专题10 计数原理——2020年高考真题和模拟题理科数学分项汇编

专题10  计数原理

1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】的展开式中x3y3的系数为

A．5  B．10 

C．15  D．20

【答案】C

【解析】展开式的通项公式为（且）

所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：

和

在中，令，可得：，该项中的系数为，

在中，令，可得：，该项中的系数为

所以的系数为

故选：C.

【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.

2．【2020年新高考全国Ⅰ卷】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有

A．120种  B．90种

C．60种  D．30种

【答案】C

【解析】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；

然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；

最后剩下的名同学去丙场馆.

故不同的安排方法共有种.

故选：C．

【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.

3．【2020年高考北京】在的展开式中，的系数为

A．  B．5 

C．  D．10

【答案】C

【解析】展开式的通项公式为：，

令可得：，则的系数为：.

故选：C.

【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．

4．【2020年高考全国II卷理数】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．

【答案】

【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，

先取2名同学看作一组，选法有：.

现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：，

根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种，

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

5．【2020年高考全国III卷理数】的展开式中常数项是__________（用数字作答）．

【答案】

【解析】

其二项式展开通项：

当，解得

的展开式中常数项是：.

故答案为：.

【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握的展开通项公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

6．【2020年高考天津】在的展开式中，的系数是_________．

【答案】10

【解析】因为的展开式的通项公式为，令，解得．

所以的系数为．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．

7．【2020年高考浙江】二项展开式，则_______，________．

【答案】80；122

【解析】的通项为，令，则，故；.

故答案为：80；122.

【点晴】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数问题，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.

1．【2020·全国高三其他（理）】若的展开式中的系数是80，则实数a的值为

A．-2          B．   

C．         D．2

【答案】D

【解析】的展开式中含的项为，由题意得，

所以.选D.

2．【2020·黑龙江省大庆实验中学高三月考（理）】二项式的展开式中的系数为

A．      B． 

C．      D．

【答案】A

【解析】通项为

令，则，

故选：A

【点睛】本题主要考查了求指定项的系数，属于基础题.

3．【2020·山东省高三一模】某校周五的课程表设计中，要求安排8节课（上午4节､下午4节），分别安排语文数学､英语､物理､化学､生物､政治､历史各一节，其中生物只能安排在第一节或最后一节，数学和英语在安排时必须相邻（注：上午的最后一节与下午的第一节不记作相邻），则周五的课程顺序的编排方法共有

A．4800种  B．2400种 

C．1200种  D．240种

【答案】B

【解析】分步排列，第一步：因为由题意知生物只能出现在第一节或最后一节，

所以从第一个位置和最后一个位置选一个位置把生物安排，

有种编排方法；第二步因为数学和英语在安排时必须相邻，

注意数学和英语之间还有一个排列有种编排方法；

第三步：剩下的5节课安排5科课程，有种编排方法．

根据分步计数原理知共有种编排方法．

故选：B．

【点睛】本题考查排列和分步乘法原理的应用，限制条件优先考虑，属于中档题.

4．【2020·辽宁省高三三模（理）】在展开式中，含的项的系数是

A．  B． 

C．15  D．51

【答案】A

【解析】因为

所以含的项的系数为.

故选：A.

5．【2020·天津耀华中学高三二模】在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的有

A．512个 B．192个

C．240个 D．108个

【答案】D

【解析】由于能被5整除的数，其个位必为0或5，由此分两类：第一类：个位为0的，有个；第二类：个位为5的，再分两小类：第1小类：不含0的，有个，第2小类：含0的，有个，从而第二类共有48个；故在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有60+48=108个，故选D．

6．【2020·宁夏回族自治区银川一中高三三模（理）】为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有

A．24  B．36 

C．48  D．64

【答案】B

【解析】当按照进行分配时，则有种不同的方案；

当按照进行分配，则有种不同的方案.

故共有36种不同的派遣方案，

故选：B.

【点睛】本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题.

7．【2020·河北省河北正中实验中学高三其他（理）】“仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”,孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁义礼智信”排成一排,“仁”排在第一-位,且“智信”相邻的概率为

A．  B． 

C．  D．

【答案】A

【解析】“仁义礼智信”排成一排,任意排有种排法,其中“仁”排在第一位,且“智信”相邻的排法有种排法,故概率

故选：A

【点睛】本题考查排列问题及古典概型，特殊元素优先考虑，捆绑插空是常见方法，是基础题.

8．【2020·湖南省长沙一中高三月考（理）】已知(1＋ax)·(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝

A．－4 B．－3

C．－2 D．－1

【答案】D

【解析】由题意知：，解得，故选D.

【点睛】本小题主要考查二项展开式,二项式定理在高考中主要以小题的形式考查,属容易题,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.

9．【2020·福建省连城县第一中学高三一模（理）】第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位.运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地提供服务，要求每个人都要被派出去提供服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙恰好在同一组的概率是

A．  B． 

C．  D．

【答案】A

【解析】五人分成四组，先选出两人组成一组，剩下的人各自成一组，

所有可能的分组共有种，

甲和乙分在同一组，则其余三人各自成一组，只有一种分法，与场地无关，

故甲和乙恰好在同一组的概率是.

故选：A.

10．【2020·福建省高三月考（理）】已知的展开式中第9项是常数项，则展开式中的系数为___________；展开式中系数的绝对值最大的项的系数为___________.

【答案】       

【解析】因为，所以当时，，则；

令，得，所以的系数为.

设的系数的绝对值最大，则，解得，因为，，所以，故系数的绝对值最大的项的系数为.

故答案为：(1)    (2)

【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中的某项的系数与系数绝对值最大项等问题，考查了学生的运算求解能力.

11．【2020·浙江省高三其他】有标号分别为1，2，3，4，5，6的6张抗疫宣传海报，要求排成2行3列，则共有_______种不同的排法，如果再要求每列中前面一张的标号比其后面一张的标号小，则共有_______种不同的排法.

【答案】720    90   

【解析】先从标号分别为1，2，3，4，5，6的6张抗疫宣传海报，选出3张排在第一行，剩余3张排在第二行，

则共有种不同的排法，

如果再要求每列中前面一张的标号比其后面一张的标号小时，

当第一行是：1，2，3时，第二行是4，5，6，则有种不同的排法，

当第一行是：1，2，4时，第二行是3，5，6，则有种不同的排法，

当第一行是：1，2，5时，第二行是3，4，6，则有种不同的排法，

当第一行是：1，3，4时，第二行是2，5，6，则有种不同的排法，

当第一行是：1，3，5时，第二行是2，4，6，则有种不同的排法，

所以每列中前面一张的标号比其后面一张的标号小时，共有：种不同的排法，

故答案为：①720；②90

【点睛】本题主要考查排列组合应用题以及分类计数原理，还考查了分类讨论的思想和分析求解问题的能力，属于中档题.

12．【2020·天津耀华中学高三二模】的展开式中x7的系数为__________.（用数字作答）

【答案】

【解析】展开式通项为，令，得，

所以展开式中的系数为．故答案为．

【点睛】①求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r）；第二步是根据所求的指数，再求所要求的项．

②有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解．

13．【2020·山西省太原五中高三其他（理）】二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则的值为________.

【答案】8

【解析】展开式中只有第6项的二项式系数最大，故，

的展开式的通项为：.

故，化简得到.

故答案为：.

【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.

14．【2020·广东省湛江二十一中高三月考（理）】为了积极稳妥疫情期间的复学工作，市教育局抽调5名机关工作人员去某街道3所不同的学校开展驻点服务，每个学校至少去1人，若甲、乙两人不能去同一所学校，则不同的分配方法种数为___________．

【答案】114

【解析】分四种情况：

（1）安排甲去一所学校共有种方法，

安排乙到第二所学校共有种方法，

余下三人去第三所学校共有种方法，共有种方法.

（2）安排甲去一所学校共有种方法，

安排乙到第二所学校共有种方法，

余下的三人中两人一起去第三所学校有种方法，

另一个人去前两所学校中任意一所共有种方法，

共有种方法.

（3）安排甲去一所学校共有种方法，

安排乙到第二所学校共有种方法，

余下的三人中一人去第三所学校有种方法，

另外两人一起去前两所学校中任意一所共有种方法，

共有种方法.

（4）安排甲去一所学校共有种方法，

安排乙到第二所学校共有种方法，

余下的三人中一人去第三所学校有种方法，

另外两人分别去前两所学校中任意一所共有种方法，

共有种方法.

综上共有种方法.

故答案为：

【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，考查了学生的分类讨论的思想，属于中档题.

15．【2020·黑龙江省哈尔滨三中高三其他（理）】2020年初，我国突发新冠肺炎疫情.面对突发灾难，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中.为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学生志愿者团队开展“爱心辅导”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课.现安排甲、乙、丙三名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物四门学科，每名志愿者至少辅导一门学科，每门学科由一名志愿者辅导，共有______种辅导方案.

【答案】36

【解析】根据题意，要求甲、乙、丙名志愿者每名志愿者至少辅导一门学科，

每门学科由名志愿者辅导，则必有人辅导门学科.

则有.

故答案为：36.

【点睛】本题考查了排列组合的应用，掌握排列组合公式的计算，属于基础题.

16．【2020·山东省邹城市第一中学高三其他】“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门APP，该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习板块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题板块，某人在学习过程中，“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有______种.

【答案】432

【解析】根据题意学习方法有二类：

一类是：在“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间间隔一个答题板块，

这样的学习方法数为：；

另一类是：在“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间不间隔一个答题板块，

这样的学习方法数为：，

因此某人在学习过程中，“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法数为：.

故答案为：432.

【点睛】本题考查了分类计算原理的应用，考查了排列数与组合数的计算，考查了数学运算能力和数学阅读能力.

17．【2020·四川省绵阳南山中学高三一模（理）】的展开式的第五项为，则展开式的第六项的二项式系数为_________．

【答案】56

【解析】：的展开式的通项为，

因为的展开式的第五项为，

所以且，解得，

所以展开式的第六项的二项式系数为

故答案为：56

【点睛】此题考查的是求二项式展开式的二项式系数，属于基础题.

18．【2020·上海高三二模】设，若，则______.

【答案】160

【解析】原式，

令，即得：，

所以．

所以展开式中含项为：．

故．

故答案为：160．

【点睛】本题考查二项式定理的应用，以及利用通项法研究特定项的问题，属于基础题．

19．【2020·山西省高三月考（理）】某地区为了组建援鄂抗疫医疗队，现从4名医生，5名护士中选3名医护人员组成一个团队，要求医生、护士都有，则不同的组队方案种数是__________．

【答案】

【解析】从4名医生，5名护士中选3名医护人员组成一个团队，要求医生、护士都有，可分为两类：

第一类：1名医生2名护士，共有种不同的选法；

第二类：2名医生1名护士，共有种不同的选法，

由分类计数原理可得，共有种不同的选法.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查分类计算原理和排列组合的应用，其中解答中根据题意合理分类，结合分类计算原理求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及运算与求解能力.

20．【2020·福建省福州第一中学高三开学考试（理）】若随机变量，且，则展开式中项的系数是__________．

【答案】1620

【解析】随机变量，均值是2，且，∴；
∴；
又展开式的通项公式为，
令，解得，不合题意，舍去；令，解得，对应的系数为；令，解得，不合题意，舍去；∴展开式中项的系数是，故答案为1620.

【点睛】本题考查了正态分布曲线的特点及其几何意义，也考查二项式系数的性质与应用问题，是基础题；根据正态分布的概率性质求出的值，再化；利用(展开式的通项公式求出含的系数，即可求出对应项的系数.