单科标准练(二)

单科标准练(二)
(满分：150分　时间：120分钟)
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}，B＝{x|y＝lg(x－1)}，则A∩B＝(　　)
A．{0,1,2,3} B．{1,2,3}
C．{1,2} D．{2,3}
D　[根据题意可得，集合B＝{x|x＞1，x∈R}，所以A∩B＝{2,3}，故选D.]
2．在复平面内，设z＝1＋i(i是虚数单位)，则复数z2－对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B　[∵z＝1＋i，∴z2－＝(1＋i)2－＝2i－＝－＋i，∴复数z2－对应的点位于第二象限．故选B.]
3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝8·3x－a(a为常数)，则f(1)＝(　　)
A.　　　B. C.　　　D.
C　[因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝8×30－a＝0，解得a＝8.所以f(1)＝－f(－1)＝.故选C.]
4．圆C1：x2＋y2－3x＝0与圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的位置关系为(　　)
A．相交 B．内切
C．外切 D．相离
A　[圆C1：x2＋y2－3x＝0，整理得其标准方程为2＋y2＝，所以圆C1的圆心坐标为，半径r1＝.圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4，其圆心坐标为(3,2)，半径r2＝2.所以圆C1，C2的圆心距|C1C2|＝＝，又r1＋r2＝＋2＝＞，所以两圆相交．故选A.]
5．某校开设A类选修课3门和B类选修课4门，小明同学从中任选2门，则A，B两类课程都选上的概率为(　　)
A. B.
C. D.
D　[设3门A类选修课分别为A1，A2，A3,4门B类选修课分别为B1，B2，B3，B4，小明同学从中任选2门，基本事件有A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2A3，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，A3B1，A3B2，A3B3，A3B4，B1B2，B1B3，B1B4，B2B3，B2B4，B3B4，共21种，其中A，B两类课程都选上的有A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，A3B1，A3B2，A3B3，A3B4，共12种，所以A，B两类课程都选上的概率为＝.故选D.]
6．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且7S2＝4S4，则公比q的值为(　　)
A．1 B．1或
C. D．±
C　[若q＝1，则7S2＝14a1,4S4＝16a1，∵a1≠0，∴7S2≠4S4，不合题意．若q≠1，由7S2＝4S4，得7×＝4×，∴q2＝，又q＞0，∴q＝.故选C.]
7．将函数f(x)＝－cos 4x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)(　　)
A．最大值为1，图象关于直线x＝对称
B．在上单调递减，为奇函数
C．在上单调递增，为偶函数
D．周期为π，图象关于点对称
B　[函数f(x)的图象经平移后得到函数g(x)的图象，其对应的解析式为g(x)＝－cos 4＝－cos＝－sin 4x.A项，g(x)＝－sin 4x的最大值为1，其图象的对称轴方程为4x＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，所以A项错误；B项，g(x)＝－sin 4x的单调递减区间为(k∈Z)，所以函数g(x)在上单调递减，且为奇函数，所以B项正确；C项，g(x)＝－sin 4x为奇函数，所以C项错误；D项，g(x)＝－sin 4x的周期Τ＝＝，其图象的对称中心为(k∈Z)，所以D项错误．故选B.]
8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中最长棱的长度为(　　)

A．4　　　　B．5 C.　　　　D.
D　[三视图还原的几何体是一个侧面垂直于底面的三棱锥，记为三棱锥A­BCD，如图，过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥BD于点F，连接CE，AF，由三视图可得，AE＝4，BD＝4，BE＝3，ED＝1，BF＝2，FD＝2，CF＝3.所以CE2＝CF2＋FE2＝9＋1＝10，AC2＝CE2＋AE2＝10＋16＝26，AB2＝BE2＋AE2＝9＋16＝25，AD2＝AE2＋DE2＝16＋1＝17，BC2＝DC2＝FD2＋CF2＝22＋32＝13，所以最长的棱为AC，其长度为.故选D.]
9．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e＝，过点F1作倾斜角为θ的直线交双曲线的右支于点M，若MF2垂直于x轴，则θ＝(　　)
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
C　[法一：设点M在x轴上方，则|MF2|＝，tan θ＝＝，∵c2＝a2＋b2，e＝＝，∴tan θ＝，θ＝30°；当点M在x轴下方时，同理可得θ＝150°.故选C.
法二：当θ为锐角时，在Rt△MF1F2中，∠MF1F2＝θ，|F1F2|＝2c，|MF1|＝，|MF2|＝2c·tan θ，∴2a＝|MF1|－|MF2|＝－2c·tan θ，∴e＝＝＝＝＝，又sin2θ＋cos2θ＝1，∴sin θ＝，cos θ＝，∴θ＝30°；同理可得，当θ为钝角时，θ＝150°.故θ为30°或150°.故选C.]
10．已知数列{an}，a1＝2，点在函数f(x)＝2x＋3的图象上．数列{bn}满足bn＝，Tn为数列{bn}的前n项和，则Tn＝(　　)
A．2n B.
C. D.
C　[由题意得an＋1＋1＝2×an＋3，即an＋1－an＝2，又a1＝2，所以数列{an}是以2为首项、2为公差的等差数列．所以数列{an}的通项公式为an＝2＋(n－1)×2＝2n.所以bn＝＝.于是Tn＝＝.故选C.]
11．如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，M，N分别是棱AA1，BC上的动点，若MN＝，则线段MN的中点P的轨迹是(　　)
A．一条线段
B．一段圆弧
C．一个球面区域
D．两条平行线段
B　[连接AN，AP(图略)，易知△MAN为直角三角形．因为MN＝，P为线段MN的中点，所以AP＝，因此点P到点A的距离为定值，所以点P在以点A为球心，为半径的球面上运动，记此球为球O，分别取A1B1，D1C1，DC，AB的中点E，F，G，H，并顺次连接，则MA∥平面EFGH.记AN∩HG＝Q，则易知HQ为△ABN的中位线，故Q为AN的中点．连接PQ(图略)，则PQ为△AMN的中位线，得MA∥PQ，又点Q在平面EFGH内，MA∥平面EFGH，所以点P在平面EFGH内运动，故点P的轨迹为平面EFGH与球O的球面的交线，所以点P的轨迹是一段圆弧．故选B.]
12．若函数f(x)＝＋在区间(2,3)上有唯一的极值点，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
C　[法一：因为f(x)＝＋＝＋，所以f′(x)＝－.依题意，知－＝0在区间(2,3)上有唯一的实数解，即ex(x－3)－(a－2)x2＝0，所以a－2＝.令g(x)＝，则g′(x)＝.因为x∈(2,3)，所以g′(x)＞0，所以g(x)在(2,3)上单调递增，所以g(x)∈(g(2)，g(3))，即g(x)∈，因此应满足－＜a－2＜0，故2－＜a＜2.
法二：因为f(x)＝＋＝＋，所以f′(x)＝－.依题意，知－＝0在区间(2,3)上有唯一的实数解，即ex(x－3)＝(a－2)x2.
令g(x)＝ex(x－3)，h(x)＝(a－2)x2，易知函数g(x)在x＝2处取得极小值g(2)＝－e2.在同一平面直角坐标系中分别画出函数g(x)，h(x)的图象(如图)，由图象可知要使两个函数的图象在(2,3)上有唯一的交点，应满足解得2－＜a＜2.
]
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在横线上)
13．已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，(3a－b)⊥(a＋2b)，则向量a与b的夹角为________．
60°　[∵(3a－b)⊥(a＋2b)，∴(3a－b)·(a＋2b)＝3a2＋5a·b－2b2＝3＋5a·b－8＝0，∴5a·b－5＝0，∴a·b＝1，设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝，∴a与b的夹角为60°.]
14．已知曲线f(x)＝xln x＋x在点A(x0，y0)处的切线平行于直线y＝3x＋19，则点A的坐标为________．
(e,2e)　[由题意知，函数f(x)的定义域为{x|x＞0}，f′(x)＝(xln x)′＋1＝ln x＋2.
∵曲线f(x)在点A(x0，y0)处的切线平行于直线y＝3x＋19，∴ln x0＋2＝3，∴ln x0＝1，∴x0＝e.此时y0＝f(x0)＝x0ln x0＋x0＝e＋e＝2e，故点A的坐标为(e,2e)．]
15．已知实数x，y满足不等式组且目标函数z＝3x－2y的最大值为180，则实数m的值为________．
60　[当m≤0时，不合题意；当m＞0时，画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数z＝3x－2y可变形为y＝x－，作出直线y＝x并平移，结合图象可知，当平移后的直线经过点A(m,0)时，z＝3x－2y取得最大值180，所以3m－0＝180，解得m＝60.]
16．设正三棱柱ABC­A1B1C1的外接球O的半径为定值，当该正三棱柱的底面边长与侧棱长之和取最大值时，球O的表面积与该正三棱柱底面三角形外接圆的面积比为________．
　[设球O的半径为R，△ABC外接圆的圆心为D，半径为r，连接OA，OD，AD(图略)，令∠OAD＝θ，易知△OAD为直角三角形，∠ADO＝90°，∴r＝Rcos θ，AB＝2Rcos θcos 30°＝Rcos θ，OD＝Rsin θ，∴AA1＋AB＝2Rsin θ＋Rcos θ＝Rsin(θ＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.当sin(θ＋φ)＝1，即θ＋φ＝时，该正三棱柱的底面边长与侧棱长之和取得最大值．此时，cos θ＝cos＝sin φ＝，∴＝，∴＝＝.]
三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝2∠BAD，BD＝2，AB＝，cos∠BCD＝－.
(1)求AD的长；
(2)求cos∠CBD的值．
[解]　(1)因为∠BCD＝2∠BAD，cos∠BCD＝－，
所以cos∠BCD＝2cos2∠BAD－1＝－，得cos2∠BAD＝.
因为∠BAD∈，所以cos∠BAD＝.
在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AD2＋AB2－2AD·AB·cos∠BAD，
即4＝AD2＋6－2AD××，得AD＝.
(2)由(1)可得AD2＋BD2＝AB2，所以∠ADB＝，
所以sin∠ABD＝，cos∠ABD＝.
因为AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，
所以sin∠BDC＝，cos∠BDC＝.
因为cos∠BCD＝－，所以sin∠BCD＝.
所以cos∠CBD＝－cos(∠BCD＋∠BDC)＝sin∠BCDsin∠BDC－cos∠BCDcos∠BDC＝×＋×＝.
18．(本小题满分12分)五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，∠FAD＝90°，EF∥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，AF＝AB＝2，BC＝4，FE＝1.
(1)求证：BE⊥AC；
(2)求平面ACE分五面体ABCDEF所成的两部分三棱锥D­ACE与多面体EFABC的体积比．
[解]　(1)作EH⊥AD于H，连接BH，则EH⊥平面ABCD⇒EH⊥AC.
易知AH＝FE＝1，∴tan∠ABH＝＝tan∠ACB，
∴∠ABH＝∠ACB，
∴∠CAB＋∠ABH＝∠CAB＋∠ACB＝90°，
∴AC⊥BH，
又AC⊥EH，EH∩BH＝H，∴AC⊥平面EHB，
∴AC⊥BE.
(2)∵V五面体ABCDEF＝VB­AFE＋VE­ABCD＝·S△AEF·AB＋·S矩形ABCD·EH＝×1×2＋×8×2＝6，
且VE­ADC＝S△ACD·EH＝×4×2＝，∴V多面体EFABC6－＝，
∴三棱锥D ­ACE与多面体EFABC的体积比为∶＝4∶5.
19．(本小题满分12分)NBA球员的比赛得分是反映球员能力和水平的重要数据之一，以下是2017～2018赛季NBA常规赛中，球员J和H在某15场常规赛中，每场比赛得分的茎叶图：

(1)根据茎叶图估计球员J在本赛季的场均得分以及球员H在本赛季参加的75场常规赛中，得分超过32分的场数；
(2)效率值是更能反映球员能力和水平的一项指标，现统计了球员J在上述15场比赛中部分场次的得分与效率值如下表：
场次
1
2
3
4
5
得分x
18
21
27
30
31
效率值y
19
20.5
26.5
28.8
30.2
若球员J每场比赛的效率值y与得分x具有线性相关关系，试用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程＝x＋，并由此估计在上述15场比赛中，球员J的效率值超过31的场数(精确到0.001)．
参考公式：＝＝，＝－ .
参考数据：xiyi＝3 288.2，x＝3 355.
[解]　(1)由茎叶图可得球员J在15场比赛中的场均得分为
(15＋18＋21＋22＋22＋24＋27＋30＋32＋33＋36＋37＋38＋39＋41)＝29(分)．
故估计球员J在本赛季的场均得分为29分．
由茎叶图可得球员H在15场比赛中，得分超过32分的有6场，以频率作为概率，
故估计球员H在本赛季参加的75场常规赛中，得分超过32分的场数约为×75＝30.
(2)由表格可得＝25.4，＝25，又xiyi＝3288.2，x＝3 355，
所以＝＝≈0.876，
于是＝－ ≈25－0.876×25.4≈2.750，
故回归直线方程为y＝0.876x＋2.750.
由于y与x正相关，且当x＝32时，y＝0.876×32＋2.750＝30.782＜31，
当x＝33时，y＝0.876×33＋2.750＝31.658＞31，
所以估计在这15场比赛中，当球员J得分为33分，36分，37分，38分，39分，41分时，效率值超过31，共6场．
20．(本小题满分12分)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点到直线l：y＝－x的距离为.
(1)求抛物线C的方程；
(2)直线l′与抛物线C相交于A，B两点，与直线l相交于点M，且|AM|＝|MB|，N，求△ABN面积的取值范围．
[解]　(1)易知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为，
由题意得＝＝，解得p＝，
所以抛物线C的方程为x2＝y.
(2)易知直线l′的斜率存在且不为0，
由题意可设M(－m，m)(m＞0)，直线l′：y－m＝k(x＋m)(k≠－1且k≠0)，
联立方程，得消去y，得x2－kx－km－m＝0，由题意知，Δ＝k2－4(－km－m)＝k2＋4km＋4m＞0.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝k，x1x2＝－km－m，
因为|AM|＝|MB|，所以x1＋x2＝－2m，所以k＝－2m，所以x1x2＝2m2－m.
将k＝－2m代入①中，解得0＜m＜1，又k≠－1，所以0＜m＜1且m≠，
故直线l′的方程为y＝－2mx－2m2＋m，
点N到直线l′的距离d＝＝.
又|AB|＝|x1－x2|
＝
＝2，
所以S△ABN＝|AB|·d＝2|m－m2|·.
令t＝，则S△ABN＝2t3，
因为0＜m＜1且m≠，所以0＜t＜，所以2t3∈，
所以S△ABN∈，
所以△ABN的面积的取值范围为.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝axln x，g(x)＝x3－(2－a)x2，a∈R.
(1)若a＝1，证明：∀x1∈[1，e]，∃x2∈[1，e]，使得f(x1)＝g(x2)；
(2)若f(x)≤g(x)恒成立，求实数a的取值范围．
[解]　(1)当a＝1时，f′(x)＝1＋ln x，
当x∈[1，e]时，f′(x)＞0，
∴函数f(x)在[1，e]上单调递增，
∴f(1)≤f(x)≤f(e)，即0≤f(x)≤e，
∴当x∈[1，e]时，f(x)的值域为[0，e]．
当a＝1时，g′(x)＝3x2－2x＝x(3x－2)，
当x∈[1，e]时，g′(x)＞0，
∴函数g(x)在[1，e]上单调递增，
∴g(1)≤g(x)≤g(e)，即0≤g(x)≤e3－e2，
∴当x∈[1，e]时，g(x)的值域为[0，e3－e2]．
∵e3－e2＝e(e2－e)＞e，
∴[0，e]⊆[0，e3－e2]，
∴∀x1∈[1，e]，∃x2∈[1，e]，使得f(x1)＝g(x2)．
(2)法一：由f(x)≤g(x)得axln x≤x3－(2－a)x2，
∵x＞0，∴aln x≤x2－(2－a)x，
整理得a(ln x－x)≤x2－2x.
令G(x)＝ln x－x，x∈(0，＋∞)，
则G′(x)＝－1＝，
当x∈(0,1)时，G′(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，G′(x)＜0，
∴G(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
∴G(x)max＝G(1)＝－1＜0，
∴ln x－x＜0恒成立，
故a≥恒成立．
令h(x)＝，x∈(0，＋∞)，
则h′(x)＝＝，
令k(x)＝2ln x－x－2，x∈(0，＋∞)，
则k′(x)＝－1＝，
当x∈(0,2)时，k′(x)＞0，当x∈(2，＋∞)时，k′(x)＜0，
∴k(x)在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，
∴k(x)max＝k(2)＝2ln 2－4＝2(ln 2－2)＜0，
∴当x∈(0,1)时，h′(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＜0，
∴h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
∴h(x)max＝h(1)＝＝1，
∵a≥h(x)恒成立，∴a≥1，
∴实数a的取值范围为[1，＋∞)．
法二：由f(x)≤g(x)得axln x≤x3－(2－a)x2，
设F(x)＝axln x－x3＋(2－a)x2，则F(x)≤0，
根据F(1)＝－1＋2－a＝1－a≤0，得a≥1，
下面证明当a≥1时，F(x)≤0恒成立．
记m(x)＝ln x－x＋1，x∈[0，＋∞)，则m′(x)＝－1＝，
当x∈(0,1)时，m′(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，m′(x)＜0，
∴m(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，
∴m(x)max＝m(1)＝0，
∴m(x)≤0，即ln x≤x－1.
∴axln x≤ax(x－1)，
∴F(x)≤ax(x－1)－x3＋(2－a)x2＝－x3＋2x2－ax＝－x[(x－1)2＋a－1]≤0，
故实数a的取值范围为[1，＋∞)．
请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合．曲线C1：ρ2＋2ρcos θ－8＝0，曲线C2：(α为参数)．
(1)求曲线C1的直角坐标方程，曲线C2的极坐标方程；
(2)求曲线C1与曲线C2交点所在的直线的极坐标方程，并判断在极坐标系中点是否在该直线上．
[解]　(1)曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－8＝0，即(x＋1)2＋y2＝9.
曲线C2的直角坐标方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，即x2＋y2－6x－8y＝0，
∴曲线C2的极坐标方程为ρ2－8ρsin θ－6ρcos θ＝0.
(2)联立方程，得
①－②，得ρsin θ＋ρcos θ－1＝0，
∴曲线C1与曲线C2交点所在直线的极坐标方程为ρsin θ＋ρcos θ－1＝0.
∵sin＋cos －1＝0，
∴点在曲线C1与曲线C2交点所在的直线上．
23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]
已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－1|，a∈R.
(1)当a＝3时，求不等式f(x)≥x＋9的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[0,2]，求a的取值范围．
[解]　(1)当a＝3时，原不等式化为f(x)≥x＋9，f(x)＝
当x≤－3时，由－2x－2≥x＋9，解得x≤－，故x≤－；
当－3＜x＜1时，由4≥x＋9，解得x≤－5，故不等式无解；
当x≥1时，由2x＋2≥x＋9，解得x≥7，故x≥7.
综上，f(x)≥x＋9的解集为∪[7，＋∞)．
(2)f(x)≤|x－4|的解集包含[0,2]等价于|x＋a|≤|x－4|－|x－1|在x∈[0,2]上恒成立．
当x∈[0,1]时，|x＋a|≤|x－4|－|x－1|＝3，
∴－3－a≤x≤3－a在[0,1]上恒成立，∴－3≤a≤2.
当x∈(1,2]时，|x＋a|≤|x－4|－|x－1|＝5－2x，
∴2x－5≤x＋a≤5－2x在(1,2]上恒成立，
∴对任意的x∈(1,2]恒成立，
∴解得－3≤a≤－1.
综上，得－3≤a≤－1.
故a的取值范围为[－3，－1]．