专题12 坐标系与参数方程——2020年高考真题和模拟题理科数学分项汇编

专题12  坐标系与参数方程

1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）当时，是什么曲线？

（2）当时，求与的公共点的直角坐标．

【解析】（1）当k=1时，消去参数t得，故曲线是圆心为坐标原点，半径为1的圆．

（2）当k=4时，消去参数t得的直角坐标方程为．

的直角坐标方程为．

由解得．

故与的公共点的直角坐标为．

2．【2020年高考全国II卷理数】[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

已知曲线C1，C2的参数方程分别为

C1：（θ为参数），C2：（t为参数）．

（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．

【解析】（1）的普通方程为．

由的参数方程得，，所以．

故的普通方程为．

（2）由得所以的直角坐标为．

设所求圆的圆心的直角坐标为，由题意得，

解得．

因此，所求圆的极坐标方程为．

3．【2020年高考全国III卷理数】[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A、B两点．

（1）求；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．

【解析】（1）因为t≠1，由得，所以C与y轴的交点为（0，12）；

由得t=2，所以C与x轴的交点为．

故．

（2）由（1）可知，直线AB的直角坐标方程为，将代入，

得直线AB的极坐标方程．

4．【2020年高考江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程]

在极坐标系中，已知点在直线上，点在圆上（其中，）．

（1）求，的值；

（2）求出直线与圆的公共点的极坐标．

【解析】（1）由，得；，又（0，0）（即（0，））也在圆C上，

因此或0．

（2）由得，所以．

因为，，所以，．

所以公共点的极坐标为．

1．【2020·山西省山西大附中高三月考】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）设点在直线上，点在曲线上，求的最小值.

【答案】（1），；（2）.

【解析】（1）直线的普通方程为

曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为

（2）曲线的参数方程为

设点的坐标为

，

故的最小值为.

【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式、辅助角公式以及三角函数的性质，属于基础题.

2．【2020·广东省高三其他（理）】在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为＝（＞0），过点的直线的参数方程为（t为参数），直线与曲线C相交于A，B两点．

（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线的普通方程；

（Ⅱ）若，求的值．

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）．

【解析】（Ⅰ）根据可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标，两式相减消去参数得直线的普通方程为．（Ⅱ）由直线参数方程几何意义有，因此将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中，

得,由韦达定理有．解之得：或（舍去）

试题解析：（Ⅰ）由得,

∴曲线的直角坐标方程为．

直线的普通方程为．

（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中，

得,

设两点对应的参数分别为,

则有．

∵,∴, 即．

∴．

解之得：或（舍去）,∴的值为．

3．【2020·黑龙江省大庆实验中学高三月考】在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）设点，直线与曲线的交点为、，求的值．

【答案】（1）；；（2）4

【解析】（1）的参数方程消去参数，易得的普通方程为，

曲线：，

即，

∴，

所以曲线的直角坐标方程为：.

（2）的参数方程（为参数），

设对应参数为，对应参数为，

将的参数方程与联立得：，

得：，，

所以

即.

【点睛】本题考查利用消参法将参数方程化为普通方程，利用互化公式将极坐标方程转化为直角坐标方程，将直线的参数方程代入曲线的普通方程，得到关于的一元二次方程，联立写出韦达定理，运用直线参数方程中参数的几何意义进行求解.

4．【2020·辽宁省高三三模】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴建极坐标系．

（1）求的极坐标方程；

（2）直线，的极坐标方程分别为，，直线与曲线的交点为、，直线与曲线的交点为、，求线段的长度．

【答案】（1）；（2）1．

【解析】（1）由曲线的参数方程为得曲线的直角坐标方程为：，

所以极坐标方程为即．

（2）将代入中有，即，

将代入中有，即，

，

余弦定理得

，

．

【点睛】本题考查参数方程化普通方程、普通方程化极坐标方程、余弦定理，考查综合分析求解能力，属基础题.

5．【2020·山西省太原五中高三其他（理）】在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为()，将曲线向左平移2个单位长度得到曲线.

（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；

（2）设直线与曲线交于两点，求的取值范围.

【答案】（1）的极坐标方程为，普通方程为；（2）

【解析】（1），

，即曲线的普通方程为，

依题意得曲线的普通方程为，

令，得曲线的极坐标方程为；

（2）法一：将代入曲线的极坐标方程得，则

，，，异号

，

，，；

法二:设直线的参数方程为(为参数，为直线的倾斜角)，代入曲线的普通方程得，

则，，，异号

，，.

【点睛】本题考查参数方程与普通方程，极坐标方程与平面直角坐标方程之间的转化，求解几何量的取值范围，关键在于明确极坐标系中极径和极角的几何含义，直线的参数方程，参数的几何意义，属于中档题.

6．【2020·山西省太原五中高三月考（理）】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求和的直角坐标方程；

（2）已知为曲线上的一个动点，求线段的中点到直线的最大距离．

【答案】（1）．．（2）最大距离为．

【解析】（1）由，得，

则曲线的直角坐标方程为，即．

直线的直角坐标方程为．

（2）可知曲线的参数方程为（为参数），

设，，

则到直线的距离为

，

所以线段的中点到直线的最大距离为．

【点睛】本题考查了极坐标方程，参数方程，距离的最值问题，意在考查学生的计算能力.

7．【2020·河北省河北正中实验中学高三其他（理）】

在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l3与C的交点，求M的极径.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）消去参数得的普通方程；消去参数m得l2的普通方程.

设,由题设得，消去k得.

所以C的普通方程为.

（2）C的极坐标方程为.

联立得.

故，

从而.

代入得，

所以交点M的极径为.

【点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.

8．【2020·广东省湛江二十一中高三月考】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）在极坐标系中，是曲线上的两点，若，求的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）将曲线的参数方程化为普通方程为：

即：

根据，，可得：

曲线的极坐标方程为：

（2）设，

则

当时，

【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标和直角坐标的互化、极坐标的几何意义的应用问题，属于常规题型.

9．【2020·麻城市实验高级中学高三其他】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），若以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（其中为常数）.

（1）求曲线和的直角坐标方程；

（2）若曲线和有且仅有一个公共点，求的取值范围.

【答案】（1）；；（2）.

【解析】（1）由，可知曲线的直角坐标方程为，

其中，所以曲线的直角坐标方程为，，

由，可得，由，，

曲线的直角坐标方程为；

（2）由，可知，

令，其图象如下：

由曲线和有且仅有一个公共点，所以函数与的图象有且仅有一个公共点，所以由图象可知.

【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，以及用数形结合思想求参数范围.

10．【2020·辽宁省大连二十四中高三其他（理）】已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为

ρcos（）.

（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；

（2）若直线l交曲线C于A，B两点，交x轴于点P，求的值.

【答案】（1）x2﹣4y2=1（），；（2）8.

【解析】（1）曲线C的参数方程为（t为参数），

转化为直角坐标方程为x2﹣4y2=1（）

直线l的极坐标方程为ρcos（）.转化为直角坐标方程为：.

（2）由于直线与x轴的交点坐标为（），所以直线的参数方程为（t为参数），

代入x2﹣4y2=1得到：，

所以：，t1t2=-1，

则：8.

【点睛】本题考查了直角坐标方程极坐标方程的互化，考查了参数方程和普通方程的转化，同时考查了直线的标准参数的几何意义，考查了转化思想和计算能力，属于较难题.

11．【2020·重庆高三月考（理）】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点的射线与曲线相交于不同于极点的点，且点的极坐标为，其中．

（1）求的值；

（2）若射线与直线相交于点，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由题意知，曲线C的普通方程为，

因为，所以曲线C的极坐标方程为 ，即.

由，得，

因为，所以.

（2）由题，易知直线的普通方程为，所以直线的极坐标方程为.

又射线的极坐标方程为（），

联立，得，解得.

所以点的极坐标为，

所以.

【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，考查极坐标方程的应用，正确转化方程的形式是解题的关键，属于常考题.

12．【2020·河南省高三三模】在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，曲线C1和C2在第一象限交于点A．

（1）求点A的直角坐标；

（2）直线与曲线C1，C2在第一象限分别交于点B，C，若△ABC的面积为，求α的值．

【答案】（1）（）；（2）.

【解析】（1）曲线C1的参数方程为（为参数），

转换为直角坐标方程为.根据

转换为极坐标方程为.

联立曲线C1和C2得到：，解得，

即转换为直角坐标为（）．

（2）连接OA，由（1）得：，

可得：|OA|，，

将直线与曲线C1和C2联立可得：，.

，，

，所以．

则：S△ABC＝S△AOC﹣S△AOB，

，

，

，

整理得，

所以．

【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换、三角形面积公式、三角函数关系式，考查了数学运算能力，逻辑推理能力，转化数学思维，属于中档题.

13．【2020·四川省绵阳南山中学高三一模（理）】直线l的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，曲线C的参数方程为（为参数）

（1）写出C的极坐标方程；

（2）射线与C和l的交点分别为M，N，射线与C和l的交点分别为A、B，求四边形的面积．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由消去参数得圆的普通方程为，所以C的极坐标方程为，即；

（2）把代入直线的极坐标方程得，，，同理，

所以，

又，

∴．

【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查普通方程与极坐标方程的互化，考查直线极坐标方程的应用．掌握极坐标的定义是解题关键．

14．【2020·山西省高三月考（理）】在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为，为曲线上异于极点的动点，点在射线上，且，，成等比数列.

（1）求点的轨迹的直角坐标方程；

（2）已知，是曲线上的一点且横坐标为，直线与交于，两点，试求的值.

【答案】(1);(2) .

【解析】（1）设

则由成等比数列，可得

即

又满足即

化为直角坐标方程为

（2）依题意可得故即直线倾斜角为

直线的参数方程为

代入圆的直角坐标方程得

故

【点睛】1、求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．

2、有关直线与曲线相交，求距离的和、差时，注意直线的参数方程中参数几何意义的运用．

15．【2020·山西省高三其他（理）】在平面直角坐标系中，直线的参数方程是：（是参数）.以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.

（1）若直线与曲线相交于两点，且，试求实数值；

（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围.

【答案】（1）或；（2）.

【解析】（1）曲线的极坐标方程是化为直角坐标方程为：，直线的直角坐标方程为：.

所以圆心到直线的距离（弦心距），

圆心到直线的距离为：，

所以

所以或，

（2）曲线C的方程可化为，其参数方程为（为参数）

因为为曲线C上任意一点，

所以的取值范围是.

【点睛】本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，圆的参数方程的应用以及直线和圆的位置关系．