2019届二轮复习规范答题示范——概率与统计解答题学案(全国通用)
展开规范答题示范——概率与统计解答题
【典例 】 (12分)(2017·全国Ⅲ卷)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高气温 | [10,15) | [15,20) | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40) |
天数 | 2 | 16 | 36 | 25 | 7 | 4 |
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?
[信息提取]
❶看到求X的分布列,想到依据题目中的信息确定X的取值及相应概率;
❷看到求Y的数学期望达到最大值,想到利用数学期望公式,列出关于进货量n的函数关系式,由函数的单调性求解.
[规范解答]
(1)由题意知,X所有的可能取值为200,300,500,1分
由表格数据知,
(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200≤n≤500.
当300≤n≤500时,
若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n,
若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2(n-300)-4n=1 200-2n;
若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n;
因此E(Y)=2n×0.4+(1 200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n.
……………………………………………………8分
当200≤n<300时,
若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;
若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n;
因此E(Y)=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n.
……………………………………………………10分
所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.
……………………………………………………12分
[高考状元满分心得]
❶写全得分步骤:对于解题过程中是得分点的步骤,有则给分,无则没分,所以对于得分点步骤一定要写全.如第(1)问中,写出X所有可能取值得分,第(2)问中分当300≤n≤500时和200≤n<300时进行分析才能得满分.
❷写明得分关键:对于解题过程中的关键点,有则给分,无则没分,所以在答题时一定要写清得分关键点,如第(1)问应写出求分布列的过程,第(2)问应写出不同范围内Y的数学期望.
[解题程序]
第一步:确定随机变量的取值;
第二步:求每一个可能值的概率,列出随机变量的分布列;
第三步:根据题目所要解决的问题,确定自变量及其取值范围;
第四步:确定利润Y与进货量的函数关系;
第五步:求出利润的数学期望E(Y)与进货量n的关系;
第六步:利用函数的性质,求E(Y)的最大值;
第七步:反思回顾、查看关键点、易错点和答题规范.
【巩固提升】 某大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干A水果,然后以15元/千克的价格出售,若有剩余,则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地,为了确定进货数量,该超市记录了A水果最近50天的日需求量(单位:千克),整理得下表:
日需求量 | 140 | 150 | 160 | 170 | 180 | 190 | 200 |
频数 | 5 | 10 | 8 | 8 | 7 | 7 | 5 |
以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率.
(1)若该超市一天购进A水果150千克,记超市当天A水果获得的利润为X(单位:元),求X的分布列及其数学期望;
(2)若该超市计划一天购进A水果150千克或160千克,请以当天A水果获得的利润的期望值为决策依据,在150千克与160千克之中选其一,应选哪一个?若受市场影响,剩余的水果以7元/千克的价格退回水果基地,又该选哪一个?
解 (1)若A水果日需求量为140千克,
则X=140×(15-10)-(150-140)×(10-8)=680(元),且P(X=680)==0.1.
若A水果日需求量不小于150千克,
则X=150×(15-10)=750(元),且P(X=750)=1-0.1=0.9.
故X的分布列为
X | 680 | 750 |
P | 0.1 | 0.9 |
E(X)=680×0.1+750×0.9=743(元).
(2)设该超市一天购进A水果160千克,当天的利润为Y(单位:元),
则Y的可能取值为140×5-20×2,150×5-10×2,160×5,
即660,730,800,
Y的分布列为
Y | 660 | 730 | 800 |
P | 0.1 | 0.2 | 0.7 |
E(Y)=660×0.1+730×0.2+800×0.7=772(元).
因为772>743,所以该超市应购进160千克.
若剩余的水果以7元/千克的价格退回水果基地,同理可得X,Y的分布列分别为
X | 670 | 750 |
P | 0.1 | 0.9 |
Y | 640 | 720 | 800 |
P | 0.1 | 0.2 | 0.7 |
因为670×0.1+750×0.9<640×0.1+720×0.2+800×0.7,
所以该超市还是应购进160千克.