专题06 圆锥曲线中的轨迹问题-2020高考数学尖子生辅导专题

专题六  圆锥曲线中的轨迹问题

轨迹是动点按照一定的规律即轨迹条件运动而形成的，这个轨迹条件一旦用动点坐标的数学表达式表示出来，轨迹方程就产生了．根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是高考的常考点：一方面，求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面，求轨迹方程培养了学生数形结合的思想、函数与方程的思想以及化归与转化的思想．

模块1  整理方法  提升能力

曲线轨迹方程的探求有两种题型，第一种题型是曲线类型已知，该题型常用的方法是找条件或用待定系数法，难度不大；第二种题型是曲线类型未知，该题型常用的方法有以下种：

1．定义法：如果所给的几何条件能够符合一些常见定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义），则可从定义出发直接写出轨迹方程，这种方法叫做定义法．

2．直接法：如果动点运动的条件有明显的等量关系，或者是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含未知数、的等式，从而得到轨迹方程，这种方法叫做直接法．

3．参数法：求解轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使、之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程，这种方法叫做参数法．一般来说，引进了个未知数与参数，要得到未知数与之间的关系，需要找个方程．常见的消参手法是：加、减、乘、除、平方、平方相加、平方相减以及整体消参等．相关点代入法、交轨法是参数法的一种特殊情况．

例1

【解析】（1）法1（定义法）：圆心，由垂径定理可知，于是点在以为直径的圆上，所以的轨迹方程为，即．

法2（直接法）：设的坐标为，由可得．，，于是，即．

法3（参数法）：当的斜率不存在时，其直线方程为，于是，所以点的坐标为．

当的斜率存在时，设直线方程为，．联立消去可得，于是，将代入，消去参数，可得，整理可得（）．

综上所述，的轨迹方程为．

（2）法1：由可知点在以原点为圆心，为半径的圆上．联立，解得，于是点的坐标为，于是直线的方程为，即．△的面积为．

法2：由可知点在的垂直平分线上，而的垂直平分线过圆心，所以直线的斜率为，直线方程为，即．因为，点到直线的距离为，所以，于是△的面积为．

【点评】解析几何中两直线垂直的常见转化有以下4种：点在圆上，向量数量积为0，斜率乘积为，勾股定理．用“点在圆上”的角度能从定义法出发直接得到轨迹方程；用“向量数量积为0”的角度能避开分类讨论．

求轨迹方程时，先考虑定义法，看是否满足某种曲线的定义，再考虑直接法，看能否得到一个几何条件，进而将该几何条件代数化再化简，最后再考虑参数法，引进参数解决问题．

例2

【解析】（1）法1：由题设知，曲线上任意一点到圆的圆心的距离等于它到直线的距离，因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以方程为．

法2：设的坐标为，由已知得，且点位于直线的右侧，于是，所以，化简得曲线的方程为．

【证明】（2）当点在直线上运动时，设的坐标为，又，则过且与圆相切的直线的斜率存在且不为，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为，即．于是，整理得…①．设过所作的两条切线、的斜率分别为、，则、是方程①的两个实根，所以…②．

由可得…③．设四点、、、的纵坐标分别为、、、，则、是方程③的两个实根，所以，同理可得．于是

．所以当在直线上运动时，四点、、、的纵坐标之积为定值．

【点评】定义法和直接法非常相似，其出发点都是找几何条件，其区别在于对所找的几何条件的理解．如果能发现所找的几何条件是满足某种曲线的定义的，则可以根据曲线的定义马上得到所求的轨迹方程，这就是定义法．如果所找的几何条件究竟满足哪种定义不太明显，则可以利用直接法，把所找的几何条件代数化，再把代数化后的式子化简到最简．第（2）问的定值证明需要引进参数，而引进多少个参数是因题而异的，一般是从点的坐标和直线的方程这两个角度引进参数．本题总共引进了六个参数：、、、、、，其准则是所引进的参数都能帮助解题，且最终都能将其消去，这是解析几何中“设而不求”的重要思想方法．

例3

【证明】（1）焦点坐标为．不妨设直线：，直线：，则，，，，于是．

当线段垂直于轴时，不妨设，则有，，，于是，，所以∥．

当线段不垂直于轴时，直线的斜率为，方程为，即，因为在线段上，所以．于是，，所以∥．

【解析】（2）△的面积为．直线与轴的交点为，所以△的面积为．由，可得，于是（舍去）或…①．

设中点为，则…②，…③．③式平方，可得，将①②代入，可得．

【点评】本题采用了参数法求中点的轨迹方程，其实质是引进了2个未知数、与2个参数、，此时我们需要找3个方程：，，，通过这3个方程消去2个参数，从而得到与之间的关系．一般来说，引进了个未知数与参数，要得到未知数与之间的关系，一般需要找个方程．找到方程后，通过加、减、乘、除、平方、平方相加、平方相减以及整体消参等手法进行消参．这是参数法的关键所在．

抛物线焦点弦有两个常用结论：设是过抛物线（）焦点的弦，若，，则有（1），；（2）以弦为直径的圆与准线相切．

模块2  练习巩固  整合提升

练习1：已知圆：，圆：，动圆与圆外切并与圆内切，圆心的轨迹为曲线．

（1）求的方程；

（2）是与圆、圆都相切的一条直线，与曲线交于、两点，当圆的半径最长时，求．

【解析】（1）设动圆的半径为，则，，两式相加，可得，所以圆心是以、为焦点，的椭圆（左顶点除外）．，，，所以的方程为（）．

（2）由（1）可知，，所以，于是，当且仅当点为时，等号成立，所以当圆的半径最长时，圆的方程为．

①当的斜率不存在的时候，此时显然就是轴，．

②当的斜率存在的时候，显然的斜率不为，设与轴交于点，则有，即，由此解得，且，于是直线方程为．联立，消去，可得．由弦长公式，有．

练习2：已知椭圆：，为椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线、，其中、为切点．

（1）当点为定点时，求直线的方程；

（2）若、相互垂直，求点的轨迹方程．

【解析】（1）设、，则切线方程为，点在切线上，所以…①．同理，切线方程为，点在切线上，所以…②．由①②可得直线的方程为，即．

（2）①若直线、的斜率都存在，不妨设其斜率分别为、，则．设过点的直线方程为．由消去可得．因为直线与椭圆相切，所以，即．由、与椭圆相切可知、是该方程的两个实数根，所以，即．

②若直线、中有一条斜率不存在，则另一条斜率为，此时点的坐标为，满足．

综上所述，点的轨迹方程为．

【点评】给定圆锥曲线和点，用、、、分别替换、、、，得到直线，我们称点和直线为圆锥曲线的一对极点和极线．其结论如下：当在圆锥曲线上的时候，其极线是曲线在点处的切线；当在圆锥曲线外的时候，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；当在圆锥曲线内的时候，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹．特别地：

椭圆（），与点对应的极线方程为．

双曲线（，），与点对应的极线方程为．

抛物线（），与点对应的极线方程为．

在椭圆（）中，点对应的极线方程为，这就是椭圆的右准线．

本题采用整体法进行消参方法，这是消参的一种方法．第（2）小问也可以引进、、，共2个未知数、和4个参数：、、、，利用以下5个方程进行消参：、、，、．

练习3：如图，抛物线：和：（）．

点在抛物线上，过作的切线，切点分别为、

（为原点时，、重合于）．当时，切线的

斜率为．

（1）求的值；

（2）当在上运动时，求线段中点的轨迹方程（、重合于时，中点为）．

【解析】（1）因为抛物线：上任意一点的切线的斜率为，且切线的斜率为，所以点的坐标为，故切线的方程为．因为点在切线及抛物线上，所以有和，由此可得．

（2）设，，．

当时，因为是线段的中点，所以有…①，…②．切线的方程为，即，同理的方程为．解此方程组，得、的交点的坐标为，，由此及点在抛物线上，得，即…③．由①②③可得，．

当时，，重合于原点，此时线段的中点为原点，坐标也满足上述方程．因此，线段的中点的轨迹方程为．