专题04 利用导数证明函数不等式（一）-2020高考数学尖子生辅导专题
展开专题四 利用导数证明函数不等式（一）
函数不等式的证明由于其形式多变，方法灵活，成为了近几年高考的一个热点与难点，它一般出现在压轴题的位置，解决起来比较困难．利用导数作为工具进行证明是证明函数不等式的一种常见方法，本专题总结了利用导数证明一个未知数的函数不等式的常见方法，希望同学们看后有所收获，提升利用导数证明函数不等式的能力．
模块1 整理方法 提升能力
对于一个未知数的函数不等式问题，其关键在于将所给的不等式进行“改造”，得到一平一曲、两曲两种模式中的一种．
当出现一平一曲时，只需运用导数求出“曲”的最值，将其与“平”进行比较即可．
当出现两曲时，如果两个函数的凸性相同，则可以考虑通过曲线进行隔离．由于隔离曲线的寻找难度较大，所以我们一般希望两个函数的凸性相反．当两个函数的凸性相反时，则可以寻找直线（常选择公切线或切线）实现隔离放缩，当然最理想的直线状态是该直线与轴平行或重合．
当改造的过程中出现一斜一曲时，一般要将其继续改造，要么将其化归到一边，转化为一平一曲，要么将其转化为两曲．
常用不等式的生成
在不等式“改造”或证明的过程中，可借助题目的已知结论、均值不等式、函数单调性、与、有关的常用不等式等方法进行适当的放缩，再进行证明．下面着重谈谈与、有关的常用不等式的生成．
生成一：利用曲线的切线进行放缩
设上任一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式：，其中，，等号当且仅当时成立．特别地，当时，有；当时，有．
设上任一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式：，其中，，等号当且仅当时成立．特别地，当时，有；当时，有．
利用切线进行放缩，能实现以直代曲，化超越函数为一次函数．
生成二：利用曲线的相切曲线进行放缩
由图可得；由图可得；由图可得，（），（）；由图可得，（），（）．
综合上述两种生成，我们可得到下列与、有关的常用不等式：
与有关的常用不等式：
（1）（）；
（2）（）．
与有关的常用不等式：
（1）（）；
（2）（）；
（3）（），（）；
（4）（），（）．
用取代的位置，相应的可得到与有关的常用不等式．
例1
设函数，曲线在点处的切线为．
（1）求、；
（2）证明：．
【解析】（1）因为，，而，所以，解得，．
【证明】（2）法1：（寻找公切曲线隔离）由（1）知，，于是．
由于混合了指数函数、对数函数和幂函数，比较复杂，所以可以考虑将指数函数、对数函数进行分离，改造为．
令，则，
由可得，由可得，
所以在上递减，在上递增．而
递减，所以两个函数的凸性相同（都是下
凸函数）．此时，我们可以寻找与两个曲线都相切的曲线，将两个函数进行隔离，从而实现证明．
，令，则，由可得，由可得，所以在上递减，在上递增，所以，于是．
，令，则，由可得，由可得，所以在上递减，在上递增，所以，于是．
由于等号不能同时成立，所以．
法2：（寻找公切线隔离）由（1）知，，于是，将不等式改造为．
令，则．由可得，由可得，所以在上递减，在
上递增，所以．令，
则．由可得，由
可得，所以在上递增，在
上递减，所以．
两个函数的凸性相反．此时，我们可以寻找与两个曲线都相切的公切线，将两个函数进行隔离，又因为等号不能同时成立，所以．
【点评】法1中的两个函数凸性相同，因此需要寻找公切曲线进行隔离，公切曲线的寻找需要有一定的函数不等式放缩经验．该放缩与常用不等式以及有关，因此熟练掌握与、有关的常用不等式，能有效打开某些不等式的证明思路，使题目的难度降低．法2中的两个函数凸性相反，且两个函数的最值相同，此时可寻找到与轴平行的公切线，实现隔离放缩．
如何恰当地“改造”函数是解题的关键，这需要我们熟悉与、、四则运算组合后的函数，如：
（1）、、、…过原点，先减后增；
（2）、、、…过原点，先增后减；
（3）、、、…在上递减，在上先减后增；
（4）、、、…在上先减后增；
（5）、、、…在上先增后减；
（6）、、、…在上递减，在上先减后增．
例2
已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求证：当时，．
【解析】（1），因为在曲线上，且，所以切线方程为，即．
【证明】（2）法1：．
当时，，令，则，，于是在上递增．又因为，由可得，由可得，所以在上递减，在上递增，所以．
法2：．
当时，，由常见不等式（），可得，所以．
法3：令，则
，由可得，由可得或，所以在上递减，在上递增，在上递减．
的极小值为，由洛必达法则，可得，所以，即．
法4：．
令，则，，所以在上递增，又因为，由可得，由可得，所以在上递减，在上递增，所以．
法5：．当时，不等式成立，当时，．
，由可得或，由可得或，所以在上递增，在上递减，在上递增，在上递减．
因为，，所以，而，所以，即．
法6：．
令，则是以为对称
轴，开口方向向上的抛物线．令，则递
减．由于两个函数的凸性相反，因此我们可以通过寻找两
个曲线的公切线将两个函数进行隔离，但由于公切线不容
易寻找，又因为两个函数处于相离的状态，因此我们可以
选择在上找切线，通过该切线将两个函数隔离，从而实现证明．
由常见不等式可得，容易想到隔离切线，下面进行证明．
，而，命题获证．
【点评】对于含有参数的一个未知数的函数不等式，其证明方法与不含参数的一个未知数的函数不等式证明大体一致．法3是直接证明，法4是将不等式等价转化为，法5是通过分离参数进而证明，3种方法本质都是一平一曲状态．法6将不等式转化为，由于两个函数的凸性相反，因此我们可以寻找切线实现隔离放缩．
对于含有参数的一个未知数的函数不等式，我们还可以通过放缩，消去参数，转化为研究一个特例函数的问题，从而使题目的难度大大降低．
例3
已知函数．
（1）若，求的值；
（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．
【解析】（1）的定义域为．
法1：（分离参数法）①当时，有，成立．
②当时，，令，则，令，则，所以在上递增，于是，所以，所以在上递增．由洛必达法则可得，所以．
③当时，，令，仿照②可得在上递增．由洛必达法则可得，所以．
综上所述，．
法2：（不猜想直接用最值法）．
①当时，在上递增，而，于是不成立．
②当时，由可得，由可得，所以在上递减，在上递增，而，所以．
法3：（通过猜想减少分类讨论）由可得．，由可得，由可得，所以在上递减，在上递增，而，所以．
（2）当时，即，则有，当且仅当时等号成立，所以，，于是
，所以．当时，，于是的最小值为3．
【点评】不等式左边是一个项乘积的形式，处理起来比较麻烦．考虑取对数，将不等式等价转化为，则容易联想到与有关的常用不等式．
模块2 练习巩固 整合提升
练习1：已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求、的值；
（2）证明：当，且时，．
【解析】（1）． 由于直线的斜率为，且过点，所以，即，解得，．
【证明】（2）由（1）知，所以
．构造函数（），则，于是在上递减．
当时，递减，所以，于是；当时，递减，所以，于是．
综上所述，当，且时，．
练习2：已知函数（、）．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若，，求证：．
【解析】（1）当，，．
由可得，由可得，所以的递增区间为，递减区间为．
【证明】（2）若，，．令，则，．设，则，所以在上递增，所以，所以，所以在上递增．又因为，，所以恰有一个零点，即，且当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以．
设，，则，所以在上递增，所以．命题获证．
练习3：已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求证：．
【解析】（1），所以，又，所以在处的切线方程为，即．
【证明】（2）法1：，构造函数，则，，．因为在上递增，且，所以当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以，于是在上递增，又因为，所以当时，，递减，当时，，递增，所以，命题获证．
法2：，构造函数，则．令，则，由可得，由可得，于是在上递减，在上递增，于是．于是当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，于是，命题获证．
【点评】对于不等式，从指对分离的角度来看，可构造出、、、…、等一系列式子，由于构造的不等式两端的函数凸性一致，且寻找隔离曲线的难度大，不容易证明．考虑到函数的形式不算太复杂，可通过多次求导证明其在轴的上方（有且仅有一个交点）．也可以如法2那样将函数进一步改造为，法2比法1简单的原因在于当中的比较“单纯”，求导一次就能消去．
练习4：设函数，，，其中是的导函数．
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）设，比较与的大小，并加以证明．
【解析】（1），所以．
法1：（分离参数法）当时，恒成立．
当时，在上恒成立在上恒成立．，令，则，所以在上递增，于是，即，所以在上递增．
由洛必达法则，可得，所以，于是实数的取值范围为．
法2：（不猜想直接用最值法）令，则，令，得．
①当，即时，在上恒成立，所以在上递增，所以，所以当时，在上恒成立．
②当，即时，在上递减，在上递增，所以当时取到最小值，于是．设，，则，所以函数在上递减，所以，即，所以不恒成立．
综上所述，实数的取值范围为．
（2）设，比较与的大小，并加以证明．
（2），，比较结果为：．证明如下．
上述不等式等价于．为证明该式子，我们首先证明．
法1：在（1）中取，可得，令，可得．令可得，，…，，相加可得，命题获证．
法2：令，则，构造函数，，则，于是在上递增，所以，于是．
下同法1．
练习5：已知函数（其中）．
（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；
（2）若（是自然对数的底数），求证：．
【解析】（1），依题意，有，解得或，所以．
（2）法1：令，则，因为，所以，即在上递增．因为，，所以在上有唯一零点．当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以当时，取到最小值．因为，所以，所以
，因为，所以，所以当时，．
法2：当时，．
当时，．令，则，由可得或，由可得或，所以在上递增，在上递减，在上递减，在上递增．
因为，，所以当时，，所以，当时，，所以．
