专训2.6 导数（解析版） 试卷

专训2.6  导数1．（2020·河南郑州·高三其他模拟（理））已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）当时，，记函数在上的最大值为，证明：．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由函数的定义域是，则．当时，，此时在区间上，；在区间上，，故函数的单调递减区间为，单调递增区间为．当且时，即时，对任意恒成立，即对任意恒成立，且不恒为0．故函数的单调递减区间为；当且时，即时，方程的两根依次为，，此时在区间，上，；在区间上，，故函数的单调递减区间为，，单调递增区间为；当时，方程的两根依次为，，此时在区间上，；在区间上，，故函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）证明：当时，，则．当时，，令，则，所以在上单调递增．因为，，所以存在使得，即，即．故当时，，此时；当时，，此时．即在上单调递增，在上单调递减，则．令，，则，所以在上单调递增，则，，所以．故．2．（2020·全国高三其他模拟）已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）因为所以令，得，.所以当时，时，，时，，时，，所以在上单调递减，在，上单调递增；当时在上恒成立，于是在上单调递增：当时，时，，时，时，，所以在上单调递减，在，上单调递增.综上，当时，在上单调递减，在，上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在，上单调递增.（2）解法一①当，即时，由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，依题意有，解得，所以.②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，依题意有，解得，即，又，故此时不存在满足题意；③当，即时，在上单调递增，当时，，而，不成立，故此时的不满足题意；④当，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，依题意有，且，无解，此时不存在满足题意；⑤当，即时，在上单调递增，在上单调递减，依题意有，且，又，故此时不存在满足题意.综上，实数的取值范围是解法二由得，即，易知，所以设，，则，易知，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以.所以，所以，故实数的取值范围为.3．（2020·全国高三其他模拟）已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数只有1个零点，求实数的取值范围．【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间；（2）.【解析】（1）的定义域是，当时，，，易知单调递增，且当时，，所以当时，，当时，，因此的单调递减区间是，单调递增区间．（2）由，得，令，若函数只有一个零点，则直线与函数的图象有且只有一个交点．，令，则，所以在上单调递减，易知，，所以存在，使得，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减．易知当时，；当时，．作出直线与函数的大致图象如图所示，由图可知，若，则直线与函数的图象有且只有一个交点．若，则当直线与函数的图象相切时，有且只有一个交点，设切点为，则，得，．故实数的取值范围是．4．（2020·河南焦作·高三一模）设函数.（1）若，求的单调区间；（2）若时，求的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.【解析】（1）的定义域为，当时，，，当时，，当时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由（1）知，当且仅当时等号成立..若，，不符合条件.若，，.令，得或，若，则当时，单调递减，此时，不符合条件.若，则当时，，单调递增，此时，即当时，.综上所述，的取值范围是5．（2020·福建高三其他模拟）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若，函数在上恒成立，求证：.【答案】（1）答案不唯一，见解析（2）证明见解析【解析】（1）若时，，在上单调递增；若时，，当或时，，为增函数，当时，，为减函数，若时，，当或时，，为增函数，当时，，为减函数.综上，时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减.（2）由，解得 ，所以，由时，，可知在上恒成立可化为在上恒成立，设，则，设，则 ，所以在上单调递增，又，所以方程有且只有一个实根，且 所以在上，， 单调递减，在上，单调递增，所以函数的最小值为，从而6．（2020·四川高三零模）已知函数，（1）若曲线在点处的切线与直线重合，求的值；（2）若函数的最大值为，求实数的值；（3）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）因为，所以，则，点的坐标为，故切线方程为，即，由于它与直线重合，所以，解得，故．                       （2）因为，所以，由，解得，由，解得，所以函数在单调递增，在单调递减，而，所以，解得                               （3）因为，即即，令，即有．①当时，，所以不合题意；②当时，，当时，，递减，当时，，递增．所以当时，取得最小值，最小值为，从而，符合题意；③当时，（放缩）；又由②知，符合题意；综上，实数的取值范围为．7．（2020·全国高三其他模拟）已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）.【解析】（1）由，得.当时，所以的单调递减区间为，无单调递增区间；当时，令，得，当时，时，所以的单调递减区间为，单调递增区间为.综上所述，当时、的单调递减区间为，无单调递增区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.（2），即，即，即.令，易知，令，则易知函数在上单调递增.因为，，所以存在，使得，所以当时，，，当时，，，所以在上单调递增，在上单调递减．由，得，即，所以，所以，所以，即实数的取值范围为.8．（2020·云南曲靖一中高三其他模拟）已知函数，.（1）求函数在上的单调区间；（2）证明：对任意的实数，，，都有恒成立.【答案】（1）单调递增区间是，，单调递减区间是；（2）证明见解析.【解析】（1）解：，当或时，；当时，，所以，函数的单调递增区间是，，单调递减区间是.（2）证明：因为，在上是增函数，所以不等式，即恒成立.设，即证函数在上是增函数，即证，即证在上恒成立.令，，在上单调递减，在上单调递增，.所以，即.因为，所以.所以要证成立，只需证，令，，当时，，递减；当时，，递增.，所以，即在上恒成立，所以原命题成立.9．（2020·云南曲靖一中高三其他模拟）已知函数，.（1）当时，若在上的最大值为10，求实数的值；（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）-8；（2）.【解析】（1）当时，由，得，令，得或.当变化时，，在的变化情况如下表：12 00 单调递减极小值-2+b单调递增极大值单调递减-2+b所以在上的最大值为，得.（2）由，得，因为，且等号不能同时取得，所以，即，所以恒成立，即.令，，则，当时，，，从而，所以在上为增函数，所以，所以.10．（2020·广西高三其他模拟）已知函数.（1）求函数在区间上的最大值和最小值；（2）若有解，求实数a的取值范围．【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）.【解析】(1)由题可知的定义域为函数，所以函数在区间上是增函数.在区间上的最大值为，最小值为.(2)，令，.当时，.，显然有解.当时，由得，当时，，当时，，故在处取得最大值.若使有解，只需解得.结合，此时a的取值范围为.综上所述，a的取值范围为.