黄金卷12-【赢在高考•黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷（新高考专用）（解析版）

【赢在高考•黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷（新高考专用）

第十二模拟

注意事项：

本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

1．（2020·全国高三其他模拟（文））已知复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为，所以.

2．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知，则“”是“”的（    ）

A．充要条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】

因为，，，所以，

所以，，故有，充分性成立；

取，则成立，而此时，条件不成立，

故是的充分不必要条件.

故选：C.

3．（2020·无锡市大桥实验学校高一期中）点在边长为1的正方形的边上运动，是的中点，则当沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象的形状大致是图中（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

当在上时，，；

当在上时，，；

当在上时，，；

对比选项，可得A正确.

故选：A

4．（2020·甘肃省静宁县第一中学高三月考（理））已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

，当时，；

当时，.

所以，.

若对任意的，不等式恒成立，则，

所以，，解得.

因此，实数的取值范围是.

故选：B.

5．（2020·全国高三其他模拟）若，则（    ）

A． B．或 C．或 D．

【答案】B

【详解】

由题可得

所以，即

所以或.

又

所以当时，.

当时，.

故选：B

6．（2020·全国高三专题练习）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则的周长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

如下图所示：因为，所以，所以，所以，

又因为，所以，即，

又，所以，所以或，所以，所以，所以，

又因为，，，

所以的周长为：，

故选：B.

7．（2017·安徽合肥市·高三二模（理））已知件产品中有件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

由题意知，的可能取值为2,3,4,其概率分别为，，，所以，故选B．

8．（2020·重庆高三月考）在四棱锥中，，，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

如图，取的两个三等分点、，连接、、，

设，连接、.

则，，又，，

所以，四边形为平行四边形，，为的中点，

所以，，

由勾股定理可得，则，

在中，，，

，，又，则为等边三角形，

，则是的外接圆的圆心.

因为，为的中点，，

，，，，，

，又，，平面，

且.

设为三棱锥外接球的球心，连接、、，过作，垂足为，

则外接球的半径满足，

设，则，解得，

从而，故三棱锥外接球的表面积为.

故选：D.

二、多选题

9．（2020·全国高三其他模拟）已知的展开式中第3项的二项式系数为45，且展开式中各项系数和为1024，则下列说法正确的是（    ）

A． B．展开式中偶数项的二项式系数和为512

C．展开式中第6项的系数最大 D．展开式中的常数项为45

【答案】BCD

【详解】

由题意，，所以（负值舍去），

又展开式中各项系数之和为1024，所以，所以，故A错误；

偶数项的二项式系数和为，故B正确；

展开式的二项式系数与对应项的系数相同，

所以展开式中第6项的系数最大，故C正确；

的展开式的通项，

令，解得，所以常数项为，故D正确.

故选：BCD.

10．（2020·全国高三其他模拟（理））如图所示，在长方体中，是上的一动点，则下列选项正确的是(    )

A．的最小值为 B．的最小值为

C．的最小值为 D．的最小值为

【答案】AD

【详解】

求的最小值，即求底边上的高，易知，所以边上的高为，连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，则即为所求的最小值，易知，

所以.

故选：AD.

11．（2020·全国高三其他模拟）已知，是双曲线：的两条渐近线，直线经过的右焦点，且，交于点，交于点，交轴于点，则下列说法正确的是（    ）

A．与的面积相等

B．若的焦距为4，则点到两条渐近线的距离之积的最大值为

C．若，则的渐近线方程为

D．若，则的离心率

【答案】AC

【详解】

由题可知，，不妨记：，：．由可得的方程为，与的方程联立可解得，，即点．对于，令，可得，即点，所以，，所以，所以选项正确；

设点的坐标为，则，即，所以到两条渐近线的距离之积为，因为的焦距为4，所以，所以，因为，所以，，所以，所以点到两条渐近线的距离之积的最大值为1，所以选项错误；

由得为的中点，则，，即点，代入双曲线的方程得，即，又，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程为，所以选项正确；

由与，得，所以，得，所以，所以选项错误．

故选：AC．

12．（2020·江苏南通市·高三月考）关于函数，下列判断正确的是（    ）

A．是的极大值点

B．函数有且只有1个零点

C．存在正实数，使得成立

D．对任意两个正实数，且，若，则.

【答案】BD

【详解】

解：对于A选项，函数的的定义域为，函数的导数 ，

∴时，，函数单调递减，

时，，函数单调递增，

∴是的极小值点，故A错误；

对于B选项，，

∴，

∴ 函数在上单调递减，

又∵ ，，

∴ 函数有且只有1个零点，故B正确；

对于C选项，若，可得，

令，则，

令，则，

∴在上，，函数单调递增，

上，，函数单调递减，

∴，

∴，

∴在上函数单调递减，函数无最小值，

∴不存在正实数，使得成立，故C错误；

对于D选项，由，可知，

要证，即证，且，

由函数在是单调递增函数，

所以有，

由于，所以

即证明，

令，

则，所以在是单调递减函数，

所以，即成立，

故成立，所以D正确.

综上，故正确的是BD.

故选：BD．

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．（2020·贵州安顺市·高三其他模拟（文））已知向量，若，则实数__________．

【答案】

【详解】

由题意，又，∴，解得．

故答案为：．

14．（2019·广西大学附属中学高三月考（文））已知，则的最小值为________.

【答案】

【详解】

由题意得，所以，即，消去，

得.

记，注意到，

则

，

当且仅当即时等号成立，

所以最小值为.

故答案为：.

15．（2019·辽宁沈阳市·高考模拟（理））大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，是凝聚了中国古代劳动人民智慧结晶的标志性建筑．如图所示，已知∠ABE＝α，∠ADE＝β，垂直放置的标杆BC的高度h＝4米，大雁塔高度H＝64米．某数学兴趣小组准备用数学知识探究大雁塔的高度与α，β的关系．该小组测得α，β的若干数据并分析测得的数据后，发现适当调整标杆到大雁塔的距离d，使α与β的差较大时，可以提高测量精确度，求α﹣β最大时，标杆到大雁塔的距离d为_____米．

【答案】.

【详解】

由题意得 ，

因此 ，

当且仅当 时取等号，因此当 时，取最大值，即取最大，即标杆到大雁塔的距离为.

16．（2020·北京高三二模）在等差数列{an}中，若a1+a2＝16，a5＝1，则a1＝_____；使得数列{an}前n项的和Sn取到最大值的n＝_____.

【答案】9    5.   

【详解】

解：设等差数列{an}的公差为d，

∵a1+a2＝16，a5＝1，

∴2a1+d＝16，a1+4d＝1，

解得：a1＝9，d＝﹣2.

∴an＝9﹣2（n﹣1）＝11﹣2n.

令an＝11﹣2n≥0，

解得n5.

∴使得数列{an}前n项的和Sn取到最大值的n＝5.

故答案为：9；5.

四、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．（2020·济南市历城第二中学高三期中）在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.

在中，内角的对边分别是，且满足              ，

（1）若，求的面积；

（2）求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

解：若选①，由题意，

化简得

即，

得

（1）由余弦定理，

得，

解得

（2）由正弦定理

又因为，

所以

，

因为

若选②，由，

得，

化简得

得，

得.

以下与选①同.

若选③，由

得，

即

化简得，

得.

以下与选①同.

18．（2020·甘肃省静宁县第一中学高三月考（理））已知为数列的前项和，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）当时，，∴

当时，因为①所以②

①－②得，∴.

所以数列是首项为，公比为的等比数列.

∴.

由（1）得

，

∴.

19．（2020·全国高三其他模拟）如图，在底面为菱形的四棱锥中，，．

（1）证明：；

（2）若，点在线段上，且，求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【详解】

（1）取的中点，连接，，，

因为四边形是菱形，且，

所以，且，所以为正三角形，．

因为，所以．

又，所以平面，

因为平面，所以．

（2）设，则，

所以，所以．

由（1）知，，又，，

所以，所以．

故以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

则，，，，，

所以，，．

设是平面的法向量，则即

取，则．

设是平面的法向量，

则即则，

取，则．

则，

由图易知二面角为钝二面角，

所以二面角的余弦值为．

20．（2020·全国高三专题练习）2020年岁末年初，“新冠肺炎”疫情以其汹汹袭来之势席卷了我国的武汉，在这关键的时刻，在党中央的正确指导下，以巨大的魄力，惊人的壮举，勇敢的付出，及时阻断了疫情的传播，让这片土地成为了世界上最温暖的家园；通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．如表统计了2月12日到2月18日连续七天全国的治愈人数：（单位：例）

请根据以上信息，回答下列问题：

（Ⅰ）记前四天治愈人数的平均数和方差分别为和，后三天治愈人数的平均数和方差分别为和，判断与，与的大小（直接写出结论）；

（Ⅱ）从这七天中任取连续的两天，则后一天的治愈人数比前一天的治愈人数多于200例的概率；

（Ⅲ）设集合，表示2月日的治愈人数，，13，，，从集合中任取两个元素，设其中满足的个数为，求的分布列和数学期望．

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）；（Ⅲ）分布列见解析，.

【详解】

解：（Ⅰ）记前四天治愈人数的平均数和方差分别为和，

后三天治愈人数的平均数和方差分别为和，

则，．

（Ⅱ）设事件：“从这七天中任取连续的两天，则后一天的治愈人数比前一天的治愈人数多 于 200 例”．

从这七天中任选取连续的两天，共有 6 种选法，

其中 13 日和 14 日，16 日和 17 日符合要求，

所以从这七天中任取连续的两天，则后一天的治愈人数比前一天的治愈人数多于200例的概率为：

．

（Ⅲ）设集合，表示2月日的治愈人数，，13，，，

从集合中任取两个元素，设其中满足的个数为，由题意可知 的可能取值为 0，1，2，

，

，

，

的分布列为：

数学期望．

21．（2020·四川遂宁市·高三零模（理））已知函数，

（1）若曲线在点处的切线与直线重合，求的值；

（2）若函数的最大值为，求实数的值；

（3）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）．

【详解】

（1）因为，所以，则，

点的坐标为，故切线方程为，

即，由于它与直线重合，所以，

解得，故．                      

（2）因为，所以，

由，解得，由，解得，

所以函数在单调递增，在单调递减，而，

所以，解得                              

（3）因为，即

即，令，即有．

①当时，，所以不合题意；

②当时，，

当时，，递减，当时，，递增．

所以当时，取得最小值，最小值为，从而，符合题意；

③当时，（放缩）；又由②知，符合题意；

综上，实数的取值范围为．

22．（2019·上海市建平中学高三月考）已知抛物线，点

（1）求点与抛物线的焦点的距离；

（2）设斜率为的直线与抛物线交于两点，若的面积为，求直线的方程；

（3）是否存在定圆，使得过曲线上任意一点作圆的两条切线，与曲线交于另外两点时，总有直线也与圆相切？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）；（3）存在实数

【详解】

（1）抛物线的焦点坐标为，

则点与抛物线的焦点的距离为．

（2）设直线的方程为，

把方程代入抛物线，可得，

，，

，

点到直线的距离，

，

解得，所以直线的方程．

（3）假设存在．取，圆，设切线为，

由，解得，①

将直线代入抛物线方程，

解得，，

直线的方程为，

若直线和圆相切，可得②

由①②解得，．

下证时，对任意的动点，直线和圆相切．

理由如下：设，， ，

由，可得，

，，

又直线与曲线相交于，，

由，代入抛物线方程可得，

可得，，

则，是方程的两根，

即有，即，同理．

则有，，

直线，

即为，

则圆心到直线的距离为

，

由，

代入上式，化简可得，

则有对任意的动点，存在实数，使得直线与圆相切．