专题07 圆锥曲线中的最值与范围-2020高考数学尖子生辅导专题

专题七  圆锥曲线中的最值与范围

“以能力立意命题”是考试大纲总的要求，也是高考命题总的方向．对学生能力的考察离不开思想方法的考察，在圆锥曲线的背景下讨论最值或范围问题，能系统的将函数与方程的思想、数形结合思想等多种数学思想结合在一起，更利于综合考察学生的能力．

模块1  整理方法  提升能力

圆锥曲线中的最值与范围问题的类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有以下3种方法：

方法1：几何法．若题目的条件或结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解．

方法2：代数法．把所求的量表示为某个（某些）参数的函数解析式，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．对于大多数题目来说，主要是选择一个参数去表示所求的量，从而把问题转化为求函数的值域问题．由于引进的参数往往不只一个，所以解题时通常涉及到消参问题．如果用两个参数去表示所求的量（不能通过消参留下一个未知数），则往往考虑使用均值不等式．

方法3：不等式（组）法．由题目所给的条件寻找所求量满足的不等式（组），通过该不等式（组）的求解得到所求量的最值或取值范围．

上述三种方法中，方法主要在小题中体现，解答题中以方法2最为常见．

例1

【解析】（1）由题意可设抛物线的方程为（），则，即，所以抛物线的方程为．

（2）设，，直线的方程为．由，消去，可得，从而，，．由，解得点的横坐标为，同理可得点的横坐标为．由弦长公式可得

，于是，其中．

法1：令，则，所以，所以

，令，则，，当，即，时，有最小值，所以有最小值．

法2：，令，则，所以，所以．当时，，取负数时，有，所以．于是当，即，有最小值，所以有最小值．

 【点评】利用代数法求最值或范围问题，其难点在于选用一个（或两个）参数去表示目标函数．我们常常可以从直线的斜率、截距、点的坐标等角度引进参数，然后根据题目所给的条件消去参数，直至剩下一个参数或两个参数（以一个参数的情况占绝大多数）．本题总共引进了7个参数：、、、、、和，最终是用参数表示，而其余的6个参数只是中间过渡的量，要注意体会如何利用“设而不求”的思想消去这6个中间过渡的参数．

的表达式有两个特点：一是分式，二是分子和分母的最高次数一致．求这种特点的函数最值的常见方法有两种，一是将分子或分母看成一个整体，最多经历两次换元得到一个二次函数；二是分离参数，再使用基本不等式．法2在分离参数后，需要换元才能使用基本不等式，因此法2比法1的二次函数法要复杂很多．

例2

【解析】（1）设，由，即，，又，所以，因此，所以椭圆的方程为．

（2）设直线的斜率为（），则直线的方程为．设，，．在△中，，即，化简得．

由方程组，消去，整理得．于是，从而．由（1）知，所以，，由，得，所以，解得，因此直线的方程为．由方程组，消去，解得．于是，解得或，所以直线的斜率的取值范围为．

【点评】由，可得到不等式，此时只要用去表示，就能得到有关的不等式，这也是需要满足的唯一一个不等式，解这个不等式就能求出的取值范围．

例3

【解析】（1）当时，椭圆的方程为，直线的方程为．联立，消去可得，于是，所以．同理，．由可得，化简可得，即，解得．

（2）直线的方程为．联立，消去可得，于是，所以．同理，．由可得，整理可得．因为椭圆的焦点在轴上，所以，即，整理可得，解得．

【点评】对于第（2）问，我们能找到的不等式只有．如果能用去表示，就可以通过代数法求出的取值范围；如果能用去表示，就可以通过不等式法求出的取值范围．

模块2  练习巩固  整合提升

练习1：如图，设抛物线（）的焦点为，

抛物线上的点到轴的距离等于．

（1）求的值；

（2）若直线交抛物线于另一点，过与轴平行的

直线和过与垂直的直线交于点，与轴交于点，

求的横坐标的取值范围．

【解析】（1）依题意，抛物线上的点到轴的距离等于点到焦点的距离，由抛物线的定义可得．

（2）由（1）可知抛物线的方程为，．设点（，），，，因为直线不垂直于轴，所以可设直线的方程为（），其中．联立，消去可得，所以，．直线的方程为，直线的方程为，所以点的坐标为．

因为、、三点共线，而，，所以，解得．因为，所以的横坐标的取值范围是．

练习2：椭圆：（）的离心率为，直线和所围成的矩形的面积为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线：（）与椭圆有两个不同的交点、，与矩形有两个不同的交点、，求的最大值及取得最大值时的值．

【解析】（1），所以…①．因为矩形面积为，所以…②．由①②解得，，所以椭圆的标准方程是．

（2）联立，消去可得．设，，由得参数的取值范围是．

由弦长公式可得．

当过点时，；当过点时，．

①当时，有，，所以，于是，令，则．当，即时（此时），取得最大值．

②由对称性可知，当时，则当时，取得最大值．

③当时，，，所以当时，取得最大值．

综上所述，的最大值为，此时的值为和．

练习3：如图，点是椭圆：（）的一个顶点，的长轴是圆：的直径．、是过点且互相垂直的两条直

线，其中交圆于、两点，交椭圆于另一点．

（1）求椭圆的方程；

（2）求△面积取最大值时直线的方程．

【解析】（1）由题意得，，所以椭圆的方程为．

（2）由题意知直线的斜率存在，设为，则直线的方程为．因为圆：，所以圆心到直线的距离为，所以．因为，所以直线的方程为．由消去，整理得，于是点的横坐标为，所以．于是△的面积．

令，则，，于是，当且仅当，即时等号成立，所以直线的方程为．

【点评】与都是弦长，但是其计算的方法不相同．是圆当中的弦长，用垂径定理进行计算；是椭圆当中的弦长，用弦长公式进行计算．对于的表达式，其特点有两个，一是分式，二是分母的最高次数是分子的最高次数的两倍．具有这种特点的分式，其常用的方法是将分子看成一个整体进行换元，再利用均值不等式求最值或利用对勾函数求取值范围．

练习4：如图，为坐标原点，椭圆：

（）的左右焦点分别为、，离心率为；

双曲线：的左右焦点分别为、，离心

率为，已知，且．

（1）求、的方程；

（2）过点作的不垂直于轴的弦，为的中点，当直线与交于、两点时，求四边形面积的最小值．

【解析】（1）依题意，，，且，．因为，且，所以，，由此解得，，所以椭圆的方程为，双曲线的方程为．

（2）由（1）可得，因为直线不垂直于轴，所以设直线的方程为．联立直线与椭圆方程，可得，则，，即．因为在直线上，所以，于是直线的方程为，即．联立直线与双曲线可得，解得，．于是，所以．而．设点到直线的距离为，则点到直线的距离也为，于是．因为、在直线两侧，所以，于是．又因为、在直线上，所以，所以四边形面积，令，则且，于是，由此可知在上单调递减，所以当，即时，四边形面积取到最小值．