黄金卷10-【赢在高考•黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷（新高考专用）（解析版）

【赢在高考•黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷（新高考专用）

第十模拟

注意事项：

本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1．（2020·广东清远市·高三月考）已知复数，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

因为，，所以，

故选：D.

2．（2020·全国高三其他模拟（文））已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

解：，

，

解得：，

，

，

，

即.

故选C.

3．（2020·贵州安顺市·高三其他模拟（文））函数（且）的图象恒过定点，若点在直线上，其中均大于0，则的最小值为 （    ）

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】B

【详解】

因为函数（且）的图象恒过定点，

又因为点在直线上，

所以，即，

所以,

当且仅当，即取等号，

所以的最小值为4

故选：B.

4．（2020·全国高三其他模拟）复兴号动车组列车是中国标准动车组的中文名称，是由中国铁路总公司牵头组织研制､具有完全自主知识产权､达到世界先进水平的动车组列车.2019年12月30日，智能复兴号动车组在京张高铁实现时速自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小.我们用声强(单位：)表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度，声强级(单位：)与声强的函数关系式为，已知时，.若要将某列车的声强级降低，则该列车的声强应变为原声强的（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由已知得，解得，故.设某列车原来的声强级为，声强为，该列车的声强级降低后的声强级为，声强为，则，所以，解得.

故选：C.

5．（2020·云南昆明市·高三其他模拟）已知函数在同一周期内有最高点和最低点，则此函数在的值域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

由题意知，，

解得A＝2，b＝﹣1；

又，且，

∴解得ω＝2，φ；

∴函数f（x）＝2sin（2x）﹣1，又，所以，所以，所以，

故选：A

6．（2020·四川省广元市川师大万达中学高三月考（理））已知圆内切的三边，，分别于，，，且，则角（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

因为圆是的内切圆，设其半径为1，

又，所以，

所以，即，

因为，所以可求得，

所以，

所以，所以，

故选：C.

7．（2020·四川双流区·棠湖中学高三开学考试（理））设，随机变量X的分布列是：

则当最大时的a的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

根据随机变量的分布列和数学期望与方差的计算公式，

可得，

又由

可得，

因为，所以当最大时的的值为.

故选：D.

8．（2020·全国高三其他模拟）已知函数.若方程在区间上有解，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

当时，直线在图象的上方，故当时，，

由方程在区间上有解，

可得在区间上有解，

令，，则，

因为，所以，则由，得，

所以当时，，

当时，，于是在上单调递减，在上单调递增，

又，，，，，

所以实数的取值范围为，

故先：C.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9．（2020·江苏启东市·启东中学高三开学考试）设，，为实数且，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【详解】

对于，若，则，所以错误；

对于，因为，所以，故正确；

对于，函数的定义域为，而，不一定是正数，所以错误；

对于，因为，所以，所以正确.

故选：BD

10．（2020·山东高三其他模拟）下列关于函数的叙述正确的为(    )

A．函数有三个零点

B．点(1，0)是函数图象的对称中心

C．函数的极大值点为

D．存在实数a，使得函数为增函数

【答案】ABC

【详解】

，令，则或或，

所以函数有三个零点，所以A正确；

，

，

所以，所以函数图像关于点(1，0)对称中心，

所以B正确；求出的导函数，

令，则或，

令，则，

所以函数在和上单调递增，

在上单调递减，所以当时

函数有极大值，所以函数的极大值点为，

所以C正确；假设函数为增函数，

则恒成立，由上可知当或时，

，若要满足，则需在和

上恒成立，图像如下，

如图所示函数在上不可能恒成立，所以不存在这样的实数a，所以D错误.

故选：ABC

11．（2020·山东高三专题练习）2020年3月12日，国务院新闻办公室发布会重点介绍了改革开放40年，特别是党的十八大以来我国脱贫攻坚、精准扶贫取得的显著成绩，这些成绩为全面脱贫初步建成小康社会奠定了坚实的基础．下图是统计局公布的2010年～2019年年底的贫困人口和贫困发生率统计表．则下面结论正确的是（ ）

（年底贫困人口的线性回归方程为(其中年份-2019)，贫困发生率的线性回归方程为(其中年份-2009)）

A．2010年～2019年十年间脱贫人口逐年减少，贫困发生率逐年下降

B．2012年~2019年连续八年每年减贫超过1000万，且2019年贫困发生率最低

C．2010年～2019年十年间超过1.65亿人脱贫，其中2015年贫困发生率低于6％

D．根据图中趋势线可以预测，到2020年底我国将实现全面脱贫

【答案】BD

【详解】

每年脱贫的人口如下表所示：

由于缺少年年底数据，故无法统计十年间脱贫人口的数据，故AC选项错误.

根据上表可知：年~年连续八年每年减贫超过万，且年贫困发生率最低，故B选项正确.

根据上表可知，年~年连续八年每年减贫超过万，年年底，贫困人口万，故预计到年底我国将实现全面脱贫，故D选项正确.

综上所述，正确的选项为BD.

故选：BD

12．（2020·山东高三专题练习）抛物线的焦点为F，P为其上一动点，设直线l与抛物线C相交于A，B两点，点下列结论正确的是（    ）

A．|PM| +|PF|的最小值为3

B．抛物线C上的动点到点的距离最小值为3

C．存在直线l，使得A，B两点关于对称

D．若过A、B的抛物线的两条切线交准线于点T，则A、B两点的纵坐标之和最小值为2

【答案】AD

【解析】

A．设是抛物线的准线，过 作于，则 ，当且仅当三点共线时等号成立．所以 最小值是3，A正确；

B．设 是抛物线上任一点，即， ，时， ，B错误；

C．假设存在直线，使得A， B两点关于 对称，设方程为 ，由 得 ， 

所以， ，设 ，则， 中点为 ，则 ， ，必在直线 上，

所以， ，这与直线 抛物线相交于两个点矛盾，故不存在，C错误；

D．设 ，由即，得 ，则切线方程为 ，

即 ，同理方程是 ，

由 ，解得 ，由题意在准线 上，

所以 ，，

所以 ，

所以时， 为最小值．D 正确．

故选：AD．

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．（2018·江苏省上冈高级中学高二期中（文））已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是____．

【答案】

【详解】

则或，

若是的充分不必要条件则，

所以.

故答案为：

14．（2020·全国高三其他模拟（文））已知函数，若，则______.

【答案】-1或9

【详解】

解:当时，由，得；

当时，由，得.

故答案为: -1或9

15．（2020·库车市第一中学高三期中）若，且，则__________．

【答案】

【详解】

，

.又

，，

==，

故答案为.

16．（2020·江苏高三月考）已知对任意恒成立，则__________；若，则_________________．

【答案】    9   

【详解】

令，则，则，

∵，故，即，解得.

四、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．（2020·全国高三其他模拟）已知中，角，，的对边分别为，，，且.

（1）求；

（2）若，为外一点，如图所示，且，，的面积为，求.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）因为，所以，

由，根据正弦定理得，

即，整理得，

即，所以，

又由，联立解得或，

因为，所以，故，

（2）由（1）知且，

所以，

故的面积，解得，

又由，

在中，

由余弦定理可得，

所以.

在中，余弦定理，

可得，解得．

18．（2020·北京市延庆区教委高三其他模拟）设是公比不为1的等比数列，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

（1）求的公比；

（2）求数列的前项和．

条件①：为，的等差中项；条件②：设数列的前项和为，.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】条件性选择见解析，（1）-2；（2）

【详解】

解：选① （1）因为为的等差中项，

所以     

所以 ， 

因为                

所以

所以，（舍）                         

选② （1）因为，所以，

 因为，所以，所以                         

（2）由题得等比数列的首项，

所以，

设数列的前项和为，

因为数列是以为首项，为公差的等差数列，   

所以 ,

.

19．（2020·广西北海市·高三一模（理））出于“健康､养生”的生活理念.某地的炊具有限公司的传统手工泥模工艺铸造的平底铁锅一直受到全国各地消费者的青睐.炊具有限公司下辖甲､乙两个车间，甲车间利用传统手工泥模工艺铸造型双耳平底锅，乙车间利用传统手工泥模工艺铸造型双耳平底锅，每一口双耳平底锅按照综合质量指标值(取值范围为划分为：综合质量指标值不低于70为合格品，低于70为不合格品.质检部门随机抽取这两种平底锅各100口，对它们的综合质量指标值进行测量，由测量结果得到如下的频率分布直方图：

将此样本的频率估计为总体的概率.生产一口型双耳平底锅，若是合格品可盈利40元，若是不合格品则亏损10元；生产一口型双耳平底锅，若是合格品可盈利50元，若是不合格品则亏损20元.

（1）记为生产一口T型双耳平底锅和一口型双耳平底锅所得的总利润，求随机变量的数学期望；

（2）炊具有限公司生产的和型双耳平底锅共计1000口，并且两种型号获得的利润相等，若将两种型号的合格品再按质量综合指标值分成3个等级，其中为三级品，为二级品，为一级品，试判断生产的这1000口两种型号的双耳平底锅中哪种型号的一级品多？请说明理由.

【答案】（1）数学期望：；（2）生产的这1000口两种型号的双耳平底锅中型号的一级品多，理由见解析.

【详解】

解：（1）根据频率分布直方图，

甲车间生产的一口T型双耳平底锅为合格品的概率为

；

乙车间生产的一口L型双耳平底锅为合格品的概率为

.

随机变量的所有取值为90，40，20，-30，则

；；

；.

所以.

（2）生产的这1000口两种型号的双耳平底锅中型号的一级品多，理由如下：

设生产的这1000口双耳平底锅中型的有口，型的有口，则生产口型双耳平底锅的利润为，

生产口型双耳平底锅的利润为.

由，即，又，

解得，.

由于型双耳平底锅一级品的概率为0.08，型双耳平底锅一级品的概率为0.06，

所以型双耳平底锅一级品的估计值等于，

型双耳平底锅一级品的估计值等于，

因此生产的这1000口两种型号的双耳平底锅中型号的一级品多.

20．（2020·全国高三其他模拟）如图，在四棱锥中，底面为矩形，为等腰直角三角形，，，是的中点，二面角的大小等于120°.

（1）在上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）在线段上存在点满足题意，为的中点；（2）.

【详解】

解：（1）在线段上存在点满足题意，且为的中点.

如图，连接，，，

∵四边形是矩形，∴.

又，分别是，的中点，

∴，.

∵为等腰直角三角形，，为的中点，

∴.

∵，平面，平面，

∴平面.

又平面，

∴平面平面.

故上存在中点，使得平面平面.

（2）解：由（1）可知就是二面角的平面角，

∴.

以为坐标原点，，的方向分别为，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

由为等腰直角三角形，，得，.

可得，，，，

∴，，，

设是平面的法向量，

则即

可取.

设直线与平面所成的角为，

则，

∴直线与平面所成角的正弦值为.

21．（2020·江西赣州市·高三其他模拟（理））已知抛物线：上有互异三点，，.过，，三点做抛物线的切线分别交轴与，，三点，记抛物线焦点为.

（1）证明：；

（2）若直线，，两两交于点，，.证明：三角形的外接圆过定点，并求出这个定点.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，定点为.

【详解】

（1）直线的斜率显然存在，设直线，

联立消元可得

由可得

因为，所以，所以

（2）由（1）可得，同理可得

所以四点共圆，四点共圆，四点共圆

因为

由四点共圆，四点共圆可得，

所以

由四点共圆可得

所以，所以四点共圆

所以三角形的外接圆过定点

22．（2020·江西高三二模（理））已知函数.

（1）当时，求在处的切线方程；

（2）设，若有两个零点，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

解：（1）当时，，，

，，

∴切线方程为即；

（2）∵，

∴.

①当时，在上单调递增，在上单调递减.

∵，.∴在上有且只有一个零点.

取，使，且，则.

即有两个不同的零点.

②当时，，此时只有一个零点.

③当时，令，得或.

当时，，恒成立，∴在上单调递增.

当时，即.若或，则；

若，则.

∴在和上单调递增，在上单调递减.

当时，即.若时，

若，则.

∴在和上单调递增，在上单调递减

当时，∵，

.

∴无零点，不合题意.

综上，有两个零点的取值范围是.