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第14章整式的乘法与因式分解-2020-2021学年八年级上学期期末冲刺综合能力提升训练（人教版）
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第14章整式的乘法与因式分解
一、单选题
1．如图是正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类．现有A类卡片4张，B类卡片1张，C类卡片4张，则这9张卡片能拼成的正方形的边长为（ ）
A．a+2b B．2a+b C．2a+2b D．a+b
2．2y(x－y)2－(y－x)3等于( )
A．(x＋y)(x－y)2 B．(3y－x)(x－y)2
C．(x－3y)(y－x)2 D．(y－x)3
3．如果□×3ab=3a2b,那么□内应填的代数式是 ( )
A．ab B．3ab C．a D．3a
4．下列运算正确的是（ ）
A．x3•x2＝x5 B．x3+x2＝x5 C．（x3）3＝x6 D．x6÷x2＝x3
5．为了书写简便，18世纪数学家欧拉引进了求和符号“∑”，例如：，已知： 则m的值为（ ）
A．40 B．-68 C．-40 D．-104
6．下列各式中，计算正确的是( )
A．2a+3b=5ab B．b-a=0 C．+=a D．3ab-ab=2ab
7．下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知则等于（ ）
A． B． C． D．
9．已知（a+b）2＝11，（a﹣b）2＝7，则ab等于（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
10．计算其结果用幂的形式可表示为（ ）
A． B． C． D．
11．下列运算中，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2011•泰安）下列等式不成立的是（ ）
A．m2﹣16=（m﹣4）（m+4） B．m2+4m=m（m+4）
C．m2﹣8m+16=（m﹣4）2 D．m2+3m+9=（m+3）2
13．观察下列各式及其展开式
······
请你猜想的展开式第三项的系数是（ ）
A． B． C． D．
14．计算(xy3)2的结果是( )
A．xy6 B．x2y3 C．x2y6 D．x2y5
15．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
16．若4a2﹣2ka+9是一个完全平方式，则k=（ ）
A．12 B．±12 C．±6 D．6
17．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了的展开式的系规律（按的次数由大到小的顺序）：
请根据上述规律，写出的展开式中含项的系数是（ ）
A． B． C． D．
18．若x﹣2y+1＝0，则2x÷4y×8等于（ ）
A．1 B．4 C．8 D．﹣16
19．9(m－n)2－25(m＋n)2因式分解的结果是( )
A．(8m＋2n)(－2m－8n) B．－4(4m＋n)(m＋4n)
C．－4(4m＋n)(m－4n) D．4(4m＋n)(m＋4n)
20．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
21．，则的取值____
22．计算：____； = ____；a(a－3)＋(2－a)(2＋a) =_________；
23．2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为_____．
24．已知代数式的值是7，则代数式的值是_____．
25．如图，有，两个正方形，现将放在的内部得图甲，将，并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和16，则正方形，的面积之和为_____．
26．已知：3m＝2，9n＝5，则33m﹣2n＝_____．
27．若，，则______．
28．已知a、b互为相反数,c、d互为倒数,且,则a+b+3cd-m2的值是_____.
29．已知，则________________．
30．若x2－14x＋m2是完全平方式，则m＝______．
三、解答题
31．把下列各式因式分解：
（1）； （2）．
32．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：可用图1来解释（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（1）请你写出图2所表示的代数恒等式；
（2）试在图3的方框中画出一个几何图形，使它的面积等于a2+4ab+3b2．
33．因式分解：x2﹣4xy﹣3y2．
34．先化简，再求值：，其中：，．
35．先化简，再求值：，其中．
36．观察下列式子
；
；
；
；
……
（1）猜想：________； ________；
（2）根据（1）所猜想的结论计算：．
37．先化简，再求值；当，求的值
38．先化简，再求值:
，其中．
39．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式.例如：由图1可得到.
（1）写出由图2所表示的数学等式：________.
（2）写出由图3所表示的数学等式：________.
（3）已知实数，，满足，.
①求的值.②求的值.
40．（1）若4a+3b＝3，求92a•27b． （2）已知3×9m×27m＝321，求m的值
41．先化简,再求值:
其中a,b满足.
42．先化简，再求值，其中x＝﹣，y＝2．
43．做大小两个长方体纸盒，尺寸如下（单位：cm）
长
宽
高
小纸盒
a
b
c
大纸盒
4a
2.5b
2c
（1）做这两个纸盒共用料多少平方厘来？
（2）做大纸盒比做小纸盒多用料多少平方厘米？
（3）若a＝6，b＝5，c＝3，则大纸盒的体积是多少cm3？
44．小文想用一张长方形白铁皮做一个长方体无盖盒子，她采取了如下图所示的一个方案（阴影部分是被剪掉的材料，形状为四个相同的正方形）．
（1）这块白铁皮的总面积是多少？
（2）这个长方体盒子的表面积是多少？
（3）这个长方体盒子的体积是多少？
45．甲、乙两个同学分解因式x2＋mx＋n，甲看错了n，分解的结果为(x＋2)(x＋4)；乙看错了m，分解结果为(x＋1)(x＋9)，试分析一下m，n的值，并写出正确的分解结果．
46．先化简后求值：，其中．
47．定义：对于一个数x，我们把[x]称作x的相伴数；若x≥0，则[x]=x-1；若x＜0，则[x]=x+1． 例：[0.5]=-0.5．
（1）求、的值；
（2）当a＞0，b＜0，有[a]=[b]+1，试求代数式的值；
（3）解方程：[x]+[x+2]=-1．
48．“平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，灵活利用公式往往能化繁为简，巧妙解题．请阅读并解决下列问题：
问题一：，
（1）则________，________；
（2）计算：；
问题二：已知，
（1）则________，________；
（2）已知长和宽分别为，的长方形，它的周长为14，面积为10，如图所示，求的值．
49．我们通常用作差法比较代数式大小．例如：已知M=2x+3，N=2x+1，比较M和N的大小．先求M﹣N，若M﹣N＞0，则M＞N；若M﹣N＜0，则M＜N；若M﹣N=0，则M=N，反之亦成立．本题中因为MN=2x+3(2x+1)=2＞0，所以M＞N．
（1）如图1是边长为a的正方形，将正方形一边不变，另一边增加4，得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为S1；将图1中正方形边长增加2得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为S2．用含a的代数式表示S1= ，S2= (需要化简)．然后请用作差法比较S1与S2大小；
（2）已知A=2a2﹣6a+1，B=a2﹣4a﹣1，请你用作差法比较A与B大小．
（3）若M=(a﹣4)2，N=16﹣(a﹣6)2，且M=N，求(a﹣4)(a﹣6)的值．
50．（1）观察下列各式的规律：
可得到 ．
（2）猜想： ．
（3）利用（2）猜想的结论计算：
第14章整式的乘法与因式分解
一、单选题
1．如图是正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类．现有A类卡片4张，B类卡片1张，C类卡片4张，则这9张卡片能拼成的正方形的边长为（ ）
A．a+2b B．2a+b C．2a+2b D．a+b
【答案】B
【分析】根据题意得到所求的正方形的面积等于4张正方形A类卡片、1张正方形B类卡片和4张长方形C类卡片的和，则所求正方形的面积＝4a2+b2+4ab，运用完全平方公式得到所求正方形的面积＝（2a+b）2，则所求正方形的边长为2a+b．
【详解】∵所求的正方形的面积等于4张正方形A类卡片、1张正方形B类卡片和4张长方形C类卡片的和，
∴所求正方形的面积＝4a2+b2+4ab＝（2a+b）2，
∴所求正方形的边长为2a+b．
故选：B．
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意求出大正方形的面积是本题的关键．
2．2y(x－y)2－(y－x)3等于( )
A．(x＋y)(x－y)2 B．(3y－x)(x－y)2
C．(x－3y)(y－x)2 D．(y－x)3
【答案】A
【解析】【分析】首先找出公因式(x－y)2，进而分解因式得出答案．
【详解】原式=
=
=
=．
故选A．
【点评】本题考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的关键．
3．如果□×3ab=3a2b,那么□内应填的代数式是 ( )
A．ab B．3ab C．a D．3a
【答案】C
【解析】分析：已知积和其中一个因式，求另外一个因式，可用积除以已知因式，得所求因式．
解答：解：∵a×3ab=3a2b，
∴□=a．
故选C．
4．下列运算正确的是（ ）
A．x3•x2＝x5 B．x3+x2＝x5 C．（x3）3＝x6 D．x6÷x2＝x3
【答案】A
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【详解】A．x3•x2＝x5，故本选项符合题意；
B．x3与x2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C．（x3）3＝x9，故本选项不合题意；
D．x6÷x2＝x4，故本选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂除法的运算，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；熟练掌握运算法则是解题关键．
5．为了书写简便，18世纪数学家欧拉引进了求和符号“∑”，例如：，已知： 则m的值为（ ）
A．40 B．-68 C．-40 D．-104
【答案】B
【分析】根据题目中的式子，可以将展开，从而可以得到n和m的值，本题得以解决．
【详解】解：∵
∴n=6,
∴（x＋3）（x−2）＋（x＋4）（x−3）＋（x＋5）（x−4）＋（x＋6）（x−5）＝，
∴m=3×（-2）+4×（-3）+5×（-4）+6×（-5）=-68，
故选：B．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出m的值．
6．下列各式中，计算正确的是( )
A．2a+3b=5ab B．b-a=0 C．+=a D．3ab-ab=2ab
【答案】D
【分析】如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项。
【详解】A．2a+3b=2a+3b
B．b-a=ab(a-b)
C．+=
D．正确。
【点评】本题考察同类项知识的相关应用。
7．下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方运算法则逐项判断即得答案．
【详解】A、故本选项运算错误，不符合题意；
B、，故本选项运算错误，不符合题意；
C、，故本选项运算正确，符合题意；
D、，故本选项运算错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项的法则和幂的运算性质，属于基础题型，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键．
8．已知则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将已知的三个式子相加可以得到 ，从而答案可求．
【详解】∵
∴，
即，
∴
故选：A．
【点评】本题主要考查代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键．
9．已知（a+b）2＝11，（a﹣b）2＝7，则ab等于（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据完全平方公式将原式展开，然后二者相减得到4ab即可求解．
【详解】∵，
∴，即4ab＝4，
解得，ab＝1．
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方公式，熟练记忆完全平方公式并可以根据条件变形是本题的关键．
10．计算其结果用幂的形式可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对原式进行变形，然后利用有理数的乘方法则和积的乘方法则进行计算．
【详解】解：
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的乘方法则和积的乘方法则的逆用，对学生灵活运用知识的要求较高，有一定难度．
11．下列运算中，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变，对各选项计算后利用排除法求解．
【详解】A、应为，故本选项错误；
B、应为，故本选项错误；
C、a4，故本选项正确；
D、中两项无法合并同类项，故本选项错误．
故选：C．
【点评】此题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项的法则，熟练掌握运算性质是解题的关键．
12．（2011•泰安）下列等式不成立的是（ ）
A．m2﹣16=（m﹣4）（m+4） B．m2+4m=m（m+4）
C．m2﹣8m+16=（m﹣4）2 D．m2+3m+9=（m+3）2
【答案】D
【解析】A、m2﹣16=（m﹣4）（m+4），故本选项正确；B、m2+4m=m（m+4），故本选项正确；C、m2﹣8m+16=（m﹣4）2，故本选项正确；D、m2+3m+9≠（m+3）2，故本选项错误．
故选D．
13．观察下列各式及其展开式
······
请你猜想的展开式第三项的系数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用所给展开式探求各项系数的关系，特别是上面的展开式与下面的展开式中的各项系数的关系，可推出（a+b）10的展开式第三项的系数．
【详解】解：（a+b）2=a2+2ab+b2；
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；
（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；
（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；
（a+b）7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；
第7个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；
第8个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；
第9个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，
则（a+b）10的展开式第三项的系数为45．
故选：B．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
14．计算(xy3)2的结果是( )
A．xy6 B．x2y3 C．x2y6 D．x2y5
【答案】C
【解析】试题分析：原式=（xy3）2=x2y3×2=x2y6，故选C．
考点：幂的乘方；积的乘方．
15．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】A、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、左边不是多项式，不符合因式分解定义，故本选项不符合题意；
C、是恒等变形，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、是把一个多项式转化成几个整式积的形式，属于因式分解，故本选项符合题意；
故选D．
【点评】本题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．
16．若4a2﹣2ka+9是一个完全平方式，则k=（ ）
A．12 B．±12 C．±6 D．6
【答案】C
【解析】【分析】先根据两平方项确定这两个数，再求完全平方公式的乘积二倍项，即可确定k的值．
【详解】∵4a2+2ka+9是一个完全平方式，
∴2ka=2×2a×3，或2ka= -2×2a×3，
∴k=6或k=-6．
故答案为：±6
【点评】本题主要考查了完全平方式，解题时注意：完全平方式分两种，一种是和的完全平方公式，就是两个整式的和的平方；另一种是差的完全平方公式，就是两个整式的差的平方．
17．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了的展开式的系规律（按的次数由大到小的顺序）：
请根据上述规律，写出的展开式中含项的系数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先确定是展开式中第几项，再根据杨辉三角中的规律即可解决问题．
【详解】解：由图中规律可知：
含的项是的展开式中的第二项，
∵展开式中的第二项系数为1，
展开式中的第二项系数为2，
展开式中的第二项系数为3，
展开式中的第二项系数为4，
∴展开式中的第二项系数为n，
∴的展开式中的第二项系数为2020，
故选：C．
【点评】本题考查了数字的变化类、数学常识、多项式、完全平方式，解决本题的关键是理解“杨辉三角”．
18．若x﹣2y+1＝0，则2x÷4y×8等于（ ）
A．1 B．4 C．8 D．﹣16
【答案】B
【解析】【分析】先把原式化为2x÷22y×23的形式，再根据同底数幂的乘法及除法法则进行计算即可．
【详解】原式＝2x÷22y×23，
＝2x﹣2y+3，
＝22，
＝4．
故选：B．
【点评】本题考查的是同底数幂的乘法及除法运算，根据题意把原式化为2x÷22y×23的形式是解答此题的关键．
19．9(m－n)2－25(m＋n)2因式分解的结果是( )
A．(8m＋2n)(－2m－8n) B．－4(4m＋n)(m＋4n)
C．－4(4m＋n)(m－4n) D．4(4m＋n)(m＋4n)
【答案】B
【解析】【分析】直接利用平方差公式分解因式进而求出答案．
【详解】原式=
=[（3m－3n）﹣（5m+5n）][ （3m－3n）+（5m+5n）]
=（－2m－8n）（8m+2n）
=－4（m+4n）(4m+n)．
故选B．
【点评】本题考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题的关键．
20．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先乘以2−1，再依次根据平方差公式进行计算即可．
【详解】
＝（2−1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）…（22018＋1）
＝（22−1）（22＋1）（24＋1）…（22018＋1）
＝（24−1）（24＋1）…（22018＋1）
＝（22018-1）（22018＋1）
＝，
故选：B．
【点评】本题考查了平方差公式的应用，主要考查学生运用公式进行计算的能力，注意：（a＋b）（a−b）＝a2−b2，难度适中．
二、填空题
21．，则的取值____
【答案】7
【分析】将原式左侧进行展开后，先根据3n求出n的值，然后利用a=n+3即可求解．
【详解】将原式左端进行展开，
∴3n=12
∴n=4
∴a=3+4=7
故答案为7．
【点评】本题考查了因式分解，本题的关键是将等式的左端展开，然后进行比对．
22．计算：____； = ____；a(a－3)＋(2－a)(2＋a) =_________；
【答案】
【分析】（1）根据乘方运算法则，同底数幂的乘法运算法则运算即可；
（2）整式运算法则进行运算合并即可；
（3）利用平方差公式化简，然后合并同类项即可．
【详解】（1）
（2）
（3）．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，平方差公式，合并同类项，熟练记忆运算公式是本题的关键．
23．2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为_____．
【答案】49
【分析】根据大正方形的面积即可求得c2，利用勾股定理可以得到a2+b2=c2，然后求得直角三角形的面积即可求得ab的值，根据（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab即可求解．
【详解】∵大正方形的面积是25，
∴c2＝25，
∴a2+b2＝c2＝25，
∵直角三角形的面积是＝6，
又∵直角三角形的面积是ab＝6，
∴ab＝12，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab＝25+2×12＝49．
故答案是：49．
【点评】本题考查了勾股定理以及完全平方公式，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键．
24．已知代数式的值是7，则代数式的值是_____．
【答案】4
【分析】由已知可得的值，进而可得的值，然后整体代入所求式子计算即可．
【详解】∵
∴
∴
∴
故答案为：4．
【点评】本题考查了代数式求值，属于基本题型，熟练掌握整体的数学思想是解题关键．
25．如图，有，两个正方形，现将放在的内部得图甲，将，并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和16，则正方形，的面积之和为_____．
【答案】21
【分析】设出正方形的边长，根据正方形的面积公式和已知阴影部分的面积构建一个方程组，可整体求出正方形A、B的面积之和为21．
【详解】设A正方形的边长为a，B正方形的边长为b，
由图甲可知，，即
∴
由图乙可知，，即ab=8，
∴
故答案为21．
【点评】本题综合考查了完全平方公式的应用，正方形的面积公式，重点掌握完全平方公式的应用，难点是巧用变形求解两个正方形的面积和．
26．已知：3m＝2，9n＝5，则33m﹣2n＝_____．
【答案】
【分析】先利用同底数幂的除法运算法则以及幂的乘方运算法则的逆运算将33m-2n进行变形，再将已知式子的值代入即可得出结果．
【详解】∵3m＝2，9n＝32n＝5，
∴33m﹣2n＝（3m）3÷32n
＝23÷5
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了同底数幂的除法运算法则以及幂的乘方运算法则的逆运算，掌握基本运算法则是解题的关键．
27．若，，则______．
【答案】
【分析】根据同底数幂的除法和幂的乘方得出，代入求出即可．
【详解】∵10a=3，10b=2，
∴=102a ÷10 b
=
=32÷2
=．
故答案为．
【点评】本题考查同底数幂的除法和幂的乘方的应用，关键是得出关于10a和10b的式子，用了整体代入思想．
28．已知a、b互为相反数,c、d互为倒数,且,则a+b+3cd-m2的值是_____.
【答案】-1
【分析】先得出a+b=0，cd=1，，再求解．
【详解】a,b互为相反数，c，d互为倒数
a+b=0，cd=1
丨m丨=2
原式=+3*1-4=-1
【点评】先根据题意寻找关系，列出等式，再求解．
29．已知，则________________．
【答案】4
【分析】分析：把变形为，代入后，再变形为即可求得最后结果．
【详解】∵，
∴，
，
，
，
，
=4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查代数式的求值，解题的关键是熟练掌握平方差公式及其灵活变形．
30．若x2－14x＋m2是完全平方式，则m＝______．
【答案】
【分析】根据完全平方公式的结构特点解答即可．
【详解】解： ∵x2－14x＋m2是完全平方式
∴x2-14x+m2=x2-2·x·（±7）+（±7）2，
∴m=±7．
故答案为：±7．
【点评】本题主要考查了完全平方式的结构特点，掌握在完全平方公式中确定平方项和乘积二倍项是解答本题的关键．
三、解答题
31．把下列各式因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）根据平方差公式分解因式，可得答案；
（2）先提公因式，然后套用完全平方公式分解因式，可得答案．
【详解】（1）；
（2）或；
故答案为；或．
【点评】本题考查了因式分解，一提，二套，三检查，分解要彻底，考查了平方差公式和完全平方公式，熟记不同乘法公式是解题的关键．
32．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：可用图1来解释（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（1）请你写出图2所表示的代数恒等式；
（2）试在图3的方框中画出一个几何图形，使它的面积等于a2+4ab+3b2．
【答案】（1）（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2；（2）见解析
【分析】（1）根据大矩形面积等于各小图形的面积和求解即可；
（2）将原式进行因式分解，然后得到一边长（a+b），另一边长（a+3b），据此作出图形即可．
【详解】（1）图2所表示的代数恒等式为（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2；
（2）由题意得：a2+4ab+3b2＝（a+b）（a+3b），所以得到下图
【点评】本题考查了完全平方公式的几何证明，因式分解的几何应用，根据面积相等写出恒等式是本题的关键．
33．因式分解：x2﹣4xy﹣3y2．
【答案】
【分析】将原式进行变形，然后根据平方差公式和完全平方公式进行求解即可．
【详解】
=
=
=
【点评】本题考查了因式分解，题目的关键是掌握本部分的乘法公式，即平方差公式和完全平方公式，并且要熟记其常用变形方法．
34．先化简，再求值：，其中：，．
【答案】原式，
【分析】运用单项式乘以单项式及积的乘方法则进行化简后，代入数值即可．
【详解】原式
当，时，原式
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的各运算法则是关键．
35．先化简，再求值：，其中．
【答案】，原式=0．
【分析】首先利用完全平方公式和平方差公式对括号内的式子进行化简，然后进行整式的除法计算即可化简，然后代入求值．
【详解】解原式=
=
当x=1，y=-1时，原式=0．
故答案为：原式=x+y，值为0．
【点评】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的利用，要先对原式进行化简，不要直接带入求解，熟记公式并能灵活运用是解题的关键．
36．观察下列式子
；
；
；
；
……
（1）猜想：________； ________；
（2）根据（1）所猜想的结论计算：．
【答案】（1））；364；（2）63
【分析】（1）根据已知的式子即可求解；
（2）已知的式子的逆运算即可求解．
【详解】（1）；
；
（2）．
【点评】此题主要考查整式的运算，解题的关键是根据题意发现变化规律．
37．先化简，再求值；当，求的值
【答案】，-4
【分析】原式中括号中利用平方差公式，以及多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值．
【详解】原式＝
＝
＝
＝，
由|，得到，，
解得：x＝2，y＝3，
则原式＝＝．
【点评】本题考查非负数的性质和整式的混合运算，掌握绝对值，算术平方根的非负性，以及整式的混合运算法则为解题关键．
38．先化简，再求值:
，其中．
【答案】2y，1
【分析】先计算中括号内的完全平方和与多项式乘多项式，然后合并同类项，再计算多项式除以单项式，化为最简后再代入字母的值进行计算即可．
【详解】
，
当 时，原式，
故原式，求值结果为1．
【点评】本题考查了整式的混合运算—化简求值，根据运算法则和运算顺序将整式化为最简是解决此题的关键．
39．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式.例如：由图1可得到.
（1）写出由图2所表示的数学等式：________.
（2）写出由图3所表示的数学等式：________.
（3）已知实数，，满足，.
①求的值.
②求的值.
【答案】（1）；（2）；（3）①0 ；②1.
【分析】（1）根据数据表示出正方形的边长，再根据正方形的面积公式写出等式的左边，再表示出每一小部分的面积，然后根据面积相等即可写出等式；
（2）根据数据表示出阴影正方形的边长，再根据正方形的面积公式写出等式的左边，再用大正方形的面积减去其他八小部分的面积，然后根据面积相等即可写出等式；
（3）①根据（1）的结论变形为，代数求值即可得解；
②在①的基础上即可求得的值．
【详解】解：（1）∵大正方形的边长为
∴大正方形的面积可表示为
∵观察图形可知九小部分的面积和为
∴由图2所表示的数学等式：；
（2）∵阴影正方形的边长为
∴阴影正方形的面积为
∵阴影正方形的面积还以表示为大正方形的面积减去其他八小部分的面积：
∴由图3所表示的数学等式：；
（3）①∵由图2所表示的数学等式：
∴
∴
∵，
∴，即；
②∵，
∴．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景、项式乘多项式、因式分解的应用，利用面积法列出等式是解题的关键．
40．（1）若4a+3b＝3，求92a•27b．
（2）已知3×9m×27m＝321，求m的值
【答案】（1）27；（2）4
【分析】（1）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可；
（2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可．
【详解】解：（1）∵4a+3b＝3，
∴92a•27b＝34a•33b＝33＝27；
（2）∵3×9m×27m＝3×32m×33m＝31+2m+3m＝321，
∴1+2m+3m＝21，
解得m＝4．
【点评】考查幂的乘方，以及同底数幂的乘法，掌握运用即可，本题属于典型题，也易错.
41．先化简,再求值:
其中a,b满足.
【答案】4
【分析】先化简，再求值。
【详解】由.得a=-1，b=2
原式=2a-(-3b+2a+2)
=3b-2
把a，b代入得原式=4
【点评】.得a=-1，b=2是本题的关键。
42．先化简，再求值，其中x＝﹣，y＝2．
【答案】﹣3x+y2﹣y，原式＝4．
【分析】多项式中含有二次多项式，一次多项式，要化为最简式，先去括号，再把同类多项式合并，得到最简式.
【详解】原式＝x﹣2x+y2﹣x+y2﹣y＝﹣3x+y2﹣y，
当x＝﹣，y＝2时，原式＝2+4﹣2＝4．
【点评】考察合并同类项的多项式.
43．做大小两个长方体纸盒，尺寸如下（单位：cm）
长
宽
高
小纸盒
a
b
c
大纸盒
4a
2.5b
2c
（1）做这两个纸盒共用料多少平方厘来？
（2）做大纸盒比做小纸盒多用料多少平方厘米？
（3）若a＝6，b＝5，c＝3，则大纸盒的体积是多少cm3？
【答案】（1）做这两个纸盒共用料为22ab+12bc+18ac；（2）做大纸盒比做小纸盒多用料（单位：cm2）为18ab+8bc+14ac；（3）V＝1800cm3．
【分析】（1）此题考察和长方体的表面积公式s=2ab+2bc+2ac，
（2）题目已知长方体的长宽高，按照公式计算表面积即可，
（3）长方体的体积公式 v=a*b*c.
【详解】（1）做这两个纸盒共用料（单位：cm2）（2ab+2bc+2ac）+（20ab+16ac+10bc），
＝2ab+2bc+2ac+20ab+16ac+10bc，
＝22ab+12bc+18ac；
（2）做大纸盒比做小纸盒多用料（单位：cm2），
（20ab+16ac+10bc）﹣（2ab+2bc+2ac）
＝20ab+10bc+16ac﹣2ab﹣2bc﹣2ac
＝18ab+8bc+14ac；
（3）大纸盒的体积V＝4a×2.5b×2c＝20abc，
当a＝6，b＝5，c＝3时V＝20×6×5×3＝1800cm3．
【点评】长方体表面积公式：S=2ab+2bc+2ac
长方体体积公式：
44．小文想用一张长方形白铁皮做一个长方体无盖盒子，她采取了如下图所示的一个方案（阴影部分是被剪掉的材料，形状为四个相同的正方形）．
（1）这块白铁皮的总面积是多少？
（2）这个长方体盒子的表面积是多少？
（3）这个长方体盒子的体积是多少？
【答案】（1）6a2b2；（2）5a2b2；（3）a3b3．
【解析】【分析】（1）结合图形确定长方形的长和宽，再根据矩形的面积公式列出算式，计算可得；
（2）长方形盒子的表面积=大长方形的面积-四个小正方形的面积，据此列出算式，再根据整式的混合运算顺序和运算法则计算可得；
（3）结合图形确定盒子的长、宽、高，根据题意公式列出算式，再进一步计算可得．
【详解】解：（1）这张白铁皮的面积为3ab（ab+2×ab）=3ab×2ab=6a2b2；
（2）这个长方体盒子的表面积是6a2b2-4×（ab）2=6a2b2-a2b2=5a2b2；
（3）这个长方体盒子的体积是（3ab-2×ab）•ab•ab
=2ab•ab•ab
=a3b3．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是结合图形列出面积、体积的代数式，并熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则．
45．甲、乙两个同学分解因式x2＋mx＋n，甲看错了n，分解的结果为(x＋2)(x＋4)；乙看错了m，分解结果为(x＋1)(x＋9)，试分析一下m，n的值，并写出正确的分解结果．
【答案】m＝6，n＝9，正确结果是(x＋3)2.
【解析】【分析】根据题意可得出m，n的值，代入再进行因式分解即可．
【详解】∵（x+2）（x+4）=x2+6x+8，甲看错了n，∴m=6．
∵（x+1）（x+9）=x2+10x+9，乙看错了m，∴n=9；
∴x2+mx+n=x2+6x+9=（x+3）2．
【点评】本题考查了因式分解，掌握分解因式的方法：提公因式法、运用公式法、因式分解法（十字相乘）是解题的关键．
46．先化简后求值：，其中．
【答案】3
【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x＝－1代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：原式=x2－6x+9－x2+4x+x2－9 =x2－2x
将x=－1代入
原式=（－1）2 － 2×（－1）=3
【点评】掌握完全平方公式、单项式乘多项式、平方差公式、合并同类项是解答本题的关键．
47．定义：对于一个数x，我们把[x]称作x的相伴数；若x≥0，则[x]=x-1；若x＜0，则[x]=x+1． 例：[0.5]=-0.5．
（1）求、的值；
（2）当a＞0，b＜0，有[a]=[b]+1，试求代数式的值；
（3）解方程：[x]+[x+2]=-1．
【答案】（1） ，0；（2）﹣36；（3）或．
【分析】（1）根据题目给出的相伴数的定义即可求解；
（2）由相伴数的定义化简原式，可得b﹣a＝﹣3，然后代入代数式运算即可；
（3）分三种情况讨论列出方程、化简方程并解方程即可．
【详解】解：（1）[]＝﹣1＝，[﹣1]＝﹣1＋1＝0；
（2）根据题意得，a﹣1＝b＋2，则b﹣a＝﹣3，
代数式（b﹣a）3﹣3a＋3b＝（b﹣a）3+3（b﹣a）＝﹣27-9＝﹣36；
（3）当x＜0，x＋2＜0时，即时，方程为，解得（不符合题意，舍去）；
当时，即时，则方程为，解得；
当，不存在；
当时，即时，则方程为，解得；
综上所述，或．
【点评】本题考查了相伴数的定义、代数式求值以及解一元一次方程，理解相伴数概念化以及化简代数式是解答本题的关键．注意未知数的分类讨论．
48．“平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，灵活利用公式往往能化繁为简，巧妙解题．请阅读并解决下列问题：
问题一：，
（1）则________，________；
（2）计算：；
问题二：已知，
（1）则________，________；
（2）已知长和宽分别为，的长方形，它的周长为14，面积为10，如图所示，求的值．
【答案】问题一：（1），；（2）；问题二：（1），；（2）的值为39．
【分析】问题一：（1）根据平方差公式即可得；
（2）先利用（1）的方法，构造平方差公式的形式计算，再利用完全平方公式计算即可得；
问题二：（1）根据完全平方公式即可得；
（2）先根据长方形的周长和面积得出关于a、b的两个等式，再利用（1）的方法化简所求式子，然后代入求解即可得．
【详解】问题一：（1）
可变形为：
则，
故答案为：，；
（2）
；
问题二：（1）
则
则
故答案为：，；
（2）由题意得：
整理得：
则
将，代入得：原式
故的值为39．
【点评】本题考查了利用平方差公式和完全平方公式进行化简与求值，熟记公式是解题关键．
49．我们通常用作差法比较代数式大小．例如：已知M=2x+3，N=2x+1，比较M和N的大小．先求M﹣N，若M﹣N＞0，则M＞N；若M﹣N＜0，则M＜N；若M﹣N=0，则M=N，反之亦成立．本题中因为MN=2x+3(2x+1)=2＞0，所以M＞N．
（1）如图1是边长为a的正方形，将正方形一边不变，另一边增加4，得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为S1；将图1中正方形边长增加2得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为S2．用含a的代数式表示S1= ，S2= (需要化简)．然后请用作差法比较S1与S2大小；
（2）已知A=2a2﹣6a+1，B=a2﹣4a﹣1，请你用作差法比较A与B大小．
（3）若M=(a﹣4)2，N=16﹣(a﹣6)2，且M=N，求(a﹣4)(a﹣6)的值．
【答案】（1），，；（2）；（3）6
【分析】（1）根据图形，按照长方形及正方形的面积公式进一步计算即可得出相应的与的值，然后进一步将二者相减并化简，最后根据化简结果的正负性比较大小即可；
（2）根据题意将A、B所代表的式子相减，然后进一步化简，最后根据化简结构的正负性来判断A、B的大小即可；
（3）根据M=N得出M−N=0，由此将式子代入，化简得出的值，据此在将所求式子化简后进一步代入计算即可.
【详解】（1）根据题意得：，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，；
（2）∵，，
∴==，
∵，
∴；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
【点评】本题主要考查了完全平方公式的运用，熟练掌握相关公式及方法是解题关键.
50．（1）观察下列各式的规律：
可得到 ．
（2）猜想： ．
（3）利用（2）猜想的结论计算：．
【答案】（1）a2019−b2019（2）an−bn（3）
【分析】（1）根据题目中的例子可以直接写出结果，从而可以解答本题；
（2）根据（1）中的例子可以写出相应的猜想；
（3）利用（2）中的猜想进行变形即可解答本题．
【详解】（1）根据已知的等式可得：＝a2019−b2019，
故答案为：a2019−b2019；
（2）根据已知的等式可猜想：an−bn，
故答案为：an−bn；
（3）
＝2（28−27＋26−…＋22−2＋1）
＝
＝
=．
【点评】本题考查数字的变化类，平方差公式，解答本题的关键是明确题意，利用猜想解答问题．
一、单选题
1．如图是正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类．现有A类卡片4张，B类卡片1张，C类卡片4张，则这9张卡片能拼成的正方形的边长为（ ）
A．a+2b B．2a+b C．2a+2b D．a+b
2．2y(x－y)2－(y－x)3等于( )
A．(x＋y)(x－y)2 B．(3y－x)(x－y)2
C．(x－3y)(y－x)2 D．(y－x)3
3．如果□×3ab=3a2b,那么□内应填的代数式是 ( )
A．ab B．3ab C．a D．3a
4．下列运算正确的是（ ）
A．x3•x2＝x5 B．x3+x2＝x5 C．（x3）3＝x6 D．x6÷x2＝x3
5．为了书写简便，18世纪数学家欧拉引进了求和符号“∑”，例如：，已知： 则m的值为（ ）
A．40 B．-68 C．-40 D．-104
6．下列各式中，计算正确的是( )
A．2a+3b=5ab B．b-a=0 C．+=a D．3ab-ab=2ab
7．下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知则等于（ ）
A． B． C． D．
9．已知（a+b）2＝11，（a﹣b）2＝7，则ab等于（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
10．计算其结果用幂的形式可表示为（ ）
A． B． C． D．
11．下列运算中，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2011•泰安）下列等式不成立的是（ ）
A．m2﹣16=（m﹣4）（m+4） B．m2+4m=m（m+4）
C．m2﹣8m+16=（m﹣4）2 D．m2+3m+9=（m+3）2
13．观察下列各式及其展开式
······
请你猜想的展开式第三项的系数是（ ）
A． B． C． D．
14．计算(xy3)2的结果是( )
A．xy6 B．x2y3 C．x2y6 D．x2y5
15．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
16．若4a2﹣2ka+9是一个完全平方式，则k=（ ）
A．12 B．±12 C．±6 D．6
17．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了的展开式的系规律（按的次数由大到小的顺序）：
请根据上述规律，写出的展开式中含项的系数是（ ）
A． B． C． D．
18．若x﹣2y+1＝0，则2x÷4y×8等于（ ）
A．1 B．4 C．8 D．﹣16
19．9(m－n)2－25(m＋n)2因式分解的结果是( )
A．(8m＋2n)(－2m－8n) B．－4(4m＋n)(m＋4n)
C．－4(4m＋n)(m－4n) D．4(4m＋n)(m＋4n)
20．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
21．，则的取值____
22．计算：____； = ____；a(a－3)＋(2－a)(2＋a) =_________；
23．2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为_____．
24．已知代数式的值是7，则代数式的值是_____．
25．如图，有，两个正方形，现将放在的内部得图甲，将，并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和16，则正方形，的面积之和为_____．
26．已知：3m＝2，9n＝5，则33m﹣2n＝_____．
27．若，，则______．
28．已知a、b互为相反数,c、d互为倒数,且,则a+b+3cd-m2的值是_____.
29．已知，则________________．
30．若x2－14x＋m2是完全平方式，则m＝______．
三、解答题
31．把下列各式因式分解：
（1）； （2）．
32．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：可用图1来解释（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（1）请你写出图2所表示的代数恒等式；
（2）试在图3的方框中画出一个几何图形，使它的面积等于a2+4ab+3b2．
33．因式分解：x2﹣4xy﹣3y2．
34．先化简，再求值：，其中：，．
35．先化简，再求值：，其中．
36．观察下列式子
；
；
；
；
……
（1）猜想：________； ________；
（2）根据（1）所猜想的结论计算：．
37．先化简，再求值；当，求的值
38．先化简，再求值:
，其中．
39．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式.例如：由图1可得到.
（1）写出由图2所表示的数学等式：________.
（2）写出由图3所表示的数学等式：________.
（3）已知实数，，满足，.
①求的值.②求的值.
40．（1）若4a+3b＝3，求92a•27b． （2）已知3×9m×27m＝321，求m的值
41．先化简,再求值:
其中a,b满足.
42．先化简，再求值，其中x＝﹣，y＝2．
43．做大小两个长方体纸盒，尺寸如下（单位：cm）
长
宽
高
小纸盒
a
b
c
大纸盒
4a
2.5b
2c
（1）做这两个纸盒共用料多少平方厘来？
（2）做大纸盒比做小纸盒多用料多少平方厘米？
（3）若a＝6，b＝5，c＝3，则大纸盒的体积是多少cm3？
44．小文想用一张长方形白铁皮做一个长方体无盖盒子，她采取了如下图所示的一个方案（阴影部分是被剪掉的材料，形状为四个相同的正方形）．
（1）这块白铁皮的总面积是多少？
（2）这个长方体盒子的表面积是多少？
（3）这个长方体盒子的体积是多少？
45．甲、乙两个同学分解因式x2＋mx＋n，甲看错了n，分解的结果为(x＋2)(x＋4)；乙看错了m，分解结果为(x＋1)(x＋9)，试分析一下m，n的值，并写出正确的分解结果．
46．先化简后求值：，其中．
47．定义：对于一个数x，我们把[x]称作x的相伴数；若x≥0，则[x]=x-1；若x＜0，则[x]=x+1． 例：[0.5]=-0.5．
（1）求、的值；
（2）当a＞0，b＜0，有[a]=[b]+1，试求代数式的值；
（3）解方程：[x]+[x+2]=-1．
48．“平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，灵活利用公式往往能化繁为简，巧妙解题．请阅读并解决下列问题：
问题一：，
（1）则________，________；
（2）计算：；
问题二：已知，
（1）则________，________；
（2）已知长和宽分别为，的长方形，它的周长为14，面积为10，如图所示，求的值．
49．我们通常用作差法比较代数式大小．例如：已知M=2x+3，N=2x+1，比较M和N的大小．先求M﹣N，若M﹣N＞0，则M＞N；若M﹣N＜0，则M＜N；若M﹣N=0，则M=N，反之亦成立．本题中因为MN=2x+3(2x+1)=2＞0，所以M＞N．
（1）如图1是边长为a的正方形，将正方形一边不变，另一边增加4，得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为S1；将图1中正方形边长增加2得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为S2．用含a的代数式表示S1= ，S2= (需要化简)．然后请用作差法比较S1与S2大小；
（2）已知A=2a2﹣6a+1，B=a2﹣4a﹣1，请你用作差法比较A与B大小．
（3）若M=(a﹣4)2，N=16﹣(a﹣6)2，且M=N，求(a﹣4)(a﹣6)的值．
50．（1）观察下列各式的规律：
可得到 ．
（2）猜想： ．
（3）利用（2）猜想的结论计算：
第14章整式的乘法与因式分解
一、单选题
1．如图是正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类．现有A类卡片4张，B类卡片1张，C类卡片4张，则这9张卡片能拼成的正方形的边长为（ ）
A．a+2b B．2a+b C．2a+2b D．a+b
【答案】B
【分析】根据题意得到所求的正方形的面积等于4张正方形A类卡片、1张正方形B类卡片和4张长方形C类卡片的和，则所求正方形的面积＝4a2+b2+4ab，运用完全平方公式得到所求正方形的面积＝（2a+b）2，则所求正方形的边长为2a+b．
【详解】∵所求的正方形的面积等于4张正方形A类卡片、1张正方形B类卡片和4张长方形C类卡片的和，
∴所求正方形的面积＝4a2+b2+4ab＝（2a+b）2，
∴所求正方形的边长为2a+b．
故选：B．
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意求出大正方形的面积是本题的关键．
2．2y(x－y)2－(y－x)3等于( )
A．(x＋y)(x－y)2 B．(3y－x)(x－y)2
C．(x－3y)(y－x)2 D．(y－x)3
【答案】A
【解析】【分析】首先找出公因式(x－y)2，进而分解因式得出答案．
【详解】原式=
=
=
=．
故选A．
【点评】本题考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的关键．
3．如果□×3ab=3a2b,那么□内应填的代数式是 ( )
A．ab B．3ab C．a D．3a
【答案】C
【解析】分析：已知积和其中一个因式，求另外一个因式，可用积除以已知因式，得所求因式．
解答：解：∵a×3ab=3a2b，
∴□=a．
故选C．
4．下列运算正确的是（ ）
A．x3•x2＝x5 B．x3+x2＝x5 C．（x3）3＝x6 D．x6÷x2＝x3
【答案】A
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【详解】A．x3•x2＝x5，故本选项符合题意；
B．x3与x2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C．（x3）3＝x9，故本选项不合题意；
D．x6÷x2＝x4，故本选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂除法的运算，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；熟练掌握运算法则是解题关键．
5．为了书写简便，18世纪数学家欧拉引进了求和符号“∑”，例如：，已知： 则m的值为（ ）
A．40 B．-68 C．-40 D．-104
【答案】B
【分析】根据题目中的式子，可以将展开，从而可以得到n和m的值，本题得以解决．
【详解】解：∵
∴n=6,
∴（x＋3）（x−2）＋（x＋4）（x−3）＋（x＋5）（x−4）＋（x＋6）（x−5）＝，
∴m=3×（-2）+4×（-3）+5×（-4）+6×（-5）=-68，
故选：B．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出m的值．
6．下列各式中，计算正确的是( )
A．2a+3b=5ab B．b-a=0 C．+=a D．3ab-ab=2ab
【答案】D
【分析】如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项。
【详解】A．2a+3b=2a+3b
B．b-a=ab(a-b)
C．+=
D．正确。
【点评】本题考察同类项知识的相关应用。
7．下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方运算法则逐项判断即得答案．
【详解】A、故本选项运算错误，不符合题意；
B、，故本选项运算错误，不符合题意；
C、，故本选项运算正确，符合题意；
D、，故本选项运算错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项的法则和幂的运算性质，属于基础题型，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键．
8．已知则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将已知的三个式子相加可以得到 ，从而答案可求．
【详解】∵
∴，
即，
∴
故选：A．
【点评】本题主要考查代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键．
9．已知（a+b）2＝11，（a﹣b）2＝7，则ab等于（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据完全平方公式将原式展开，然后二者相减得到4ab即可求解．
【详解】∵，
∴，即4ab＝4，
解得，ab＝1．
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方公式，熟练记忆完全平方公式并可以根据条件变形是本题的关键．
10．计算其结果用幂的形式可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对原式进行变形，然后利用有理数的乘方法则和积的乘方法则进行计算．
【详解】解：
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的乘方法则和积的乘方法则的逆用，对学生灵活运用知识的要求较高，有一定难度．
11．下列运算中，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变，对各选项计算后利用排除法求解．
【详解】A、应为，故本选项错误；
B、应为，故本选项错误；
C、a4，故本选项正确；
D、中两项无法合并同类项，故本选项错误．
故选：C．
【点评】此题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项的法则，熟练掌握运算性质是解题的关键．
12．（2011•泰安）下列等式不成立的是（ ）
A．m2﹣16=（m﹣4）（m+4） B．m2+4m=m（m+4）
C．m2﹣8m+16=（m﹣4）2 D．m2+3m+9=（m+3）2
【答案】D
【解析】A、m2﹣16=（m﹣4）（m+4），故本选项正确；B、m2+4m=m（m+4），故本选项正确；C、m2﹣8m+16=（m﹣4）2，故本选项正确；D、m2+3m+9≠（m+3）2，故本选项错误．
故选D．
13．观察下列各式及其展开式
······
请你猜想的展开式第三项的系数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用所给展开式探求各项系数的关系，特别是上面的展开式与下面的展开式中的各项系数的关系，可推出（a+b）10的展开式第三项的系数．
【详解】解：（a+b）2=a2+2ab+b2；
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；
（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；
（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；
（a+b）7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；
第7个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；
第8个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；
第9个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，
则（a+b）10的展开式第三项的系数为45．
故选：B．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
14．计算(xy3)2的结果是( )
A．xy6 B．x2y3 C．x2y6 D．x2y5
【答案】C
【解析】试题分析：原式=（xy3）2=x2y3×2=x2y6，故选C．
考点：幂的乘方；积的乘方．
15．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】A、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、左边不是多项式，不符合因式分解定义，故本选项不符合题意；
C、是恒等变形，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、是把一个多项式转化成几个整式积的形式，属于因式分解，故本选项符合题意；
故选D．
【点评】本题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．
16．若4a2﹣2ka+9是一个完全平方式，则k=（ ）
A．12 B．±12 C．±6 D．6
【答案】C
【解析】【分析】先根据两平方项确定这两个数，再求完全平方公式的乘积二倍项，即可确定k的值．
【详解】∵4a2+2ka+9是一个完全平方式，
∴2ka=2×2a×3，或2ka= -2×2a×3，
∴k=6或k=-6．
故答案为：±6
【点评】本题主要考查了完全平方式，解题时注意：完全平方式分两种，一种是和的完全平方公式，就是两个整式的和的平方；另一种是差的完全平方公式，就是两个整式的差的平方．
17．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了的展开式的系规律（按的次数由大到小的顺序）：
请根据上述规律，写出的展开式中含项的系数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先确定是展开式中第几项，再根据杨辉三角中的规律即可解决问题．
【详解】解：由图中规律可知：
含的项是的展开式中的第二项，
∵展开式中的第二项系数为1，
展开式中的第二项系数为2，
展开式中的第二项系数为3，
展开式中的第二项系数为4，
∴展开式中的第二项系数为n，
∴的展开式中的第二项系数为2020，
故选：C．
【点评】本题考查了数字的变化类、数学常识、多项式、完全平方式，解决本题的关键是理解“杨辉三角”．
18．若x﹣2y+1＝0，则2x÷4y×8等于（ ）
A．1 B．4 C．8 D．﹣16
【答案】B
【解析】【分析】先把原式化为2x÷22y×23的形式，再根据同底数幂的乘法及除法法则进行计算即可．
【详解】原式＝2x÷22y×23，
＝2x﹣2y+3，
＝22，
＝4．
故选：B．
【点评】本题考查的是同底数幂的乘法及除法运算，根据题意把原式化为2x÷22y×23的形式是解答此题的关键．
19．9(m－n)2－25(m＋n)2因式分解的结果是( )
A．(8m＋2n)(－2m－8n) B．－4(4m＋n)(m＋4n)
C．－4(4m＋n)(m－4n) D．4(4m＋n)(m＋4n)
【答案】B
【解析】【分析】直接利用平方差公式分解因式进而求出答案．
【详解】原式=
=[（3m－3n）﹣（5m+5n）][ （3m－3n）+（5m+5n）]
=（－2m－8n）（8m+2n）
=－4（m+4n）(4m+n)．
故选B．
【点评】本题考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题的关键．
20．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先乘以2−1，再依次根据平方差公式进行计算即可．
【详解】
＝（2−1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）…（22018＋1）
＝（22−1）（22＋1）（24＋1）…（22018＋1）
＝（24−1）（24＋1）…（22018＋1）
＝（22018-1）（22018＋1）
＝，
故选：B．
【点评】本题考查了平方差公式的应用，主要考查学生运用公式进行计算的能力，注意：（a＋b）（a−b）＝a2−b2，难度适中．
二、填空题
21．，则的取值____
【答案】7
【分析】将原式左侧进行展开后，先根据3n求出n的值，然后利用a=n+3即可求解．
【详解】将原式左端进行展开，
∴3n=12
∴n=4
∴a=3+4=7
故答案为7．
【点评】本题考查了因式分解，本题的关键是将等式的左端展开，然后进行比对．
22．计算：____； = ____；a(a－3)＋(2－a)(2＋a) =_________；
【答案】
【分析】（1）根据乘方运算法则，同底数幂的乘法运算法则运算即可；
（2）整式运算法则进行运算合并即可；
（3）利用平方差公式化简，然后合并同类项即可．
【详解】（1）
（2）
（3）．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，平方差公式，合并同类项，熟练记忆运算公式是本题的关键．
23．2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为_____．
【答案】49
【分析】根据大正方形的面积即可求得c2，利用勾股定理可以得到a2+b2=c2，然后求得直角三角形的面积即可求得ab的值，根据（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab即可求解．
【详解】∵大正方形的面积是25，
∴c2＝25，
∴a2+b2＝c2＝25，
∵直角三角形的面积是＝6，
又∵直角三角形的面积是ab＝6，
∴ab＝12，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab＝25+2×12＝49．
故答案是：49．
【点评】本题考查了勾股定理以及完全平方公式，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键．
24．已知代数式的值是7，则代数式的值是_____．
【答案】4
【分析】由已知可得的值，进而可得的值，然后整体代入所求式子计算即可．
【详解】∵
∴
∴
∴
故答案为：4．
【点评】本题考查了代数式求值，属于基本题型，熟练掌握整体的数学思想是解题关键．
25．如图，有，两个正方形，现将放在的内部得图甲，将，并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和16，则正方形，的面积之和为_____．
【答案】21
【分析】设出正方形的边长，根据正方形的面积公式和已知阴影部分的面积构建一个方程组，可整体求出正方形A、B的面积之和为21．
【详解】设A正方形的边长为a，B正方形的边长为b，
由图甲可知，，即
∴
由图乙可知，，即ab=8，
∴
故答案为21．
【点评】本题综合考查了完全平方公式的应用，正方形的面积公式，重点掌握完全平方公式的应用，难点是巧用变形求解两个正方形的面积和．
26．已知：3m＝2，9n＝5，则33m﹣2n＝_____．
【答案】
【分析】先利用同底数幂的除法运算法则以及幂的乘方运算法则的逆运算将33m-2n进行变形，再将已知式子的值代入即可得出结果．
【详解】∵3m＝2，9n＝32n＝5，
∴33m﹣2n＝（3m）3÷32n
＝23÷5
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了同底数幂的除法运算法则以及幂的乘方运算法则的逆运算，掌握基本运算法则是解题的关键．
27．若，，则______．
【答案】
【分析】根据同底数幂的除法和幂的乘方得出，代入求出即可．
【详解】∵10a=3，10b=2，
∴=102a ÷10 b
=
=32÷2
=．
故答案为．
【点评】本题考查同底数幂的除法和幂的乘方的应用，关键是得出关于10a和10b的式子，用了整体代入思想．
28．已知a、b互为相反数,c、d互为倒数,且,则a+b+3cd-m2的值是_____.
【答案】-1
【分析】先得出a+b=0，cd=1，，再求解．
【详解】a,b互为相反数，c，d互为倒数
a+b=0，cd=1
丨m丨=2
原式=+3*1-4=-1
【点评】先根据题意寻找关系，列出等式，再求解．
29．已知，则________________．
【答案】4
【分析】分析：把变形为，代入后，再变形为即可求得最后结果．
【详解】∵，
∴，
，
，
，
，
=4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查代数式的求值，解题的关键是熟练掌握平方差公式及其灵活变形．
30．若x2－14x＋m2是完全平方式，则m＝______．
【答案】
【分析】根据完全平方公式的结构特点解答即可．
【详解】解： ∵x2－14x＋m2是完全平方式
∴x2-14x+m2=x2-2·x·（±7）+（±7）2，
∴m=±7．
故答案为：±7．
【点评】本题主要考查了完全平方式的结构特点，掌握在完全平方公式中确定平方项和乘积二倍项是解答本题的关键．
三、解答题
31．把下列各式因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）根据平方差公式分解因式，可得答案；
（2）先提公因式，然后套用完全平方公式分解因式，可得答案．
【详解】（1）；
（2）或；
故答案为；或．
【点评】本题考查了因式分解，一提，二套，三检查，分解要彻底，考查了平方差公式和完全平方公式，熟记不同乘法公式是解题的关键．
32．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：可用图1来解释（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（1）请你写出图2所表示的代数恒等式；
（2）试在图3的方框中画出一个几何图形，使它的面积等于a2+4ab+3b2．
【答案】（1）（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2；（2）见解析
【分析】（1）根据大矩形面积等于各小图形的面积和求解即可；
（2）将原式进行因式分解，然后得到一边长（a+b），另一边长（a+3b），据此作出图形即可．
【详解】（1）图2所表示的代数恒等式为（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2；
（2）由题意得：a2+4ab+3b2＝（a+b）（a+3b），所以得到下图
【点评】本题考查了完全平方公式的几何证明，因式分解的几何应用，根据面积相等写出恒等式是本题的关键．
33．因式分解：x2﹣4xy﹣3y2．
【答案】
【分析】将原式进行变形，然后根据平方差公式和完全平方公式进行求解即可．
【详解】
=
=
=
【点评】本题考查了因式分解，题目的关键是掌握本部分的乘法公式，即平方差公式和完全平方公式，并且要熟记其常用变形方法．
34．先化简，再求值：，其中：，．
【答案】原式，
【分析】运用单项式乘以单项式及积的乘方法则进行化简后，代入数值即可．
【详解】原式
当，时，原式
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的各运算法则是关键．
35．先化简，再求值：，其中．
【答案】，原式=0．
【分析】首先利用完全平方公式和平方差公式对括号内的式子进行化简，然后进行整式的除法计算即可化简，然后代入求值．
【详解】解原式=
=
当x=1，y=-1时，原式=0．
故答案为：原式=x+y，值为0．
【点评】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的利用，要先对原式进行化简，不要直接带入求解，熟记公式并能灵活运用是解题的关键．
36．观察下列式子
；
；
；
；
……
（1）猜想：________； ________；
（2）根据（1）所猜想的结论计算：．
【答案】（1））；364；（2）63
【分析】（1）根据已知的式子即可求解；
（2）已知的式子的逆运算即可求解．
【详解】（1）；
；
（2）．
【点评】此题主要考查整式的运算，解题的关键是根据题意发现变化规律．
37．先化简，再求值；当，求的值
【答案】，-4
【分析】原式中括号中利用平方差公式，以及多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值．
【详解】原式＝
＝
＝
＝，
由|，得到，，
解得：x＝2，y＝3，
则原式＝＝．
【点评】本题考查非负数的性质和整式的混合运算，掌握绝对值，算术平方根的非负性，以及整式的混合运算法则为解题关键．
38．先化简，再求值:
，其中．
【答案】2y，1
【分析】先计算中括号内的完全平方和与多项式乘多项式，然后合并同类项，再计算多项式除以单项式，化为最简后再代入字母的值进行计算即可．
【详解】
，
当 时，原式，
故原式，求值结果为1．
【点评】本题考查了整式的混合运算—化简求值，根据运算法则和运算顺序将整式化为最简是解决此题的关键．
39．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式.例如：由图1可得到.
（1）写出由图2所表示的数学等式：________.
（2）写出由图3所表示的数学等式：________.
（3）已知实数，，满足，.
①求的值.
②求的值.
【答案】（1）；（2）；（3）①0 ；②1.
【分析】（1）根据数据表示出正方形的边长，再根据正方形的面积公式写出等式的左边，再表示出每一小部分的面积，然后根据面积相等即可写出等式；
（2）根据数据表示出阴影正方形的边长，再根据正方形的面积公式写出等式的左边，再用大正方形的面积减去其他八小部分的面积，然后根据面积相等即可写出等式；
（3）①根据（1）的结论变形为，代数求值即可得解；
②在①的基础上即可求得的值．
【详解】解：（1）∵大正方形的边长为
∴大正方形的面积可表示为
∵观察图形可知九小部分的面积和为
∴由图2所表示的数学等式：；
（2）∵阴影正方形的边长为
∴阴影正方形的面积为
∵阴影正方形的面积还以表示为大正方形的面积减去其他八小部分的面积：
∴由图3所表示的数学等式：；
（3）①∵由图2所表示的数学等式：
∴
∴
∵，
∴，即；
②∵，
∴．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景、项式乘多项式、因式分解的应用，利用面积法列出等式是解题的关键．
40．（1）若4a+3b＝3，求92a•27b．
（2）已知3×9m×27m＝321，求m的值
【答案】（1）27；（2）4
【分析】（1）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可；
（2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可．
【详解】解：（1）∵4a+3b＝3，
∴92a•27b＝34a•33b＝33＝27；
（2）∵3×9m×27m＝3×32m×33m＝31+2m+3m＝321，
∴1+2m+3m＝21，
解得m＝4．
【点评】考查幂的乘方，以及同底数幂的乘法，掌握运用即可，本题属于典型题，也易错.
41．先化简,再求值:
其中a,b满足.
【答案】4
【分析】先化简，再求值。
【详解】由.得a=-1，b=2
原式=2a-(-3b+2a+2)
=3b-2
把a，b代入得原式=4
【点评】.得a=-1，b=2是本题的关键。
42．先化简，再求值，其中x＝﹣，y＝2．
【答案】﹣3x+y2﹣y，原式＝4．
【分析】多项式中含有二次多项式，一次多项式，要化为最简式，先去括号，再把同类多项式合并，得到最简式.
【详解】原式＝x﹣2x+y2﹣x+y2﹣y＝﹣3x+y2﹣y，
当x＝﹣，y＝2时，原式＝2+4﹣2＝4．
【点评】考察合并同类项的多项式.
43．做大小两个长方体纸盒，尺寸如下（单位：cm）
长
宽
高
小纸盒
a
b
c
大纸盒
4a
2.5b
2c
（1）做这两个纸盒共用料多少平方厘来？
（2）做大纸盒比做小纸盒多用料多少平方厘米？
（3）若a＝6，b＝5，c＝3，则大纸盒的体积是多少cm3？
【答案】（1）做这两个纸盒共用料为22ab+12bc+18ac；（2）做大纸盒比做小纸盒多用料（单位：cm2）为18ab+8bc+14ac；（3）V＝1800cm3．
【分析】（1）此题考察和长方体的表面积公式s=2ab+2bc+2ac，
（2）题目已知长方体的长宽高，按照公式计算表面积即可，
（3）长方体的体积公式 v=a*b*c.
【详解】（1）做这两个纸盒共用料（单位：cm2）（2ab+2bc+2ac）+（20ab+16ac+10bc），
＝2ab+2bc+2ac+20ab+16ac+10bc，
＝22ab+12bc+18ac；
（2）做大纸盒比做小纸盒多用料（单位：cm2），
（20ab+16ac+10bc）﹣（2ab+2bc+2ac）
＝20ab+10bc+16ac﹣2ab﹣2bc﹣2ac
＝18ab+8bc+14ac；
（3）大纸盒的体积V＝4a×2.5b×2c＝20abc，
当a＝6，b＝5，c＝3时V＝20×6×5×3＝1800cm3．
【点评】长方体表面积公式：S=2ab+2bc+2ac
长方体体积公式：
44．小文想用一张长方形白铁皮做一个长方体无盖盒子，她采取了如下图所示的一个方案（阴影部分是被剪掉的材料，形状为四个相同的正方形）．
（1）这块白铁皮的总面积是多少？
（2）这个长方体盒子的表面积是多少？
（3）这个长方体盒子的体积是多少？
【答案】（1）6a2b2；（2）5a2b2；（3）a3b3．
【解析】【分析】（1）结合图形确定长方形的长和宽，再根据矩形的面积公式列出算式，计算可得；
（2）长方形盒子的表面积=大长方形的面积-四个小正方形的面积，据此列出算式，再根据整式的混合运算顺序和运算法则计算可得；
（3）结合图形确定盒子的长、宽、高，根据题意公式列出算式，再进一步计算可得．
【详解】解：（1）这张白铁皮的面积为3ab（ab+2×ab）=3ab×2ab=6a2b2；
（2）这个长方体盒子的表面积是6a2b2-4×（ab）2=6a2b2-a2b2=5a2b2；
（3）这个长方体盒子的体积是（3ab-2×ab）•ab•ab
=2ab•ab•ab
=a3b3．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是结合图形列出面积、体积的代数式，并熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则．
45．甲、乙两个同学分解因式x2＋mx＋n，甲看错了n，分解的结果为(x＋2)(x＋4)；乙看错了m，分解结果为(x＋1)(x＋9)，试分析一下m，n的值，并写出正确的分解结果．
【答案】m＝6，n＝9，正确结果是(x＋3)2.
【解析】【分析】根据题意可得出m，n的值，代入再进行因式分解即可．
【详解】∵（x+2）（x+4）=x2+6x+8，甲看错了n，∴m=6．
∵（x+1）（x+9）=x2+10x+9，乙看错了m，∴n=9；
∴x2+mx+n=x2+6x+9=（x+3）2．
【点评】本题考查了因式分解，掌握分解因式的方法：提公因式法、运用公式法、因式分解法（十字相乘）是解题的关键．
46．先化简后求值：，其中．
【答案】3
【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x＝－1代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：原式=x2－6x+9－x2+4x+x2－9 =x2－2x
将x=－1代入
原式=（－1）2 － 2×（－1）=3
【点评】掌握完全平方公式、单项式乘多项式、平方差公式、合并同类项是解答本题的关键．
47．定义：对于一个数x，我们把[x]称作x的相伴数；若x≥0，则[x]=x-1；若x＜0，则[x]=x+1． 例：[0.5]=-0.5．
（1）求、的值；
（2）当a＞0，b＜0，有[a]=[b]+1，试求代数式的值；
（3）解方程：[x]+[x+2]=-1．
【答案】（1） ，0；（2）﹣36；（3）或．
【分析】（1）根据题目给出的相伴数的定义即可求解；
（2）由相伴数的定义化简原式，可得b﹣a＝﹣3，然后代入代数式运算即可；
（3）分三种情况讨论列出方程、化简方程并解方程即可．
【详解】解：（1）[]＝﹣1＝，[﹣1]＝﹣1＋1＝0；
（2）根据题意得，a﹣1＝b＋2，则b﹣a＝﹣3，
代数式（b﹣a）3﹣3a＋3b＝（b﹣a）3+3（b﹣a）＝﹣27-9＝﹣36；
（3）当x＜0，x＋2＜0时，即时，方程为，解得（不符合题意，舍去）；
当时，即时，则方程为，解得；
当，不存在；
当时，即时，则方程为，解得；
综上所述，或．
【点评】本题考查了相伴数的定义、代数式求值以及解一元一次方程，理解相伴数概念化以及化简代数式是解答本题的关键．注意未知数的分类讨论．
48．“平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，灵活利用公式往往能化繁为简，巧妙解题．请阅读并解决下列问题：
问题一：，
（1）则________，________；
（2）计算：；
问题二：已知，
（1）则________，________；
（2）已知长和宽分别为，的长方形，它的周长为14，面积为10，如图所示，求的值．
【答案】问题一：（1），；（2）；问题二：（1），；（2）的值为39．
【分析】问题一：（1）根据平方差公式即可得；
（2）先利用（1）的方法，构造平方差公式的形式计算，再利用完全平方公式计算即可得；
问题二：（1）根据完全平方公式即可得；
（2）先根据长方形的周长和面积得出关于a、b的两个等式，再利用（1）的方法化简所求式子，然后代入求解即可得．
【详解】问题一：（1）
可变形为：
则，
故答案为：，；
（2）
；
问题二：（1）
则
则
故答案为：，；
（2）由题意得：
整理得：
则
将，代入得：原式
故的值为39．
【点评】本题考查了利用平方差公式和完全平方公式进行化简与求值，熟记公式是解题关键．
49．我们通常用作差法比较代数式大小．例如：已知M=2x+3，N=2x+1，比较M和N的大小．先求M﹣N，若M﹣N＞0，则M＞N；若M﹣N＜0，则M＜N；若M﹣N=0，则M=N，反之亦成立．本题中因为MN=2x+3(2x+1)=2＞0，所以M＞N．
（1）如图1是边长为a的正方形，将正方形一边不变，另一边增加4，得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为S1；将图1中正方形边长增加2得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为S2．用含a的代数式表示S1= ，S2= (需要化简)．然后请用作差法比较S1与S2大小；
（2）已知A=2a2﹣6a+1，B=a2﹣4a﹣1，请你用作差法比较A与B大小．
（3）若M=(a﹣4)2，N=16﹣(a﹣6)2，且M=N，求(a﹣4)(a﹣6)的值．
【答案】（1），，；（2）；（3）6
【分析】（1）根据图形，按照长方形及正方形的面积公式进一步计算即可得出相应的与的值，然后进一步将二者相减并化简，最后根据化简结果的正负性比较大小即可；
（2）根据题意将A、B所代表的式子相减，然后进一步化简，最后根据化简结构的正负性来判断A、B的大小即可；
（3）根据M=N得出M−N=0，由此将式子代入，化简得出的值，据此在将所求式子化简后进一步代入计算即可.
【详解】（1）根据题意得：，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，；
（2）∵，，
∴==，
∵，
∴；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
【点评】本题主要考查了完全平方公式的运用，熟练掌握相关公式及方法是解题关键.
50．（1）观察下列各式的规律：
可得到 ．
（2）猜想： ．
（3）利用（2）猜想的结论计算：．
【答案】（1）a2019−b2019（2）an−bn（3）
【分析】（1）根据题目中的例子可以直接写出结果，从而可以解答本题；
（2）根据（1）中的例子可以写出相应的猜想；
（3）利用（2）中的猜想进行变形即可解答本题．
【详解】（1）根据已知的等式可得：＝a2019−b2019，
故答案为：a2019−b2019；
（2）根据已知的等式可猜想：an−bn，
故答案为：an−bn；
（3）
＝2（28−27＋26−…＋22−2＋1）
＝
＝
=．
【点评】本题考查数字的变化类，平方差公式，解答本题的关键是明确题意，利用猜想解答问题．
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