2019届二轮复习坐标系和参数方程学案（全国通用）

考情速递：

1（2018•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．

（1）求C2的直角坐标方程；

（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．

所以：必有一直线相切，一直线相交．

则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2．

故：，或

解得：k=或0，（0舍去）或k=或0

经检验，直线与曲线C2没有公共点．

故C1的方程为：．

2.（2018•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．

（1）求C和l的直角坐标方程；]

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．

（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1

整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，

则：，由于（1，2）为中点坐标，

①当直线的斜率不存时，x=1．

②当直线的斜率存在时，利用中点坐标公式，

，则：8cosα+4sinα=0，解得：tanα=﹣2，

即：直线l的斜率为﹣2．

例1

在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），点P在曲线C1上，点A的坐标为（1，0），点Q满足=+．

（1）求点Q的轨迹方程；

（2）以O为极点，若点M为曲线ρ=﹣2sinθ上一点，求|MQ|的最小值． 学      

（2）∵ρ=﹣2sinθ，∴ρ2=﹣2ρsinθ，∴x2+y2=﹣2y．即x2+（y+1）2=1．

∴曲线（x﹣2）2+（y﹣2）2=1的圆心到曲线x2+（y+1）2=1的圆心的距离d==＞2．

∴两圆外离，∴|MQ|的最小值为﹣2．

例2（2018•宝鸡一模）极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．

（1）求C的直角坐标方程；

（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．

【解析】：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）

∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ

∴x2+y2=2x+2y

即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2

（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程， 学   ]

得t2﹣t﹣1=0，

所以|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==．

例3（2018•新课标Ⅲ）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．

（1）求α的取值范围；

（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．

【分析】（1）⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=时，直线l的方程为x=0，成立；当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+，从而圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，进而求出或，由此能求出α的取值范围．

（2）设直线l的方程为x=m（y+），联立，得（m2+1）y2+2+2m2﹣1=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式能求出AB中点P的轨迹的参数方程．

∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，

∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，

∴或，

综上α的取值范围是（，）．

（2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+），

设A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3），

联立，得（m2+1）y2+2+2m2﹣1=0，

， 学    ]

=﹣+2，

=，=﹣，

∴AB中点P的轨迹的参数方程为，（m为参数），（﹣1＜m＜1）．

变式训练题：

（2018•济南一模）在直角坐标系xOy中，过点P（1，2）的直线l的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ．

（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l与曲线C相交于M，N两点，求的值．

【解析】：（1）由已知得：，消去t得， 学          ]

∴化为一般方程为：，

即：l：．

曲线C：ρ=4sinθ得，ρ2=4ρsinθ，即x2+y2=4y，整理得x2+（y﹣2）2=4，

即：C：x2+（y﹣2）2=4．

（2）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的直角坐标方程中得：，即t2+t﹣3=0，

设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，则，

∴===．

 学  ]

例4（2018•乐山二模）已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为 （t为参数），点A的极坐标为（，），设直线l与圆C交于点P、Q两点．

（1）写出圆C的直角坐标方程；

（2）求|AP|•|AQ|的值．

1（2018•上饶三模）已知直线l过点P（1，0），且倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ．

（1）求圆C的直角坐标系方程及直线l的参数方程；

（2）若直线l与圆C交于A，B两点，求的最大值和最小值．

设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，

则，

因为cosα∈[﹣1，1]，

所以的最大值为，最小值为．

必刷题：

1. （2018•丰台区一模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．若以射线Ox为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为（　　）

A．ρ=sinθ B．ρ=2sinθ C．ρ=cosθ D．ρ=2cosθ 学   ]

【答案】：D

【解析】：∵曲线C的参数方程为（α为参数）． 学   ]

∴曲线的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0，

∴曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．

故选：D．

2（2018•朝阳区二模）在极坐标系中，直线l：ρcosθ+ρsinθ=2与圆C：ρ=2cosθ的位置关系为（　　）

A．相交且过圆心 B．相交但不过圆心

C．相切 D．相离

【答案】：B

【解析】：直线l：ρcosθ+ρsinθ=2，

转换为直角坐标方程为：x+y﹣2=0．

圆C：ρ=2cosθ，

转换为直角坐标方程为：x2+y2=2x，

整理得：（x﹣1）2+y2=1，

所以圆心（1，0）到直线x+y﹣2=0的距离d==r，

故：直线与圆相交但不过圆心．

故选：B．

3（2018天津理）已知圆的圆心为C，直线(为参数)与该圆相交于A，B

两点，则的面积为           .

【答案】

4. （2018•北京）在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）与圆ρ=2cosθ相切，则a=　　．

【答案】：1+

【解析】：圆ρ=2cosθ，转化成：ρ2=2ρcosθ，进一步转化成直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2=1，把直线ρ（cosθ+sinθ）=a的方程转化成直角坐标方程为：x+y﹣a=0．

由于直线和圆相切，所以：利用圆心到直线的距离等于半径．

则：=1，解得：a=1±．a＞0，则负值舍去．

故：a=1+．故答案为：1+．

5 （2018•东城区二模）在极坐标系中，点是极点，则△AOB的面积等于　　．

【答案】：

6．（2018•武昌区一模）以直角坐标系的原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ．

（1）若，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当α变化时，求|AB|的最小值．

【解析】：（1）当时，由直线l的参数方程消去t得，

即直线l的普通方程为；

因为曲线过极点，由ρcos2θ=4sinθ，得（ρcosθ）2=4ρsinθ，

所以曲线C的直角坐标方程为x2=4y．

（2）将直线l的参数方程代入x2=4y，得t2cos2α﹣4tsinα﹣8=0，

由题意知，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，

则，，

∴=

=．

∵，cos2α∈（0，1]，，

当cos2α=1，即α=0时，|AB|的最小值为．