专题08 圆锥曲线中的“定”问题-2020高考数学尖子生辅导专题

专题八  圆锥曲线中的“定”问题

近些年，关于圆锥曲线的命题，不管是高考真题还是高考模拟题，都不约而同地大量涌现出一类“定”问题，即定值、定点以及定直线问题，考生遇见这样的问题都因不得要领，从而内心感到惧怕，但因为这类题在解答之前并不知道其定值、定点之结果，更增添了它的难度，有着很好的区分度，于是这一类题就成为了命题者们青睐的考题，相信在今年或往后的高考中会成为一种趋势．

模块1  整理方法  提升能力

圆锥曲线中的“定”问题常有以下类题型：

题型1：定值问题——解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．

定值问题的解法：选好参数，求出题目所需的代数表达式，然后对表达式进行直接推理、计算，并在推理计算的过程中消去变量，从而得到定值．这种方法可简记为：一选（选好参变量）、二求（对运算能力要求颇高）、三定值（确定定值）．

题型2：定点问题——解析几何中直线过定点或曲线过定点问题是指不论直线和曲线（中的参数）如何变化，直线和曲线都经过某一个定点．

定点问题的两种解法：一是从特殊入手，求出定点，再进行一般性的证明．二是把直线或曲线方程中的变量、当作常数看待，把相关的参数整理在一起，同时方程一端化为零．既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于、的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．

题型3：定直线问题——对于求证某个点不管如何变化，始终在某条直线上的题目，其本质就是求动点的轨迹方程．

例1

【解析】（1）由已知可得椭圆方程为，设的方程为，则由，消去可得．设，，则，解得，所以，所以直线方程为．

【证明】（2）设的方程为（且），则点的坐标为．直线的方程为，直线的方程为，联立两条直线方程，可得点的横坐标为，由（1）可知，，代入上式，可得．于是．

【点评】从直线的斜率和点这两个角度，共引入了5个参数：、、、、，用这5个参数将点和点的坐标表示出来（因为点的纵坐标为0，所以可以不求点的纵坐标），然后进行消参，最后求出的定值．

尽管题目是要求点异于、两点，但是我们可以大胆假设点和点重合，此时点就是点，从而我们可以猜出的定值为1．猜出定值，能使定值问题有清晰明确的方向，也能在做不出题目的时候实现抢分最大化．

例2

【解析】（1）依题意，，，不妨设，，则，，因为点在上，所以，解得，所以抛物线的方程为．

【证明】（2）法1：由（1）知，所以．设点，，则，且的方程为，即．令，可得．设是圆上一点，则，即，整理可得，因为，所以，该式子要对任意的满足（）的恒成立，所以，由此解得，所以以为直径的圆恒过定点．

法2：由对称性可知该定点必在轴上，设为．

由（1）知，所以．设点，，则，且的方程为，即．令，可得．由，可得，整理可得，因为，所以，该式子要对任意的满足（）的恒成立，所以，由此解得，所以以为直径的圆恒过定点．

法3：由对称性可知该定点必在轴上．

由（1）知，所以．设点，，则，且的方程为，即．令，可得．取，此时，，以为直径的圆为，与轴交于点和；取，此时，，以为直径的圆为，与轴交于点和．由此可知，该定点为，下证就是所求的点．

因为，，所以，所以以为直径的圆恒过定点．

【点评】该题可有以下4种设问方式：①证明以为直径的圆恒过定点；②证明以为直径的圆恒过轴上某定点；③证明以为直径的圆恒过某定点；④以为直径的圆是否恒过定点．其难度逐渐增加．法2根据对称性，将题目转化为设问②，法3根据对称性以及特殊情况，将题目转化为设问①．对于圆过定点问题，如果我们可以从对称性或特殊情况入手，猜出结果，则能有效降低题目的计算和证明的难度．

例3

【解析】（1）因为焦距为，所以，解得，所以椭圆的方程为．

【证明】（2）设，，，，其中，由题设知．，，于是…①．、、三点共线，所以，即…②．将②代入①，可得，即，又因为…③，于是，，即点在直线上．

【点评】要证明点在定直线上，其本质就是证明点的轨迹在一条直线上．由轨迹方程的参数法理论，引进了、、、四个参数，要求与的关系，就要找三个方程．

模块2  练习巩固  整合提升

练习1：椭圆（的中心为原点，离心率，左焦点到右顶点的距离为．

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）设动点满足：，其中、是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，证明：存在两个定点、，使得为定值．

【解析】（1）由，，解得，，所以，椭圆的标准方程为．

【证明】（2）设，，，则由可得，即，．因为点、在椭圆上，所以，，于是．由题设条件知，因此，所以，所以点是椭圆上的点，其左焦点为，右焦点为，为定值．

【点评】要证明存在两个定点、，使得为定值，即要证明点的轨迹在椭圆上．引进了、、、、、六个参数，需要找五个方程：，，，，．在消参的过程中，根据方程的特点，猜测是定值，从而使消参的方向更明确．

练习2：若椭圆的方程为（），、是它的左、右焦点，椭圆过点，且离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的左、右顶点为、，直线的方程为，是椭圆上任一点，直线、分别交直线于、两点，求的值；

（3）过点任意作直线（与轴不垂直）与椭圆交于、两点，与轴交于点，且，，证明为定值．

【解析】（1），，解得，所以椭圆的方程为．

（2），，设，，．因为、、三点共线，所以，即，同理，．于是，，所以

．

【证明】（3）设，，，由可得，即（），代入椭圆方程，可得，同理，由可得．两式相减，可得．

练习3：在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点为、，右焦点为．设过点的直线、与椭圆分别交于点、，其中，，．

（1）设，，求点的坐标；

（2）设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）．

【解析】（1）将，代入椭圆方程，以及，，可得，．直线的方程为，即．直线的方程为，即．联立两条直线方程，可得，，所以点的坐标为．

【证明】（2）点的坐标为．直线的方程为，即．

直线的方程为，即．联立直线与椭圆的方程，可得，同理联立直线与椭圆的方程，可得．

若，即，解得，此时直线的方程为，过轴上的定点．

若，则，直线的斜率为，直线的斜率为，于是，所以直线过点．

综上所述，直线必过轴上的定点．