅲ） SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，这里 SKIPIF 1 < 0 ）”.
答案
1【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由抛物线的定义得 SKIPIF 1 < 0 的焦点到准线的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
2【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，故解集为 SKIPIF 1 < 0 .
3【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意得 SKIPIF 1 < 0 应为同一方程，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
【注】也可使用行列式求解.
4【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意得另一根为 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理得 SKIPIF 1 < 0
5【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意得 SKIPIF 1 < 0 的图像经过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
6【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
7【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
由三视图可得直观图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，最长的棱为 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
8【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 只由 SKIPIF 1 < 0 提供， SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 .
9【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 为圆柱体的体积， SKIPIF 1 < 0 为圆锥体的体积，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
10【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】选择的4天恰好为连续4天的概率是 SKIPIF 1 < 0 .
11【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 的零点为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
根据复合函数的单调性，易得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，且 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故整数 SKIPIF 1 < 0 的个数为 SKIPIF 1 < 0 .
12【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】法一：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 的面积是 SKIPIF 1 < 0 面积的 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 的两边同时点乘 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
由向量数量积的几何意义（投影）得 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
法二：在 SKIPIF 1 < 0 的反向延长线上取点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，
由平面几何知识得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
转化为 SKIPIF 1 < 0 ，
由奔驰定理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，以下同法一.
13【答案】A
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，故为充分非必要条件，选A.
14【答案】B
【解析】学生40人，现用系统抽样的方法，从中抽取一个容量为4的样本，则抽样间隔为10，故另一个学生在样本中的编号为13
15【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 互为反函数，其交点在 SKIPIF 1 < 0 上，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选D.
16【答案】B
【解析】由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，由（2）得 SKIPIF 1 < 0 ，由（3）得 SKIPIF 1 < 0 ，
由（4）得 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
考虑 SKIPIF 1 < 0 的变换，
每一步变换均为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 所加之和
相等，
①若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则9步中只有1步为 SKIPIF 1 < 0 ，且只能在2边，故有3种；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则9步中有3步 SKIPIF 1 < 0 ，6步 SKIPIF 1 < 0 ，
共有 SKIPIF 1 < 0 种；
③若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则9步中有5步 SKIPIF 1 < 0 ，4步 SKIPIF 1 < 0 ，
共有 SKIPIF 1 < 0 种；
④若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则9步中有7步 SKIPIF 1 < 0 ，2步 SKIPIF 1 < 0 ，
共有 SKIPIF 1 < 0 种，
⑤若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则9步都为 SKIPIF 1 < 0 ，共有1种，
综上，共有 SKIPIF 1 < 0 种，选B.
17【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
18【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
19【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
20【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3）不存在，理由略.
21【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3）证明略.