专题11 不等式、推理与证明、算法初步、复数——2020年高考真题和模拟题理科数学分项汇编

专题11 不等式、推理与证明、算法初步、复数

1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】若z=1+i，则|z2–2z|=
A．0 B．1
C． D．2
【答案】D
【解析】由题意可得：，则.
故.
故选：D．
【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.
2．【2020年高考全国III卷理数】复数的虚部是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以复数的虚部为.
故选：D．
【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.
3．【2020年新高考全国Ⅰ】
A．1 B．−1
C．i D．−i
【答案】D
【解析】
故选：D
【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.
4．【2020年高考北京】在复平面内，复数对应的点的坐标是，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，.故选：B．
【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.
5．【2020年新高考全国Ⅰ】已知a>0，b>0，且a+b=1，则
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：ABD.
【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.
6．【2020年高考浙江】若实数x，y满足约束条件，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

目标函数即：，
其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，
z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，
联立直线方程：，可得点A的坐标为：，
据此可知目标函数的最小值为：
且目标函数没有最大值.
故目标函数的取值范围是.
故选：B
【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
7．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图，设，则，
由题意，即，化简得，
解得（负值舍去）.
故选：C．

【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.
8．【2020年高考浙江】设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有2个元素，且S，T满足：①对于任意的x，yS，若x≠y，则xyT；②对于任意的x，yT，若x A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素
B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素
C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素
D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素
【答案】A
【解析】首先利用排除法：
若取，则，此时，包含4个元素，排除选项D；
若取，则，此时，包含5个元素，排除选项C；
若取，则，此时，包含7个元素，排除选项B；
下面来说明选项A的正确性：
设集合，且，，
则，且，则，
同理，，，，，
若，则，则，故即，
又，故，所以，
故，此时，故，矛盾，舍.
若，则，故即，
又，故，所以，
故，此时.
若， 则，故，故，
即，故，
此时即中有7个元素.
故A正确.
故选：A．
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
9．【2020年高考全国II卷理数】0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期．对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由知，序列的周期为m，由已知，，

对于选项A，

，不满足；
对于选项B，
，不满足；
对于选项D，
，不满足；
故选：C
【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题.
10．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】若x，y满足约束条件则z=x+7y的最大值为 .
【答案】1
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

目标函数即：，
其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程：，可得点A的坐标为：，
据此可知目标函数的最大值为：.
故答案为：1．
【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.
11．【2020年高考全国III卷理数】若x，y满足约束条件则的最大值为__________．
【答案】7
【解析】不等式组所表示的可行域如图
因为，所以，易知截距越大，则越大，
平移直线，当经过A点时截距最大，此时z最大，
由，得，，
所以.
故答案为：7.

【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.
12．【2020年高考全国II卷理数】设复数，满足，，则=__________．
【答案】
【解析】方法一：设，，
，
，又，所以，，



.
故答案为：.
方法二：如图所示，设复数所对应的点为,,
由已知,
∴平行四边形为菱形，且都是正三角形，∴，

∴.

【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.
方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解.
13．【2020年高考江苏】已知是虚数单位，则复数的实部是 ▲ ．
【答案】3
【解析】∵复数
∴
∴复数的实部为3.
故答案为：3.
【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题．
14．【2020年高考江苏】已知，则的最小值是 ▲ ．
【答案】
【解析】∵
∴且
∴，当且仅当，即时取等号.
∴的最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
15．【2020年高考江苏】如图是一个算法流程图，若输出的值为，则输入的值是_____.

【答案】
【解析】由于，所以，解得.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值，考查指数函数的性质，属于基础题.
16．【2020年高考天津】是虚数单位，复数_________．
【答案】
【解析】.
故答案为：.
【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.
17．【2020年高考天津】已知，且，则的最小值为_________．
【答案】4
【解析】，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”合理变换是解题的关键，属于基础题.

1．【重庆市江津中学、实验中学等七校2020届高三下学期6月联考】设，则在复平面内z对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】，
在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．
故选：A．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．
2．【辽宁省锦州市黑山县黑山中学2020届高三6月模拟考试数学】复数（是虚数单位），则的共轭复数为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，
∴.
故选：A．
【点睛】本题考查复数代数形式的四则运算和共轭复数，考查运算求解能力，是基础题.
3．【山东省日照五莲县丶潍坊安丘市、潍坊诸城市、临沂兰山区2020届高三6月模拟数学试题】若复数，在复平面内对应的点关于y轴对称，且，则复数
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】依题意可得，
所以，
故选：C．
【点睛】本题考查了复数的几何意义和复数的乘除法运算，属于基础题.
4．【河北省正定中学2019-2020学年高三下学期第四次阶段质量检测数学】在复平面内，若复数所对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第四象限 D．虚轴
【答案】C
【解析】因为,所以在复平面上，复数表示的点是,在第四象限，
故选C．
【点睛】本题考查复数的运算和复数的几何意义，属于基础题.
5．【广东省深圳市高级中学2020届高三下学期5月适应性考试数学】设为虚数单位，复数的实部为
A．5 B． C． D．3
【答案】D
【解析】，，实部为3，
故选：D．
【点睛】本题考查复数的概念和复数的运算，属于基础题.
6．【河北省衡水中学2020届高三下学期（5月)第三次联合考试数学】已知复数，则的虚部为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，所以的虚部为4.
故选：C．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘法，复数的相关概念，属于基础题.
7．【广西南宁市第三中学2020届高三适应性月考卷】设是虚数单位，若复数满足，则其共轭复数
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，所以，
故选：A．
【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的共轭复数，属于基础题目.
8．【河北省衡水中学2020届高三下学期第九次调研数学】已知复数，则下列结论正确的是
A．的虚部为 B．
C．的共轭复数 D．为纯虚数
【答案】D
【解析】,的虚部为,,,.
故选:D．
【点睛】本题考查复数的乘除运算,考查复数的概念,难度容易.
9．【广西来宾市2019-2020学年高三5月教学质量诊断性联合考试数学】已知复数（是虚数单位），则的共轭复数是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
.
故选：B
【点睛】本题考查复数的除法运算，还考查了求共轭复数，属于基础题.
10．【2020届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试高三5月测试数学】已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部为
A． B．4 C．1 D．
【答案】B
【解析】由，得．
复数的虚部是．
故选：B．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
11．【2020届四川省成都市石室中学高三下学期5月月考数学】复数，则
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】，，.
故选：C．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的基本概念，是基础题.
12．【河南省名校联盟2020届高三5月质量检测数学】已知复数z1(为虚数单位，a∈R)为纯虚数，则实数a=
A． B． C．0 D．2
【答案】B
【解析】∵z为纯虚数，∴，解得a.
故选B．
【点睛】本题考查了根据复数的类型求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.
13．【广东省深圳外国语学校2020届高三下学期4月综合能力测试数学】已知集合，，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】或，，
因此，.
故选：C．
【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式与分式不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.
14．【安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学】若，则下列不等式不正确的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
考查指数函数，所以，
所以D不正确.
【点睛】本题考查不等式的基本性质及指数函数的单调性，求解时注意利用分析法判断不等式的正确性.
15．【辽宁省葫芦岛市2020届高三5月联合考试数学】某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”，若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【解析】由题意知，甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，故乙和丁都判断错误，乙获奖，丙判断正确.
故选C．
【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的逻辑推理能力.
16．【2020届河南省商丘周口市部分学校联考高三5月质量检测数学】宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解决此问题的一个程序框图，其中为松长、为竹长，则矩形框与菱形框处应依次填

A．； B．；
C．； D．；
【答案】B
【解析】松日自半，则表示松每日增加原来长度的一半，即矩形框应填；何日竹逾松长，则表示竹长超过松长，即松长小于竹长，即菱形框应填.
故选：B
【点睛】本小题主要考查补全程序框图，属于基础题.
17．【河北省正定中学2019-2020学年高三下学期第四次阶段质量检测数学】圆关于直线对称，则的最小值是
A． B．3 C． D．
【答案】B
【解析】根据圆的方程可知，圆心坐标为，而直线经过圆心，所以，
得，因为，
所以，
故选：B．
【点睛】本题考查圆的对称性，基本不等式的应用，关键在于巧妙地运用“1”，构造基本不等式，属于中档题.
18．【重庆市江津中学、实验中学等七校2020届高三下学期6月联考（三诊)数学】2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行，这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异，去年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵，他们是由军事科学院，国防大学，国防科技大学联合组建，若已知甲，乙，丙三人来自上述三所学校，学位分别有学士、硕士、博士学位，现知道：①甲不是军事科学院的，②来自军事科学院的均不是博士，③乙不是军事科学院的，④乙不是博士学位，⑤来自国防科技大学的是硕士，则甲是来自哪个院校的，学位是什么
A．国防大学，博士 B．国防科技大学，硕士
C．国防大学，学士 D．军事科学院，学士
【答案】A
【解析】由①③可知，丙是军事科学院的.
进而由②④可知，乙丙不是博士，故甲是博士.
进而由⑤可知甲不是来自国防科技大学，所以甲来自国防大学.
所以甲来自国防大学，学位是博士.
故选A．
【点睛】
本小题主要考查合情推理，属于基础题.
19．【广西南宁市第三中学2020届高三适应性月考卷】运行如图所示的程序算法，则输出的结果为

A．2 B． C．13 D．
【答案】A
【解析】当时， ；当时，；
当时，；…；当时，，
当时，，跳出循环；
故选:A．
【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序发现值出现的周期性的变化是解题的关键，属于基础题.
20．【广西来宾市2019-2020学年高三5月教学质量诊断性联合考试数学】设实数满足不等式组则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，
目标函数表示平面区域内的点与连线的斜率，
则的最小值为.

故选：B
【点睛】
本题考查线性规划问题中分式型目标函数求最值问题，属于简单题.
21．【河北省衡水中学2020届高三下学期第二次调研数学】执行如图所示的程序框图，输出的结果是

A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】，，
第一次循环： ，，
第二次循环：，，
第三次循环：，，
第四次循环：，，
第五次循环：，，停止循环，
输出.
故选B．
【点睛】本题考查了循环结构流程图和条件结构流程图，属于基础题.
22．【广东省深圳市2020届高三下学期第二次调研数学】执行如图的程序框图，如果输入的k＝0.4，则输出的n＝

A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解析】模拟程序的运行，可得k＝0.4，S＝0，n＝1，
S，
不满足条件S＞0.4，执行循环体，n＝2，S（1），
不满足条件S＞0.4，执行循环体，n＝3，S（1），
此时，满足条件S＞0.4，退出循环，输出n的值为3.
故选：C．
【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.
23．【2020届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试高三5月测试数学】下列程序框图的算法思想源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入，，则程序中需要做减法的次数为

A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【解析】由，，满足，满足，则；
满足，不满足，则；
满足，满足，则；
满足，不满足，则；
不满足，则输出；
则程序中需要做减法的次数为4，
故选：C．
【点睛】本题主要考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．
24．【甘肃省西北师大附中2020届高三5月模拟试卷】“辗转相除法”是欧几里得《原本》中记录的一个算法，是由欧几里得在公元前年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法．如图所示是一个当型循环结构的“辗转相除法”程序框图．当输入，时，则输出的是

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】输入，，又．
①，，，；
②，，
，，；
③，，，；
④，则否，输出.
故选：C．
【点睛】本题主要考查程序框图和计算程序框图的输出值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
25．【重庆市第一中学2019-2020学年高三下学期期中数学】冰雹猜想也称奇偶归一猜想：对给定的正整数进行一系列变换，则正整数会被螺旋式吸入黑洞(4，2，1)，最终都会归入“4-2-1”的模式.该结论至今既没被证明，也没被证伪. 下边程序框图示意了冰雹猜想的变换规则，则输出的

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，第一次循环，，，，；
第二次循环， ，，，；
第三次循环，，，，；
第四次循环，，，，；
第五次循环，，，，；
此时输出.
故选：B
【点睛】本题考查循环结构程序框架图的应用，属于基础题.
26．【重庆市南开中学2019-2020学年高三下学期线上期中数学】若某程序框图如图所示，则输出的的值是

A．31 B．63 C．127 D．255
【答案】C
【解析】第一次运行，，，成立，则，；
第二次运行，，，成立，则，；
第三次运行，，，成立，则，；
第四次运行，，，成立，则，；
第五次运行，，，成立，则，；
第六次运行，，，成立，则，；
第七次运行，，，成立，则，；
第八次运行，，，不成立，
所以输出的值为127.
故选：C．
【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时，一定要注意以下几点：（1）不要混淆处理框和输入框；（2）注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；（3）注意区分当型循环结构和直到型循环结构；（4）处理循环结构的问题时，一定要正确控制循环次数；（5）要注意各个框的顺序；（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
27．【重庆市南开中学2019-2020学年高三下学期第六次教学质量检测数学】数独起源于18世纪初瑞士数学家欧拉等人研究的一种拉丁方阵，是一种运用纸、笔进行演算的数学逻辑游戏.如图就是一个迷你数独，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（）内的数字均含，每一行，每一列以及每一个粗线宫都没有重复的数字出现，则图中的

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，如图，从第二列出发，由于每行每列都有1—6，所以第4行第2列为2，第4行第6列为5，所以，第2行第3列为6，第5行第3列为4，第5行第5列为6，第3行第5列为4，第3行第1列为5，所以，
所以.
故选：D

【点睛】本题考查推理与证明中的合情推理，考查学生分析，观察，判断等能力，是一道容易题.
28．【河北省衡水中学2020届高三下学期（5月)第三次联合考试数学】要使得满足约束条件，的变量表示的平面区域为正方形，则可增加的一个约束条件为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据正方形的性质可设新增加的约束条件为，两组对边的距离相等，故，所以或(舍去).
如图所示


故选:C．
【点睛】本题考查二元不等式组表示的平面区域，两平行线间的距离公式的应用，属于基础题.
29．【2020届华大新高考联盟高三4月教学质量测评数学】执行如图所示的程序框图，设输出数据构成集合，从集合中任取一个元素，则事件“函数在上是增函数”的概率为

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当；
当；
当；
当；
当；
当，退出循环.
所以，
又函数在上是增函数，所以.
函数在上是增函数的概率为.
故选：C．
【点睛】本题主要考查了当型循环结构，以及与集合和古典概型相结合等问题，属于基础题．
30．【江西省景德镇市2019-2020学年高三第三次质检数学】科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到：任画…条线段，然后把它分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了由4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到由16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”；…；如此进行“n次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的100倍，则至少需要构造的次数是（ ）（取，）

A．16 B．17 C．24 D．25
【答案】B
【解析】设初始长度为，各次构造后的折线长度构成一个数列，
由题知，，则为等比数列，
，
假设构造次后，折线的长度大于初始线段的100倍，
即 ，
，


【点睛】本题考查了图形的归纳推理，等比数列的实际应用，指数不等式的求解，考查了数形结合的思想.其中对图形进行归纳推理，构造等比数列是关键.属于中档题.