第一讲　三角函数的图象与性质 学案

专题三　三角函数及解三角形


第一讲　三角函数的图象与性质

高考考点
考点解读
三角函数的定义域、值域、最值
1.求三角函数的值域或最值
2．根据值域或最值求参数
三角函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性
1.根据图象或周期公式求三角函数的周期、单调区间或判断奇偶性
2．根据单调性、奇偶性、周期性求参数
三角函数的图象及应用
1.考查三角函数的图象变换
2．根据图象求解析式或参数
备考策略
本部分内容在备考时应注意以下几个方面：
(1)加强对三角概念的理解，会求三角函数的值域或最值．
(2)掌握三角函数的图象与性质，能够判断三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等．
(3)掌握三角函数图象变换，已知图象求参数，“五点法”作图．
预测2019年命题热点为：
(1)三角函数在指定区间上的值域、最值问题．
(2)已知三角函数奇偶性及对称性、周期性等性质求参数或求函数的单调区间．
(3)三角函数的图象变换及求三角函数的解析式．

Z
1．三角函数的图象与性质
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
图象



定义域
R
R
{x|x≠＋kπ，k∈Z}
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
最小
正周期
2π
2π
π
单调性
在！！！！ [－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递增．
在！！！！ [＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减
在！！！！ [－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增．在！！！！ [2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减
在！！！！ (－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上递增
最值
当x＝＋2kπ，k∈Z时，y取得最大值1.
当x＝－＋2kπ，k∈Z时，y取得最小值－1
当x＝2kπ，k∈Z时，y取得最大值1.
当x＝π＋2kπ，k∈Z时，y取得最小值－1
无最值
对称性
对称中心：！！！！ (kπ，0)(k∈Z).
对称轴：！！！！ x＝＋kπ(k∈Z)
对称中心：！！！！ (＋kπ，0)(k∈Z).
对称轴：！！！！ x＝kπ(k∈Z)
对称中心：！！！！ (，0)(k∈Z)
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
(1)“五点法”作图
设z＝ωx＋φ，令z＝0、、π、、2π，求出x的值与相应的y的值，描点连线可得．

3．三角函数的奇偶性
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)，是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；
(2)函数y＝Acos(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)，是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；
(3)函数y＝Atan(ωx＋φ)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．
4．三角函数的对称性
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴由ωx＋φ＝
kπ＋(k∈Z)解得，对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解得；
(2)函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴由ωx＋φ＝
kπ(k∈Z)解得，对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解得；
(3)函数y＝Atan(ωx＋φ)的图象的对称中心由ωx＋φ＝(k∈Z)解得．
Y
1．忽视定义域
求解三角函数的单调区间、最值(值域)以及作图象等问题时，要注意函数的定义域．
2．重要图象变换顺序
在图象变换过程中，注意分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．
3．忽视A，ω的符号
在求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要特别注意A和ω的符号，若ω<0，需先通过诱导公式将x的系数化为正的．
4．易忽略对隐含条件的挖掘，扩大角的范围导致错误．

1．(2018·全国卷Ⅰ，8)已知函数f＝2cos2x－sin2x＋2，则( B )
A．f的最小正周期为π，最大值为3
B．f的最小正周期为π，最大值为4
C．f的最小正周期为2π，最大值为3
D．f的最小正周期为2π，最大值为4
[解析]　f(x)＝2cos2x－(1－cos2x)＋2＝3cos2x＋1
＝cos2x＋，所以最小正周期为π，最大值为4.
2．(文)(2018·全国卷Ⅱ，10)若f(x)＝cosx－sinx在[0，a]上是减函数，则a的最大值是( C )
A．　　 B．　　　
C．　　 D．π
[解析]　f(x)＝cosx－sinx＝cos在上单调递减，
所以[0，a]⊆，故0 (理)(2018·全国卷Ⅱ，10)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是( A )
A． B．
C． D．π
[解析]　f(x)＝cosx－sinx＝cos在上单调递减，所以[－a，a]⊆，故－a≥－且a≤，解得0 3．(2018·浙江卷，5)函数y＝2|x|sin2x的图象可能是( D )

[解析]　因为f(－x)＝2|－x|sin(－2x)＝－2|x|sin2x＝
－f(x)，所以该函数为奇函数，排除A，B，当x∈时，sin2x>0,2|x|sin2x>0，所以图象在x轴的上方，当x∈时，sin2x<0,2|x|sin2x<0，所以图象在x轴的下方，排除C，故选D．
4．(2018·江苏卷，7)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值是－.
[解析]　正弦函数的对称轴为x＝＋kπ(k∈Z)，故把x＝代入得＋φ＝＋kπ(k∈Z)，φ＝－＋kπ(k∈Z)，因为－<φ<，所以k＝0，φ＝－.
5．(2018·全国卷Ⅲ，15)函数f＝cos在的零点个数为3.
[解析]　令f(x)＝cos＝0，得3x＋＝＋kπ(k∈Z)，即x＝＋kπ(k∈Z)，
当k＝0时，x＝∈[0，π]，当k＝1时，x＝∈[0，π]，当k＝2时，x＝∈[0，π]，
所以f(x)＝cos在[0，π]上零点的个数为3.
6．(2018·北京卷，16)已知函数f(x)＝sin2 x＋sinxcosx.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．
[解析]　(1)由已知，f(x)＝(1－cos2x)＋sin2x＝
sin2x－cos2x＋＝sin(2x－)＋，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)方法一：显然m>－，
若x∈，则2x∈，
2x－∈，
①若2m－<即m<，
则f(x)在[－，m]上的最大值小于，不合题意．
②若2m－≥即m≥，
当2x－＝即x＝时，f(x)在[－，m]上取得最大值，符合题意，综上，m的最小值为.
方法二：
显然m>－，因为f(x)在[－，m]上的最大值为，
所以y＝sin(2x－)在[－，m]上的最大值为1，
又因为当且仅当2x－＝＋2kπ，即x＝＋kπ(k∈Z)时，
y＝sin(2x－)＝1.
所以[－，m]∩{x|x＝＋kπ(k∈Z)}≠∅，
令＋kπ≥－(k∈Z)得k≥－，即k＝0,1,2，…
所以x＝＋0×π＝∈[－，m]，即m≥，
所以m的最小值为.


例1 (1)(2018·石家庄一模)若函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0<θ<π)的图象关于(，0)中心对称，则函数f(x)在[－，]上的最小值是( B )
A．－1　　 B．－　　　
C．－　　 D．－
[解析]　f(x)＝2sin(2x＋θ＋)，又图象关于(，0)中心对称，所以2×＋θ＋＝kπ，k∈Z.
所以θ＝kπ－，又0<θ<π，所以θ＝，
所以f(x)＝－2sin2x，
因为x∈[－，]，
所以2x∈[－，]，f(x)∈[－，2]，
所以f(x)的最小值是－.
(2)已知函数f(x)＝2sin(2x＋)，记函数f(x)在区间[t，t＋]上的最大值为M，最小值为m，设函数h(t)＝Mt－mt.若t∈[，]，则函数h(t)的值域为[1,2].
[解析]　由已知函数f(x)的周期T＝π，区间[t，t＋]的长度为.作出函数f(x)在[，]的图象．

又t∈[，]，则由图象可得，当x∈[，]时，h(t)取最小值为f()－f()＝2－1＝1，当x∈[，]时，函数f(x)为减函数，则h(t)＝f(t)－f(t＋)＝2sin(2t－)，所以当t＝时，h(t)的最大值为2，故所求值域为[1,2]．

『规律总结』
三角函数值域(最值)的三种求法
(1)直接法：利用sinx，cosx的有界性直接求．
(2)单调性法：化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，采用整体思想，求出ωx＋φ的范围，根据y＝sinx的单调性求出函数的值域(最值)．
(3)换元法：对于y＝asin2x＋bsinx＋c和y＝a(sinx＋cosx)＋bsinxcosx＋c型常用到换元法，转化为二次函数在限定区间内的最值问题．
G
1．已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)在(，)上仅有1个最值，且为最大值，则实数ω的值不可能为( C )
A．　 B．　　
C．　 D．
[解析]　依题意，函数f(x)＝sinωx＋cosωx＝sin(ωx＋)，
又函数f(x)在x∈(，)上仅有1个最值，且为最大值，根据三角函数的图象与性质知，2kπ－<ω＋<2kπ＋，k∈Z，且2kπ＋<ω＋<2kπ＋，k∈Z，即为12k－<ω<12k＋且k＋<ω 当k＝0时，经检验ω＝时不在上面的公共区域．
2．已知函数f(x)＝1＋2sin(2x－)，x∈[，]．若不等式f(x)－m<2在x∈[，]上恒成立，则实数m的取值范围为(1，＋∞).
[解析]　因为x∈[，]，所以2x－∈[，]，
即1＋2sin(2x－)∈[2,3]，
所以f(x)max＝3，不等式f(x)－m<2在x∈[，]上恒成立等价于m>f(x)max－2，即m的取值范围是(1，＋∞)．

例2 已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sinxcosx(x∈R)．
(1)求f()的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
[解析]　(1)由sin＝，cos＝－，
得f()＝()2－(－)2－2××(－)，
所以f()＝2.
(2)由cos2x＝cos2x－sin2x与sin2x＝2sinxcosx得f(x)＝－cos2x－sin2x＝－2sin(2x＋)，
所以f(x)的最小正周期是π.
由正弦函数的性质得＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间是[＋kπ，＋kπ](k∈Z)．
『规律总结』
1．求解函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质问题的三种意识
(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式．
(2)整体意识：类比y＝sinx的性质，只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sinx中的“x”，采用整体代入求解．
①令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得对称轴方程．
②令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标．
③将ωx＋φ看作整体，可求得y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，注意ω的符号．
(3)讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论A>0，A<0.
2．求解三角函数的性质的三种方法
(1)求单调区间的两种方法
①代换法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx＋φ＝z，则y＝Asinz(或y＝Acosz)，然后由复合函数的单调性求得．
②图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．
(2)判断对称中心与对称轴：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断．
(3)三角函数周期的求法
①利用周期定义．
②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
③利用图象．
G
1．已知ω>0，在函数y＝2sinωx与y＝2cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω＝.
[解析]　由题意，两函数图象交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离，设相邻的两交点坐标分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，易知|PQ|2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2，其中|y2－y1|＝－(－)＝2，|x2－x1|为函数y＝2sinωx－2cosωx＝2sin(ωx－)的两个相邻零点之间的距离，恰好为函数最小正周期的一半，所以(2)2＝()2＋(2)2，ω＝.
2．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间[，]上具有单调性，且f()＝f()＝－f()，则f(x)的最小正周期为π.
[解析]　由f(x)在区间[，]上具有单调性，且f()＝－f()知，f(x)有对称中心(，0)，由f()＝f(π)知f(x)有对称轴x＝(＋π)＝π.记f(x)的最小正周期为T，则T≥－，即T≥π.故π－＝＝，解得T＝π.

例3 (1)将函数y＝cosx＋sinx(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是( A )
A．　　 B．　　　
C．　　 D．
[解析]　设f(x)＝cosx＋sinx
＝2(cosx＋sinx)
＝2sin(＋x)，
向左平移m个单位长度得
g(x)＝2sin(x＋m＋)．
∵g(x)的图象关于y轴对称，
∴g(x)为偶函数，
∴＋m＝＋kπ(k∈Z)，
∴m＝＋kπ(k∈Z)，又m>0，
∴m的最小值为.
(2)已知A，B，C，D是函数y＝sin(ωx＋π)(ω>0,0<φ<)一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A(－，0)，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则( A )

A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝
[解析]　由题意可知＝＋＝，
∴T＝π，ω＝＝2.
又sin[2×(－)＋φ]＝0,0<φ<，
∴φ＝.故选A．
『规律总结』
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的确定
(1)A由最值确定，A＝；
(2)ω由周期确定；
(3)φ由图象上的特殊点确定．
提醒：根据“五点法”中的零点求φ时，一般先根据图象的升降分清零点的类型．
2．在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．
G
1．将f(x)＝sin2x的图象右移φ(0<φ<)个单位后，得到g(x)的图象，若对于满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|的最小值为，则φ的值为( B )
A．　　　 B．　　　　
C．　　　 D．
[解析]　g(x)＝sin[2(x－φ)]＝sin(2x－2φ)，则f(x)，g(x)的最小正周期都是T＝π.若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，则|x1－x2|＝－φ＝－φ＝，从而φ＝.
2．函数f(x)＝sin(πx＋θ)(|θ|<)的部分图象如图，且f(0)＝－，则图中m的值为( B )

A．1 B．
C．2 D．或2
[解析]　f(0)＝sinθ＝－，又|θ|<，所以θ＝－，
所以sin(mπ－)＝－，由图象可知，mπ－＝⇒m＝.

A组
1．已知sinφ＝，且φ∈(，π)，函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f()的值为( B )
A．－　　 B．－　　　
C．　　 D．
[解析]　由函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，得到其最小正周期为π，所以ω＝2，f()＝sin(2×＋φ)＝cosφ＝－＝－.
2．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为( D )

A．，k∈Z
B．，k∈Z
C．，k∈Z
D．，k∈Z
[解析]　由五点作图知，k∈Z，可得ω＝π，φ＝，所以f(x)＝cos.令2kπ＜πx＋＜2kπ＋π，k∈Z，解得2k－＜x＜2k＋，k∈Z，故单调减区间为，k∈Z.故选D .
3．(2017·天津卷，7)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f()＝2，f()＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则( A )
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－
C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝
[解析]　∵f()＝2，f()＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，
∴f(x)的最小正周期为4(－)＝3π，
∴ω＝＝，∴f(x)＝2sin(x＋φ)．
∴2sin(×＋φ)＝2，
得φ＝2kπ＋，k∈Z.
又|φ|<π，∴取k＝0，得φ＝.
故选A．
4．(2018·济南期末)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，f()＋f()＝0，且f(x)在区间(，)上递减，则ω＝( B )
A．3 B．2
C．6 D．5
[解析]　∵f(x)＝2sin(ωx＋)，f()＋f()＝0.
∴当x＝＝时，f(x)＝0.
∴ω＋＝kπ，k∈Z，
∴ω＝3k－1，k∈Z，排除A，C；
又f(x)在(，)上递减，
把ω＝2，ω＝5代入验证，可知ω＝2.
5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为( B )
A．11 B．9
C．7 D．5
[解析]　由题意知：

则ω＝2k＋1，其中k∈Z.
∵f(x)在上单调，
∴－＝≤×，ω≤12.
接下来用排除法．
若ω＝11，φ＝－，此时f(x)＝sin，
f(x)在上单调递增，在上单调递减，不满足f(x)在上单调，
若ω＝9，φ＝，此时f(x)＝sin，满足f(x)在上单调递减．
6．(2017·开封市高三一模)已知函数f(x)＝2sin(π＋x)·sin(x＋＋φ)的图象关于原点对称，其中φ∈(0，π)，则φ＝.
[解析]　本题主要考查三角函数的奇偶性，诱导公式．
因为f(x)＝2sin(π＋x)sin(x＋＋φ)的图象关于原点对称，所以函数f(x)＝2sin(π＋x)sin(x＋＋φ)为奇函数，则y＝sin(x＋＋φ)为偶函数，又φ∈(0，π)，所以φ＝.
7．如果两个函数的图象平移后能够重合，那么称这两个函数为“互为生成”函数．给出下列四个函数：
①f(x)＝sinx＋cosx; ②f(x)＝(sinx＋cosx)；
③f(x)＝sinx; ④f(x)＝sinx＋.
其中为“互为生成”函数的是①④(填序号)．
[解析]　首先化简题中的四个解析式可得：①f(x)＝sin(x＋)，②f(x)＝2sin(x＋)，③f(x)＝sinx，④f(x)＝sinx＋，可知③f(x)＝sinx的图象要与其他的函数图象重合，单纯经过平移不能完成，必须经过伸缩变换才能实现，所以③f(x)＝sinx不能与其他函数成为“互为生成”函数，同理①f(x)＝sin(x＋)的图象与②f(x)＝2sin(x＋)的图象也必须经过伸缩变换才能重合，而④f(x)＝sinx＋的图象向左平移个单位，再向下平移个单位即可得到①f(x)＝sin(x＋)的图象，所以①④为“互为生成”函数．
8．已知函数f(x)＝(2cos2 x－1)sin2x＋cos4x.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值；
(2)若α∈，且f(α)＝，求a的值．
[解析]　(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x
＝cos2xsin2x＋cos4x
＝(sin4x＋cos4x)
＝sin(4x＋)
所以f(x)的最小正周期为，最大值为.
(2)因为f(α)＝，所以sin(4α＋)＝1.
因为α∈(，π)，
所以4α＋∈(，)，
所以4α＋＝，故α＝.
9．某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0

π

2π
x





Asin(ωx＋φ)
0
5

－5
0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为(，0)，求θ的最小值．
[解析]　(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－，数据补全如下表：
ωx＋φ
0

π

2π
x





Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数解析式为f(x)＝5sin(2x－)．
(2)由(1)知f(x)＝5sin(2x－)，
则g(x)＝5sin(2x＋2θ－)．
因为函数y＝sinx图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.
令2x＋2θ－＝kπ，
解得x＝＋－θ，k∈Z.
由于函数y＝g(x)的图象关于点(，0)成中心对称，
所以令＋－θ＝，
解得θ＝－，k∈Z.
由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.
B组
1．若函数f(x)＝asinωx＋bcosωx(0<ω<5，ab≠0)图象的一条对称轴方程是x＝，函数f′(x)图象的一个对称中心是(，0)，则f(x)的最小正周期是( C )
A． B．
C．π D．2π
[解析]　由f(x)＝sin(ωx＋φ)(tanφ＝)的对称轴方程是x＝可知，＋φ＝＋kπ(k∈Z)⇒φ＝＋kπ(k∈Z)，即＝tanφ＝1⇒a＝b，
又f′(x)＝aωcosωx－bωsinωx的对称中心是(，0)，
则f′()＝0⇒aω(cos－sin)＝0⇒ω＝2，
即T＝＝π.
2．函数y＝的部分图象大致为( C )

[解析]　令f(x)＝，
∵f(1)＝>0，f(π)＝＝0，
∴排除选项A，D．
由1－cosx≠0，得x≠2kπ(k∈Z)，
故函数f(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，
∴排除选项B．
故选C．
3．(2017·全国卷Ⅰ，9)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin(2x＋)，则下面结论正确的是( D )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
[解析]　因为y＝sin(2x＋)＝cos(2x＋－)＝cos(2x＋)，所以曲线C1：y＝cosx上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cos2x，再把得到的曲线y＝cos2x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos2(x＋)＝cos(2x＋)．故选D．
4．(2018·长沙二模)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1(ω>0，|φ|<)，f(α)＝－1，f(β)＝1，若|α－β|的最小值为，且f(x)的图象关于点(，1)对称，则函数f(x)的单调递增区间是( B )
A．[－＋2kπ，π＋2kπ]，k∈Z
B．[－＋3kπ，π＋3kπ]，k∈Z
C．[π＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z
D．[π＋3kπ，＋3kπ]，k∈Z
[解析]　由题设条件可知f(x)的周期T＝4|α－β|min＝3π，所以ω＝＝，又f(x)的图象关于点(，1)对称，从而f()＝1，即sin(×＋φ)＝0.因为|φ|<，所以φ＝－，故f(x)＝2sin(x－)＋1，再由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋3kπ≤x≤π＋3kπ，k∈Z.
5．给出下列四个命题：
①f(x)＝sin(2x－)的对称轴为x＝＋，k∈Z；
②函数f(x)＝sinx＋cosx最大值为2；
③函数f(x)＝sinxcosx－1的周期为2π；
④函数f(x)＝sin(x＋)在[－，]上是增函数．
其中正确命题的个数是( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]　①由2x－＝kπ＋，k∈Z，
得x＝＋(k∈Z)，即f(x)＝sin(2x－)的对称轴为x＝＋，k∈Z，故①正确；
②由f(x)＝sinx＋cosx＝2sin(x＋)知，
函数的最大值为2，故②正确；
③f(x)＝sinxcosx－1＝sin2x－1，函数的周期为π，故③错误；
④函数f(x)＝sin(x＋)的图象是由f(x)＝sinx的图象向左平移个单位得到的，故④错误．
6．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<，x∈R)的图象的一部分如图所示，则函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin(x＋).

[分析]　观察图象，由最高点与最低点确定A，由周期确定ω，由特殊点的坐标确定φ.
[解析]　由图象知A＝2，T＝8＝，
所以ω＝，得f(x)＝2sin(x＋φ)．
由对应点得当x＝1时，×1＋φ＝⇒φ＝.
所以f(x)＝2sin(x＋)．
7．已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)在(，π)上单调递减，则ω的取值范围是[，].
[解析]　f(x)＝sinωx＋cosωx＝sin(ωx＋)，
令2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得＋≤x≤＋(k∈Z)．
由题意，函数f(x)在(，π)上单调递减，故(，π)为函数单调递减区间的一个子区间，
故有
解得4k＋≤ω≤2k＋(k∈Z)．
由4k＋<2k＋，解得k<.
由ω>0，可知k≥0，
因为k∈Z，所以k＝0，故ω的取值范围为[，]．
8．已知函数f(x)＝sin(2x＋)＋sin(2x－)＋2cos2x，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间[－，]上的最大值和最小值．
[解析]　(1)∵f(x)＝sin2x·cos＋cos2x·sin＋sin2x·cos－cos2xsin＋cos2x＋1＝sin2x＋cos2x＋1＝sin(2x＋)＋1，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由(1)知，f(x)＝sin(2x＋)＋1.
∵x∈[－，]，
∴令2x＋＝得x＝，
∴f(x)在区间[－，]上是增函数；
在区间[，]上是减函数，
又∵f(－)＝0，f()＝＋1，f()＝2，
∴函数f(x)在区间[－，]上的最大值为＋1，最小值为0.
9．已知函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x.
(1)若tanθ＝2，求f(θ)的值；
(2)若函数y＝g(x)的图象是由函数y＝f(x)的图象上所有的点向右平移个单位长度而得到，且g(x)在区间(0，m)内是单调函数，求实数m的最大值．
[解析]　(1)因为tanθ＝2，
所以f(θ)＝sinθcosθ＋cos2θ
＝sinθcosθ＋(2cos2θ－1)
＝sinθcosθ＋cos2θ－
＝－
＝－＝.
(2)由已知得f(x)＝sin2x＋cos2x
＝sin(2x＋)．
依题意，
得g(x)＝sin[2(x－)＋]，
即g(x)＝sin(2x－)．
因为x∈(0，m)，
所以2x－∈[－，2m－]，
又因为g(x)在区间(0，m)内是单调函数，
所以2m－≤，即m≤，故实数m的最大值为.