2019届二轮复习（理）专题二第一讲三角函数的图象与性质学案

 第一讲　三角函数的图象与性质


年份
卷别
考查角度及命题位置
命题分析
2018
Ⅰ卷
与三角函数有关的最值求法·T16
高考对此部分内容主要以选择、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在6～12题或第14～15题位置上，命题的热点主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题.
Ⅱ卷
三角函数的单调性应用·T10
2017
Ⅰ卷
三角函数的图象变换·T9
Ⅱ卷
三角函数的最值问题·T14
Ⅲ卷
三角函数的性质·T6
2016
Ⅰ卷
三角函数的性质·T12
Ⅱ卷
三角函数的图象变换与性质·T7
Ⅲ卷
三角函数的图象变换·T14



函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与变换

授课提示：对应学生用书第19页

[悟通——方法结论]
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
(1)“五点法”作图：设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．
(2)图象变换：
y＝sin xy＝sin(x＋φ)

y＝Asin(ωx＋φ)．
[全练——快速解答]
1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
解析：易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图象，即曲线C2，故选D.
答案：D
2．(2018·南昌模拟)函数y＝sin的图象可以由函数y＝cos 的图象(　　)
A．向右平移个单位长度得到
B．向右平移个单位长度得到
C．向左平移个单位长度得到
D．向左平移个单位长度得到
解析：由y＝cos ＝sin，y＝sin＝sin，知函数y＝sin的图象可以由y＝cos 的图象向右平移个单位长度得到．
答案：B
3．(2018·益阳、湘潭联考)若将函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上的点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)图象的一条对称轴的方程为(　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝
解析：将函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度，得到f＝2sin＝2sin的图象，再把所得图象上的点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数g(x)＝2sin的图象．令x－＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋2kπ，k∈Z.当k＝0时，函数g(x)图象的一条对称轴的方程为x＝，故选D.
答案：D
4．(2018·唐山模拟)将函数y＝cos 2x－sin 2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为g(x)，则g(x)＝(　　)
A．2sin 2x B．－2sin 2x
C．2cos D．2sin
解析：因为y＝cos 2x－sin 2x＝2cos，
将其图象向右平移个单位长度得到
g(x)＝2cos＝2cos＝2sin 2x的图象．
答案：A





在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换，变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．




由图象求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

授课提示：对应学生用书第20页

[悟通——方法结论]
　函数y＝Asin(ωx＋φ)解析式的确定
利用函数图象的最高点和最低点确定A，利用周期确定ω，利用图象的某一已知点确定φ.
[全练——快速解答]
1．(2018·郑州模拟)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式是(　　)

A．f(x)＝sin(x∈R)
B．f(x)＝sin(x∈R)
C．f(x)＝sin(x∈R)
D．f(x)＝sin(x∈R)
解析：依题意，设g(x)＝sin(ωx＋θ)，其中ω>0，|θ|<，则有T＝＝4＝π，ω＝2，g＝sin＝1，则θ＝，因此g(x)＝sin，f(x)＝g＝sin＝sin，故选A.
答案：A
2．(2018·贵阳模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)，其导数f′(x)的图象如图所示，则f的值为(　　)

A．2 B.
C．－ D．－
解析：依题意得f′(x)＝Aωcos(ωx＋φ)，结合函数y＝f′(x)的图象可知，T＝＝4＝π，ω＝2.又Aω＝1，因此A＝.因为0<φ<π，<＋φ<，且f′＝cos＝－1，所以＋φ＝π，φ＝，f(x)＝sin，f＝sin＝－×＝－，故选D.
答案：D
3．(2018·山西八校联考)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，则φ＝________.

解析：由函数图象得A＝2，所以y＝2sin(ωx＋φ)，因为图象过点(0，－1)，所以sin φ＝－，因为x＝0位于图象的单调递减区间，所以φ＝2kπ－(k∈Z)，又－π<φ<0，所以φ＝－.
答案：－

用五点法求φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口．“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝；“第五点”时ωx＋φ＝2π.




三角函数的性质

授课提示：对应学生用书第20页

[悟通——方法结论]
1．三角函数的单调区间
y＝sin x的单调递增区间是(k∈Z)，单调递减区间是(k∈Z)；
y＝cos x的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；
y＝tan x的单调递增区间是(k∈Z)．
2．三角函数奇偶性判断
y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得．
y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．
y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．
3．三角函数周期性的求法
函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝.应特别注意y＝|Asin(ωx＋φ)|的周期为T＝.
4．求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)．
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
[全练——快速解答]
1．(2018·高考全国卷Ⅱ)若ƒ(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是(　　)
A. B.
C. D．π
解析：ƒ(x)＝cos x－sin x＝－＝－sin，当x∈，即x－∈时，y＝sin单调递增，y＝－sin单调递减．
∵函数ƒ(x)在[－a，a]是减函数，
∴[－a，a]⊆，
∴0＜a≤，∴a的最大值为.
故选A.
答案：A
2．(2017·高考全国卷Ⅲ)函数f(x)＝sin＋cos的最大值为(　　)
A. B．1
C. D.
解析：因为cos＝cos＝sin，所以f(x)＝sin，于是f(x)的最大值为.
答案：A
3．(2016·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　)
A．11 B．9
C．7 D．5
解析：由题意得
则ω＝2k＋1，k∈Z，φ＝或φ＝－.
又函数f(x)在(，)上单调，所以≤×，即ω≤12.
若ω＝11，则φ＝－，此时f(x)＝sin，
f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，不满足f(x)在区间上单调；
若ω＝9，则φ＝，此时f(x)＝sin，满足f(x)在区间上单调递减，故选B.
答案：B

1．三角函数单调性的求法：
求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0)的单调性的一般思路是令ωx＋φ＝z，则y＝Asin z(或y＝Acos z)，然后由复合函数的单调性求解．
2．三角函数的最值问题注意判断类型，尤其是可化为Asin(ωx＋φ)型的值求解时注意x的范围对ωx＋φ范围的影响．


[练通——即学即用]
1．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在单调递减
解析：根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A正确；
当x＝时，x＋＝3π，所以cos＝－1，所以B正确；
f(x＋π)＝cos＝cos，当x＝时，x＋＝，所以f(x＋π)＝0，所以C正确；
函数f(x)＝cos在上单调递减，在上单调递增，故D不正确．
答案：D
2．(2018·太原模拟)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)在(0，π)上有且只有两个零点，则实数ω的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
解析：易得f(x)＝2sin，设t＝ωx－，因为0 答案：B
3．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数ƒ(x)＝2sin x＋sin 2x，则ƒ(x)的最小值是________．
解析：ƒ′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝2cos x＋2(2cos2x－1)
＝2(2cos2x＋cos x－1)＝2(2cos x－1)(cos x＋1)．
∵cos x＋1≥0，
∴当cos x＜时，ƒ′(x)＜0，ƒ(x)单调递减；
当cos x＞时，ƒ′(x)＞0，ƒ(x)单调递增．
∴当cos x＝，ƒ(x)有最小值．
又ƒ(x)＝2sin x＋sin 2x＝2sin x(1＋cos x)，
∴当sin x＝－时，ƒ(x)有最小值，
即ƒ(x)min＝2××＝－.
答案：－



授课提示：对应学生用书第122页

一、选择题
1．(2018·湖北七校联考)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：∵y＝sin＝sin，∴只需将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度即可得到函数y＝sin的图象．
答案：A
2．(2018·宝鸡模拟)为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝cos的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：y＝cos＝sin＝sin，故要得到函数y＝sin的图象，只需要平移－＝个单位长度，又>0，所以应向左平移，故选A.
答案：A
3．函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x在上的最小值是(　　)
A．1　　　 B.
C．1＋ D.
解析：f(x)＝sin2x＋sin xcos x＝－cos 2x＋sin 2x＝sin＋，因为≤x≤，所以≤2x－≤，所以当2x－＝，即x＝时，函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x取得最小值，且最小值为＋＝1.
答案：A
4．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数ƒ(x)＝的最小正周期为(　　)
A. B.
C．π D．2π
解析：由已知得ƒ(x)＝＝＝＝sin x·cos x＝sin 2x，所以ƒ(x)的最小正周期为T＝＝π.
故选C.
答案：C
5．(2018·贵阳模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则φ的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：由题意，得＝＋＝，所以T＝π，由T＝，得ω＝2，由图可知A＝1，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．又f＝sin＝0，－<φ<，所以φ＝，故选B.
答案：B
6．(2018·湘中名校高三联考)已知函数f(x)＝sin＋，ω>0，x∈R，且f(α)＝－，f(β)＝.若|α－β|的最小值为，则函数f(x)的单调递增区间为(　　)
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析：由f(α)＝－，f(β)＝，|α－β|的最小值为，知＝，即T＝3π＝，所以ω＝，
所以f(x)＝sin＋，
由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)，
得－＋3kπ≤x≤π＋3kπ(k∈Z)，故选B.
答案：B
7．(2018·郑州质检)已知函数f(x)＝Asin(πx＋φ)的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则(＋)·(－)的值为(　　)

A．－1 B．－
C． D．2
解析：(＋)·(－)＝(＋)·＝2·＝2||2，显然||的长度为半个周期，周期T＝＝2，∴||＝1，所求值为2.
答案：D
8．(2018·成都模拟)设函数f(x)＝sin，若x1x2<0，且f(x1)＋f(x2)＝0，则|x2－x1|的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
解析：f(x1)＋f(x2)＝0⇔f(x1)＝－f(x2)，|x2－x1|可视为直线y＝m与函数y＝f(x)、函数y＝－f(x)的图象的交点的横坐标的距离，作出函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象如图所示，设A，B分别为直线y＝m与函数y＝f(x)、函数y＝－f(x)的图象的两个相邻交点，

因为x1x2<0，且当直线y＝m过y＝f(x)的图象与y轴的交点时，直线为y＝，|AB|＝，所以当直线y＝m向上移动时，线段AB的长度会增加，当直线y＝m向下移动时，线段AB的长度也会增加，所以|x2－x1|>.
答案：B
9．已知函数f(x)＝sin(x＋φ)－2cos(x＋φ)(0<φ<π)的图象关于直线x＝π对称，则cos 2φ＝(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：由题意可得f(x)＝sin(x＋φ－γ)，其中sin γ＝，cos γ＝.当x＝π时，由π＋φ－γ＝kπ＋，得2φ＝2kπ－π＋2γ，则cos 2φ＝cos(2kπ－π＋2γ)＝－cos 2γ＝sin2γ－cos2γ＝.故选A.
答案：A
10．(2018·广西三市联考)已知x＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)在上的最小值为(　　)
A．－2 B．－1
C．－ D．－
解析：∵x＝是f(x)＝2sin图象的一条对称轴，
∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
即φ＝＋kπ(k∈Z)．
∵0<φ<π，∴φ＝，则f(x)＝2sin，
∴g(x)＝2sin＝2sin.
又∵－≤x≤，∴≤2x＋≤，
∴－1≤2sin≤2.
∴g(x)在上的最小值为－1.
答案：B
11．已知函数f(x)＝1＋2cos x cos(x＋3φ)是偶函数，其中φ∈，则下列关于函数g(x)＝cos(2x－φ)的正确描述是(　　)
A．g(x)在区间上的最小值为－1
B．g(x)的图象可由函数f(x)的图象向上平移2个单位长度，向右平移个单位长度得到
C．g(x)的图象的一个对称中心是
D．g(x)的一个单调递减区间是
解析：∵函数f(x)＝1＋2cos xcos(x＋3φ)是偶函数，y＝1，y＝2cos x都是偶函数，∴y＝cos(x＋3φ)是偶函数，∴3φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝，k∈Z，又0<φ<，∴φ＝，∴g(x)＝cos.当－≤x≤时，－≤2x－≤，cos∈[0,1]，故A错误；f(x)＝1＋2cos xcos(x＋π)＝1－2cos2x＝－cos 2x，显然B错误；当x＝－时，g(x)＝cos＝0，故C正确；当0≤x≤时，－≤2x－≤，g(x)＝cos有增有减，故D错误．故选C.
答案：C
12．(2018·肇庆一模)设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积：a⊗b＝(a1，a2)⊗(b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知向量m＝，n＝，点P在y＝cos x的图象上运动，点Q在y＝f(x)的图象上运动，且满足＝m⊗＋n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)在区间上的最大值是(　　)
A．2 B．2
C．2 D．4
解析：由题意，设点P的坐标为(x0，cos x0)，点Q的坐标为(x，y)，
则＝m⊗＋n＝
⊗(x0，cos x0)＋⇒(x，y)＝⇒
即⇒y＝4cos，
当x∈时，0≤2x－≤⇒≤cos≤1⇒2≤4cos≤4，所以函数y＝f(x)在区间上的最大值是4.
答案：D
二、填空题
13.函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，已知图象经过点A(0,1)，B，则f(x)＝________.
解析：由已知得＝，∴T＝，又T＝，∴ω＝3.
∵sin φ＝，0<φ<，∴φ＝.
∴函数f(x)＝2sin.
答案：2sin
14．(2018·沈阳质检)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则f的值为________．

解析：由图象可知A＝2，T＝－＝，∴T＝π，
∴ω＝2，∵当x＝时，函数f(x)取得最大值，
∴2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
∴φ＝＋2kπ(k∈Z)，
∵0<φ<π，∴φ＝，∴f(x)＝2sin，
则f＝2sin＝2cos ＝.
答案：
15．若存在实数φ，使得圆面x2＋y2≤4恰好覆盖函数y＝sin图象的最高或最低点共三个，则正数k的取值范围是________．
解析：函数y＝sin的图象的最高点或最低点一定在直线y＝±1上，由解得－≤x≤，
由题意可得：T＝＝2k，T≤2＜2T，解得正数k的取值范围是.
答案：
16．(2018·武汉调研)若函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象的对称轴与函数g(x)＝cos(2x＋φ)的图象的对称轴完全相同，则φ＝________.
解析：因为函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象的对称轴与函数g(x)＝cos(2x＋φ)的图象的对称轴完全相同，故它们的最小正周期相同，即＝，所以ω＝2，故函数f(x)＝2sin.
令2x＋＝kπ＋，k∈Z，
则x＝＋，k∈Z，
故函数f(x)的图象的对称轴为x＝＋，k∈Z.
令2x＋φ＝mπ，m∈Z，
则x＝－，m∈Z，
故函数g(x)的图象的对称轴为x＝－，m∈Z，
故＋－＋＝，n∈Z，
即φ＝(m＋n－k)π－，
又|φ|<，所以φ＝－.
答案：－
三、解答题
17．(2018·合肥模拟)已知函数f(x)＝4sin3xcos x－2sin xcos x－cos 4x.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解析：f(x)＝2sin xcos x(2sin2x－1)－cos 4x
＝－sin 2xcos 2x－cos 4x
＝－sin 4x－cos 4x
＝－sin.
(1)函数f(x)的最小正周期T＝＝.
令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，即＋≤x≤＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)因为0≤x≤，所以≤4x＋≤.
此时－≤sin≤1，所以－≤－sin≤，
即－≤f(x)≤.
所以f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，－.
18．(2018·汕头模拟)已知函数f(x)＝cos2ωxcos φ＋sin ωxcos ωxsin φ－sin(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，且x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴．
(1)求ω，φ的值；
(2)将函数y＝f(x)图象上的各点向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在上的最值及取最值时对应的x的值．
解析：(1)由题意得，f(x)＝cos φ＋sin 2ωxsin φ－cos φ＝cos 2ωxcos φ＋sin 2ωxsin φ＝＝cos(2ωx－φ)．
又函数f(x)的最小正周期为π，所以＝π ，所以ω＝1，
故f(x)＝cos(2x－φ)，又x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴，故2×－φ＝kπ(k∈Z)，
因为0<φ<π，所以φ＝.
(2)由(1)知f(x)＝cos，将函数y＝f(x)图象上的各点向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，
故g(x)＝cos.
因为x∈，所以2x－∈，因此当2x－＝0，即x＝时，g(x)max＝；当2x－＝，即x＝时，g(x)min＝－.
19．(2018·胶州模拟)已知函数f(x)＝cos(2π－x) ·sin.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(C)＝－，c＝，求△ABC的周长的取值范围．
解析：f(x)＝cos(2π－x)sin＝cos x＝cos2 x－sin 2x＝－sin 2x＝cos＋.
(1)f(x)的最小正周期T＝＝π.
由2kπ－π≤2x＋≤2kπ，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
(2)由f(C)＝－，可得cos＝－1，由0 又c＝，根据正弦定理得＝＝＝2，所以a＝2sin A，b＝2sin B.
△ABC的周长l＝a＋b＋c＝2sin A＋2sin B＋，
因为A＋B＝，所以l＝2sin A＋2sin＋＝2sin＋.
因为△ABC为锐角三角形，所以B＝－A<，即A>，所以