高中物理3 匀变速直线运动的位移与时间的关系学案设计

3　匀变速直线运动的位移与时间的关系

课堂合作探究

问题导学

一、用图象表示位移

活动与探究1

1．物体做匀速直线运动的v－t图象是平行于横轴t轴的一条直线，如图所示。矩形的边长正好是速度v和时间t，矩形的“面积”正好是v－t，故物体的位移对应着v－t图象中一块矩形的“面积”。

对于匀变速直线运动，它的位移与它的v－t图象，是不是也有类似的关系？试推导说明。

2．从车站开出的汽车做匀加速直线运动，走了12 s时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速运动至停车．汽车从开出到停止总共历时20 s，行进了50 m。求汽车的最大速度。

迁移与应用1

某一做直线运动的物体的图象如图所示，根据图象求：

（1）物体距出发点的最远距离；[来源:Z,xx,k.Com]

（2）前4 s内物体的位移；

（3）前4 s内物体通过的路程。

（1）v－t图象与t轴所围的“面积”表示位移的大小。

（2）面积在t轴以上表示位移是正值，在t轴以下表示位移是负值。

（3）物体的总位移等于各部分位移（正负面积）的代数和。

（4）物体通过的路程为t轴上、下“面积”绝对值的和。

二、匀变速直线运动位移公式的应用

活动与探究2

2011年太平洋冰壶锦标赛在南京奥体中心完美收官。主场作战的中国队表现出色，包揽了男、女两个项目的金牌。如图，冰壶以速度v垂直进入四个矩形区域沿虚线做匀减速直线运动，且刚要离开第四个矩形区域边缘的E点时，速度恰好为零。冰壶通过前三个矩形的时间为t，试通过所学知识计算冰壶通过四个矩形区域所需的时间。

迁移与应用2

以10 m/s的速度匀速行驶的汽车，刹车后做匀减速直线运动。若汽车刹车后第2 s内的位移为6.25 m（刹车时间超过2 s），则刹车后6 s内汽车的位移是多大？

（1）公式x＝v0t＋at2为矢量式，其中的x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选初速度v0的方向为正方向。若物体做匀加速直线运动，a与v0同向，a取正值。若物体做匀减速直线运动，a与v0反向，a取负值。若位移的计算结果为正值，说明这段时间内位移的方向与规定的正方向相同；若位移的计算结果为负值，说明这段时间内位移的方向与规定的正方向相反。

（2）公式x＝v0t＋at2是匀变速直线运动的位移公式而不是路程公式，利用该公式计算出的是位移而不是路程。只有在物体做单方向直线运动时，位移的大小才等于路程。[来源:Zxxk.Com]

（3）因为公式是关于t的一元二次函数，故在x－t图象中图线是抛物线的一部分。

（4）当v0＝0时，x＝at2；当a＝0时，x＝v0t。

三、匀变速直线运动的两个重要推论

活动与探究3

1．试证明：做匀变速直线运动的物体在一段时间t内的平均速度等于这段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初末速度矢量和的一半，即＝＝。

2．试证明：在任意两个连续相等的时间间隔T内，位移之差是一个常量，即

Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2。

迁移与应用3

一个做匀加速直线运动的质点，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24 m和64 m，每个时间间隔为4 s，求质点的初速度和加速度。

（1）应用推论＝＝解题时应注意：

①推论＝＝只适用于匀变速直线运动，且该等式为矢量式。

②该推论是求瞬时速度的常用方法。

③v0＝0时，＝；v＝0时，＝。

（2）对一般的匀变速直线运动问题，若出现相等的时间间隔的条件，应优先考虑用公式Δx＝aT2求解。

（3）运动学问题的求解一般均有多种解法，一题多解可以熟练地掌握运动学规律，提高灵活运用知识的能力。从多种解法的对比中进一步明确解题的基本思路和方法，从而提高解题能力。

当堂检测

1．一物体由静止开始做匀加速直线运动，在t内通过位移x，则它从出发开始通过所用的时间为（　　）

A．　     B．

C．      D．t

2．一辆汽车从甲地出发，沿平直公路开到乙地刚好停止，其速度图象如图所示。那么0～t和t～3t两段时间内，下列说法中正确的是（　　）

A．加速度的大小之比为2∶1

B．位移的大小之比为2∶1

C．平均速度的大小之比为2∶1

D．中间时刻瞬时速度的大小之比为1∶1

3．某物体做直线运动，物体的速度—时间图象如图所示。若初速度的大小为v0，末速度的大小为v1，则在时间t1内物体的平均速度（　　）

A．等于        B．小于

C．大于        D．条件不足，无法比较

4．汽车以10 m/s的速度在公路上匀速行驶，刹车后以2 m/s2的加速度做匀减速直线运动，求刹车后8 s内汽车通过的位移大小。

5．由静止开始做匀加速直线运动的汽车，第1 s内通过0.4 m的位移，问：

（1）汽车在第1 s末的速度为多大？

（2）汽车在第2 s内通过的位移为多大？

（3）汽车在第2 s内通过的位移与第1 s内通过的位移之差是多少？

答案：

课堂合作探究

【问题导学】

活动与探究1：1．答案：有类似的关系。下面利用微分思想推导：在匀变速直线运动中，虽然速度时刻变化，但只要时间足够小，速度的变化就非常小，在这段时间内近似用我们熟悉的匀速运动的公式计算位移，其误差也非常小，如图所示。

如果把每一小段时间Δt内的运动看做匀速运动，则矩形面积之和等于各段匀速直线运动的位移之和，虽然小于匀变速直线运动在该段时间内的位移，但时间间隔分割得越小，各匀速直线运动的位移之和与匀变速直线运动的位移之间的差值就越小，当Δt→0时，各矩形面积之和趋近于v－t图线下面的面积。可以想象，如果把整个运动过程划分得非常非常细，很多很多小矩形的面积之和就能准确代表物体的位移了，位移的大小等于图丙中梯形的面积。

当时间间隔分割得足够小时，折线趋近于直线AP，设想的运动就代表了真实的运动，由此可以求出匀变速运动在时间t内的位移，它在数值上等于直线AP下方的梯形OAPQ的面积（图丙）。这个面积等于

S＝S1＋S2＝OA·OQ＋AR·RP＝v0t＋at2，

即位移x＝v0t＋at2。

这就是匀变速直线运动的位移公式。

2．答案：应用图象法，作出运动全过程的v－t图象，如图所示。v－t图线与t轴围成的三角形的面积与位移等值，故vm＝5 m/s。

迁移与应用1：答案：（1）6 m　（2）5 m　（3）7 m

解析：由图象可以看出物体在0～1 s内沿正方向做匀加速直线运动，在1～3 s内沿正方向做匀减速直线运动，在3～4 s内沿反方向做匀加速直线运动。

（1）物体在第3 s末离出发点最远，最远的距离等于图象中前3 s内三角形的面积，即x＝×3×4 m＝6 m。

（2）物体在前4 s内的位移为t轴上方三角形的面积与t轴下方三角形面积之差，即x2＝×3×4 m－×1×2 m＝5 m。

（3）物体在前4 s内通过的路程为t轴上方三角形的面积与t轴下方三角形面积之和，即s＝×3×4 m＋×1×2 m＝7 m。

活动与探究2：答案：根据匀变速直线运动的位移公式和速度公式，[来源:Zxxk.Com]

由A到E有4l＝vt1－at，0＝v－at1

由A到D有3l＝vt－at2

联立解得t1＝2t或t1＝t，显然t不符合题意，应舍去。

迁移与应用2：答案：20 m

解析：本题考查应用匀变速直线运动规律分析刹车问题，首先应求得刹车的时间。

设从刹车到停下的时间为t0，刹车的加速度为a，由匀变速直线运动得[来源:学_科_网]

x1＝v0t2＋at－（v0t1＋at）

代入数据解得a＝－2.5 m/s2

负号表示加速度与初速度方向相反

由v＝v0＋at得t0＝＝ s＝4 s＜6 s

汽车在4 s内已停下，6 s内位移即4 s内的位移

x＝v0t0＋at＝10×4 m＋×（－2.5）×42 m＝20 m。

活动与探究3：1．证明：设物体的初速度为v0，做匀变速运动的加速度为a，t秒末的速度为vt。由x＝v0t＋at2得，①

平均速度＝＝v0＋at②

由速度公式vt＝v0＋at，当t′＝时

③

由②③得④

又⑤

由③④⑤解得⑥

所以。

2．证明：时间T内的位移

x1＝v0T＋aT2①

在时间2T内的位移

x2＝v02T＋a（2T）2②

则xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1③

由①②③得Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2

迁移与应用3：答案：1 m/s　2.5 m/s2

解析：匀变速直线运动的规律可用多个公式描述，选择不同的公式，是审题的视角、观点不同，是解题的物理思想不同。

解法1：基本公式法

画出过程示意图，如图所示，因题目中只涉及位移与时间，故选择公式：

将x1＝24 m，x2＝64 m，t＝4 s代入上式解得：[来源:学科网]

a＝2.5 m/s2　vA＝1 m/s

解法2：求平均速度法

连续的两段时间t内的平均速度分别为：

＝＝ m/s＝6 m/s，＝＝ m/s＝16 m/s

B点是AC段的中间时刻，则＝，＝

又vB＝＝＝ m/s＝11 m/s

得：vA＝1 m/s，vC＝21 m/s

a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2

解法3：用Δx＝aT2求解

由Δx＝aT2得a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2

再由x1＝vAT＋aT2解得vA＝1 m/s

【当堂检测】

1．B　2．AD　3．C

4．答案：25 m

5．答案：（1）0.8 m/s　（2）1.2 m　（3）0.8 m