初中数学第二十二章 二次函数综合与测试精品当堂达标检测题

这是一份初中数学第二十二章 二次函数综合与测试精品当堂达标检测题，共20页。试卷主要包含了已知点，抛物线y＝ax2+4x+c，二次函数y＝ax2+bx+1，已知点A等内容，欢迎下载使用。




一．选择题


1．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过点（﹣3，m）和（5，m）两点，则b的值为（ ）


A．﹣2B．﹣1C．1D．2


2．已知点（﹣1，y1），（，y2），（4，y3）都在抛物线y＝﹣2x2+4x+c上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）


A．y2＞y3＞y1B．y1＞y2＞y3C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y2


3．将二次函数y＝x2的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数的表达式为（ ）


A．y＝2x2+3B．y＝﹣2x2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣3D．y＝（x+2）2+3


4．抛物线y＝ax2+4x+c（a＞0）经过点（x0，y0），且x0满足关于x的方程ax+2＝0，则下列选项正确的是（ ）


A．对于任意实数x都有y≥y0


B．对于任意实数x都有y≤y0


C．对于任意实数x都有y＞y0


D．对于任意实数x都有y＜y0


5．已知函数y1＝mx2+n，y2＝nx+m（mn≠0），则两个函数在同一坐标系中的图象可能为（ ）


A．B．


C．D．





6．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（ ）





A．b2＜4acB．ac＞0C．a﹣b+c＝0D．2a﹣b＝0


7．二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0），设t＝a+b+1，则t的取值范围为（ ）


A．0＜t＜2B．﹣1＜t＜0C．t＜﹣1D．t＜2


8．函数y＝x2+2bx+6的图象与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，且x1＞1，x2﹣x1＝4，当1≤x≤3时，该函数的最小值m与b的关系式是（ ）


A．m＝2b+5B．m＝4b+8C．m＝6b+15D．m＝﹣b2+4


9．已知二次函数y＝ax2+2ax+3a﹣2（a是常数，且a≠0）的图象过点M（x1，﹣1），N（x2，﹣1），若MN的长不小于2，则a的取值范围是（ ）


A．a≥B．0＜a≤C．﹣≤a＜0D．a≤﹣


10．已知点A（x1，y1）和B（x2，y2）均在二次函数y＝ax2﹣6ax+9a﹣4的图象上，且|x1﹣3|＜|x2﹣3|，则下列说法错误的是（ ）


A．直线x＝3是该二次函数图象的对称轴


B．当a＜0时，该二次函数有最大值﹣4


C．该二次函数图象与坐标轴一定有一个或三个交点


D．当a＞0时，y1＜y2


11．在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+4x+2m，则m的值是（ ）


A．﹣B．﹣C．1D．﹣或﹣


12．如图，抛物线y＝x2﹣1与x轴交于A，B两点，D是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（ ）





A．B．C．3D．2





二．填空题


13．已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为 ．


14．将抛物线y＝x2+2向右平移3个单位，再向上平移2个单位后，那么所得新抛物线你的解析式为 ．


15．如图，P是抛物线y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．





16．如图，抛物线y＝（x+2）2﹣1与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，作直线AC．动点P是线段AC上一点，过点P作x轴的垂线交该抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为 ．





17．抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝mx+n交于点A（﹣2，5）、B（3，）两点，则关于x的一元二次方程a（x+1）2+c﹣n＝（m﹣b）（x+1）的两根之和是 ．


18．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：


①3a﹣b＝0；


②b2﹣4ac＞0；


③5a﹣2b+c＞0；


④4b+3c＞0，


其中错误结论的序号是 ．








三．解答题


19．如图，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，抛物线的顶点为点D．


（1）求AB的长度和点D的坐标；


（2）求直线AC的函数表达式；


（3）点P是第四象限抛物线上一点，当2S△PAC＝S△PAB时，求点P的坐标．








20．在平面直角坐标系中，记函数y＝的图象为G，正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为（2，2），点B在第四象限．


（1）当n＝1时．


①求G的最低点的纵坐标；


②求图象G上所有到x轴的距离为2的点的横坐标之和．


（2）当图象G与正方形ABCD的边恰好有两个公共点时，直接写出n的取值范围．











21．某网店专售一款电动牙刷，其成本为20元/支，销售中发现，该商品每天的销售量y（支）与销售单价x（元/支）之间存在如图所示的关系．


（1）求y与x之间的函数关系式．


（2）由于湖北省武汉市爆发了新型冠状病毒肺炎（简称“新冠肺炎”）疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出200元捐献给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于550元，如何确定这款电动牙刷的销售单价？











22．已知二次函数y＝ax2+（3a+1）x+3（a＜0）．


（1）该函数的图象与y轴交点坐标为 ；


（2）当二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数．


①求a的值及二次函数的表达式；


②画出二次函数的大致图象（不列表，只用其与x轴的两个交点A、B，且A在B的左侧，与y轴的交点C及其顶点D，并标出A，B，C，D的位置）；


（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P，使△PCA为直角三角形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．





23．某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：


（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；


（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？


（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？








24．如图，直线y＝﹣x﹣3与坐标轴交于点A、C，经过点A、C的抛物线．y＝ax2+bx+c与x轴交于点B（2，0），点D是抛物线在第三象限图象上的动点，过点D作DE⊥x轴于点E，交AC于点F．


（1）求该二次函数的解析式；


（2）若线段AC恰好将△ADE的面积分成1：4的两部分，请求出此时点D的坐标．





参考答案


一．选择题


1．解：抛物线y＝﹣x2+bx+4经过点（﹣3，m）和（5，m）两点，


可知函数的对称轴x＝1，


∴﹣＝1，


∴b＝2；


故选：D．


2．解：∵抛物线y＝﹣2x2+4x+c的对称轴为直线x＝1，且抛物线的开口向下，


∴离抛物线对称轴的水平距离越远，对应函数值越小，


∵点（4，y3）离对称轴的距离最远，点（，y2）离对称轴的距离最近，


∴y2＞y1＞y3，


故选：C．


3．解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为（0，0），


平移后抛物线顶点坐标为（﹣2，3），


又因为平移不改变二次项系数，


所以所得抛物线解析式为：y＝（x+2）2+3．


故选：D．


4．解：∵x0满足关于x的方程ax+2＝0，


∴x0＝﹣，


∴点（x0，y0）是二次函数y＝ax2+4x+c的顶点坐标．


∵a＞0，


∴对于任意实数x都有y≥y0．


故选：A．


5．解：A、由一次函数y2＝nx+m（mn≠0）的图象可得：n＜0，m＞0．此时二次函数y1＝mx2+n的图象应该开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，故选项符合题意；


B、由一次函数y2＝nx+m（mn≠0）的图象可得：n＞0，m＜0．此时二次函数y1＝mx2+n的图象应该开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，故本选项不符合题意；


C、由一次函数y2＝nx+m（mn≠0）的图象可得：n＜0，m＜0．此时二次函数y1＝mx2+n的图象应该开口向下，抛物线与y轴交于负半轴，故本选项不符合题意；


D、由一次函数y2＝nx+m（mn≠0）的图象可得：n＞0，m＞0．此时二次函数y1＝mx2+n的图象开口向上，抛物线与y轴交于正半轴，故本选项不符合题意；


故选：A．


6．解：A．∵抛物线与x轴有两个交点，


∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项错误；


B．∵抛物线开口向上，


∴a＞0，


∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，


∴c＜0，


∴ac＜0，所以B选项错误；


C．∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x＝1，


∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），


∴a﹣b+c＝0，所以C选项正确；


D．∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，


∴﹣＝1，


∴2a+b＝0，所以D选项错误；


故选：C．


7．解：∵二次函数y＝ax2+bx+1的顶点在第一象限，


且经过点（﹣1，0），


∴a﹣b+1＝0，a＜0，b＞0，


由a＝b﹣1＜0得到b＜1，结合上面b＞0，所以0＜b＜1①，


由b＝a+1＞0得到a＞﹣1，结合上面a＜0，所以﹣1＜a＜0②，


∴由①+②得：﹣1＜a+b＜1，


在不等式两边同时加1得0＜a+b+1＜2，


∵a+b+1＝t代入得0＜t＜2，


∴0＜t＜2．


故选：A．


8．解：函数y＝x2+2bx+6的图象与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，


∴x1•x2＝6，而x2﹣x1＝4，


解得：x1＝﹣2，x2＝2+，


∵x1+x2＝﹣2b，


∴b＝﹣；


函数的对称轴为直线x＝（x1+x2）＝＞3，


故当1≤x≤3时，函数在x＝3时，取得最小值，即m＝y＝x2+2bx+6＝15+6b，


故选：C．


9．解：令y＝﹣1，得y＝ax2+2ax+3a﹣2＝﹣1，


化简得，ax2+2ax+3a﹣1＝0，


∵二次函数y＝ax2+2ax+3a﹣2（a是常数，且a≠0）的图象过点M（x1，﹣1），N（x2，﹣1），


∴△＝4a2﹣12a2+4a＝﹣8a2+4a＞0，


∴0＜a＜，


∵ax2+2ax+3a﹣1＝0，


∴x1+x2＝﹣2，，


∴，


即MN＝，


∵MN的长不小于2，


∴≥2，


∴a≤，


∵0＜a＜，


∴0＜a≤，


故选：B．


10．解：∵二次函数y＝ax2﹣6ax+9a﹣4＝a（x﹣3）2﹣4，


∴直线x＝3是该二次两数图象的对称轴，当a＜0时，该二次函数有最大值﹣4，故选项A、B正确；


∵|x1﹣3|＜|x2﹣3|，点A（x1，y1）和B（x2，y2）均在二次函数y＝ax2﹣6ax+9a﹣4的图象上，


∴当a＞0时，y1＜y2，故选项D正确；


当x＝0，y＝0时，得a＝，即a＝时，该函数图象与坐标轴有两个交点，故选项C错误；


故选：C．


11．解：∵一条抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+4x+2m，


∴这条抛物线的顶点为（2，2m+4），


∴关于x轴对称的抛物线的顶点（2，﹣2m﹣4），


∵它们的顶点相距6个单位长度．


∴|2m+4﹣（﹣2m﹣4）|＝6，


∴4m+8＝±6，


当4m+8＝6时，m＝﹣，


当4m+8＝﹣6时，m＝﹣，


∴m的值是﹣或﹣．


故选：D．


12．解：令y＝x2﹣1＝0，则x＝±3，


故点B（3，0），


设圆的半径为r，则r＝1，


当B、D、C三点共线，且点D在BC之间时，BD最小，


而点E、O分别为AD、AB的中点，故OE是△ABD的中位线，


则OE＝BD＝（BC﹣r）＝（﹣1）＝2，


故选：D．


二．填空题（共6小题）


13．解：∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，


∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，


∵当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，


∴当x＝﹣1时，取得最大值，当x＝2时，函数取得最小值，


∴a＝1+4+3＝8，b＝﹣1，


∴a﹣b＝8﹣（﹣1）＝8+1＝9，


故答案为：9．


14．解：抛物线y＝x2+2向右平移3个单位后的解析式为：y＝（x﹣3）2+2．


再向上平移2个单位后所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣3）2+2+2，即y＝x2﹣6x+13．


故答案是：y＝x2﹣6x+13．


15．解：设P（x，x2﹣x﹣4），


四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2（x2﹣x﹣4）+2x＝﹣2x2+4x+8＝﹣2（x﹣1）2+10，


当x＝1时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为10．


故答案为10．


16．解：令y＝（x+2）2﹣1＝0，


解得：x＝﹣3或x＝﹣1，


∴点A的坐标为（﹣3，0），


令x＝0，则y＝（0+2）2﹣1＝3，


∴点C的坐标为（0，3），


设直线AC的解析式为y＝kx+b，


则：，


解得：k＝1，b＝3，


∴直线AC的解析式为y＝x+3，


设P点的横坐标为a，则纵坐标为a+3，


∵PD⊥x轴，


∴Q的坐标为（a，a2+4a+3），


∴PQ＝a+3﹣（a2+4a+3）＝﹣a2﹣3a＝﹣（a+）2+，


∴PQ的最大值为．


17．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝mx+n交于点A（﹣2，5）、B（3，）两点，


∴方程ax2+bx+c＝mx+n的两个根为x1＝﹣2，x2＝3，


∵a（x+1）2+c﹣n＝（m﹣b）（x+1）可变形为a（x+1）2+b（x+1）+c＝m（x+1）+n，


∴x+1＝﹣2或x+1＝3，


解得，x3＝﹣3，x4＝2，


∴方程a（x+1）2+c﹣n＝（m﹣b）（x+1）的两根之和是﹣3+2＝﹣1，


故答案为：﹣1．


18．解：由图象可知a＜0，c＞0，对称轴为x＝﹣，


∴x＝﹣＝﹣，


∴b＝3a，①正确；


∵函数图象与x轴有两个不同的交点，


∴△＝b2﹣4ac＞0，②正确；


当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，


当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＞0，


∴10a﹣4b+2c＞0，


∴5a﹣2b+c＞0，③正确；


由对称性可知x＝1时对应的y值与x＝﹣4时对应的y值相等，


∴当x＝1时，a+b+c＜0，


∵b＝3a，


∴4b+3c＝3b+b+3c＝3b+3a+3c＝3（a+b+c）＜0，


∴4b+3c＜0，④错误；


故答案为：④．


三．解答题（共6小题）


19．解：（1）令y＝0，得y＝x2+2x﹣3＝0，


解得，x＝﹣3或1，


∴A（﹣3，0），B（1，0），


∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，


∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，


∴D（﹣1，﹣4）；


（2）令x＝0，得y＝x2+2x﹣3＝﹣3，


∴C（0，﹣3），


设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），得


，


解得，，


∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣3；


（3）设P（m，m2+2m﹣3）（0＜m＜1），过P作PQ⊥x轴于点Q，如下图，


则PQ＝﹣m2﹣2m+3，OQ＝m，AQ＝m+3


∵2S△PAC＝S△PAB，


∴2（S△AOC+S梯形OQPC﹣S△APQ）＝S△PAB，


即＝，


解得，m＝﹣3（舍），m＝，


∴．





20．解：（1）①y＝，


函数图象如图所示：





函数最低点的坐标（3，﹣9），


∴图象G的最低点的纵坐标为﹣9．





②当y＝2时，x2+2x+2＝2，解得x＝﹣2或0（舍弃）


x2﹣6x＝2时，解得x＝3+或3﹣（舍弃），


当y＝﹣2时，x2﹣6x＝﹣2，解得x＝3+或3﹣，


∴图象G上所有到x轴的距离为2的横坐标之和＝﹣2+3++3++3﹣＝7+．





（2）当y＝x2+2nx+2n2的顶点落在AD边上时，n2＝2，解得n＝或﹣（舍弃）





当n＝时，y＝x2+2nx+2n2（x＜0）与边AD有一个交点，y＝x2﹣6nx与边BC有一个交点，符合题意．


当2n2≤2，解得n≤1或n≥﹣1，


当y＝x2﹣6nx经过（2，﹣2）时，n＝，


观察图象可知当＜n≤1时，满足条件，


当y＝x2﹣6nx的顶点在BC边上时，﹣9n2＝﹣2，


解得n＝或﹣（舍弃），


当n＝﹣1时，y＝x2+2nx+2n2（x＜0）与正方形的边没有交点，


观察图象可知当﹣1＜n＜时，满足条件，


综上所述，满足条件的n的值为﹣1＜n＜或＜n≤1或n＝．


21．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）．


将（30，100），（35，50）代入y＝kx+b中，得：，


解得：，


∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+400．


（2）设捐款后每天的剩余利润为w元，


依题意，得：w＝（x﹣20）（﹣10x+400）﹣200＝﹣10x2+600x﹣8200．


令w＝550，则﹣10x2+600x﹣8200＝550，


解得x1＝25，x2＝35．


∵﹣10＜0，


∴抛物线开口向下，


∴当该款电动牙刷的销售单价每支不低于25元且不高于35元时，可保证捐款后每天剩余利润不低于550元．





22．解：（1）令x＝0时，y＝3，


∴函数的图象与y轴交点坐标为（0，3），


故答案为：（0，3）；


（2）①令y＝0，则ax2+（3a+1）x+3＝0，


∴（ax+1）（x+3）＝0，


∴x1＝﹣，x2＝﹣3，


∵二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数．


∴a＝﹣1，


∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；


②图象如图所示：





（3）设点P（m，﹣m2﹣2m+3），


当点P为直角顶点时，如图，过点P作PF⊥y轴于F，过点A作AE⊥PF，交FP的延长线于E，





∵∠APC＝90°，


∴∠APE+∠CPF＝90°，


∵∠APE+∠EAP＝90°，


∴∠CPF＝∠EAP，


又∵∠AEP＝∠CFP＝90°，


∴△APE∽△PCF，


∴，


∴＝


∴


∴﹣（m﹣1）（m+2）＝1，


∴m1＝，m2＝，


经检验，m1＝，m2＝是原方程的根；


∴点P坐标为（，）或（，）；


若点A为直角顶点时，如图，过点P作PH⊥x轴于P，





∵点A（﹣3，0），点C（0，3），


∴OA＝OC，


又∵∠AOC＝90°，


∴∠CAO＝∠ACO＝45°，


∵∠CAP＝90°，


∴∠PAH＝45°，


∵PH⊥x轴，


∴∠PAH＝∠APH＝45°，


∴AH＝PH，


∴m+3＝m2+2m﹣3


∴m1＝﹣3（舍去），m2＝2，


∴点P坐标为（2，﹣5）；


若点C为直角顶点，过点P作PE⊥y轴于E，





∵∠ACP＝90°，∠ACO＝45°，


∴∠PCE＝45°，


∵PE⊥y轴，


∴∠PCE＝∠CPE＝45°，


∴PE＝CE，


∴﹣m＝﹣m2﹣2m+3﹣3，


∴m1＝0（舍去），m2＝﹣1，


∴点P坐标为（﹣1，4）；


综上所述：点P坐标为（，）或（，）或（2，﹣5）或（﹣1，4）．


23．解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：


，


解得：．


∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣2x+180．


（2）由题意得：（x﹣50）（﹣2x+180）＝600，


整理得：x2﹣140x+4800＝0，


解得x1＝60，x2＝80．


答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克．


（3）设当天的销售利润为w元，则：


w＝（x﹣50）（﹣2x+180）


＝﹣2（x﹣70）2+800，


∵﹣2＜0，


∴当x＝70时，w最大值＝800．


答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．


24．解：（1）直线y＝﹣x﹣3与坐标轴交于点A、C，


当x＝0时，y＝﹣3；当y＝0时，x＝﹣6，


∴A（﹣6，0），C（0，﹣3），


将A、B、C三点坐标代入抛物线的关系式得，


，解得，，


∴抛物线的关系式为y＝x2+x﹣3；


（2）设点D（x，x2+x﹣3），则点F（x，﹣x﹣3）


∴DE＝|x2+x﹣3|＝﹣x2﹣x+3，EF＝|﹣x﹣3|＝x+3，


若线段AC恰好将△ADE的面积分成1：4的两部分，则EF＝DE，或EF＝DE，


①当EF＝DE时，即x+3＝（﹣x2﹣x+3），


解得，x1＝﹣6，x2＝﹣8，


又∵﹣6＜x＜0，


x1＝﹣6，x2＝﹣8，均不符合题意舍去，


②当EF＝DE时，即x+3＝（﹣x2﹣x+3），


解得，x1＝﹣6，x2＝﹣，


又∵﹣6＜x＜0，


x1＝﹣6不符合题意舍去，x2＝﹣，


当x＝﹣时，y＝×﹣﹣3＝﹣，


∴点D（﹣，﹣）．





销售单价x（元/千克）
55
60
65
70
销售量y（千克）
70
60
50
40