人教版 (新课标)必修1第二章 匀变速直线运动的研究3 匀变速直线运动的位移与时间的关系精品导学案

3　匀变速直线运动的位移与时间的关系

1．位移公式：x＝vt.

2．v­t图象特点：

(1)平行于时间轴的直线．

(2)位移在数值上等于v­t图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积．如图2­3­1所示．

图2­3­1

1．匀速运动的速度一定是正的．(×)

2．匀速运动的位移一定是正的．(×)

3．匀速运动的加速度等于零．(√)

v­t图象中图线与时间轴所围成的面积有时在时间轴上方，有时在时间轴下方，这与物体的位移有何关系？

【提示】　据v­t图象的物理意义，图线在时间轴上方，表明物体向正方向运动，图线与时间轴所围的矩形的面积代表物体的位移为正值，同理图线与时间轴所围的矩形的面积在时间轴的下方表明物体的位移是负值.

1．位移在v­t图象中的表示

做匀变速直线运动的物体的位移对应着v­t图象中的图线和时间轴包围的面积．如图2­3­2所示，在0～t时间内的位移大小等于梯形的面积．

图2­3­2

2．位移公式：x＝v0t＋at 2.

3．(1)当v0＝0时，x＝at 2，表示初速度为零的匀加速直线运动的位移与时间的关系．

(2)当a＝0时，x＝v0t，即表示匀速直线运动的位移与时间的关系．

1．位移公式x＝v0t＋at 2仅适用于匀加速直线运动．(×)

2．初速度越大，时间越长，匀变速直线运动物体的位移一定越大．(×)

3．匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关．(√)

物体做匀加速直线运动时速度随时间均匀增大，位移也随时间均匀增大吗？

【提示】　不是，匀加速直线运动的速度公式是v＝v0＋at，速度与时间成线性关系，均匀增大；位移公式是x＝v0t＋at 2，位移与时间不成线性关系，位移虽增大，但不是均匀增大．

探讨1：如何根据v­t图象中的“面积”表示位移来推导位移公式x＝v0t＋at 2?

【提示】　如图所示，速度图线和时间轴所包围的梯形面积为S＝(OC＋AB)·OA.

与之对应的物体的位移x＝(v0＋v)t.

由速度公式v＝v0＋at，代入上式得x＝v0t＋at 2.

探讨2：利用公式x＝v0t＋at 2求出的位移大小等于物体运动的路程吗？

【提示】　不一定，当物体匀减速运动到速度为零再反向以等大的加速度匀加速运动时，位移的大小小于路程．

对公式x＝v0t＋at 2的理解

1．适用条件：位移公式x＝v0t＋at 2适用于匀变速直线运动．

2．公式的矢量性：因为v0、a、x均为矢量，使用公式时应先规定正方向，一般以v0的方向为正方向．

若a与v0同向，则a取正值；

若a与v0反向，则a取负值；

若位移计算结果为正值，说明这段时间内位移的方向为正；

若位移计算结果为负值，说明这段时间内位移的方向为负．

1．某质点做直线运动的位移随时间变化的关系是x＝4t＋2t 2，x与t的单位分别为m和s，则质点的初速度与加速度分别为(　　)

【导学号：57632030】

A．4 m/s与2 m/s2　　 B．0与4 m/s2

C．4 m/s与4 m/s2 D．4 m/s与0

【解析】　对比x＝4t＋2t 2和位移公式x＝v0t＋at 2，可知其初速度v0＝4 m/s,2＝a，则加速度a＝4 m/s2.

【答案】　C

2．(多选)物体从静止开始做匀加速直线运动，第3 s内通过的位移是3 m，则(　　)

【导学号：57632031】

A．前3 s的位移是6 m

B．3 s末的速度是3.6 m/s

C．3 s内的平均速度是2 m/s

D．第5 s内的平均速度是5.4 m/s

【解析】　由位移公式x＝at 2知，第3 s内的位移为a×32 m－a×22 m＝3 m，故加速度a＝1.2 m/s2，所以前3 s的位移x＝×1.2×32 m＝5.4 m，A错；第3 s末的速度v＝at＝1.2×3 m/s＝3.6 m/s，B对；3 s内的平均速度＝＝ m/s＝1.8 m/s，C错；第5 s内的平均速度等于第4.5 s末的瞬时速度，故v′＝at′＝1.2×4.5 m/s＝5.4 m/s，D对．

【答案】　BD

3．飞机着陆后做匀减速滑行，着陆时的初速度是216 km/h，在最初2 s内滑行114 m．求：

(1)5 s末的速度大小是多少？

(2)飞机着陆后12 s内滑行多远？

【解析】　(1)最初2 s内：

x1＝v0t＋at 2，

解得：a＝－3 m/s2，

5 s末的速度：v2＝v0＋at＝45 m/s.

(2)着陆减速总时间：t＝＝20 s，

飞机着陆后12 s内的位移：

x2＝v0t＋at 2＝504 m.

【答案】　(1)45 m/s　(2)504 m

对公式x＝v0t－at 2的理解

1．表示以初速度方向为正方向的匀减速直线运动．

2．a表示加速度的大小，即加速度的绝对值．

1．匀速直线运动的x­t图象为一条倾斜直线，静止物体的x­t图象为一条平行于时间轴的直线．如图2­3­3所示，A、B表示物体做匀速直线运动，C表示物体处于静止状态．

图2­3­3

2．x­t图象的物理意义：描述了物体的位移随时间的变化关系．

3．x­t图象的斜率等于物体的运动速度．

4．初速度为零的匀加速直线运动：由x＝at 2可知，其x­t图象是一条过原点的抛物线，如图2­3­3中线D所示．

1．在x­t图象中，图线与时间轴所包围的面积与物体的位移相等．(×)

2．v­t图象与x­t图象既能表示直线运动，也能表示曲线运动．(×)

3．在x­t图象中，初速度为零的匀变速直线运动是一条倾斜直线．(×)

匀变速直线运动的位移公式为x＝v0t＋at 2，那么它的x­t图象应为什么形状？

【提示】　匀变速直线运动的位移x是时间t的二次函数，由数学知识可知匀变速直线运动的x­t图象应为抛物线．

探讨1：在x­t图象中，纵坐标一定表示物体位移的大小吗？

【提示】　不一定．在x­t图象中纵坐标表示物体相对于参考系的位移，不一定是相对于自己出发点的位移．

探讨2：物体运动的快慢和方向怎样用x­t图象来表示？

【提示】　x­t图线的斜率大小表示物体运动速度的大小，斜率的正、负可以表示物体运动速度的方向，斜率为正值，表明物体沿正方向运动；斜率为负值，表明物体沿负方向运动．

x­t图象的意义

4．如图2­3­4所示，甲、乙、丙、丁是以时间为横轴的匀变速直线运动的图象，下列说法正确的是(　　)

甲　　　　　乙　　　　　丙          丁

图2­3­4

A．甲是a­t图象　 B．乙是x­t图象

C．丙是x­t图象 D．丁是v­t图象

【解析】　匀变速直线运动是加速度恒定、速度随时间均匀变化的运动，故a­t图象是一条平行于t轴的直线，v­t图象是一条倾斜的直线，A、D错误；由位移公式x＝v0t＋at 2可知位移与时间为二次函数关系，其图象为抛物线，故B错误，C正确．

【答案】　C

5．如图2­3­5是A、B两个质点做直线运动的位移—时间图象．则(　　)

【导学号：57632032】

图2­3­5

A．在运动过程中，A质点总比B质点运动得快

B．在0～t1这段时间内，两质点的位移相同

C．当t＝t1时，两质点的速度相等

D．当t＝t1时，A、B两质点的加速度不相等

【解析】　位移—时间图象中，图线的斜率对应物体的速度，所以A质点的速度比B质点的速度快，A正确；位移—时间图象中，位移等于初、末时刻对应的纵坐标的坐标差，所以在0～t1这段时间内，A质点的位移大于B质点的位移，B错误；t1时刻时，两图象的斜率不同，两质点的速度不同，C错误；两物体都做匀速直线运动，加速度都等于零，D错误．

【答案】　A

v­t和x­t图象的应用对比

1．确认是哪种图象，v­t图象还是x­t图象．

2．理解并熟记五个对应关系．

(1)斜率与加速度或速度对应．

(2)纵截距与初速度或初始位置对应．

(3)横截距对应速度或位移为零的时刻．

(4)交点对应速度或位置相同．

(5)拐点对应运动状态发生改变．

1．平均速度公式：＝v＝

即：做匀变速直线运动的物体，在一段时间t内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初、末速度矢量和的一半．

推导：设物体的初速度为v0，做匀变速直线运动的加速度为a，t秒末的速度为v.

由x＝v0t＋at 2得， ①

平均速度＝＝v0＋at. ②

由速度公式v＝v0＋at知，当t′＝时，

v＝v0＋a， ③

由②③得＝v. ④

又v＝v＋a ， ⑤

由③④⑤解得v＝，所以＝v＝.

2．逐差相等

匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差相等．做匀变速直线运动的物体，如果在各个连续相等的时间T内的位移分别为xⅠ、xⅡ、xⅢ、…、xN，则Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT 2.

推导：x1＝v0T＋aT 2，x2＝v0·2T＋a·T 2，x3＝v0·3T＋aT 2，…，

所以xⅠ＝x1＝v0T＋aT 2；xⅡ＝x2－x1＝v0T＋aT 2；xⅢ＝x3－x2＝v0T＋aT 2，…，

故xⅡ－xⅠ＝aT 2，xⅢ－xⅡ＝aT 2，…，

所以，Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT 2.

6．(多选)汽车从A点由静止开始沿直线ACB做匀变速直线运动，第4 s末通过C点时关闭发动机做匀减速运动，再经6 s到达B点停止，总共通过的位移是30 m，则下列说法正确的是(　　)

A．汽车在AC段与BC段的平均速度相同

B．汽车通过C点时的速度为3 m/s

C．汽车通过C点时的速度为6 m/s

D．AC段的长度为12 m

【解析】　设汽车通过C点时的速度为vC，由＝可知，汽车在AC段与BC段的平均速度均为＝，A正确；由t1＋t2＝xAB，t1＋t2＝10 s可得vC＝6 m/s，C正确，B错误；由xAC＝t1可得：xAC＝12 m，D正确．

【答案】　ACD

7．有一个做匀变速直线运动的物体，它在两段连续相等的时间内通过的位移分别是24 m和64 m，连续相等的时间为4 s，求质点的初速度和加速度大小.

【导学号：57632033】

【解析】　(1)常规解法：由位移公式得

x1＝vAT＋aT 2，

x2＝－.

将x1＝24 m，x2＝64 m，T＝4 s代入两式求得

vA＝1 m/s，a＝2.5 m/s2.

(2)用平均速度求解：

设物体通过A、B、C三点的速度分别为vA、vB、vC，

则有＝，＝，

＝，

解得vA＝1 m/s，vB＝11 m/s，

vC＝21 m/s，所以，加速度为

a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2.

(3)用推论公式求解：

由x2－x1＝at 2得64－24＝a·42，

所以a＝2.5 m/s2，再代入x1＝vAT＋aT 2可求得vA＝1 m/s.

【答案】　1 m/s　2.5 m/s2

应用推论＝v＝解题时的四点注意：

1．推论＝v＝只适用于匀变速直线运动，且该等式为矢量式，应注意v0与v的正负．

2．该推论是求瞬时速度的常用方法．

3．当v0＝0时，v＝；v＝0时，v＝.

4．经常与公式x＝ t结合，求位移．