高中数学高考专题12 坐标系与参数方程——2020年高考真题和模拟题理科数学分项汇编（教师版含解析）

专题12  坐标系与参数方程

1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】[选修4—4：坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)当时，是什么曲线？

(2)当时，求与的公共点的直角坐标．

【解析】(1)当k=1时，消去参数t得，故曲线是圆心为坐标原点，半径为1的圆．

(2)当k=4时，消去参数t得的直角坐标方程为．

的直角坐标方程为．

由解得．

故与的公共点的直角坐标为．

2．【2020年高考全国II卷理数】[选修4—4：坐标系与参数方程](10分)

已知曲线C1，C2的参数方程分别为

C1：(θ为参数)，C2：(t为参数)．

(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．

【解析】(1)的普通方程为．

由的参数方程得，，所以．

故的普通方程为．

(2)由得所以的直角坐标为．

设所求圆的圆心的直角坐标为，由题意得，

解得．

因此，所求圆的极坐标方程为．

3．【2020年高考全国III卷理数】[选修4—4：坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A、B两点．

(1)求；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．

【解析】(1)因为t≠1，由得，所以C与y轴的交点为(0，12)；

由得t=2，所以C与x轴的交点为．

故．

(2)由(1)可知，直线AB的直角坐标方程为，将代入，

得直线AB的极坐标方程．

4．【2020年高考江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程]

在极坐标系中，已知点在直线上，点在圆上(其中，)．

(1)求，的值；

(2)求出直线与圆的公共点的极坐标．

【解析】(1)由，得；，又(0，0)(即(0，))也在圆C上，

因此或0．

(2)由得，所以．

因为，，所以，．

所以公共点的极坐标为．

1．【2020·山西省山西大附中高三月考】在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

(2)设点在直线上，点在曲线上，求的最小值.

【答案】(1)，；(2).

【解析】(1)直线的普通方程为

曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为

(2)曲线的参数方程为

设点的坐标为

，

故的最小值为.

【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式、辅助角公式以及三角函数的性质，属于基础题.

2．【2020·广东省高三其他(理)】在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为＝(＞0)，过点的直线的参数方程为(t为参数)，直线与曲线C相交于A，B两点．

(Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程和直线的普通方程；

(Ⅱ)若，求的值．

【答案】(Ⅰ)，(Ⅱ)．

【解析】(Ⅰ)根据可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标，两式相减消去参数得直线的普通方程为．(Ⅱ)由直线参数方程几何意义有，因此将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中，

得,由韦达定理有．解之得：或(舍去)

试题解析：(Ⅰ)由得,

∴曲线的直角坐标方程为．

直线的普通方程为．

(Ⅱ)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中，

得,

设两点对应的参数分别为,

则有．

∵,∴, 即．

∴．

解之得：或(舍去),∴的值为．

3．【2020·黑龙江省大庆实验中学高三月考】在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

(2)设点，直线与曲线的交点为、，求的值．

【答案】(1)；；(2)4

【解析】(1)的参数方程消去参数，易得的普通方程为，

曲线：，

即，

∴，

所以曲线的直角坐标方程为：.

(2)的参数方程(为参数)，

设对应参数为，对应参数为，

将的参数方程与联立得：，

得：，，

所以

即.

【点睛】本题考查利用消参法将参数方程化为普通方程，利用互化公式将极坐标方程转化为直角坐标方程，将直线的参数方程代入曲线的普通方程，得到关于的一元二次方程，联立写出韦达定理，运用直线参数方程中参数的几何意义进行求解.

4．【2020·辽宁省高三三模】在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，以轴正半轴为极轴建极坐标系．

(1)求的极坐标方程；

(2)直线，的极坐标方程分别为，，直线与曲线的交点为、，直线与曲线的交点为、，求线段的长度．

【答案】(1)；(2)1．

【解析】(1)由曲线的参数方程为得曲线的直角坐标方程为：，

所以极坐标方程为即．

(2)将代入中有，即，

将代入中有，即，

，

余弦定理得

，

．

【点睛】本题考查参数方程化普通方程、普通方程化极坐标方程、余弦定理，考查综合分析求解能力，属基础题.

5．【2020·山西省太原五中高三其他(理)】在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为()，将曲线向左平移2个单位长度得到曲线.

(1)求曲线的普通方程和极坐标方程；

(2)设直线与曲线交于两点，求的取值范围.

【答案】(1)的极坐标方程为，普通方程为；(2)

【解析】(1)，

，即曲线的普通方程为，

依题意得曲线的普通方程为，

令，得曲线的极坐标方程为；

(2)法一：将代入曲线的极坐标方程得，则

，，，异号

，

，，；

法二:设直线的参数方程为(为参数，为直线的倾斜角)，代入曲线的普通方程得，

则，，，异号

，，.

【点睛】本题考查参数方程与普通方程，极坐标方程与平面直角坐标方程之间的转化，求解几何量的取值范围，关键在于明确极坐标系中极径和极角的几何含义，直线的参数方程，参数的几何意义，属于中档题.

6．【2020·山西省太原五中高三月考(理)】在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求和的直角坐标方程；

(2)已知为曲线上的一个动点，求线段的中点到直线的最大距离．

【答案】(1)．．(2)最大距离为．

【解析】(1)由，得，

则曲线的直角坐标方程为，即．

直线的直角坐标方程为．

(2)可知曲线的参数方程为(为参数)，

设，，

则到直线的距离为

，

所以线段的中点到直线的最大距离为．

【点睛】本题考查了极坐标方程，参数方程，距离的最值问题，意在考查学生的计算能力.

7．【2020·河北省河北正中实验中学高三其他(理)】

在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．

(1)写出C的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l3与C的交点，求M的极径.

【答案】(1)(2)

【解析】(1)消去参数得的普通方程；消去参数m得l2的普通方程.

设,由题设得，消去k得.

所以C的普通方程为.

(2)C的极坐标方程为.

联立得.

故，

从而.

代入得，

所以交点M的极径为.

【点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.

8．【2020·广东省湛江二十一中高三月考】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系.

(1)求曲线的极坐标方程；

(2)在极坐标系中，是曲线上的两点，若，求的最大值.

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)将曲线的参数方程化为普通方程为：

即：

根据，，可得：

曲线的极坐标方程为：

(2)设，

则

当时，

【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标和直角坐标的互化、极坐标的几何意义的应用问题，属于常规题型.

9．【2020·麻城市实验高级中学高三其他】在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，若以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为(其中为常数).

(1)求曲线和的直角坐标方程；

(2)若曲线和有且仅有一个公共点，求的取值范围.

【答案】(1)；；(2).

【解析】(1)由，可知曲线的直角坐标方程为，

其中，所以曲线的直角坐标方程为，，

由，可得，由，，

曲线的直角坐标方程为；

(2)由，可知，

令，其图象如下：

由曲线和有且仅有一个公共点，所以函数与的图象有且仅有一个公共点，所以由图象可知.

【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，以及用数形结合思想求参数范围.

10．【2020·辽宁省大连二十四中高三其他(理)】已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数).以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为

ρcos().

(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程；

(2)若直线l交曲线C于A，B两点，交x轴于点P，求的值.

【答案】(1)x2﹣4y2=1()，；(2)8.

【解析】(1)曲线C的参数方程为(t为参数)，

转化为直角坐标方程为x2﹣4y2=1()

直线l的极坐标方程为ρcos().转化为直角坐标方程为：.

(2)由于直线与x轴的交点坐标为()，所以直线的参数方程为(t为参数)，

代入x2﹣4y2=1得到：，

所以：，t1t2=-1，

则：8.

【点睛】本题考查了直角坐标方程极坐标方程的互化，考查了参数方程和普通方程的转化，同时考查了直线的标准参数的几何意义，考查了转化思想和计算能力，属于较难题.

11．【2020·重庆高三月考(理)】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为(为参数)．在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点的射线与曲线相交于不同于极点的点，且点的极坐标为，其中．

(1)求的值；

(2)若射线与直线相交于点，求的值．

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)由题意知，曲线C的普通方程为，

因为，所以曲线C的极坐标方程为 ，即.

由，得，

因为，所以.

(2)由题，易知直线的普通方程为，所以直线的极坐标方程为.

又射线的极坐标方程为()，

联立，得，解得.

所以点的极坐标为，

所以.

【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，考查极坐标方程的应用，正确转化方程的形式是解题的关键，属于常考题.

12．【2020·河南省高三三模】在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，曲线C1和C2在第一象限交于点A．

(1)求点A的直角坐标；

(2)直线与曲线C1，C2在第一象限分别交于点B，C，若△ABC的面积为，求α的值．

【答案】(1)()；(2).

【解析】(1)曲线C1的参数方程为(为参数)，

转换为直角坐标方程为.根据

转换为极坐标方程为.

联立曲线C1和C2得到：，解得，

即转换为直角坐标为()．

(2)连接OA，由(1)得：，

可得：|OA|，，

将直线与曲线C1和C2联立可得：，.

，，

，所以．

则：S△ABC＝S△AOC﹣S△AOB，

，

，

，

整理得，

所以．

【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换、三角形面积公式、三角函数关系式，考查了数学运算能力，逻辑推理能力，转化数学思维，属于中档题.

13．【2020·四川省绵阳南山中学高三一模(理)】直线l的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，曲线C的参数方程为(为参数)

(1)写出C的极坐标方程；

(2)射线与C和l的交点分别为M，N，射线与C和l的交点分别为A、B，求四边形的面积．

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)由消去参数得圆的普通方程为，所以C的极坐标方程为，即；

(2)把代入直线的极坐标方程得，，，同理，

所以，

又，

∴．

【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查普通方程与极坐标方程的互化，考查直线极坐标方程的应用．掌握极坐标的定义是解题关键．

14．【2020·山西省高三月考(理)】在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为，为曲线上异于极点的动点，点在射线上，且，，成等比数列.

(1)求点的轨迹的直角坐标方程；

(2)已知，是曲线上的一点且横坐标为，直线与交于，两点，试求的值.

【答案】(1);(2) .

【解析】(1)设

则由成等比数列，可得

即

又满足即

化为直角坐标方程为

(2)依题意可得故即直线倾斜角为

直线的参数方程为

代入圆的直角坐标方程得

故

【点睛】1、求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．

2、有关直线与曲线相交，求距离的和、差时，注意直线的参数方程中参数几何意义的运用．

15．【2020·山西省高三其他(理)】在平面直角坐标系中，直线的参数方程是：(是参数).以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.

(1)若直线与曲线相交于两点，且，试求实数值；

(2)设为曲线上任意一点，求的取值范围.

【答案】(1)或；(2).

【解析】(1)曲线的极坐标方程是化为直角坐标方程为：，直线的直角坐标方程为：.

所以圆心到直线的距离(弦心距)，

圆心到直线的距离为：，

所以

所以或，

(2)曲线C的方程可化为，其参数方程为(为参数)

因为为曲线C上任意一点，

所以的取值范围是.

【点睛】本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，圆的参数方程的应用以及直线和圆的位置关系．