第二讲 三角恒等变换与解三角形 学案

第二讲　三角恒等变换与解三角形

高考考点
考点解读
三角函数的概念、同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用
1.根据三角函数的定义、诱导公式及同角公式化简、求值
2．应用诱导公式或同角公式进行三角恒等变换
三角恒等变换
1.利用和、差角公式、二倍角公式化简、求值或求角
2．与三角函数图象与性质交汇考查
解三角形
1.在三角形中利用正、余弦定理进行边角计算
2．结合正、余弦定理进行面积计算
3．利用正、余弦定理解决距离、高度、角度等实际问题
备考策略
本部分内容在备考时应注意以下几个方面：
(1)加强对三角函数定义的理解，掌握同角三角函数的基本关系式和诱导公式．
(2)掌握两角和与差的三角公式及二倍角公式．
(3)掌握正弦定理及余弦定，掌握求三解形面积的方法．
预测2020年命题热点为：
(1)三角函数的概念与其他知识相结合；
(2)以三角变换为基础，考查三角函数式的求值、三角函数的图象和性质．
(3)结合向量或几何知识考查三角形中的边角互化、解三角形．

Z
1．同角三角函数之间的关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系tanα＝.
2．诱导公式
(1)公式：Sα＋2kπ；Sπ±α；S±α.
(2)巧记口诀：奇变偶不变，符号看象限，α当锐角看．
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；
(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；
(3)tan(α±β)＝；
(4)辅助角公式：asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)＝cos(α＋θ).
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin2α＝2sinαcosα；
(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan2α＝.
5．降幂公式
(1)sin2α＝；
(2)cos2α＝.
6．正弦定理
＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．
变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC．
sinA＝，sinB＝，sinC＝.
a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC．
7．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．
推论：cosA＝，cosB＝，
cosC＝.
变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，
a2＋b2－c2＝2abcosC．
8．面积公式
S△ABC＝bcsinA＝acsinB＝absinC．
Y
1．同角关系应用错误：利用同角三角函数的平方关系开方时，忽略判断角所在的象限或判断出错，导致三角函数符号错误．
2．诱导公式的应用错误：利用诱导公式时，三角函数名变换出错或三角函数值的符号出错．
3．忽视解的多种情况
如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π，求C，再由正弦定理或余弦定理求边c，但解可能有多种情况．
4．忽略角的范围
应用正、余弦定理求解边、角等量的最值(范围)时，要注意角的范围．
5．忽视解的实际意义
求解实际问题，要注意解得的结果要与实际相吻合．

1．(2018·全国卷Ⅲ，6)函数f＝的最小正周期为( C )
A．　　 B．　　　
C．π　　 D．2π
[解析]　f(x)＝＝＝sinxcosx＝sin2x，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
2．(2018·全国卷Ⅲ，8)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝( C )
A． B．
C． D．
[解析]　由题意S△ABC＝absinC＝，即sinC＝，由余弦定理可知sinC＝cosC，即tanC＝1，
又C∈(0，π)，所以C＝.
3．(2018·全国Ⅰ卷，11)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A，B，且cos2α＝，则＝( B )
A． B．
C． D．1
[解析]　由cos2α＝2cos2α－1＝可得cos2α＝＝＝，
化简可得tanα＝±；当tanα＝时，可得＝，＝，即a＝，b＝，此时|a－b|＝；当tanα＝－时，仍有此结果，故|a－b|＝.
4．(2018·天津卷，6)将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数( A )
A．在区间上单调递增
B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增
D．在区间上单调递减
[解析]　选A．因为将函数y＝
sin的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin2x的图象．
用五点法作出草图，如图：从图中可以看出选项A正确，其他都不正确．
5．(文)(2018·全国卷Ⅱ，15)已知tan＝，则tanα＝.
[解析]　因为tan＝tan＝，
所以＝，解得tanα＝.
(理)(2018·全国卷Ⅱ，15)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝－.
[解析]　由sinα＋cosβ＝1与cosα＋sinβ＝0分别平方相加得
sin2α＋2sinαcosβ＋cos2β＋cos2α＋2cosαsinβ＋sin2 β＝1，
即2＋2sinαcosβ＋2cosαsinβ＝1，所以sin(α＋β)＝－.
6．(2018·北京卷，15)在△ABC中，a＝7，b＝8，cosB＝－.
(1)求∠A；
(2)求AC边上的高．
[解析]　方法一：(1)由余弦定理，cosB＝＝
＝－，
解得c＝－5(舍)，或c＝3，
所以cosA＝＝＝，
又因为0 (2)设AC边上的高为h，则sinA＝，
所以h＝csinA＝3×sin＝，即AC边上的高为.
方法二：(1)因为cosB＝－<0得角B为钝角，由三角形内角和定理，角A为锐角，又sin2 B＋cos2 B＝1，所以sinB>0，sinB＝，
由正弦定理，＝，
即sinA＝sinB＝×＝，
又因为0 (2)设AC边上的高为h，则h＝asinC，
由(1)及已知，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋sinBcosA＝×(－)＋×＝，
所以h＝asinC＝7×＝，即AC边上的高为.


例1 (1)若cos＝，则sin2α＝( D )
A．　　 B．　　　
C．－　　 D．－
[解析]　因为cos＝，
sin2α＝cos＝2cos2－1＝－.
(2)(2018·佛山二模)已知tan(α＋)＝，则cos2(－α)＝( B )
A． B．
C． D．
[解析]　tan(α＋)＝＝，
解得tanα＝－，故
cos2(－α)＝
＝＝＋sinαcosα，
其中sinαcosα＝＝＝－，
故＋sinαcosα＝.
(3)若tanα＝2tan，则＝( C )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]　＝
＝＝
＝＝
＝，
因为tanα＝2tan，所以上式＝＝3.
『规律总结』
1．化简求值的方法与思路
(1)方法：①采用“切化弦”“弦化切”来减少函数的种类，做到三角函数名称的统一；
②通过三角恒等变换，化繁为简，便于化简求值；
(2)基本思路：找差异，化同名(同角)，化简求值．
2．解决条件求值问题的三个关注点
(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角．
(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．
(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．
G
1．(2018·武汉模拟)已知cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，0<β<<α<，则α＋β＝.
[解析]　由0<β<<α<易得<2α－β<π，－<α－2β<，<α＋β<，故sin(2α－β)＝，cos(α－2β)＝，cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)·cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝，故α＋β＝.
2．(2018·合肥质检)已知cos(＋α)·cos(－α)＝－，α∈(，)．
(1)求sin2α的值；
(2)求tanα－的值．
[解析]　(1)cos(＋α)·cos(－α)
＝cos(＋α)·sin(＋α)
＝sin(2α＋)＝－，
即sin(2α＋)＝－.
∵α∈(，)，
∴2α＋∈(π，)，
∴cos(2α＋)＝－，
∴sin2α＝sin[(2α＋)－]＝sin(2α＋)cos－cos(2α＋)sin＝.
(2)∵α∈(，)，
∴2α∈(，π)，
又由(1)知sin2α＝，
∴cos2α＝－.
∴tanα－＝－＝
＝＝－2×＝2.

例2 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin2＋sinBsin＝.
(1)求角A．
(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积．
[解析]　(1)由已知，化简得＋sinBsinC＝，
＋sinBsinC＝，
整理得cosBcosC－sinBsinC＝－，
即cos(B＋C)＝－，
由于0 (2)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，
而由a＝，b＝2，A＝，
得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，
因为c>0，所以c＝3，
故△ABC的面积为S＝bcsinA＝.
『规律总结』
1．正、余弦定理的适用条件
(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．
(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．
2．解三角形应用题的两种情形
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形．
(3)设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的角．
(4)涉及四边形等非三角形图形时，可以作辅助线，将图形分割成三角形后求解．
G
如图，有一个码头P和三个岛屿A，B，C，PC＝30n mile，PB＝90n mile，AB＝30 n mile，∠PCB＝120°，∠ABC＝90°.

(1)求B，C两个岛屿间的距离；
(2)某游船拟载游客从码头P前往这三个岛屿游玩，然后返回码头P.问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程．
[解析]　(1)在△PBC中，PB＝90，PC＝30，∠PCB＝120°，
由正弦定理得，＝，即＝，
解得sin∠PBC＝，
又因为在△PBC中，0°<∠PBC<60°，所以∠PBC＝30°，
所以∠BPC＝30°，从而BC＝PC＝30，
即B，C两个岛屿间的距离为30n mile.
(2)因为∠ABC＝90°，∠PBC＝30°，
所以∠PBA＝∠ABC－∠PBC＝90°－30°＝60°，
在△PAB中，PB＝90，AB＝30，由余弦定理得，
PA＝
＝＝30，
根据“两点之间线段最短”可知，
最短航线是“P→A→B→C→P”或“P→C→B→A→P”，
其航程为S＝PA＋AB＋BC＋CP＝30＋30＋30＋30＝30＋60＋30，
所以应按航线“P→A→B→C→P”或“P→C→B→A→P”航行，
其航程为(30＋60＋30)n mile.

例3 (1)(2018·河南百校联盟)已知△ABC的外接圆半径为R，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asinBcosC＋csinC＝，则△ABC面积的最大值为( C )
A．　 B．　　
C．　 D．
[解析]　∵asinBcosC＋csinC＝，
∴cosC＋c2＝2，可得
＋c2＝2，
即a2＋b2＋2c2＝8，故a2＋b2＝8－2c2，
又∵S＝absinC，
∴S2＝a2b2(1－cos2C)＝a2b2－≤－＝－c4＋c2，
∴a＝b且c2＝时，△ABC的面积的最大值为.
(2)(2018·江淮十校三模)已知向量m＝(sinx，－1)，向量n＝(cosx，－)，函数f(x)＝(m＋n)·m.
①求f(x)的最小正周期T；
②已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a＝2，c＝4，且f(A)恰是f(x)在[0，]上的最大值，求A和b的值．
[解析]　①f(x)＝(m＋n)·m＝sin2x＋1＋sinxcosx＋
＝＋1＋＋
＝sin2x－cos2x＋2
＝sin(2x－)＋2，
T＝＝π.
②由①知：f(x)＝sin(2x－)＋2，
所以当x∈[0，]时，
－≤2x－≤，
当2x－＝时f(x)取得最大值3，此时x＝.
由f(A)＝3得A＝.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，
所以12＝b2＋16－2×4b×，
即b2－4b＋4＝0，则b＝2.
『规律总结』
与解三角形有关的交汇问题的关注点
(1)根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化．
(2)结合内角和定理、面积公式等，灵活运用三角恒等变换公式．
G
已知向量a＝(cos(＋x)，sin(＋x))，b＝(－sinx，sinx)，f(x)＝a·b.
(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值；
(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f()＝1，a＝2，求△ABC面积的最大值．
[解析]　(1)易得a＝(－sinx，cosx)，
则f(x)＝a·b＝sin2x＋sinxcosx
＝－cos2x＋sin2x＝sin(2x－)＋，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π，
当2x－＝＋2kπ，k∈Z时，
即x＝＋kπ(k∈Z)时，f(x)取最大值是.
(2)因为f()＝sin(A－)＋＝1，
所以sin(A－)＝⇒A＝.
因为a2＝b2＋c2－2bccosA，
所以12＝b2＋c2－bc，
所以b2＋c2＝bc＋12≥2bc，
所以bc≤12(当且仅当b＝c时等号成立)，
所以S＝bcsinA＝bc≤3.
所以当△ABC为等边三角形时面积取最大值是3.

A组
1．若2sin(θ＋)＝3sin(π－θ)，则tanθ等于( B )
A．－　　 B．　　 　
C．　 　 D．2
[解析]　由已知得sinθ＋cosθ＝3sinθ，即2sinθ＝cosθ，所以tanθ＝，故选B．
2．(文)如果sinα＝，那么sin(α＋)－cosα等于( A )
A． B．－
C． D．－
[解析]　sin(α＋)－cosα
＝sinαcos＋cosαsin－cosα＝×＝.
(理)已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝( C )
A． B．
C．－ D．－
[解析]　本题考查三角函数同角间的基本关系．
将sinα＋2cosα＝两边平方可得，
sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝，
∴4sinαcosα＋3cos2α＝，∴＝.
将左边分子分母同除以cos2α得，
＝，解得tanα＝3或tanα＝－，
∴tan2α＝＝－.
3．若三角形ABC中，sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，则此三角形的形状是( B )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
[解析]　∵sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，sin(A＋B)＝sinC≠0，∴sin(A－B)＝sin(A＋B)，∴cosAsinB＝0，
∵sinB≠0，∴cosA＝0，∴A为直角．
4．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝( B )
A．5 B．
C．2 D．1
[解析]　本题考查余弦定理及三角形的面积公式．
∵S△ABC＝acsinB＝··1·sinB＝，
∴sinB＝，∴B＝或.
当B＝时，
经计算△ABC为等腰直角三角形，不符合题意，舍去．
∴B＝，根据余弦定理，
b2＝a2＋c2－2accosB，解得b＝，故选B．
5．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cosA＝，且b A． B．2
C．2 D．3
[解析]　由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA，
所以22＝b2＋(2)2－2×b×2×，
即b2－6b＋8＝0，解得：b＝2或b＝4.
因为b 6．已知tanβ＝，sin(α＋β)＝，其中α，β∈(0，π)，则sinα的值为( A )
A． B．
C． D．或
[解析]　依题意得sinβ＝，cosβ＝，注意到sin(α＋β)＝(否则，若α＋β≤，则有0<β<α＋β≤，0 7．(2018·淮北二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝3b2＋3c2－2bcsinA，则C等于.
[解析]　由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，
所以b2＋c2－2bccosA＝3b2＋3c2－2bcsinA，
sinA－cosA＝，2sin(A－)＝≥2，因此b＝c，A－＝⇒A＝，所以C＝＝.
8．(2018·长沙三模)在锐角△ABC中，D为BC的中点，满足∠BAD＋∠C＝90°，则角B，C的大小关系为B＝C.(填“BC”)
[解析]　设∠BAD＝α，∠CAD＝β，
因为∠BAD＋∠C＝90°，所以α＝90°－C，β＝90°－B，
因为D为BC的中点，
所以S△ABD＝S△ACD，
所以c·ADsinα＝b·ADsinβ，
所以csinα＝bsinβ，所以ccosC＝bcosB，
由正弦定理得，sinCcosC＝sinBcosB，
即sin2C＝sin2B，所以2B＝2C或2B＋2C＝π，
因为△ABC为锐角三角形，所以B＝C．
9．为了竖起一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB＝60°， BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳定广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为2＋.
[解析]　由题意设BC＝x(x>1)米，
AC＝t(t>0)米，依题设AB＝AC－0.5
＝(t－0.5)米，
在△ABC中，由余弦定理得：
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos60°，
即(t－0.5)2＝t2＋x2－tx，化简并整理得：
t＝(x>1)，
即t＝x－1＋＋2，
因为x>1，故t＝x－1＋＋2≥2＋，
当且仅当x＝1＋时取等号，此时取最小值2＋.
10．(2018·全国卷Ⅰ，17)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.
(1)求cos∠ADB；
(2)若DC＝2，求BC．
[解析]　(1)在△ABD中，由正弦定理得＝.
由题设知，＝，
所以sin∠ADB＝.
由题意知，∠ADB＜90°，
所以cos∠ADB＝＝.
(2)由题意及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.
在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25.
所以BC＝5.
11．(文)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asinA＝4bsinB，ac＝(a2－b2－c2)．
(1)求cosA的值；
(2)求sin(2B－A)的值．
[解析]　(1)由asinA＝4bsinB及＝，
得a＝2b.
由ac＝(a2－b2－c2)及余弦定理，
得cosA＝＝＝－.
(2)由(1)，可得sinA＝，代入asinA＝4bsinB中，
得sinB＝＝.
由(1)知，A为钝角，所以cosB＝＝.
于是sin2B＝2sinBcosB＝，
cos2B＝1－2sin2B＝，
故sin(2B－A)＝sin2BcosA－cos2BsinA
＝×(－)－×＝－.
(理)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a>b，a＝5，c＝6，sinB＝.
(1)求b和sinA的值；
(2)求sin(2A＋)的值．
[解析]　(1)在△ABC中，因为a>b，
所以由sinB＝，得cosB＝.
由已知及余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝13，
所以b＝.
由正弦定理＝，
得sinA＝a＝.
所以b的值为，sinA的值为.
(2)由(1)及a 所以sin2A＝2sinAcosA＝，
cos2A＝1－2sin2A＝－.
所以sin(2A＋)＝sin2Acos＋cos2Asin＝.
B组
1．(2018·福州三模)已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，点M为△ABC的重心．若a＋b＋c＝0，则C＝( D )
A． B．
C． D．
[解析]　∵M为△ABC的重心，则＋＋＝0，
∴＝－－，
∵a＋b＋c·＝0，
∴a·(－－)＋b＋c·＝0.
即(b－a)·＋(c－a)·＝0，
∵与不共线，
∴b－a＝0，c－a＝0.
得abc＝111，
令a＝1，b＝1，c＝，
则cosC＝＝＝－，
∴C＝，故选D．
2．(2018·唐山市一模)若sin(－α)＝，则cos(＋2α)＝( A )
A．－ B．
C．－ D．
[解析]　∵cos(＋2α)＝－cos(－2α)＝－[1－2sin2(－α)]＝－(1－)＝－.
3．(2018·威海二模)已知等腰△ABC满足AB＝AC，BC＝2AB，点D为BC边上的一点且AD＝BD，则sin∠ADB的值为( C )
A．　　　　 B．　　　　
C．　　　　 D．
[解析]　如图，设AB＝AC＝a，AD＝BD＝b，

由BC＝2AB，
得BC＝a，
在△ABC中，由余弦定理得，
cos∠ABC＝
＝
＝.
∵AB＝AC，
∴∠ABC是锐角，
则sin∠ABC＝＝，
在△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2·AB·BD·cos∠ABD，
∴b2＝a2＋b2－2·a·b·，
解得a＝b，
由正弦定理得，＝，
∴＝，
解得sin∠ADB＝.
4．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝( B )
A．5 B．
C．2 D．1
[解析]　∵S＝AB·BCsinB＝×1×sinB＝，
∴sinB＝，
∴B＝或.
当B＝时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2＋2＝5，
∴AC＝，此时△ABC为钝角三角形，符合题意；
当B＝时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2－2＝1，
∴AC＝1，此时AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意．故AC＝.
5．设α∈，β∈，且tanα＝，则( C )
A．3α－β＝ B．3α＋β＝
C．2α－β＝ D．2α＋β＝
[解析]　因为tanα＝＝，
去分母得sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，
所以sinαcosβ－cosαsinβ＝cosα，
即sin(α－β)＝cosα＝sin.
又因为α∈，β∈，
则－<α－β<，0<－α<，所以α－β＝－α
故2α－β＝.
6．已知α－β＝，tanα－tanβ＝3，则cos(α＋β)的值为－.
[解析]　因为tanα－tanβ＝－＝＝3，且α－β＝，所以cosαcosβ＝，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝，所以sinαsinβ＝－，所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－.
7．已知点O是△ABC的内心，∠BAC＝30°，BC＝1，则△BOC面积的最大值为.
[解析]　根据角平分线的性质可知，∠BOC＝105°，
所以在△BOC中，根据余弦定理有
cos105°＝＝，
等价于·OB·OC＝OB2＋OC2－1，
即·OB·OC≥2OB·OC－1，
所以OB·OC≤，而S△BOC＝·OB·OC·sin105°≤·sin105°·＝.
8．已知向量m＝与n＝(3，sinA＋cosA)共线，其中A是△ABC的内角．
(1)求角A的大小；
(2)若BC＝2，求△ABC的面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．
[解析]　(1)因为m∥n，
所以sinA·(sinA＋cosA)－＝0.
所以＋sin2A－＝0，
即sin2A－cos2A＝1，即sin＝1.
因为A∈(0，π)，所以2A－∈.
故2A－＝，A＝.
(2)设角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则由余弦定理，得4＝b2＋c2－bc.
而b2＋c2≥2bc，∴bc＋4≥2bc，∴bc≤4(当且仅当b＝c时等号成立)，
所以S△ABC＝bcsinA＝bc≤×4＝，
当△ABC的面积取最大值时，b＝c.
又A＝，故此时△ABC为等边三角形．
9．(2018·天津卷，15)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acos.
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．
[解析]　(1)在△ABC中，由正弦定理＝，
可得bsinA＝asinB，又由bsinA＝acos，
得asinB＝acos，即sinB＝cos，
所以sinB＝cosB＋sinB，可得tanB＝.
又因为B∈(0，π)，可得B＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，
有b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝.
由bsinA＝acos，可得sinA＝.
因为a 因此sin2A＝2sinAcosA＝，cos2A＝2cos2A－1＝.
所以，sin(2A－B)＝sin2AcosB－cos2AsinB＝×－×＝.
专题三　规范答题示例
例1 (12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，cosA＝，B＝A＋.
(1)求b的值；
(2)求△ABC的面积．
[思路探究]　(1)―→―→.
(2)方法一―→
方法二―→.
规范解答·分步得分
构建答题模板
　　解：(1)在△ABC中，由题意知，sinA＝＝，1分
又因为B＝A＋，所以sinB＝sin＝cosA＝，3分
由正弦定理，得b＝＝＝3.5分
(2)由余弦定理，得cosA＝＝⇒c2－4c＋9＝0⇒c＝或3，8分
又因为B＝A＋为钝角，所以b>c，即c＝，10分
所以S△ABC＝acsinB＝.12分
　　第一步找条件：寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向．
第二步定工具：根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化．
第三步求结果：根据前两步分析，代入求值得出结果．
第四步再反思：转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性.
[评分细则](1)第(1)问：没求sinA而直接求出sinB的值，不扣分；写出正弦定理，但b计算错误，得1分．
(2)第(2)问：写出余弦定理，但c计算错误，得1分；求出c的两个值，但没舍去，扣2分；面积公式正确，但计算错误，只给1分；若求出sinC，利用S＝absinC计算，同样得分．
G
已知a，b，c分别为△ABC三个内角的对边，且cosC＋sinC＝.
(1)求B的大小；
(2)若a＋c＝5，b＝7，求·的值．
[解析]　(1)∵cosC＋sinC＝，
由正弦定理可得
cosC＋sinC＝，
∴cosCsinB＋sinBsinC＝sinA
⇒cosCsinB＋sinBsinC＝sin(B＋C)
⇒cosCsinB＋sinBsinC
＝sinBcosC＋cosBsinC，
∴sinBsinC＝sinCcosB，
∵sinC≠0，∴sinB＝cosB，
∴tanB＝，又0 (2)由余弦定理可得2accosB＝a2＋c2－b2＝(a＋c)2－2ac－b2，
整理得3ac＝(a＋c)2－b2，
即3ac＝175－49.∴ac＝42，
∴·＝－·
＝－||||·cosB
＝－ac·cosB
＝－21.
　　 例2 (12分)已知m＝(cosωx，cos(ωx＋π))，n＝(sinωx，cosωx)，其中ω>0，f(x)＝m·n，且f(x)相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)若f()＝－，α∈(0，)求cosα的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)的单调递增区间．
[思路探究]　
(2).
规范解答·分步得分
构建答题模板
　　解：f(x)＝m·n＝cosωxsinωx＋cos(ωx＋π)cosωx
＝cosωxsinωx－cosωxcosωx
＝－＝sin(2ωx－)－.3分
∵f(x)相邻两条对称轴之间的距离为，
∴T＝π，∴ω＝1，∴f(x)＝sin(2x－)－.4分
(1)f()＝sin(α－)－＝－，
∴sin(α－)＝，
∵α∈(0，)，sin(α－)＝>0，
∴α－∈(0，)，
∴cos(α－)＝.6分
∴cosα＝cos(α－＋)＝cos(α－)cos－sin(α－)sin
＝×－×＝.8分
(2)f(x)经过变换可得g(x)＝sin(x－)－，10分
令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
∴g(x)的单调递增区间是[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z).12分
　　第一步化简：利用辅助角公式将f(x)化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式．
第二步求值：根据三角函数的和差公式求三角函数值．
第三步整体代换：将“ωx＋φ”看作一个整体，确定f(x)的性质．
第四步反思：查看角的范围的影响，评价任意结果的合理性，检查步骤的规范性.

[评分细则](1)化简f(x)的过程中，诱导公式和二倍角公式的使用各给1分；如果只有最后结果没有过程，则给1分；最后结果正确，但缺少上面的某一步过程，不扣分；
(2)计算cosα时，算对cos(α－)给1分；由cos(α－)计算sin(α－)时没有考虑范围扣1分；
(3)第(2)问直接写出x的不等式没有过程扣1分；最后结果不用区间表示不给分；区间表示式中不标出k∈Z不扣分；没有2kπ的不给分．
G
　设函数f(x)＝sin(ωx－)＋sin(ωx－)，其中0<ω<3，已知f()＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在[－，]上的最小值．
[解析]　(1)因为f(x)＝sin(ωx－)＋sin(ωx－)，
所以f(x)＝sinωx－cosωx－cosωx
＝sinωx－cosωx
＝(sinωx－cosωx)
＝sin(ωx－)．
由题设知f()＝0，
所以－＝kπ，k∈Z.
所以ω＝6k＋2，k∈Z.
又0<ω<3，
所以ω＝2.
(2)由(1)得f(x)＝sin(2x－)，
所以g(x)＝sin(x＋－)＝sin(x－)．
因为x∈[－，]，
所以x－∈[－，]．
当x－＝－，即x＝－时，
g(x)取得最小值－.