数学第二十二章 二次函数综合与测试综合训练题

这是一份数学第二十二章 二次函数综合与测试综合训练题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，B，两点纵坐标相同，∴A等内容，欢迎下载使用。

一、选择题


1. 抛物线y＝x2＋2x＋3的对称轴是( )


A. 直线x＝1 B. 直线x＝－1 C. 直线x＝－2 D. 直线x＝2





2. 某同学在用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c图象时，列出了下面的表格：





由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是( )


A. －11 B. －2 C. 1 D. －5





3. 若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点(－1，0)，则方程ax2－2ax＋c＝0的解为( )


A. x1＝－3，x2＝－1 B. x1＝1，x2＝3


C. x1＝－1，x2＝3 D. x1＝－3，x2＝1





4. 下图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，图象上有两点分别为A(2.18，－0.51)，B(2.68，0.54)，则方程ax2＋bx＋c＝0的一个根可能是( )





A．2.18 B．2.68 C．－0.51 D．2.45





5. （2020·随州）如图所示，已知二次函数的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：①2a+b=0；②2c<3b；③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；④当△BCD是直角三角形时，.其中正确的有（ ）


A.1个 B.2个 C.3个 D.4个








6. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BC＝4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动．过点P作PD⊥BC于点D，设BD＝x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是( )








7. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴交于两点(x1，0)，(2，0)，其中0＜x1＜1.有下列四个结论：①abc＜0；②2a－c＞0；③a＋2b＋4c＞0；④eq \f(4a,b)＋eq \f(b,a)<－4.正确的个数是( )





A．1 B．2 C．3 D．4





8. 关于二次函数的三个结论：①对任意实数m，都有与对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则或；③若抛物线与x轴交于不同两点A,B，且AB≤6，则或.其中正确的结论是（ ）


A.①② B.①③ C.②③ D.①②③





9. (2019•随州)如图所示，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于的一元二次方程的一个根．其中正确的有





A．1个B．2个


C．3个D．4个





10. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(b＞a＞0)与x轴最多有一个交点．现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2＋bx＋c＋2＝0无实数根；③a－b＋c≥0；④eq \f(a＋b＋c,b－a)的最小值为3.其中，正确结论的个数为( )


A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个





二、填空题


11. 某种商品每件的进价为20元，经调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，则可卖出(30－x)件．若要使销售利润最大，则每件的售价应为________元．





12. 已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y＝－x2＋bx＋c上两点，该抛物线的顶点坐标是________．





13. (2019•徐州)已知二次函数的图象经过点，顶点为将该图象向右平移，当它再次经过点时，所得抛物线的函数表达式为__________．





14. 如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点分别为A(－2，4)，B(1，1)，则方程ax2＝bx＋c的解是____________．








15. 2018·湖州 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx(a>0)的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2(a＞0)交于点B.若四边形ABOC是正方形，则b的值是________．








16. 如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，点D(0，1)，点P在抛物线上，且△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为________．








17. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴交于A，B两点，顶点为P(m，n)．给出下列结论：①2a＋c＜0；②若(－eq \f(3,2)，y1)，(－eq \f(1,2)，y2)，(eq \f(1,2)，y3)在抛物线上，则y1＞y2＞y3；③若关于x的方程ax2＋bx＋k＝0有实数解，则k＞c－n；④当n＝－eq \f(1,a)时，△ABP为等腰直角三角形．其中正确的结论是________．(填序号)








18. 如图，平行于x轴的直线AC与函数y1＝x2(x≥0)，y2＝eq \f(1,3)x2(x≥0)的图象分别交于B，C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DE∥AC交y2的图象于点E，则eq \f(DE,AB)＝________．








三、解答题


19. 在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)，求该二次函数的解析式．

















20. 画出函数y＝－x2的图象，并回答问题．


解：(1)列表(请完成下面的填空)：


(2)描点、连线；





(3)由函数图象可以看出，当x＜0时，y随着x的增大而________．(填“增大”或“减小”)

















21. 已知抛物线y＝a(x＋2)2过点(1，－3)．


(1)求抛物线对应的函数解析式；


(2)指出抛物线的对称轴、顶点坐标；


(3)当x取何值时，y随x的增大而增大？

















22. (2019·山西)综合与探究


如图，抛物线经过点A(–2，0)，B(4，0)两点，与轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为.连接AC，BC，DB，DC.


(1)求抛物线的函数表达式；


(2)△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求的值；


(3)在(2)的条件下，若点M是轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.




















人教版 九年级数学 第22章 二次函数 综合训练-答案


一、选择题


1. 【答案】B 【解析】已知解析式为抛物线解析式的一般式，利用对称轴公式直接求解．抛物线y＝x2＋2x＋3的对称轴是直线x＝－eq \f(b,2a)＝－eq \f(2,2×1)＝－1 .





2. 【答案】D 【解析】由函数图象关于对称轴对称，得点(－1，－2)，(0，1)，(1，－2)在函数图象上，把点(－1，－2)，(0，1)，(1，－2)代入函数解析式，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－b＋c＝－2,c＝1,a＋b＋c＝－2))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－3,b＝0,c＝1))，∴函数解析式为y＝－3x2＋1，x＝2时y＝－11.





3. 【答案】C 【解析】∵图象过点(－1，0)，∴将点(－1，0)代入方程得a＋2a＋c＝0，即3a＋c＝0.当x＝3时，将(3，0)代入方程也得到3a＋c＝0成立，当x＝－3时，将(－3，0)代入方程也得到15a＋c＝0(与3a＋c＝0不相符)，∴方程的两个根为x1＝－1，x2＝3.





4. 【答案】D [解析] 由图象，得方程ax2＋bx＋c＝0的一个根在2.18与2.68之间．





5. 【答案】B


【解析】本题考查了二次函数图象与系数的关系、等腰三角形的性质、勾股定理，解答过程如下：


∵二次函数的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，


∴对称轴为，∴2a+b=0，故①正确；


∵2a+b=0，∴.


∵二次函数的图象经过点A（-1，0），∴a-b+c=0.


∴，∴3b=2c，故②错误；


∵AC不可能等于BC，∴当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个.故③正确；


∵△BCD是直角三角形时，∠BCD和∠BDC都可能是直角，∴a的取值应该有两个，故④错误.


综上所述，①③正确.因此本题选B．


6. 【答案】B 【解析】∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝90°，∠B＝∠C＝45°.(1)当0≤x≤2时，点P在AB边上，△BDP是等腰直角三角形，∴PD＝BD＝x，y＝eq \f(1,2)x2 (0≤x≤2)，其图象是抛物线的一部分； (2)当2＜x≤4时，点P在AC边上，△CDP是等腰直角三角形，∴PD＝CD＝4－x，∴y＝eq \f(1,2)BD·PD＝eq \f(1,2)x(4－x) (2＜x≤4)，其图象也是抛物线的一部分．综上所述，两段图象均是抛物线的一部分，因此选项B的图象能大致反映y与x之间的函数关系．





7. 【答案】C [解析] ①∵抛物线开口向上，∴a＞0.


∵抛物线对称轴在y轴的右侧，∴b＜0.


∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，


∴abc＜0，故①正确．


②∵图象与x轴交于两点(x1，0)，(2，0)，其中0＜x1＜1，


∴eq \f(2＋0,2)<－eq \f(b,2a)

当－eq \f(b,2a)

∵当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＝0，


∴b＝－2a－eq \f(1,2)c，


∴－2a－eq \f(1,2)c＞－3a，∴2a－c＞0，故②正确．


③当x＝eq \f(1,2)时，y＝eq \f(a,4)＋eq \f(b,2)＋c＝eq \f(1,4)(a＋2b＋4c)．


∵1<－eq \f(b,2a)

由图可知，当eq \f(3,2)

④∵－eq \f(b,2a)>1，∴2a＋b<0，∴(2a＋b)2＞0，4a2＋b2＋4ab＞0，4a2＋b2＞－4ab.


∵a＞0，b＜0，∴ab＜0，∴eq \f(4a2＋b2,ab)<－4，即eq \f(4a,b)＋eq \f(b,a)<－4，故④正确．


故选C.





8. 【答案】D


【解析】∵二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5的对称轴为直线x＝，∴x1＝2+m与x2＝2﹣m关于直线x＝2对称，∴对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等，所以①正确；因为二次函数在3≤x≤4上y随x的增大而增大，或增大而减小，而且x=3时y=-3a-5，x=4时y=-5,所以y要有4个整式值，则-9＜-3a-5≤-8,或-2≤-3a-5＜-1，所以或，故②正确；因为AB≤6，则=，则或.所以③正确.故选D.


9. 【答案】B


【解析】∵抛物线开口向下，∴，


∵抛物线的对称轴为直线，∴，


∵抛物线与轴的交点在轴上方，∴，∴，所以①正确；


∵，∴，


∵，∴，所以②错误；


∵，，∴，


把代入得，∴，所以③错误；


∵，对称轴为直线，∴，


∴是关于x的一元二次方程的一个根，所以④正确，


综上正确的有2个，


故选B．





10. 【答案】D 【解析】





二、填空题


11. 【答案】25 [解析] 设利润为w元，则w＝(x－20)(30－x)＝－(x－25)2＋25.


∵20≤x≤30，


∴当x＝25时，二次函数有最大值25.





12. 【答案】(1，4) 【解析】∵A(0，3)、B(2，3)，两点纵坐标相同，∴A、B两点关于直线x＝1对称，∴抛物线的对称轴是直线x＝1，即－eq \f(b,2×（－1）)＝1，解得b＝2，∵当x＝0时，y＝3，∴c＝3，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3，当x＝1时，y＝－x2＋2x＋3＝－12＋2×1＋3＝4，∴抛物线的顶点坐标是(1，4).





13. 【答案】


【解析】设原来的抛物线解析式为：，


把代入，得，


解得，


故原来的抛物线解析式是：，


设平移后的抛物线解析式为：，


把代入，得，


解得(舍去)或，


所以平移后抛物线的解析式是：，


故答案为：．





14. 【答案】x1＝－2，x2＝1 [解析] 方程ax2＝bx＋c的解即抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c交点的横坐标．∵交点是A(－2，4)，B(1，1)，∴方程ax2＝bx＋c的解是x1＝－2，x2＝1.





15. 【答案】－2 [解析] ∵四边形ABOC是正方形，


∴点B的坐标为(－eq \f(b,2a)，－eq \f(b,2a))．


∵抛物线y＝ax2过点B，


∴－eq \f(b,2a)＝a(－eq \f(b,2a))2，解得b1＝0(舍去)，b2＝－2.





16. 【答案】(1＋eq \r(2)，2)或(1－eq \r(2)，2) 【解析】抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，则点C坐标是(0，3)，∵点D(0，1)，点P在抛物线上，且△PCD是以CD为底的等腰三角形，∴易得点P 的纵坐标是2，当y＝2时，∴－x2＋2x＋3＝2，则x2－2x－1＝0，解得方程的两根是x＝eq \f(2±2\r(2),2)＝1±eq \r(2)，∴点P的坐标是(1＋eq \r(2)，2)或(1－eq \r(2)，2)．








17. 【答案】②④ [解析] (1)当x＝－1时，y＝a－b＋c＞0.由x＝－eq \f(b,2a)＜eq \f(1,2)和a＞0可得－b＜a.∴0＜a－b＋c＜a＋a＋c＝2a＋c，即2a＋c＞0，①错误；


(2)结合图象易知②正确；


(3)方程ax2＋bx＋k＝0有实数解，即ax2＋bx＋c＝c－k有实数解．∵y＝ax2＋bx＋c≥n，∴c－k≥n，即k≤c－n，③错误；


(4)设抛物线的解析式为y＝－eq \f(1,n)(x－m)2＋n(n＜0)．令y＝0，得－eq \f(1,n)(x－m)2＋n＝0.


∴n2－(x－m)2＝0，∴(n－x＋m)(n＋x－m)＝0.


∴x1＝m＋n，x2＝m－n.AB＝|x1－x2|＝－2n.设对称轴交x轴于点H，则AH＝BH＝PH＝－n，∴△ABP为等腰直角三角形，④正确．





18. 【答案】3－eq \r(3) [解析] 设点A的坐标为(0，b)，则B(eq \r(b)，b)，C(eq \r(3b)，b)，D(eq \r(3b)，3b)，E(3 eq \r(b)，3b)．所以AB＝eq \r(b)，DE＝3 eq \r(b)－eq \r(3b)＝(3－eq \r(3))eq \r(b).所以eq \f(DE,AB)＝eq \f(（3－\r(3)）\r(b),\r(b))＝3－eq \r(3).





三、解答题


19. 【答案】


解：∵二次函数图象的顶点为A(1，－4)，


∴设该二次函数的解析式为y＝a(x－1)2－4.将(3，0)代入解析式，得a＝1，


故y＝(x－1)2－4，


即该二次函数的解析式为y＝x2－2x－3.





20. 【答案】


解：(1)－4 －1


(2)如图：





(3)增大





21. 【答案】


解：(1)∵抛物线经过点(1，－3)，


∴－3＝9a，a＝－eq \f(1,3)，∴抛物线对应的函数解析式为y＝－eq \f(1,3)(x＋2)2.


(2)抛物线的对称轴是直线x＝－2，顶点坐标是(－2，0)．


(3)∵a＝－eq \f(1,3)<0，


∴当x<－2时，y随x的增大而增大．





22. 【答案】


(1)抛物线经过点A(–2，0)，B(4，0)，


∴，解得，


∴抛物线的函数表达式为；


(2)作直线DE⊥轴于点E，交BC于点G，作CF⊥DE，垂足为F，


∵点A的坐标为(–2，0)，∴OA=2，


由，得，∴点C的坐标为(0，6)，∴OC=6，


∴S△OAC=，


∵S△BCD=S△AOC，∴S△BCD=，


设直线BC的函数表达式为，


由B，C两点的坐标得，解得，


∴直线BC的函数表达式为，


∴点G的坐标为，


∴，


∵点B的坐标为(4，0)，∴OB=4，


∵S△BCD=S△CDG+S△BDG=，


∴S△BCD=，


∴，


解得(舍)，，


∴的值为3；





(3)存在，如下图所示，以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图，


以BD为边时，有3种情况，


∵D点坐标为，∴点N点纵坐标为±，


当点N的纵坐标为时，如点N2，


此时，解得：(舍)，


∴，∴；


当点N的纵坐标为时，如点N3，N4，


此时，解得：


∴，，


∴，；


以BD为对角线时，有1种情况，此时N1点与N2点重合，


∵，D(3，)，


∴N1D=4，


∴BM1=N1D=4，


∴OM1=OB+BM1=8，


∴M1(8，0)，


综上，点M的坐标为：.





【名师点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.





x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
－11
－2
1
－2
－5
…
x
…
－2
－1
－0.5
0
0.5
1
2
…
y
…
－0.25
0
－0.25
－1
－4
…
序号
逐项分析
正误
①
∵b>a>0，∴对称轴－eq \f(b,2a)<0，即对称轴在y轴左侧
√
②
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴最多有一个交点，且抛物线开口向上，∴y＝ax2＋bx＋c≥0，∴方程ax2＋bx＋c＋2＝0即ax2＋bx＋c＝－2无实数根
√
③
由②得y＝ax2＋bx＋c≥0，∴当x＝－1时，a－b＋c≥0
√
④
∵当x＝－2时，y＝4a－2b＋c≥0，∴a＋b＋c≥3b－3a，a＋b＋c≥3(b－a)，∵b＞a，∴eq \f(a＋b＋c,b－a)≥3
√