黄金卷15-【赢在高考•黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷（新高考专用）（解析版）

【赢在高考•黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷（新高考专用）

第十五模拟

注意事项：

本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1．（2020·全国高三其他（理））已知，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【详解】

设函数，显然函数在，上分别单调递减和单调递增．

在时也可能有，反之也可能，

∴由得不到成立；由也得不到成立．

故选：D．

2．（2020·山东省滕州市第二中学高一月考）一元二次方程ax2+2x+1=0（a≠0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）

A．a <0 B．a >0 C．a <-1 D．a >1

【答案】C

【解析】

分析：求解其充要条件，再从选项中找充要条件的真子集．求解充要条件时根据题设条件特点可以借助一元二次根与系数的关系的知识求解．

解答：解：一元二次方程ax2+2x+1=0，（a≠0）有一个正根和一个负根的充要条件是x1×x2=＜0，

即a＜0，

而a＜0的一个充分不必要条件是a＜-1

故应选  C

3．（2020·天津滨海新·月考）设集合， ，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

解：，， ，

故选：．

4．（2020·上海青浦区·高三一模）已知顶点在原点的锐角绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

因为锐角绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，

所以，或（舍去），，

则，，

故

，

故选：D.

5．（2020·上海虹口区·高三一模）在中，若，则的形状一定是（    ）

A．等边三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

【答案】B

【详解】

因为，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以三角形是直角三角形.

故选：B

6．（2020·上海市行知中学高一期中）已知且，则（    ）

A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值

【答案】A

【详解】

因为，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

当且仅当时取等号，

故选：A.

7．（2020·全国高三月考（文））已知三棱锥的所有棱长都相等，点是线段上的动点，点是线段上靠近的三等分点，若的最小值为，则三棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

如下图所示：将平面，平面展开至同一平面，连接交于点，

故的值最小为，

设三棱锥的棱长为，则在中，，，，

由余弦定理可知，解得，所以三棱锥的棱长为6，

将该四面体置于正方体中，可得正方体的外接球即为四面体的外接球，如下图所示：

所以正方体的棱长为，所以正方体的外接球半径为，

故四面体的外接球半径为，外接球表面积.

故选：C.

8．（2020·全国高三专题练习）已知函数，若且，则的最大值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

当时，，

求导，令，得

当时，，单调递减；当时，，单调递增；

如下图所示：

设点的横坐标为，过点作轴的垂线交函数于另一点，设点的横坐标为，并过点作直线的平行线，设点到直线的距离为，，

由图形可知，当直线与曲线相切时，取最大值，

令，得，切点坐标为，

此时，，，

故选：B.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分

9．（2020·河北高三月考）若的展开式中的系数是，则（    ）

A． B．所有项系数之和为1

C．二项式系数之和为 D．常数项为

【答案】ABC

【详解】

对选项A，的展开式中项为，

所以，解得，故A正确；

由A知：，

令，所有项系数之和为，故B正确；

对选项C，二项式系数之和为，故C正确；

对选项D，的常数项为，故D错误.

故选：ABC

10．（2019·山东淄博市·高三月考）已知，，，成等比数列，满足，且，下列选项正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【详解】

成等比数列，设公比为.

，

，

整理得，即.

令，则.

由，得或；由，得，

在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

的极大值为，极小值为.

又，在区间上有一个零点.

即时，，.

，等比数列中，均为负数，均为正数.

.

故选：.

11．（2020·重庆市万州第二高级中学高二月考）已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱，为上底面上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（    ）

A．若，则满足条件的点有且只有一个

B．若，则点的轨迹是一段圆弧

C．若∥平面，则长的最小值为2

D．若∥平面，且，则平面截正四棱柱的外接球所得平面图形的面积为

【答案】ABD

【详解】

如图：

∵正四棱柱的底面边长为2，

∴，又侧棱，

∴，则与重合时，此时点唯一，故A正确；

∵，，则，即点的轨迹是一段圆弧，故B正确；

连接，，可得平面平面，则当为中点时，DP有最小值为，故C错误；

由C知，平面即为平面，平面截正四棱柱的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为，面积为，故D正确．

故选：ABD．

12．（2020·江苏金坛区·华罗庚中学高三月考）已知函数，以下结论正确的是（    ）

A．函数在区间上是减函数

B．

C．若方程恰有5个不相等的实根，则

D．若函数在区间上有8个零点，则

【答案】BCD

【详解】

由题可知当时，是以2为周期的函数，则可画出的函数图象，

对于A，根据函数图象可得，在单调递增，在单调递减，故A错误；

对于B，，，则，故B正确；

对于C，方程恰有5个不相等的实根等价于与直线有5个交点，如图，直线过定点，观察图形可知，其中，则，故，故C正确；

对于D，若函数在区间上有8个零点，则与有8个交点，如图，可知这八个零点关于对称，则，故D正确.

故选：BCD.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一月考）已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数a的取值范围是_____.

【答案】；

【详解】

因为不等式成立的充分不必要条件是，

所以.

所以，解得.

故答案为：

14．（2020·甘肃省静宁县第一中学高三月考（理））若函数的图象总在直线的上方，则实数的取值范围是______.

【答案】

【详解】

图象总在上方，恒成立，

定义域为，恒成立，

令，，

当时，；当时，，

在上单调递减，在上单调递增，，

，即实数的取值范围为.

故答案为：.

15．（2020·江西临川区·临川一中高二期中（文））已知抛物线C：（）的焦点F与的一个焦点重合，过焦点F的直线与C交于A，B两不同点，抛物线C在A，B两点处的切线相交于点M，且M的横坐标为4，则弦长______．

【答案】16

【详解】

因为抛物线C：（）的焦点F与的一个焦点重合，

所以 ，则，抛物线方程为，

设，直线AB的方程为，

则 ，

由 ，得，

则在点A处的切线方程为 ，即 ，

同理在点B处的切线方程为： ，

两切线方程联立解得：，即，

由，得，

所以，解得，

所以，

所以.

故答案为：16

16．（2020·湖北）在中，角，，所对的边分别为，b，c.已知向量，且.D为边上一点，且.则_______，面积的最大值为________.

【答案】       

【详解】

由可得，，

利用余弦二倍角公式和边化角可得：，

即，

利用积化和公式可得：，即，

又，所以；

因为，所以，，

在中，，

在中，，

又，

所以有，即，①

又，②

将②代入①得，，

又，所以，即，

由，，可得：，

所以.

所以面积的最大值为.

故答案为：；.

四、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．（2020·江苏泰州市·高三期中）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，A为锐角，在以下三个条件中任选 一个：①(b﹣3c)cosA＋acosB＝0；②sin2＋cos2A＝；③；并解答以下问题：

（1）若选_______（填序号），求cosA的值；

（2）在（1）的条件下，若a＝2，求面积S的最大值．

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【详解】

（1）若选①，因为，由正弦定理有：

,

即，

所以，在中，，所以.

若选②, ，

，

中，,，

，,

，或（舍）, .

若选③，因为，由正弦定理有：

，因为在中，，所以，

又，A为锐角，解得. 

（2）由（1）可知， ，由，A为锐角，得，

由余弦定理可知，

，

，当且仅当时等号成立.

面积：.

所以面积的最大值为.

18．（2020·湖北高二期中）已知数列的前项和满足，.

（1）求数列，的通项公式；

（2）记，若数列为递增数列，求的取值范围.

【答案】（1），；（2）.

【详解】

解：（1）当时，，∴，

当时，，

即，∴，又，

所以数列为等比数列.

∴，

.

（2），因为数列为递增数列，

∴对恒成立，即对恒成立

设，，，

，

若，则，

∴当时，；

当时，.

∴，

即的取值范围为.

19．（2020·北京高三二模）为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动．为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在[2，3），[3，4），[4，5），…，[8，9），[9，10）（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）．

（Ⅰ）由图中数据求a的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[5，6）的概率；

（Ⅱ）为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[2，3）和[8，9）的人中任选3人，求其中在[8，9）的人数X的分布列和数学期望；

（Ⅲ）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段？（只需写出结论）

【答案】（Ⅰ）a＝0.2；0.2；（Ⅱ）分布列见解析，；（Ⅲ）[5，6）.

【详解】

解：（Ⅰ）因为（0.05+0.1+0.18+a+0.32+0.1+0.03+0.02）×1＝1，所以a＝0.2．

因为0.2×1×100＝20，

所以该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[5，6）的学生有20人．

所以从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[5，6）的概率为．

（Ⅱ）由图中数据可知，该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[2，3）和[8，9）的人分别为5人和3人．

所以X的所有可能取值为0，1，2，3．

P（X＝0），P（X＝1），

P（X＝2），P（X＝3）．

所以X的分布列为：

所以数学期望E（X）．

（III）样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在[5，6）．

20．（2020·全国高三其他模拟）如图，三棱柱中，平面平面，和都是正三角形，是的中点．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【详解】

（1）如图，连接，交于点，连接，

由于四边形是平行四边形，所以是的中点．

因为是的中点，所以．

因为平面，平面，

所以平面．

（2）如图，取的中点，连接，，

根据和都是正三角形，得，．

又平面平面，平面平面，所以平面，于是．

以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系．

设，则，，，．

所以，，．

设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以．

设平面的法向量，则，即，令，则，，所以．

设二面角的大小为，由图易知为锐角，

则，

因此二面角的余弦值为．

21．（2020·江苏南京市·高二期中）已知点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点.

（1）证明：直线过定点，并求出定点的坐标；

（2）若直线交椭圆于、两点，、分别是、的面积，求的最小值.

【答案】（1）定点坐标为，证明见解析；（2）.

【详解】

（1）先证明出抛物线在其上一点处的切线方程为，

由于点在抛物线上，则，

联立，消去得，，即，

所以，关于的方程有两个相等的实根，此时，

因此，直线与抛物线相切，且切点为.

设点、，

则以为切点的切线方程为，同理以为切点的切线方程为，

两条切线均过点，，即，

所以，点、的坐标满足直线的方程，

所以，直线的方程为，

在直线的方程中，令，可得，所以，直线过定点；

（2）设点到直线的距离为，则.

由题意可知，直线不与轴重合，可设直线的方程为，

设、，由，得，恒成立，

由韦达定理得，，

由弦长公式可得，

由，得，恒成立.

由韦达定理得，，

由弦长公式得.

，

当且仅当时，等号成立.

因此，的最小值为.

22．（2020·四川高三其他模拟（文））已知曲线（其中为自然对数的底数）在处切线方程为.

（Ⅰ）求，值；

（Ⅱ）证明：存在唯一的极大值点，且.

【答案】（1），；（2）证明见详解

【详解】

(1) 在处切线方程为，而

∴，即

而，故切点为

∴，即

故有：，

(2)由(1)知：且定义域

∴，若

令，即在有恒成立

∴单调增，又，：即的零点在内

∴上，上

故在中，上有

当时，，即，单调增

当时，，即，单调减

当时，，即，单调增

∴存在唯一的极大值点=

又有

而，且

∴(利用均值不等式，但等号不成立，因为无法取1)

综上，得证：