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第15章分式-2020-2021学年八年级上学期期末冲刺综合能力提升训练（人教版）
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第15章分式
一、单选题
1．若，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
2．若解分式方程产生增根，则m的值为（ ）
A．1 B．-4 C．-5 D．-3
3．使分式的值为负的条件是（ ）
A．x＜0 B．x＞0 C．x＞ D．x＜
4．已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是( )
A． B．且 C． D．且
5．某城市轨道交通线网规划2020年由4条线路组成，其中1号线一期工程全长30千米，预计运行后的平均速度是原来乘公交车的1.5倍，行驶时间则缩短半小时．设原来公交车的平均速度为x千米/时，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．某厂进行技术创新，现在每天比原来多生产30台机器，并且现在生产500台机器所需时间与原来生产350台机器所需时间相同．设现在每天生产x台机器，根据题意可得方程为（ ）
A． B． C． D．
7．分式方程=有增根，则m的值为（ ）
A．0和3 B．1
C．1和﹣2 D．3
8．若代数式的化简结果为，则整式为（ ）
A． B． C． D．
9．下列各式的计算，正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．若关于的方程有正整数解，且关于的不等式组至少有两个奇数解，则满足条件的整数有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．若x：y＝1：2，则＝_____．
12．已知有意义且恒等于，则____．
13．如果，那么代数式的值是____.
14．将 写成幂的形式_________
15．计算: =_________
16．分式方程的解是_____．
17． __________；___________
18．分式当x __________时,分式的值为零.
19．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设学生骑车速度为x千米/时，则根据题意列出的方程为_____．
20．小颖同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完，当她读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完，她读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读页，则下面所列方程是_____________________________
21．已知＝3，则代数式的值为___．
22．化简=_______．
23．若关于x的分式方程－＝1的解为负数，则a的取值范围是____________．
24．给定一列分式：，，，，…根据你发现的规律，试写出第6个分式为__________．第n（n为正整数）个分式为__________．
25．若关于x的分式方程无解，则m的值是_____．
26．若分式的值是正整数，则m可取的整数有_____．
27．已知则的取值范围是________
28．今年是脱贫攻坚关键年，大学生小赵利用电商平台帮助家乡售卖当地土特产。今年10月份葡萄干、哈密瓜、核桃三种土特产的销售量之比为2：3：5，随着“双十一”的到来，预计11月份总销售量会大幅增加，其中核桃增加的销售量占三种特产总增加的销售量的，且核桃的销售量将达到11月份三种特产总销售量的，为使葡萄干、哈密瓜11月份的销售量之比为3：4，则11月份葡萄干还需增加的销售量与11月份总销售量之比是______.
29．端午节前后，人们除了吃粽子、插艾叶以外，还会佩减香囊以避邪驱瘟．“行知”精品店也推出了“求真”香囊、“乐群”香囊、“创造”香囊三种产品，所有香囊的外包装都由回收材料制成， 不计成本．其中“求真”香囊的里料是20克艾叶，“乐群”香囊的里料是10克艾叶和20克薄荷，“创造”香囊的里料是20克艾叶和 20 克薄荷．端午节当天，店长发现“乐群”香囊的销量是“求真”香囊的2倍，且“求真”香囊与“乐群”香囊的利润和是“创造”香囊利润的倍，当天的总利润率是50% ．第二天店内促销，“求真”香囊、“乐群”香囊的售价均不变，“创造”香囊的售价打八折，当三种产品的销量分别与前一天相同时，总利润率为___________．
30．关于的方程的解为正整数，且关于的不等式组有解且最多有个整数解，则满足条件的所有整数的值为_______．
三、解答题
31．先化简，再求值：已知，求的值．
32．计算与化简： (1)
(2)已知：，求：的值．
33．先化简，再求值：，其中x=2．
34．（1）计算：（1﹣）0﹣|﹣2|+；
（2）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求∠F的度数．
35．已知．
(1)试问：的值能否等于2？请说明理由；(2)求的值．
36．先化简，再求值：
（1） [(x－y)2＋(x＋y)(x－y)]÷2x，其中 x＝3，y＝－2
（2）已知，求的值.
37．先化简，再求值：
（1），其中，；
（2），再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值．
38．化简求值已知A=﹣
（1）化简A；
（2）当x满足不等式组，且x为整数时，求A
39．先化简，再求值：（1－）÷，其中=sin60°.
40．（本题10分）(1)计算：；
(2)先化简，然后从，1，-1中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．
41．（1）若 ，先化简再求的值．（2）已知若关于x的分式方程 无解，则m的值是多少？
42．先化简()，再选取一个你喜欢的a的值代入求值．
43．某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵5元，用360元购买甲种商品的件数恰好与用300元购买乙种商品的件数相同．
（1）求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？
（2）若商店计划购买这两种商品共40件，且投入的经费不超过1150元，那么，最多可购买多少件甲种商品？
44．先化简，再求值：，其中从，0 ，1，2中选取．
45．先化简，再求值： ，其中a＝．
46．某农场要在面积为2000万平方米的土地上播种玉米，为了尽量减少种植的时间，实际播种时，若每小时比原计划多播种，就可以提前5小时完成播种任务．
（1）求原计划每小时播种多少万平方米？
（2）若有甲、乙两台播种机参与播种，其中甲播种机每小时可播种120万平方米，乙播种机每小时可播种80万平方米，若安排甲播种机先播种一段时间后离开，再由乙播种机完成播种任务，在保证至少提前5小时完成播种任务的前提下，甲播种机至少要播种多少小时？
47．已知，求A、B的值.
48．某儿童品牌专卖店购进了A、B两种童装，其中A种童装的进价比B童装的进价每个多10元，经调查：用1000元购进A种童装的数量与用800元购进B童装的数量相同．
（1）求A、B两种童装的进价分别是每个多少元？
（2）该专卖店共购进了A、B两种童装共100套，若该店将每个A种童装定价为70元出售，每个B种童装定价为55元出售，且全部售出后所获得利润不少于1750元，则专卖店至少购进A种童装多少套？
49．阅读理解
下列一组方程：①x+=3，②x+=5，③x+=7，…小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，他的解过程如下：
由①x+=1+2得x=1或x=2；
由②x+=2+3得x=2或x=3；
由③x+=3+4得x=3或x=4．
（1）问题解决：请写出第四个方程，并技照小明的解题思路求出该方程的解；
（2）规律探究：若n为正整数，请写出第n个方程及其方程的解；
（3）变式拓展：若n为正整数，关于x的方程x+=2n﹣1的一个解是x=10，求n的值．
50．先化简，再求值：，其中.
51．以诗育德，以诗启智，以诗怡情，以诗塑美，万州区某中学开展诗歌创作比赛，积极营造诗韵书香学生生活．年级决定购买两种笔记本奖励在此次创作比赛中的优秀学生，已知种笔记本的单价比种笔记本的单价便宜元，已知用元购买种笔记本的数量是用元购买种笔记本的数量的倍．
求种笔记本的单价；
根据需要，年级组准备购买两种笔记本共本，其中购买种笔记本的数量不超过种笔记本的二倍．设购买种笔记本本，所需经费为元，试写出与的函数关系式，并请你根据函数关系式求所需的最少经费．
52．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式的值．
解：∵，∴即
∴∴
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若，且，求的值．
解：令则，，，∴
根据材料回答问题：
（1）已知，求的值．
（2）已知，求的值．
（3）若，，，，且，求的值．
53．观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
……
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：________；
（2）用含有n的式子表示第n个等式：________（n为正整数）；
（3）求…的值．
54．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”．
（1）下列分式中，不属于“和谐分式”的是 （填序号）．
① ② ③ ④
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．
（3）应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数．
55．阅读下面材料并解答问题
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母为，可设，
则
∵对任意上述等式均成立，
∴且，∴，
∴
这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和
解答：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式
（2）求出的最小值．
第15章分式
一、单选题
1．若，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】可以采用取特殊值法，逐一求解，然后进行判断即可．
【详解】∵
∴令
∴，，
∵
∴
故选B．
【点评】本题考查了实数的大小比较，负整数指数幂，整数指数幂，解决此类题可以选用取特殊值法进行求解．
2．若解分式方程产生增根，则m的值为（ ）
A．1 B．-4 C．-5 D．-3
【答案】C
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【详解】方程两边都乘(x+4)，得x−1=m，
∵原方程增根为x=−4，
∴把x=−4代入整式方程，得m=−5，
故选：C．
【点评】本题考查分式方程无解的情况，掌握分式方程增根产生的条件为解题关键．
3．使分式的值为负的条件是（ ）
A．x＜0 B．x＞0 C．x＞ D．x＜
【答案】C
【分析】分子分母异号即可，而分子恒为正，因此令分母小于0，最终求得不等式的解集．
【详解】∵
∴若使分式的值为负，则
解得x＞
故答案为x＞．
【点评】本题考查了分式方程的求解，使分式的值为正即为分子分母同号，分式的值为负即为分子分母异号．
4．已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是( )
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】根据题意，先解方程求出x=m-3,方程的解是一个非正数，则m-3≤0,且当x+1=0时即m-2=0方程无解，因此得解．
【详解】解：去分母得：m-2=x+1,
移项得：x=m-3
由方程的解是非正数得：
m-3≤0且m-3+1≠0
解得：m≤3且≠2
【点评】本题考查的是利用分式方程的解来解决其中的字母的取值范围问题，一定要考虑到分式方程必须有意义．
5．某城市轨道交通线网规划2020年由4条线路组成，其中1号线一期工程全长30千米，预计运行后的平均速度是原来乘公交车的1.5倍，行驶时间则缩短半小时．设原来公交车的平均速度为x千米/时，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【分析】根据题中等量关系“一期工程全长30千米，预计运行后的平均速度是原来乘公交车的1.5倍”用x表示出运行后公交车的速度、时间，原来公交车的行驶时间，由“行驶时间则缩短半小时”即可列出方程.
【详解】解：设原来公交车的平均速度为x千米/时，可得：
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找出题中的等量关系是解题的关键.
6．某厂进行技术创新，现在每天比原来多生产30台机器，并且现在生产500台机器所需时间与原来生产350台机器所需时间相同．设现在每天生产x台机器，根据题意可得方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【分析】根据现在生产500台机器所需时间与原计划生产350台机器所需时间相同，所以可得等量关系为：现在生产500台机器所需时间=原计划生产350台机器所需时间．
【详解】现在每天生产x台机器，则原计划每天生产（x﹣30）台机器．
依题意得：，
故选A．
【点评】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.
7．（2011?黑河）分式方程=有增根，则m的值为（ ）
A．0和3 B．1
C．1和﹣2 D．3
【答案】A
【解析】分析：根据分式方程有增根，得出x-1=0，x+2=0，求出即可．
解答：解：∵分式方程=有增根，
∴x-1=0，x+2=0，
∴x1=1，x2=-2．
两边同时乘以（x-1）（x+2），原方程可化为x（x+2）-（x-1）（x+2）=m，
整理得，m=x+2，
当x=1时，m=1+2=3；
当x=-2时，m=-2+2=0，
当m=0时，方程为=，
x（x-2）-（x-1）（x-2）=0，
x-2=0，
x=2，
经检验x=2是原方程的增根，
∴原分式方程无解，
即m的值是0或3，
8．若代数式的化简结果为，则整式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的运算法则，将原式变形，然后计算求解即可．
【详解】∵，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查了分式的计算和因式分解，熟练的掌握分式的计算法则是本题的关键．
9．下列各式的计算，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，乘方运算法则逐一判断即可．
【详解】原式=1，故A选项错误；
原式=，故B选项错误；
原式=1，故C选项正确；
原式=，故D选项错误；
故选C．
【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，幂的乘方，积的乘方，熟记运算法则是本题的关键．
10．若关于的方程有正整数解，且关于的不等式组至少有两个奇数解，则满足条件的整数有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出正整数方程的解，代入检验确定出a的值，再表示出不等式组的解集，由解集至少有两个奇数解确定出整数a的值，求出之和即可．
【详解】解：
解得：
∴方程有正整数解
且即
∴
解不等式组解得
关于的不等式组至少有两个奇数解
∴
∴
∴满足条件得整数有3个，
故选：D．
【点评】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二、填空题
11．若x：y＝1：2，则＝_____．
【答案】
【分析】先根据已知等式可得x：y＝1：2，再根据分式的基本性质即可得．
【详解】由x：y＝1：2，得：，
则
=
=
=
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的基本性质，比例的性子，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．
12．已知有意义且恒等于，则____．
【答案】
【分析】分三种情况讨论即可：当底数为1时；当底数为－1，指数为偶数时；当指数为0，底数不为0时．
【详解】解：当时，
此时，符合题意；
当时，，
此时，符合题意；
当时，；
此时若，则，符合题意；
若，则，符合题意；
综上所述，，
故答案为：．
【点评】本题考查了幂的运算及零指数幂法则的应用，熟练掌握形如所满足的三种条件是解决本题的关键．
13．如果，那么代数式的值是____.
【答案】
【解析】【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由根据已知等式 代入即可得出答案．
【详解】解：原式= ，根据，可得 ，故答案为 .
【点评】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算顺序和运算法则是解题的关键.
14．将 写成幂的形式_________
【答案】
【分析】根据正数的分数指数幂与根式的相互转化即可解答.
【详解】解：根据分数指数幂的定义可知，，故答案为.
【点评】本题考查了分数指数幂的定义，准确计算是解题的关键.
15．计算: =_________
【答案】8
【解析】【分析】 等于16的立方然后再开4次方，即可解答.
【详解】解：，故答案为8.
【点评】本题考查了分数指数幂的运算，准确计算是解题的关键.
16．分式方程的解是_____．
【答案】无解
【分析】左右两端同时乘以最简公分母（x-3），得到新的一元一次方程，根据一元一次方程的解法去括号移项即可求解，解得后代回最简公分母中，发现最简公分母为0，不合题意，因此原方程无解．
【详解】
根据题意，最简公分母为（x-3），等式两端同时乘以最简公分母（x-3），得：
去括号得：
移项得：
解得
将代回最简公分母（x-3），此时最简公分母为0，不合题意，舍去
因此原式无解；
故答案为：无解．
【点评】本题考查了分式方程的求解，在解分式方程时，一定要注意代回最简公分母中检验，判断所求的根是否为增根，然后才能确定最终解．
17． __________；___________
【答案】
【分析】第一空根据同底数幂除法法则计算即可，第二空根据负整数指数幂计算法则求解即可．
【详解】
故答案为，．
【点评】本题考查了同底数幂和负整数指数幂的计算方法，关键是掌握运算法则．
18．分式当x __________时,分式的值为零.
【答案】= -3
【分析】根据分子为0，分母不为0时分式的值为0来解答.
【详解】根据题意得：
且x-3 0
解得：x= -3
故答案为：= -3.
【点评】本题考查的是分式值为0的条件，易错点是只考虑了分子为0而没有考虑同时分母应不为0.
19．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设学生骑车速度为x千米/时，则根据题意列出的方程为_____．
【答案】
【解析】【分析】求速度，路程已知，根据时间来列等量关系．关键描述语为：“过了20分后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达”；等量关系为：骑自行车同学所用时间－乘车同学所用时间=小时．
【详解】学生骑车速度为千米/时，根据题意，得：
．
故答案为．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，得到合适的等量关系是解答本题的关键．
20．小颖同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完，当她读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完，她读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读页，则下面所列方程是_____________________________
【答案】
【解析】【分析】读前一半时，平均每天读x页，关键描述语为：“在两周借期内读完”；等量关系为：读前一半用的时间+读后一半用的时间=14，据此列方程即可．
【详解】读前一半时，平均每天读x页，
读前一半用的时间为：天，
读后一半用的时间为：天，
由题意得，，
故答案为.
【点评】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，设出未知数，找出等量关系，列出分式方程是解题的关键.
21．已知＝3，则代数式的值为___．
【答案】4
【分析】由＝3,得=3即y-x=3xy,然后代入代数式,进行消元,即可得到结论.
【详解】解：由＝3,得=3即y-x=3xy，x-y=-3xy,
则===4
故答案为:4
【点评】本题主要考查代数式的求解,利用消元法是解决本题的关键.
22．化简=_______．
【答案】-1
【分析】将的分母提出一个负号，变为，然后计算即可．
【详解】原式====-1
故答案为-1．
【点评】本题考查了分式的加减法，本题的关键是对第二项提出一个负号，做题过程中要注意符号变号问题．
23．若关于x的分式方程－＝1的解为负数，则a的取值范围是____________．
【答案】a＞0且a≠2
【解析】试题分析：首先左右两边同乘以（x+2），求出x的值.然后根据解为负数且x≠－2求出a的取值范围.
解分式方程得：x=－a，根据题意得：－a＜0且－a≠－2 解得：a＞0且a≠2.
考点：解分式方程.
24．给定一列分式：，，，，…根据你发现的规律，试写出第6个分式为__________．第n（n为正整数）个分式为__________．
【答案】
【分析】根据“分式分子及分母对应的底数及其指数的数字规律以及符号的规律”即可得出第6个分式和第n个分式．
【详解】解：观察分式，，，，…，可以得出
分子得底数为x指数为序数的2倍加1，分母的底数为y指数等于序数，当序数为偶数时符号为负，序数为奇数时符号为正，即符号为，
故第6个分式为，第n（n为正整数）个分式为：．
故答案为：，．
【点评】本题考查了分式的定义，探索与表达规律．注意观察每一个分式的分子、分母以及符号的变化，然后找出的规律．
25．若关于x的分式方程无解，则m的值是_____．
【答案】﹣2或﹣3
【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程, 由分式方程无解确定出x的值, 代入整式方程计算即可求出m的值.
【详解】解：去分母得:,
解得:(3+m)x=2,
由分式方程无解,得到3+m=0,即m=-3
或，方程无解，解得：m=-2，
综上,m的值为-3或-2.
故答案为: -3或-2.
【点评】本题主要考查分式方程的解，注意其无解的条件.
26．若分式的值是正整数，则m可取的整数有_____．
【答案】3,4,5,8
【解析】【分析】根据此分式的值是正整数可知m-2是6的约数，而6的约数是1，2，3，6，然后分别列出四个方程，解之即可得出答案.
【详解】解：∵分式的值是正整数，
∴m-2＝1或2或3或6，
∴m＝3或4或5或8.
故答案为3，4，5，8.
【点评】本题考查了分式的有关知识.理解m-2是6的约数是解题的关键.
27．已知则的取值范围是________
【答案】x≠0且x≠2
【解析】【分析】根据分式的基本性质: “分式的分子、 分母同乘以 (或除以) 一个不等于0的整式, 分式的值不变”可得到答案.
【详解】的条件是：，
故答案：。
【点评】解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质.
28．今年是脱贫攻坚关键年，大学生小赵利用电商平台帮助家乡售卖当地土特产。今年10月份葡萄干、哈密瓜、核桃三种土特产的销售量之比为2：3：5，随着“双十一”的到来，预计11月份总销售量会大幅增加，其中核桃增加的销售量占三种特产总增加的销售量的，且核桃的销售量将达到11月份三种特产总销售量的，为使葡萄干、哈密瓜11月份的销售量之比为3：4，则11月份葡萄干还需增加的销售量与11月份总销售量之比是______.
【答案】
【分析】设10月份葡萄干、哈密瓜、核桃三种土特产的总销售量为，11月份葡萄干、哈密瓜、核桃三种土特产的总销售量为，先根据核桃增加的销售量建立等式可求出，再根据“葡萄干、哈密瓜11月份的销售量之比为”求出11月份葡萄干的销售量，从而可得11月份葡萄干还需增加的销售量，由此即可得．
【详解】设10月份葡萄干、哈密瓜、核桃三种土特产的总销售量为，11月份葡萄干、哈密瓜、核桃三种土特产的总销售量为，
则10月份葡萄干、哈密瓜、核桃三种土特产的销售量依次为，
11月份三种特产总增加的销售量为，
11月份核桃增加的销售量为，
11月份核桃的销售量为，
因此有，
整理得：，
当葡萄干、哈密瓜11月份的销售量之比为时，11月份葡萄干的销售量为，
则11月份葡萄干还需增加的销售量与11月份总销售量之比是，
故答案为：．
【点评】本题考查了列代数式的应用、分式的应用，依据题意，正确求出11月份总销售量与10月份总销售量的关系是解题关键．
29．端午节前后，人们除了吃粽子、插艾叶以外，还会佩减香囊以避邪驱瘟．“行知”精品店也推出了“求真”香囊、“乐群”香囊、“创造”香囊三种产品，所有香囊的外包装都由回收材料制成， 不计成本．其中“求真”香囊的里料是20克艾叶，“乐群”香囊的里料是10克艾叶和20克薄荷，“创造”香囊的里料是20克艾叶和 20 克薄荷．端午节当天，店长发现“乐群”香囊的销量是“求真”香囊的2倍，且“求真”香囊与“乐群”香囊的利润和是“创造”香囊利润的倍，当天的总利润率是50% ．第二天店内促销，“求真”香囊、“乐群”香囊的售价均不变，“创造”香囊的售价打八折，当三种产品的销量分别与前一天相同时，总利润率为___________．
【答案】
【分析】设艾叶成本价为a元，利润率为x，薄荷成本价为b元，利润率为y，端午节当天“求真”香囊的销量为m件，则“乐群”香囊的销量为件，“创造”香囊的销量为件，先根据利润倍数关系可求出，再根据端午节当天的总利润率可得，然后根据新的售价和销量列出总利润率的计算式子，化简求值即可得．
【详解】设艾叶成本价为a元，利润率为x，薄荷成本价为b元，利润率为y，端午节当天“求真”香囊的销量为m件，则“乐群”香囊的销量为件，“创造”香囊的销量为件，
“求真”香囊与“乐群”香囊的利润和是“创造”香囊利润的倍，
，
整理得：，
端午节当天的总利润率是，
，
即，
整理得：，
第二天店内促销，“求真”香囊、“乐群”香囊的售价均不变，“创造”香囊的售价打八折，且三种产品的销量分别与前一天相同，
第二天总利润率为，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了分式求值，依据题意，正确设立未知数得出已知等式和所求分式是解题关键．
30．关于的方程的解为正整数，且关于的不等式组有解且最多有个整数解，则满足条件的所有整数的值为_______．
【答案】﹣2，﹣1
【分析】表示出分式方程的解，由分式方程的解为正整数确定出a的值，表示出不等式组的解集，由不等式组最多有7个整数解，即可得到a的取值范围，从而得出满足条件的所有整数a的值．
【详解】解：分式方程去分母得：8﹣4x＝ax﹣x，
解得：x＝，
由分式方程解为正整数，得到a＋3＝1，2，4，8，
解得：a＝﹣2，﹣1，1，5，
又∵x≠2，
∴a≠1，
∴a＝﹣2，﹣1，5，
不等式组整理得：，
解得：a≤x＜5，
由不等式组有解且最多有7个整数解，得到整数解为4，3，2，1，0，﹣1，﹣2，
∴﹣3＜a＜5，
∴整数解为4，3，2，1，0，﹣1，﹣2，
则满足题意a的值为﹣2，﹣1，
故答案为：﹣2，﹣1．
【点评】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
三、解答题
31．先化简，再求值：已知，求的值．
【答案】，
【分析】原式括号中的两项分母分解因式后利用异分母分式加减法法则，先通分再运算，然后利用分式除法运算法则运算，约分化简，最后把的值代入求值即可．
【详解】原式＝
＝
＝
＝
＝，
当时，
原式＝
＝
＝
【点评】本题考查了分式的混合运算，重点是通分和约分的应用，掌握因式分解的方法，分式加减和乘除法法则为解题关键．
32．计算与化简： (1)
(2)已知：，求：的值．
【答案】(1)；(2)3.
【解析】【分析】（1）先利用因式分解约分计算除法，再用通分算加法，由此计算得出答案即可；
（2）先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据分式混合运算的法则把原式进行化简，把a、b的值代入进行计算即可．
【详解】（1）原式•
；
（2）∵|2a﹣b+1|+（3ab）2＝0，∴，解得：．
原式
••
当a，b时，原式3．
【点评】本题考查了分式的混合运算，掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键．
33．先化简，再求值：，其中x=2．
【答案】
【分析】正确进行分式的通分、 约分, 并准确代值计算即可.
【详解】原式=•﹣
=﹣
=﹣
=，
当x=2时，原式==．
【点评】本题主要考查分式的化简求值这一知识点, 把分式化到最简是解答的关键.
34．（1）计算：（1﹣）0﹣|﹣2|+；
（2）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求∠F的度数．
【答案】（1）﹣1+3；（2）30°．
【分析】（1） 根据零指数幂、 绝对值、 二次根式的性质求出每一部分的值, 代入求出即可;
（2）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=,根据三角形内角和定理即可求解;
【详解】解：（1）原式=1﹣2+3=﹣1+3；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵点D，E分别是边BC，AC的中点，
∴DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°．
【点评】（1） 主要考查零指数幂、 绝对值、 二次根式的性质；
（2）考查平行线的性质和三角形内角和定理.
35．已知．
(1)试问：的值能否等于2？请说明理由；
(2)求的值．
【答案】(1)不能；(2)2或23．
【解析】【分析】（1）把代入原式，左右两边不等，即可得到结论；
（2）原式变形后分①，②两种情况讨论即可．
【详解】（1）原等式变形得：
若，即时，等式左边=（2+1）（2-1）=3，等式右边=5 m×（2-1）=．
∵左边≠右边，∴m2 的值不等于2．
（2）由知：
①当m2-1=0，即m2=1时，；
②当m2-1≠0时，．
当m=0时，左边=1，右边=0，∴m≠0，∴，∴．
综上所述：的值为2或23．
【点评】本题考查了分式的混合运算及代数式求值．解题的关键是分类讨论．
36．先化简，再求值：
（1） [(x－y)2＋(x＋y)(x－y)]÷2x，其中 x＝3，y＝－2
（2）已知，求的值.
【答案】(1)5;(2)3.
【分析】（1）先将中括号里面用完全平方公式和平方差公式展开括号,合并同类项,然后利用多项式除以单项式的法则计算,最后把x=3,y=-2的值代入化简后的式子就可以求出其值.
（2）由已知的等式求出a的值,原式利用除法法则变形,约分后代入计算即可求出值.
【详解】解:（1）原式=(x2-2xy+y2+x2-y2) ÷2x=(2x2-2xy) ÷2x=x-y.
当x=3,y=-2时,
原式=3-(-2)=3+2=5.
（2）由，得3a+1=0且a≠0，解得a=，
原式=，
将a=代入原式=3.
故答案：3.
【点评】(1)考查了完全平方公式的运用,平方差公式的运用,合并同类项法则的运用及多项式除以单项式的法则.计算中注意结果的符号不要遗漏;(2)主要考查分式中先化简再求值，注意灵活运用公式.
37．先化简，再求值：
（1），其中，；
（2），再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值．
【答案】（1）原式=，值为-1；（2）原式=，值为-5．
【分析】（1）括号内先通分进行分式加减运算，然后在与括号外的分式进行除法运算，化简后把数值代入即可求解；
（2）括号内先通分进行分式加减运算，然后在与括号外的分式进行除法运算，化简后根据使分式有意义的原则在所给的数中，选择一个合适的数值代入即可求解．
【详解】（1）原式=
，
当，时，
原式=，
故原式=，值为-1；
（2）原式=
，
若使原式有意义，则，，即
所以x应取3，即当时，
原式=
故原式=，值为-5．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是关键，在代值进行计算时，切记所代入的数值要使原分式有意义．
38．化简求值已知A=﹣
（1）化简A；
（2）当x满足不等式组，且x为整数时，求A
【答案】（1）；（2）1
【解析】试题分析：（1）根据分式四则混合运算的运算法则，把A式进行化简即可．
（2）首先求出不等式组的解集，然后根据x为整数求出x的值，再把求出的x的值代入化简后的A式进行计算即可．
试题解析：（1）A=
=
=
=
（2）∵
∴
∴1≤x＜3，
∵x为整数，
∴x=1或x=2，
①当x=1时，
∵x-1≠0，
∴A=中x≠1，
∴当x=1时，A=无意义．
②当x=2时，
A==＝1．
【点睛】（1）此题主要考查了分式的化简求值，注意化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤．
（2）此题还考查了求一元一次不等式组的整数解问题，要熟练掌握，解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件求得不等式组的整数解即可．
39．
先化简，再求值：（1－）÷，其中=sin60°.
【答案】（本小题满分5分）
解：原式=（－）·=·=+1 ------------------ (3分)
把=sin60°=代入 --------------------------------------------------- (1分)
原式==----------------------------------------------------------------（1分）
【解析】先通分，然后进行四则运算，最后将a=sin60°=1/2代入即可求得答案．
解：原式=（－）·=·=+1
把=sin60°=代入
原式==
40．（本题10分）(1)计算：；
(2)先化简，然后从，1，-1中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．
【答案】（1）原式＝1-2+3=2……4分
（2）=…… 4分
当 x=时 …… 1分 ， 原式=2……1分
【解析】（1）根据a0=1（a≠0）、负整数指数幂以及算术平方根的定义进行计算即可；
（2）先把括号内通分，再把各分式的分子或分母因式分解得到原式=?，约分得到原式=，由题意得到x≠±1且x≠0，则把x=代入计算即可．
解：（1）原式=1-2+3=2；
（2）原式=?=?=，
当x=时，原式==2．
点评：本题考查了分式的化简求值：先把各分式的分子或分母因式分解，若有括号，先把括号内通分，然后约分，得到最简分式或整式，再把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．也考查了a0=1（a≠0）以及负整数指数幂．
41．（1）若 ，先化简再求的值．（2）已知若关于x的分式方程 无解，则m的值是多少？
【答案】（1）；（2）﹣3， 或0．
【解析】【分析】（1）先根据a的值判断出a﹣1＜0，再根据二次根式的性质和运算法则化简原式，继而将a的值代入计算可得；（2）将分式方程转化为整式方程，整理得出（m+3）x＝﹣3m，再分m+3＝0和m+3≠0分别求解可得．
【详解】（1）原式= ，
∵＜1，
∴原式＝，
将代入得：
原式＝；
（2）两边都乘以x（x﹣3），得：x（2m+x）﹣x（x﹣3）＝m（x﹣3），
整理，得：（m+3）x＝﹣3m，
①当m+3＝0时，原方程无解；
②当m≠﹣3时，x＝，
若x＝0，即m＝0时，原方程无解；
若x＝3，即m＝﹣时，原方程无解；
∴原方程无解时m的值为﹣3，﹣或0．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值和分式方程，解题的关键是掌握二次根式的性质和运算法则及分式方程无解的情况．
42．先化简()，再选取一个你喜欢的a的值代入求值．
【答案】a2＋1,求值不唯一，使a≠±1皆可.
【解析】先通分约分进行化简，然后再代入a的值进行计算，但a不能取±1.
43．某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵5元，用360元购买甲种商品的件数恰好与用300元购买乙种商品的件数相同．
（1）求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？
（2）若商店计划购买这两种商品共40件，且投入的经费不超过1150元，那么，最多可购买多少件甲种商品？
【答案】（1）甲种商品每件的价格是30元，乙种商品每件的价格是25元；（2）最多可购买30件甲种商品．
【解析】【分析】(1)设甲种商品每件的价格是x元,则乙种商品每件的价格是(x-5)元,根据"用360元购买甲种商品的件数怡好与用300元购买乙种商品的件数相同",列出关于x的分式方程,解之经过验证即可,
(2)设购买m件甲种商品,则购买(40-m)件乙种商品,根据商店计划购买这两种商品共40件,且投入的经费不超过1150元",列出关于m的一元一次不等式,解之即可
【详解】解：（1）设甲种商品每件的价格是x元，则乙种商品每件的价格是（x﹣5）元，
根据题意得：
，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是方程的解且符合意义，
30﹣5＝25，
答：甲种商品每件的价格是30元，乙种商品每件的价格是25元，
（2）设购买m件甲种商品，则购买（40﹣m）件乙种商品，
根据题意得：
30m+25（40﹣m）≤1150，
解得：m≤30，
答：最多可购买30件甲种商品．
【点评】此题考查一元一次不等式的应用和分式方程的应用，解题关键在于列出方程
44．先化简，再求值：，其中从，0 ，1，2中选取．
【答案】，．
【分析】根据分式的混合运算法则，先化简，再代入求值，即可求解．
【详解】
当时，原式．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握通分和约分，是解题的关键．
45．先化简，再求值： ，其中a＝．
【答案】+1
【解析】【分析】先将被除式分母因式分解，同时将除法转化为乘法，再约分即可化简原式，继而将a的值代入计算可得．
【详解】原式＝
=，
当a＝时，
原式＝＝+1．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
46．某农场要在面积为2000万平方米的土地上播种玉米，为了尽量减少种植的时间，实际播种时，若每小时比原计划多播种，就可以提前5小时完成播种任务．
（1）求原计划每小时播种多少万平方米？
（2）若有甲、乙两台播种机参与播种，其中甲播种机每小时可播种120万平方米，乙播种机每小时可播种80万平方米，若安排甲播种机先播种一段时间后离开，再由乙播种机完成播种任务，在保证至少提前5小时完成播种任务的前提下，甲播种机至少要播种多少小时？
【答案】（1）原计划每小时播种80万平方米；（2）甲播种机至少要播种10小时．
【分析】（1）设原计划每小时播种x万平方米，根据题意列出方程解答即可;
（2）设甲播种机播种a小时，根据题意列出不等式解答即可．
【详解】解：（1）设原计划每小时播种x万平方米，
由题意得：
解得：
经检验 x=80 是原方程的解，
答：原计划每小时播种80万平方米．
（2）设甲播种机播种a小时，
根据题意得
解得
答：甲播种机至少要播种10小时．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意找到合适的等量关系是解决问题的关键，注意分式方程要检验．
47．已知，求A、B的值.
【答案】A=， B=
【分析】先对等式右边通分，再利用分式相等的条件列出关于A、B的方程组，解之即可求出A、B的值.
【详解】解：∵ ,
又∵，
∴，
∴ ，
解得.
∴A=， B=.
【点评】本题考查了分式的基本性质.利用分式的基本性质进行通分，再利用系数对应法列出方程组是解题的关键.
48．某儿童品牌专卖店购进了A、B两种童装，其中A种童装的进价比B童装的进价每个多10元，经调查：用1000元购进A种童装的数量与用800元购进B童装的数量相同．
（1）求A、B两种童装的进价分别是每个多少元？
（2）该专卖店共购进了A、B两种童装共100套，若该店将每个A种童装定价为70元出售，每个B种童装定价为55元出售，且全部售出后所获得利润不少于1750元，则专卖店至少购进A种童装多少套？
【答案】（1）50元；40元 （2）50套
【分析】（1）根据数量相同，可列出符合题意的分式方程，解出该分式方程（注意求出解以后要检验）；（2）根据题意，列出利润关系的不等式，解出即可（注意解取正整数）．
【详解】（1）解：设A种童装的进价是x元/个，则B种童装的进价是 元/个，
由题意可列方程，
解得，
经检验： 是原分式方程的根．
∴
答：A、B两种童装的进价分别是每套50元和40元．
（2）解：设购进A种童装m套，由题可知，
解得，
又∵m为正整数
∴m的最小值为：50．
答：专卖店至少购进A种童装50套．
【点评】本题考查了分式方程的具体应用及解法（因为分式方程在求解的过程中有可能产生增根，所以在将分式方程化为整式方程并求出其解以后要检验，）；一元一次不等式的解法（由于此题中不等式的解用来表示童装的套数，故应为正整数）．
49．阅读理解
下列一组方程：①x+=3，②x+=5，③x+=7，…小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，他的解过程如下：
由①x+=1+2得x=1或x=2；
由②x+=2+3得x=2或x=3；
由③x+=3+4得x=3或x=4．
（1）问题解决：请写出第四个方程，并技照小明的解题思路求出该方程的解；
（2）规律探究：若n为正整数，请写出第n个方程及其方程的解；
（3）变式拓展：若n为正整数，关于x的方程x+=2n﹣1的一个解是x=10，求n的值．
【答案】（1）x+=9，x=4或x=5；（2）x+=2n+1，解得：x=n或x=n+1；（3）n的值是12或11．
【解析】【分析】(1) 根据已知分式方程的变化规律进而得出第四个方程, 进而求出该方程的解;
(2) 利用发现的规律得出分子与后面常数的关系求出即可;
(3) 利用已知解题方法得出方程的解.
【详解】解：（1）由①x+=1+2得x=1或x=2；
由②x+x+=2+3得x=2或x=3；
由③x+=3+4得x=3或x=4，
则第四个方程为：x+=4+5，即x+=9，
由x+=4+5得：x=4或x=5；
（2）可得第n个方程为：x+=2n+1，
解得：x=n或x=n+1；
（3）将原方程变形，（x+2）+=n+（n+1），
∴x+2=n或x+2=n+1，
∴方程的解是x=n﹣2，或x=n﹣1，
当n﹣2=10时，n=12，
当n﹣1=10时，n=11，
∴n的值是12或11．
【点评】本题主要考查分式方程的解，注意找对规律并计算正确.
50．先化简，再求值：，其中.
【答案】，-1.
【解析】【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】原式
当时，原式．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
51．以诗育德，以诗启智，以诗怡情，以诗塑美，万州区某中学开展诗歌创作比赛，积极营造诗韵书香学生生活．年级决定购买两种笔记本奖励在此次创作比赛中的优秀学生，已知种笔记本的单价比种笔记本的单价便宜元，已知用元购买种笔记本的数量是用元购买种笔记本的数量的倍．
求种笔记本的单价；
根据需要，年级组准备购买两种笔记本共本，其中购买种笔记本的数量不超过种笔记本的二倍．设购买种笔记本本，所需经费为元，试写出与的函数关系式，并请你根据函数关系式求所需的最少经费．
【答案】（1）种笔记本的单价为6元．（2）所需经费最少为702元．
【分析】设种笔记本的单价为元，则种笔记本的单价为元．根据题意列出分式方程，求解即可；
由知种笔记本的单价为元，得到：，由于，所以W随的增大而减小．再根据A种笔记本的数量不超过B种笔记本数量的2倍，得到，解之可得m的取值范围，最后取值代入可得．
【详解】解： 设种笔记本的单价为元，则种笔记本的单价为元．
解得；
经检验：是原方程的解，且符合题意．
答：种笔记本的单价为元．
由知种笔记本的单价为元，
又∵
∴W随的增大而减小．
又∵A种笔记本的数量不超过B种笔记本数量的2倍
∴；
解得：；
∵m为正整数
∴当时，取得最小值，最小值为702元．
答：所需最少经费为702元．
【点评】本题考查了分式方程的应用及其解法；一元一次不等式的应用及其解法；其中将分式方程化为整式方程并求出其解以后，必须进行检验以判断是否为增根，如为增根则必须舍去；一元一次不等式在得到解集之后也要根据题目当中的已知条件进得取值．
52．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式的值．
解：∵，∴即
∴∴
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若，且，求的值．
解：令则，，，∴
根据材料回答问题：
（1）已知，求的值．
（2）已知，求的值．
（3）若，，，，且，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）仿照材料一，取倒数，再约分，利用等式的性质求解即可；
（2）仿照材料二，设，则，，，代入所求式子即可；
（3）解法一：设，化简得：①，②，③，，相加变形可得x、y、z的代入中，可得k的值，从而得结论；
解法二：取倒数得：，拆项得，从而得，，代入已知可得结论．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴．
（2）设，则，，，
∴
（3）解法一：设，
∴①，②，③，
①+②+③得：，
④，
④-①得：，
④-②得：，
④-③得：，
∴，，代入中，得：，
，则，
∴，，，
∴
解法二：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
将其代入中得：，，，
∴，，
∴．
【点评】本题考查了给材料阅读，然后仿做并探索较为复杂的化简计算题型，难度较大．
53．观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
……
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：________；
（2）用含有n的式子表示第n个等式：________（n为正整数）；
（3）求…的值．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）根据前3个等式归纳类推出一般规律，由此即可得出第5个等式；
（2）根据前3个等式归纳类推出一般规律即可得；
（3）根据（2）的结论，分别可得的值，再根据有理数的乘法运算律进行计算即可得．
【详解】（1）第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
归纳类推得：第n个等式：（n为正整数），
则第5个等式：，
即；
（2）由（1）知，；
（3）由（2）得：，
则，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了分式的规律性问题、有理数的乘法运算律，依据题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
54．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”．
（1）下列分式中，不属于“和谐分式”的是 （填序号）．
① ② ③ ④
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．
（3）应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数．
【答案】（1）②；（2）；（3），当时，该式的值为整数
【分析】（1）把给出的各式进行处理，根据和谐分式的定义判断；
（2）把分式先变形为，再写成整式与分式分子为常数的形式；
（3）先算除法，把分式转化成和谐分式，再确定x的值．
【详解】解：（1）①；②；③；④；
∴①③④属于和谐分式，②不属于和谐分式；
故答案为：②；
（2）原式；
（3）原式
；
根据题意得：原式；
当原式的值为整数时，应该是2的因数，
∴或或或
解得：或或或，
∵且且且，
∴当时，该式的值为整数．
【点评】本题考查了分式的混合运算及和新定义“和谐分式”．解决本题的关键是理解定义的内容并能运用．
55．阅读下面材料并解答问题
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母为，可设，
则
∵对任意上述等式均成立，
∴且，∴，
∴
这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和
解答：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式
（2）求出的最小值．
【答案】（1）3+；（2）8
【分析】（1）直接把分子变形为3(x-1)+10解答即可；
（2）由分母为-x2+1，可设-x4-6x2+8=(-x2+1)(x2+a)+b，按照题意，求出a和b的值，即可把分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
【详解】解：（1）=
=
=3+；
（2）由分母为，
可设，
则
．
∵对于任意的x，上述等式均成立，
∴
解得
∴
．
∴当x=0时，取得最小值8，即 的最小值是8．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解答本题的关键是理解阅读材料中的方法，并能加以正确应用．
一、单选题
1．若，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
2．若解分式方程产生增根，则m的值为（ ）
A．1 B．-4 C．-5 D．-3
3．使分式的值为负的条件是（ ）
A．x＜0 B．x＞0 C．x＞ D．x＜
4．已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是( )
A． B．且 C． D．且
5．某城市轨道交通线网规划2020年由4条线路组成，其中1号线一期工程全长30千米，预计运行后的平均速度是原来乘公交车的1.5倍，行驶时间则缩短半小时．设原来公交车的平均速度为x千米/时，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．某厂进行技术创新，现在每天比原来多生产30台机器，并且现在生产500台机器所需时间与原来生产350台机器所需时间相同．设现在每天生产x台机器，根据题意可得方程为（ ）
A． B． C． D．
7．分式方程=有增根，则m的值为（ ）
A．0和3 B．1
C．1和﹣2 D．3
8．若代数式的化简结果为，则整式为（ ）
A． B． C． D．
9．下列各式的计算，正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．若关于的方程有正整数解，且关于的不等式组至少有两个奇数解，则满足条件的整数有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．若x：y＝1：2，则＝_____．
12．已知有意义且恒等于，则____．
13．如果，那么代数式的值是____.
14．将 写成幂的形式_________
15．计算: =_________
16．分式方程的解是_____．
17． __________；___________
18．分式当x __________时,分式的值为零.
19．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设学生骑车速度为x千米/时，则根据题意列出的方程为_____．
20．小颖同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完，当她读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完，她读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读页，则下面所列方程是_____________________________
21．已知＝3，则代数式的值为___．
22．化简=_______．
23．若关于x的分式方程－＝1的解为负数，则a的取值范围是____________．
24．给定一列分式：，，，，…根据你发现的规律，试写出第6个分式为__________．第n（n为正整数）个分式为__________．
25．若关于x的分式方程无解，则m的值是_____．
26．若分式的值是正整数，则m可取的整数有_____．
27．已知则的取值范围是________
28．今年是脱贫攻坚关键年，大学生小赵利用电商平台帮助家乡售卖当地土特产。今年10月份葡萄干、哈密瓜、核桃三种土特产的销售量之比为2：3：5，随着“双十一”的到来，预计11月份总销售量会大幅增加，其中核桃增加的销售量占三种特产总增加的销售量的，且核桃的销售量将达到11月份三种特产总销售量的，为使葡萄干、哈密瓜11月份的销售量之比为3：4，则11月份葡萄干还需增加的销售量与11月份总销售量之比是______.
29．端午节前后，人们除了吃粽子、插艾叶以外，还会佩减香囊以避邪驱瘟．“行知”精品店也推出了“求真”香囊、“乐群”香囊、“创造”香囊三种产品，所有香囊的外包装都由回收材料制成， 不计成本．其中“求真”香囊的里料是20克艾叶，“乐群”香囊的里料是10克艾叶和20克薄荷，“创造”香囊的里料是20克艾叶和 20 克薄荷．端午节当天，店长发现“乐群”香囊的销量是“求真”香囊的2倍，且“求真”香囊与“乐群”香囊的利润和是“创造”香囊利润的倍，当天的总利润率是50% ．第二天店内促销，“求真”香囊、“乐群”香囊的售价均不变，“创造”香囊的售价打八折，当三种产品的销量分别与前一天相同时，总利润率为___________．
30．关于的方程的解为正整数，且关于的不等式组有解且最多有个整数解，则满足条件的所有整数的值为_______．
三、解答题
31．先化简，再求值：已知，求的值．
32．计算与化简： (1)
(2)已知：，求：的值．
33．先化简，再求值：，其中x=2．
34．（1）计算：（1﹣）0﹣|﹣2|+；
（2）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求∠F的度数．
35．已知．
(1)试问：的值能否等于2？请说明理由；(2)求的值．
36．先化简，再求值：
（1） [(x－y)2＋(x＋y)(x－y)]÷2x，其中 x＝3，y＝－2
（2）已知，求的值.
37．先化简，再求值：
（1），其中，；
（2），再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值．
38．化简求值已知A=﹣
（1）化简A；
（2）当x满足不等式组，且x为整数时，求A
39．先化简，再求值：（1－）÷，其中=sin60°.
40．（本题10分）(1)计算：；
(2)先化简，然后从，1，-1中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．
41．（1）若 ，先化简再求的值．（2）已知若关于x的分式方程 无解，则m的值是多少？
42．先化简()，再选取一个你喜欢的a的值代入求值．
43．某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵5元，用360元购买甲种商品的件数恰好与用300元购买乙种商品的件数相同．
（1）求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？
（2）若商店计划购买这两种商品共40件，且投入的经费不超过1150元，那么，最多可购买多少件甲种商品？
44．先化简，再求值：，其中从，0 ，1，2中选取．
45．先化简，再求值： ，其中a＝．
46．某农场要在面积为2000万平方米的土地上播种玉米，为了尽量减少种植的时间，实际播种时，若每小时比原计划多播种，就可以提前5小时完成播种任务．
（1）求原计划每小时播种多少万平方米？
（2）若有甲、乙两台播种机参与播种，其中甲播种机每小时可播种120万平方米，乙播种机每小时可播种80万平方米，若安排甲播种机先播种一段时间后离开，再由乙播种机完成播种任务，在保证至少提前5小时完成播种任务的前提下，甲播种机至少要播种多少小时？
47．已知，求A、B的值.
48．某儿童品牌专卖店购进了A、B两种童装，其中A种童装的进价比B童装的进价每个多10元，经调查：用1000元购进A种童装的数量与用800元购进B童装的数量相同．
（1）求A、B两种童装的进价分别是每个多少元？
（2）该专卖店共购进了A、B两种童装共100套，若该店将每个A种童装定价为70元出售，每个B种童装定价为55元出售，且全部售出后所获得利润不少于1750元，则专卖店至少购进A种童装多少套？
49．阅读理解
下列一组方程：①x+=3，②x+=5，③x+=7，…小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，他的解过程如下：
由①x+=1+2得x=1或x=2；
由②x+=2+3得x=2或x=3；
由③x+=3+4得x=3或x=4．
（1）问题解决：请写出第四个方程，并技照小明的解题思路求出该方程的解；
（2）规律探究：若n为正整数，请写出第n个方程及其方程的解；
（3）变式拓展：若n为正整数，关于x的方程x+=2n﹣1的一个解是x=10，求n的值．
50．先化简，再求值：，其中.
51．以诗育德，以诗启智，以诗怡情，以诗塑美，万州区某中学开展诗歌创作比赛，积极营造诗韵书香学生生活．年级决定购买两种笔记本奖励在此次创作比赛中的优秀学生，已知种笔记本的单价比种笔记本的单价便宜元，已知用元购买种笔记本的数量是用元购买种笔记本的数量的倍．
求种笔记本的单价；
根据需要，年级组准备购买两种笔记本共本，其中购买种笔记本的数量不超过种笔记本的二倍．设购买种笔记本本，所需经费为元，试写出与的函数关系式，并请你根据函数关系式求所需的最少经费．
52．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式的值．
解：∵，∴即
∴∴
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若，且，求的值．
解：令则，，，∴
根据材料回答问题：
（1）已知，求的值．
（2）已知，求的值．
（3）若，，，，且，求的值．
53．观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
……
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：________；
（2）用含有n的式子表示第n个等式：________（n为正整数）；
（3）求…的值．
54．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”．
（1）下列分式中，不属于“和谐分式”的是 （填序号）．
① ② ③ ④
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．
（3）应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数．
55．阅读下面材料并解答问题
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母为，可设，
则
∵对任意上述等式均成立，
∴且，∴，
∴
这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和
解答：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式
（2）求出的最小值．
第15章分式
一、单选题
1．若，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】可以采用取特殊值法，逐一求解，然后进行判断即可．
【详解】∵
∴令
∴，，
∵
∴
故选B．
【点评】本题考查了实数的大小比较，负整数指数幂，整数指数幂，解决此类题可以选用取特殊值法进行求解．
2．若解分式方程产生增根，则m的值为（ ）
A．1 B．-4 C．-5 D．-3
【答案】C
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【详解】方程两边都乘(x+4)，得x−1=m，
∵原方程增根为x=−4，
∴把x=−4代入整式方程，得m=−5，
故选：C．
【点评】本题考查分式方程无解的情况，掌握分式方程增根产生的条件为解题关键．
3．使分式的值为负的条件是（ ）
A．x＜0 B．x＞0 C．x＞ D．x＜
【答案】C
【分析】分子分母异号即可，而分子恒为正，因此令分母小于0，最终求得不等式的解集．
【详解】∵
∴若使分式的值为负，则
解得x＞
故答案为x＞．
【点评】本题考查了分式方程的求解，使分式的值为正即为分子分母同号，分式的值为负即为分子分母异号．
4．已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是( )
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】根据题意，先解方程求出x=m-3,方程的解是一个非正数，则m-3≤0,且当x+1=0时即m-2=0方程无解，因此得解．
【详解】解：去分母得：m-2=x+1,
移项得：x=m-3
由方程的解是非正数得：
m-3≤0且m-3+1≠0
解得：m≤3且≠2
【点评】本题考查的是利用分式方程的解来解决其中的字母的取值范围问题，一定要考虑到分式方程必须有意义．
5．某城市轨道交通线网规划2020年由4条线路组成，其中1号线一期工程全长30千米，预计运行后的平均速度是原来乘公交车的1.5倍，行驶时间则缩短半小时．设原来公交车的平均速度为x千米/时，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【分析】根据题中等量关系“一期工程全长30千米，预计运行后的平均速度是原来乘公交车的1.5倍”用x表示出运行后公交车的速度、时间，原来公交车的行驶时间，由“行驶时间则缩短半小时”即可列出方程.
【详解】解：设原来公交车的平均速度为x千米/时，可得：
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找出题中的等量关系是解题的关键.
6．某厂进行技术创新，现在每天比原来多生产30台机器，并且现在生产500台机器所需时间与原来生产350台机器所需时间相同．设现在每天生产x台机器，根据题意可得方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【分析】根据现在生产500台机器所需时间与原计划生产350台机器所需时间相同，所以可得等量关系为：现在生产500台机器所需时间=原计划生产350台机器所需时间．
【详解】现在每天生产x台机器，则原计划每天生产（x﹣30）台机器．
依题意得：，
故选A．
【点评】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.
7．（2011?黑河）分式方程=有增根，则m的值为（ ）
A．0和3 B．1
C．1和﹣2 D．3
【答案】A
【解析】分析：根据分式方程有增根，得出x-1=0，x+2=0，求出即可．
解答：解：∵分式方程=有增根，
∴x-1=0，x+2=0，
∴x1=1，x2=-2．
两边同时乘以（x-1）（x+2），原方程可化为x（x+2）-（x-1）（x+2）=m，
整理得，m=x+2，
当x=1时，m=1+2=3；
当x=-2时，m=-2+2=0，
当m=0时，方程为=，
x（x-2）-（x-1）（x-2）=0，
x-2=0，
x=2，
经检验x=2是原方程的增根，
∴原分式方程无解，
即m的值是0或3，
8．若代数式的化简结果为，则整式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的运算法则，将原式变形，然后计算求解即可．
【详解】∵，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查了分式的计算和因式分解，熟练的掌握分式的计算法则是本题的关键．
9．下列各式的计算，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，乘方运算法则逐一判断即可．
【详解】原式=1，故A选项错误；
原式=，故B选项错误；
原式=1，故C选项正确；
原式=，故D选项错误；
故选C．
【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，幂的乘方，积的乘方，熟记运算法则是本题的关键．
10．若关于的方程有正整数解，且关于的不等式组至少有两个奇数解，则满足条件的整数有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出正整数方程的解，代入检验确定出a的值，再表示出不等式组的解集，由解集至少有两个奇数解确定出整数a的值，求出之和即可．
【详解】解：
解得：
∴方程有正整数解
且即
∴
解不等式组解得
关于的不等式组至少有两个奇数解
∴
∴
∴满足条件得整数有3个，
故选：D．
【点评】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二、填空题
11．若x：y＝1：2，则＝_____．
【答案】
【分析】先根据已知等式可得x：y＝1：2，再根据分式的基本性质即可得．
【详解】由x：y＝1：2，得：，
则
=
=
=
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的基本性质，比例的性子，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．
12．已知有意义且恒等于，则____．
【答案】
【分析】分三种情况讨论即可：当底数为1时；当底数为－1，指数为偶数时；当指数为0，底数不为0时．
【详解】解：当时，
此时，符合题意；
当时，，
此时，符合题意；
当时，；
此时若，则，符合题意；
若，则，符合题意；
综上所述，，
故答案为：．
【点评】本题考查了幂的运算及零指数幂法则的应用，熟练掌握形如所满足的三种条件是解决本题的关键．
13．如果，那么代数式的值是____.
【答案】
【解析】【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由根据已知等式 代入即可得出答案．
【详解】解：原式= ，根据，可得 ，故答案为 .
【点评】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算顺序和运算法则是解题的关键.
14．将 写成幂的形式_________
【答案】
【分析】根据正数的分数指数幂与根式的相互转化即可解答.
【详解】解：根据分数指数幂的定义可知，，故答案为.
【点评】本题考查了分数指数幂的定义，准确计算是解题的关键.
15．计算: =_________
【答案】8
【解析】【分析】 等于16的立方然后再开4次方，即可解答.
【详解】解：，故答案为8.
【点评】本题考查了分数指数幂的运算，准确计算是解题的关键.
16．分式方程的解是_____．
【答案】无解
【分析】左右两端同时乘以最简公分母（x-3），得到新的一元一次方程，根据一元一次方程的解法去括号移项即可求解，解得后代回最简公分母中，发现最简公分母为0，不合题意，因此原方程无解．
【详解】
根据题意，最简公分母为（x-3），等式两端同时乘以最简公分母（x-3），得：
去括号得：
移项得：
解得
将代回最简公分母（x-3），此时最简公分母为0，不合题意，舍去
因此原式无解；
故答案为：无解．
【点评】本题考查了分式方程的求解，在解分式方程时，一定要注意代回最简公分母中检验，判断所求的根是否为增根，然后才能确定最终解．
17． __________；___________
【答案】
【分析】第一空根据同底数幂除法法则计算即可，第二空根据负整数指数幂计算法则求解即可．
【详解】
故答案为，．
【点评】本题考查了同底数幂和负整数指数幂的计算方法，关键是掌握运算法则．
18．分式当x __________时,分式的值为零.
【答案】= -3
【分析】根据分子为0，分母不为0时分式的值为0来解答.
【详解】根据题意得：
且x-3 0
解得：x= -3
故答案为：= -3.
【点评】本题考查的是分式值为0的条件，易错点是只考虑了分子为0而没有考虑同时分母应不为0.
19．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设学生骑车速度为x千米/时，则根据题意列出的方程为_____．
【答案】
【解析】【分析】求速度，路程已知，根据时间来列等量关系．关键描述语为：“过了20分后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达”；等量关系为：骑自行车同学所用时间－乘车同学所用时间=小时．
【详解】学生骑车速度为千米/时，根据题意，得：
．
故答案为．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，得到合适的等量关系是解答本题的关键．
20．小颖同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完，当她读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完，她读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读页，则下面所列方程是_____________________________
【答案】
【解析】【分析】读前一半时，平均每天读x页，关键描述语为：“在两周借期内读完”；等量关系为：读前一半用的时间+读后一半用的时间=14，据此列方程即可．
【详解】读前一半时，平均每天读x页，
读前一半用的时间为：天，
读后一半用的时间为：天，
由题意得，，
故答案为.
【点评】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，设出未知数，找出等量关系，列出分式方程是解题的关键.
21．已知＝3，则代数式的值为___．
【答案】4
【分析】由＝3,得=3即y-x=3xy,然后代入代数式,进行消元,即可得到结论.
【详解】解：由＝3,得=3即y-x=3xy，x-y=-3xy,
则===4
故答案为:4
【点评】本题主要考查代数式的求解,利用消元法是解决本题的关键.
22．化简=_______．
【答案】-1
【分析】将的分母提出一个负号，变为，然后计算即可．
【详解】原式====-1
故答案为-1．
【点评】本题考查了分式的加减法，本题的关键是对第二项提出一个负号，做题过程中要注意符号变号问题．
23．若关于x的分式方程－＝1的解为负数，则a的取值范围是____________．
【答案】a＞0且a≠2
【解析】试题分析：首先左右两边同乘以（x+2），求出x的值.然后根据解为负数且x≠－2求出a的取值范围.
解分式方程得：x=－a，根据题意得：－a＜0且－a≠－2 解得：a＞0且a≠2.
考点：解分式方程.
24．给定一列分式：，，，，…根据你发现的规律，试写出第6个分式为__________．第n（n为正整数）个分式为__________．
【答案】
【分析】根据“分式分子及分母对应的底数及其指数的数字规律以及符号的规律”即可得出第6个分式和第n个分式．
【详解】解：观察分式，，，，…，可以得出
分子得底数为x指数为序数的2倍加1，分母的底数为y指数等于序数，当序数为偶数时符号为负，序数为奇数时符号为正，即符号为，
故第6个分式为，第n（n为正整数）个分式为：．
故答案为：，．
【点评】本题考查了分式的定义，探索与表达规律．注意观察每一个分式的分子、分母以及符号的变化，然后找出的规律．
25．若关于x的分式方程无解，则m的值是_____．
【答案】﹣2或﹣3
【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程, 由分式方程无解确定出x的值, 代入整式方程计算即可求出m的值.
【详解】解：去分母得:,
解得:(3+m)x=2,
由分式方程无解,得到3+m=0,即m=-3
或，方程无解，解得：m=-2，
综上,m的值为-3或-2.
故答案为: -3或-2.
【点评】本题主要考查分式方程的解，注意其无解的条件.
26．若分式的值是正整数，则m可取的整数有_____．
【答案】3,4,5,8
【解析】【分析】根据此分式的值是正整数可知m-2是6的约数，而6的约数是1，2，3，6，然后分别列出四个方程，解之即可得出答案.
【详解】解：∵分式的值是正整数，
∴m-2＝1或2或3或6，
∴m＝3或4或5或8.
故答案为3，4，5，8.
【点评】本题考查了分式的有关知识.理解m-2是6的约数是解题的关键.
27．已知则的取值范围是________
【答案】x≠0且x≠2
【解析】【分析】根据分式的基本性质: “分式的分子、 分母同乘以 (或除以) 一个不等于0的整式, 分式的值不变”可得到答案.
【详解】的条件是：，
故答案：。
【点评】解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质.
28．今年是脱贫攻坚关键年，大学生小赵利用电商平台帮助家乡售卖当地土特产。今年10月份葡萄干、哈密瓜、核桃三种土特产的销售量之比为2：3：5，随着“双十一”的到来，预计11月份总销售量会大幅增加，其中核桃增加的销售量占三种特产总增加的销售量的，且核桃的销售量将达到11月份三种特产总销售量的，为使葡萄干、哈密瓜11月份的销售量之比为3：4，则11月份葡萄干还需增加的销售量与11月份总销售量之比是______.
【答案】
【分析】设10月份葡萄干、哈密瓜、核桃三种土特产的总销售量为，11月份葡萄干、哈密瓜、核桃三种土特产的总销售量为，先根据核桃增加的销售量建立等式可求出，再根据“葡萄干、哈密瓜11月份的销售量之比为”求出11月份葡萄干的销售量，从而可得11月份葡萄干还需增加的销售量，由此即可得．
【详解】设10月份葡萄干、哈密瓜、核桃三种土特产的总销售量为，11月份葡萄干、哈密瓜、核桃三种土特产的总销售量为，
则10月份葡萄干、哈密瓜、核桃三种土特产的销售量依次为，
11月份三种特产总增加的销售量为，
11月份核桃增加的销售量为，
11月份核桃的销售量为，
因此有，
整理得：，
当葡萄干、哈密瓜11月份的销售量之比为时，11月份葡萄干的销售量为，
则11月份葡萄干还需增加的销售量与11月份总销售量之比是，
故答案为：．
【点评】本题考查了列代数式的应用、分式的应用，依据题意，正确求出11月份总销售量与10月份总销售量的关系是解题关键．
29．端午节前后，人们除了吃粽子、插艾叶以外，还会佩减香囊以避邪驱瘟．“行知”精品店也推出了“求真”香囊、“乐群”香囊、“创造”香囊三种产品，所有香囊的外包装都由回收材料制成， 不计成本．其中“求真”香囊的里料是20克艾叶，“乐群”香囊的里料是10克艾叶和20克薄荷，“创造”香囊的里料是20克艾叶和 20 克薄荷．端午节当天，店长发现“乐群”香囊的销量是“求真”香囊的2倍，且“求真”香囊与“乐群”香囊的利润和是“创造”香囊利润的倍，当天的总利润率是50% ．第二天店内促销，“求真”香囊、“乐群”香囊的售价均不变，“创造”香囊的售价打八折，当三种产品的销量分别与前一天相同时，总利润率为___________．
【答案】
【分析】设艾叶成本价为a元，利润率为x，薄荷成本价为b元，利润率为y，端午节当天“求真”香囊的销量为m件，则“乐群”香囊的销量为件，“创造”香囊的销量为件，先根据利润倍数关系可求出，再根据端午节当天的总利润率可得，然后根据新的售价和销量列出总利润率的计算式子，化简求值即可得．
【详解】设艾叶成本价为a元，利润率为x，薄荷成本价为b元，利润率为y，端午节当天“求真”香囊的销量为m件，则“乐群”香囊的销量为件，“创造”香囊的销量为件，
“求真”香囊与“乐群”香囊的利润和是“创造”香囊利润的倍，
，
整理得：，
端午节当天的总利润率是，
，
即，
整理得：，
第二天店内促销，“求真”香囊、“乐群”香囊的售价均不变，“创造”香囊的售价打八折，且三种产品的销量分别与前一天相同，
第二天总利润率为，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了分式求值，依据题意，正确设立未知数得出已知等式和所求分式是解题关键．
30．关于的方程的解为正整数，且关于的不等式组有解且最多有个整数解，则满足条件的所有整数的值为_______．
【答案】﹣2，﹣1
【分析】表示出分式方程的解，由分式方程的解为正整数确定出a的值，表示出不等式组的解集，由不等式组最多有7个整数解，即可得到a的取值范围，从而得出满足条件的所有整数a的值．
【详解】解：分式方程去分母得：8﹣4x＝ax﹣x，
解得：x＝，
由分式方程解为正整数，得到a＋3＝1，2，4，8，
解得：a＝﹣2，﹣1，1，5，
又∵x≠2，
∴a≠1，
∴a＝﹣2，﹣1，5，
不等式组整理得：，
解得：a≤x＜5，
由不等式组有解且最多有7个整数解，得到整数解为4，3，2，1，0，﹣1，﹣2，
∴﹣3＜a＜5，
∴整数解为4，3，2，1，0，﹣1，﹣2，
则满足题意a的值为﹣2，﹣1，
故答案为：﹣2，﹣1．
【点评】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
三、解答题
31．先化简，再求值：已知，求的值．
【答案】，
【分析】原式括号中的两项分母分解因式后利用异分母分式加减法法则，先通分再运算，然后利用分式除法运算法则运算，约分化简，最后把的值代入求值即可．
【详解】原式＝
＝
＝
＝
＝，
当时，
原式＝
＝
＝
【点评】本题考查了分式的混合运算，重点是通分和约分的应用，掌握因式分解的方法，分式加减和乘除法法则为解题关键．
32．计算与化简： (1)
(2)已知：，求：的值．
【答案】(1)；(2)3.
【解析】【分析】（1）先利用因式分解约分计算除法，再用通分算加法，由此计算得出答案即可；
（2）先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据分式混合运算的法则把原式进行化简，把a、b的值代入进行计算即可．
【详解】（1）原式•
；
（2）∵|2a﹣b+1|+（3ab）2＝0，∴，解得：．
原式
••
当a，b时，原式3．
【点评】本题考查了分式的混合运算，掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键．
33．先化简，再求值：，其中x=2．
【答案】
【分析】正确进行分式的通分、 约分, 并准确代值计算即可.
【详解】原式=•﹣
=﹣
=﹣
=，
当x=2时，原式==．
【点评】本题主要考查分式的化简求值这一知识点, 把分式化到最简是解答的关键.
34．（1）计算：（1﹣）0﹣|﹣2|+；
（2）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求∠F的度数．
【答案】（1）﹣1+3；（2）30°．
【分析】（1） 根据零指数幂、 绝对值、 二次根式的性质求出每一部分的值, 代入求出即可;
（2）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=,根据三角形内角和定理即可求解;
【详解】解：（1）原式=1﹣2+3=﹣1+3；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵点D，E分别是边BC，AC的中点，
∴DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°．
【点评】（1） 主要考查零指数幂、 绝对值、 二次根式的性质；
（2）考查平行线的性质和三角形内角和定理.
35．已知．
(1)试问：的值能否等于2？请说明理由；
(2)求的值．
【答案】(1)不能；(2)2或23．
【解析】【分析】（1）把代入原式，左右两边不等，即可得到结论；
（2）原式变形后分①，②两种情况讨论即可．
【详解】（1）原等式变形得：
若，即时，等式左边=（2+1）（2-1）=3，等式右边=5 m×（2-1）=．
∵左边≠右边，∴m2 的值不等于2．
（2）由知：
①当m2-1=0，即m2=1时，；
②当m2-1≠0时，．
当m=0时，左边=1，右边=0，∴m≠0，∴，∴．
综上所述：的值为2或23．
【点评】本题考查了分式的混合运算及代数式求值．解题的关键是分类讨论．
36．先化简，再求值：
（1） [(x－y)2＋(x＋y)(x－y)]÷2x，其中 x＝3，y＝－2
（2）已知，求的值.
【答案】(1)5;(2)3.
【分析】（1）先将中括号里面用完全平方公式和平方差公式展开括号,合并同类项,然后利用多项式除以单项式的法则计算,最后把x=3,y=-2的值代入化简后的式子就可以求出其值.
（2）由已知的等式求出a的值,原式利用除法法则变形,约分后代入计算即可求出值.
【详解】解:（1）原式=(x2-2xy+y2+x2-y2) ÷2x=(2x2-2xy) ÷2x=x-y.
当x=3,y=-2时,
原式=3-(-2)=3+2=5.
（2）由，得3a+1=0且a≠0，解得a=，
原式=，
将a=代入原式=3.
故答案：3.
【点评】(1)考查了完全平方公式的运用,平方差公式的运用,合并同类项法则的运用及多项式除以单项式的法则.计算中注意结果的符号不要遗漏;(2)主要考查分式中先化简再求值，注意灵活运用公式.
37．先化简，再求值：
（1），其中，；
（2），再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值．
【答案】（1）原式=，值为-1；（2）原式=，值为-5．
【分析】（1）括号内先通分进行分式加减运算，然后在与括号外的分式进行除法运算，化简后把数值代入即可求解；
（2）括号内先通分进行分式加减运算，然后在与括号外的分式进行除法运算，化简后根据使分式有意义的原则在所给的数中，选择一个合适的数值代入即可求解．
【详解】（1）原式=
，
当，时，
原式=，
故原式=，值为-1；
（2）原式=
，
若使原式有意义，则，，即
所以x应取3，即当时，
原式=
故原式=，值为-5．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是关键，在代值进行计算时，切记所代入的数值要使原分式有意义．
38．化简求值已知A=﹣
（1）化简A；
（2）当x满足不等式组，且x为整数时，求A
【答案】（1）；（2）1
【解析】试题分析：（1）根据分式四则混合运算的运算法则，把A式进行化简即可．
（2）首先求出不等式组的解集，然后根据x为整数求出x的值，再把求出的x的值代入化简后的A式进行计算即可．
试题解析：（1）A=
=
=
=
（2）∵
∴
∴1≤x＜3，
∵x为整数，
∴x=1或x=2，
①当x=1时，
∵x-1≠0，
∴A=中x≠1，
∴当x=1时，A=无意义．
②当x=2时，
A==＝1．
【点睛】（1）此题主要考查了分式的化简求值，注意化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤．
（2）此题还考查了求一元一次不等式组的整数解问题，要熟练掌握，解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件求得不等式组的整数解即可．
39．
先化简，再求值：（1－）÷，其中=sin60°.
【答案】（本小题满分5分）
解：原式=（－）·=·=+1 ------------------ (3分)
把=sin60°=代入 --------------------------------------------------- (1分)
原式==----------------------------------------------------------------（1分）
【解析】先通分，然后进行四则运算，最后将a=sin60°=1/2代入即可求得答案．
解：原式=（－）·=·=+1
把=sin60°=代入
原式==
40．（本题10分）(1)计算：；
(2)先化简，然后从，1，-1中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．
【答案】（1）原式＝1-2+3=2……4分
（2）=…… 4分
当 x=时 …… 1分 ， 原式=2……1分
【解析】（1）根据a0=1（a≠0）、负整数指数幂以及算术平方根的定义进行计算即可；
（2）先把括号内通分，再把各分式的分子或分母因式分解得到原式=?，约分得到原式=，由题意得到x≠±1且x≠0，则把x=代入计算即可．
解：（1）原式=1-2+3=2；
（2）原式=?=?=，
当x=时，原式==2．
点评：本题考查了分式的化简求值：先把各分式的分子或分母因式分解，若有括号，先把括号内通分，然后约分，得到最简分式或整式，再把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．也考查了a0=1（a≠0）以及负整数指数幂．
41．（1）若 ，先化简再求的值．（2）已知若关于x的分式方程 无解，则m的值是多少？
【答案】（1）；（2）﹣3， 或0．
【解析】【分析】（1）先根据a的值判断出a﹣1＜0，再根据二次根式的性质和运算法则化简原式，继而将a的值代入计算可得；（2）将分式方程转化为整式方程，整理得出（m+3）x＝﹣3m，再分m+3＝0和m+3≠0分别求解可得．
【详解】（1）原式= ，
∵＜1，
∴原式＝，
将代入得：
原式＝；
（2）两边都乘以x（x﹣3），得：x（2m+x）﹣x（x﹣3）＝m（x﹣3），
整理，得：（m+3）x＝﹣3m，
①当m+3＝0时，原方程无解；
②当m≠﹣3时，x＝，
若x＝0，即m＝0时，原方程无解；
若x＝3，即m＝﹣时，原方程无解；
∴原方程无解时m的值为﹣3，﹣或0．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值和分式方程，解题的关键是掌握二次根式的性质和运算法则及分式方程无解的情况．
42．先化简()，再选取一个你喜欢的a的值代入求值．
【答案】a2＋1,求值不唯一，使a≠±1皆可.
【解析】先通分约分进行化简，然后再代入a的值进行计算，但a不能取±1.
43．某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵5元，用360元购买甲种商品的件数恰好与用300元购买乙种商品的件数相同．
（1）求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？
（2）若商店计划购买这两种商品共40件，且投入的经费不超过1150元，那么，最多可购买多少件甲种商品？
【答案】（1）甲种商品每件的价格是30元，乙种商品每件的价格是25元；（2）最多可购买30件甲种商品．
【解析】【分析】(1)设甲种商品每件的价格是x元,则乙种商品每件的价格是(x-5)元,根据"用360元购买甲种商品的件数怡好与用300元购买乙种商品的件数相同",列出关于x的分式方程,解之经过验证即可,
(2)设购买m件甲种商品,则购买(40-m)件乙种商品,根据商店计划购买这两种商品共40件,且投入的经费不超过1150元",列出关于m的一元一次不等式,解之即可
【详解】解：（1）设甲种商品每件的价格是x元，则乙种商品每件的价格是（x﹣5）元，
根据题意得：
，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是方程的解且符合意义，
30﹣5＝25，
答：甲种商品每件的价格是30元，乙种商品每件的价格是25元，
（2）设购买m件甲种商品，则购买（40﹣m）件乙种商品，
根据题意得：
30m+25（40﹣m）≤1150，
解得：m≤30，
答：最多可购买30件甲种商品．
【点评】此题考查一元一次不等式的应用和分式方程的应用，解题关键在于列出方程
44．先化简，再求值：，其中从，0 ，1，2中选取．
【答案】，．
【分析】根据分式的混合运算法则，先化简，再代入求值，即可求解．
【详解】
当时，原式．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握通分和约分，是解题的关键．
45．先化简，再求值： ，其中a＝．
【答案】+1
【解析】【分析】先将被除式分母因式分解，同时将除法转化为乘法，再约分即可化简原式，继而将a的值代入计算可得．
【详解】原式＝
=，
当a＝时，
原式＝＝+1．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
46．某农场要在面积为2000万平方米的土地上播种玉米，为了尽量减少种植的时间，实际播种时，若每小时比原计划多播种，就可以提前5小时完成播种任务．
（1）求原计划每小时播种多少万平方米？
（2）若有甲、乙两台播种机参与播种，其中甲播种机每小时可播种120万平方米，乙播种机每小时可播种80万平方米，若安排甲播种机先播种一段时间后离开，再由乙播种机完成播种任务，在保证至少提前5小时完成播种任务的前提下，甲播种机至少要播种多少小时？
【答案】（1）原计划每小时播种80万平方米；（2）甲播种机至少要播种10小时．
【分析】（1）设原计划每小时播种x万平方米，根据题意列出方程解答即可;
（2）设甲播种机播种a小时，根据题意列出不等式解答即可．
【详解】解：（1）设原计划每小时播种x万平方米，
由题意得：
解得：
经检验 x=80 是原方程的解，
答：原计划每小时播种80万平方米．
（2）设甲播种机播种a小时，
根据题意得
解得
答：甲播种机至少要播种10小时．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意找到合适的等量关系是解决问题的关键，注意分式方程要检验．
47．已知，求A、B的值.
【答案】A=， B=
【分析】先对等式右边通分，再利用分式相等的条件列出关于A、B的方程组，解之即可求出A、B的值.
【详解】解：∵ ,
又∵，
∴，
∴ ，
解得.
∴A=， B=.
【点评】本题考查了分式的基本性质.利用分式的基本性质进行通分，再利用系数对应法列出方程组是解题的关键.
48．某儿童品牌专卖店购进了A、B两种童装，其中A种童装的进价比B童装的进价每个多10元，经调查：用1000元购进A种童装的数量与用800元购进B童装的数量相同．
（1）求A、B两种童装的进价分别是每个多少元？
（2）该专卖店共购进了A、B两种童装共100套，若该店将每个A种童装定价为70元出售，每个B种童装定价为55元出售，且全部售出后所获得利润不少于1750元，则专卖店至少购进A种童装多少套？
【答案】（1）50元；40元 （2）50套
【分析】（1）根据数量相同，可列出符合题意的分式方程，解出该分式方程（注意求出解以后要检验）；（2）根据题意，列出利润关系的不等式，解出即可（注意解取正整数）．
【详解】（1）解：设A种童装的进价是x元/个，则B种童装的进价是 元/个，
由题意可列方程，
解得，
经检验： 是原分式方程的根．
∴
答：A、B两种童装的进价分别是每套50元和40元．
（2）解：设购进A种童装m套，由题可知，
解得，
又∵m为正整数
∴m的最小值为：50．
答：专卖店至少购进A种童装50套．
【点评】本题考查了分式方程的具体应用及解法（因为分式方程在求解的过程中有可能产生增根，所以在将分式方程化为整式方程并求出其解以后要检验，）；一元一次不等式的解法（由于此题中不等式的解用来表示童装的套数，故应为正整数）．
49．阅读理解
下列一组方程：①x+=3，②x+=5，③x+=7，…小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，他的解过程如下：
由①x+=1+2得x=1或x=2；
由②x+=2+3得x=2或x=3；
由③x+=3+4得x=3或x=4．
（1）问题解决：请写出第四个方程，并技照小明的解题思路求出该方程的解；
（2）规律探究：若n为正整数，请写出第n个方程及其方程的解；
（3）变式拓展：若n为正整数，关于x的方程x+=2n﹣1的一个解是x=10，求n的值．
【答案】（1）x+=9，x=4或x=5；（2）x+=2n+1，解得：x=n或x=n+1；（3）n的值是12或11．
【解析】【分析】(1) 根据已知分式方程的变化规律进而得出第四个方程, 进而求出该方程的解;
(2) 利用发现的规律得出分子与后面常数的关系求出即可;
(3) 利用已知解题方法得出方程的解.
【详解】解：（1）由①x+=1+2得x=1或x=2；
由②x+x+=2+3得x=2或x=3；
由③x+=3+4得x=3或x=4，
则第四个方程为：x+=4+5，即x+=9，
由x+=4+5得：x=4或x=5；
（2）可得第n个方程为：x+=2n+1，
解得：x=n或x=n+1；
（3）将原方程变形，（x+2）+=n+（n+1），
∴x+2=n或x+2=n+1，
∴方程的解是x=n﹣2，或x=n﹣1，
当n﹣2=10时，n=12，
当n﹣1=10时，n=11，
∴n的值是12或11．
【点评】本题主要考查分式方程的解，注意找对规律并计算正确.
50．先化简，再求值：，其中.
【答案】，-1.
【解析】【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】原式
当时，原式．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
51．以诗育德，以诗启智，以诗怡情，以诗塑美，万州区某中学开展诗歌创作比赛，积极营造诗韵书香学生生活．年级决定购买两种笔记本奖励在此次创作比赛中的优秀学生，已知种笔记本的单价比种笔记本的单价便宜元，已知用元购买种笔记本的数量是用元购买种笔记本的数量的倍．
求种笔记本的单价；
根据需要，年级组准备购买两种笔记本共本，其中购买种笔记本的数量不超过种笔记本的二倍．设购买种笔记本本，所需经费为元，试写出与的函数关系式，并请你根据函数关系式求所需的最少经费．
【答案】（1）种笔记本的单价为6元．（2）所需经费最少为702元．
【分析】设种笔记本的单价为元，则种笔记本的单价为元．根据题意列出分式方程，求解即可；
由知种笔记本的单价为元，得到：，由于，所以W随的增大而减小．再根据A种笔记本的数量不超过B种笔记本数量的2倍，得到，解之可得m的取值范围，最后取值代入可得．
【详解】解： 设种笔记本的单价为元，则种笔记本的单价为元．
解得；
经检验：是原方程的解，且符合题意．
答：种笔记本的单价为元．
由知种笔记本的单价为元，
又∵
∴W随的增大而减小．
又∵A种笔记本的数量不超过B种笔记本数量的2倍
∴；
解得：；
∵m为正整数
∴当时，取得最小值，最小值为702元．
答：所需最少经费为702元．
【点评】本题考查了分式方程的应用及其解法；一元一次不等式的应用及其解法；其中将分式方程化为整式方程并求出其解以后，必须进行检验以判断是否为增根，如为增根则必须舍去；一元一次不等式在得到解集之后也要根据题目当中的已知条件进得取值．
52．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式的值．
解：∵，∴即
∴∴
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若，且，求的值．
解：令则，，，∴
根据材料回答问题：
（1）已知，求的值．
（2）已知，求的值．
（3）若，，，，且，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）仿照材料一，取倒数，再约分，利用等式的性质求解即可；
（2）仿照材料二，设，则，，，代入所求式子即可；
（3）解法一：设，化简得：①，②，③，，相加变形可得x、y、z的代入中，可得k的值，从而得结论；
解法二：取倒数得：，拆项得，从而得，，代入已知可得结论．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴．
（2）设，则，，，
∴
（3）解法一：设，
∴①，②，③，
①+②+③得：，
④，
④-①得：，
④-②得：，
④-③得：，
∴，，代入中，得：，
，则，
∴，，，
∴
解法二：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
将其代入中得：，，，
∴，，
∴．
【点评】本题考查了给材料阅读，然后仿做并探索较为复杂的化简计算题型，难度较大．
53．观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
……
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：________；
（2）用含有n的式子表示第n个等式：________（n为正整数）；
（3）求…的值．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）根据前3个等式归纳类推出一般规律，由此即可得出第5个等式；
（2）根据前3个等式归纳类推出一般规律即可得；
（3）根据（2）的结论，分别可得的值，再根据有理数的乘法运算律进行计算即可得．
【详解】（1）第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
归纳类推得：第n个等式：（n为正整数），
则第5个等式：，
即；
（2）由（1）知，；
（3）由（2）得：，
则，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了分式的规律性问题、有理数的乘法运算律，依据题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
54．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”．
（1）下列分式中，不属于“和谐分式”的是 （填序号）．
① ② ③ ④
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．
（3）应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数．
【答案】（1）②；（2）；（3），当时，该式的值为整数
【分析】（1）把给出的各式进行处理，根据和谐分式的定义判断；
（2）把分式先变形为，再写成整式与分式分子为常数的形式；
（3）先算除法，把分式转化成和谐分式，再确定x的值．
【详解】解：（1）①；②；③；④；
∴①③④属于和谐分式，②不属于和谐分式；
故答案为：②；
（2）原式；
（3）原式
；
根据题意得：原式；
当原式的值为整数时，应该是2的因数，
∴或或或
解得：或或或，
∵且且且，
∴当时，该式的值为整数．
【点评】本题考查了分式的混合运算及和新定义“和谐分式”．解决本题的关键是理解定义的内容并能运用．
55．阅读下面材料并解答问题
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母为，可设，
则
∵对任意上述等式均成立，
∴且，∴，
∴
这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和
解答：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式
（2）求出的最小值．
【答案】（1）3+；（2）8
【分析】（1）直接把分子变形为3(x-1)+10解答即可；
（2）由分母为-x2+1，可设-x4-6x2+8=(-x2+1)(x2+a)+b，按照题意，求出a和b的值，即可把分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
【详解】解：（1）=
=
=3+；
（2）由分母为，
可设，
则
．
∵对于任意的x，上述等式均成立，
∴
解得
∴
．
∴当x=0时，取得最小值8，即 的最小值是8．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解答本题的关键是理解阅读材料中的方法，并能加以正确应用．
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