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第11章三角形-2020-2021学年八年级上学期期末冲刺综合能力提升训练（人教版）
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第11章三角形
一、单选题
1．一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是( ）
A． B． C． D．
2．如图，以点E为顶点的三角形的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边上的中点， 为了稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在( )
A．G，H两点处 B．A，C两点处 C．E，G两点处 D．B，F两点处
4．三角形两边长为2，5，则第三边的长不能是 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．若一个多边形每一个内角都是135º，则这个多边形的边数是 （ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
7．如图，在中，，，，，连接BC，CD，则的度数是（ ）
A．45° B．50° C．55° D．80°
8．已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数 ，则该三角形的周长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为( )
A．40° B．36° C．30° D．25°
10．已知△ABC的三边长为a，b，c，化简|a＋b－c|－|b－a－c|的结果是（ ）
A．2b－2c B．－2b C．2a＋2b D．2a
11．如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD．若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是（ ）
A．70° B．44° C．34° D．24°
12．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A．∠A=∠1-∠2 B．2∠A=∠1-∠2
C．3∠A=2∠1-∠2 D．3∠A=2（∠1-∠2）
二、填空题
13．在图中过点P任意画一条直线，最多可以得到____________个三角形.
14．已知a，b，c为三个正整数，如果a+b+c=12，那么以a，b，c为边能组成的三角形是：①等腰三角形，②等边三角形，③直角三角形，④钝角三角形.以上结论正确的是______.（只填序号）
15．如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为_____．
16．已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则等腰三角形的周长是_____．
17．如图所示，过正五边形的顶点作一条射线与其内角的角平分线相交于点，且，则_____度．
18．图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度．
三、解答题
19．（1）如图①，的内角的平分线与外角的平分线相交于点，，求的度数.
（2）如图，四边形中，设，，为四边形的内角与外角 的平分线所在直线相交而形成的锐角.
①如图②，若，求的度数.（用、的代数式表示）
②如图③，若，请在图③中画出，并求得 .（用、的代数式表示）
20．已知正多边形的一个外角等于18度，求这个正多边形的边数．是否存在一个内角度数为100度的正多边形？如果存在,求出边数；如果不存在，请说明理由．
21．如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上几根木条？要使一个边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上几根木条？
22．如图，ABCD是四根木条钉成的四边形，为了使它不变形，小明加了根木条AE，小明的做法正确吗？说说你的理由．
23．木工师傅在做完门框后为防止变形，常像下图中所示的那样，钉上两条斜的木条，即图中的AB，CD两个木条，这是根据数学上什么原理？
24．中，，点分别是边上的点，点是一动点，令，，．
（1）若点在线段上，如图①所示，且，则_____；
（2）若点在边上运动，如图②所示，则、、之间的关系为______；
（3）如图③，若点在斜边的延长线上运动，请写出、、之间的关系式，并说明理由．
25．阅读
（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．
中线AD的取值范围是________；
（2）问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．
26．已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．
27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
28．如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数．
第11章三角形
一、单选题
1．一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是( ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【分析】根据三角形的定义为：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形解答，
【详解】因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．
故选D．
【点评】考查了三角形的定义．解题的关键是熟练记住定义．
2．如图，以点E为顶点的三角形的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
【解析】分析：根据三角形的概念观察解答即可，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻边的公共端点叫做三角形的顶点.
详解：由图可知，以点E为顶点的三角形有：△ABE, △CDE, △BCE共3个.
故选A.
点睛：本题考查了三角形的概念，熟练掌握三角形的概念是解答本题的关键.
3．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边上的中点， 为了稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在( )
A．G，H两点处 B．A，C两点处 C．E，G两点处 D．B，F两点处
【答案】C
【分析】根据三角形的稳定性进行判断．
【详解】A选项：若钉在G、H两点处则构成了三角形，能固定窗框，故不符合题意；
B选项：若钉在A、C两点处则构成了三角形，能固定窗框，故不符合题意；
C选项：若钉在E、G两点处则构成了两个四边形，不能固定窗框，故符合题意；
D选项：若钉在B、F两点处则构成了三角形，能固定窗框，故不符合题意；
故选C.
【点评】考查三角形稳定性的实际应用．解题关键是利用了三角形的稳定性，判断是否稳定则看能否构成三角形．
4．三角形两边长为2，5，则第三边的长不能是 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】三角形中,任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,根据三角形的三边关系求出第三边的范围即可得出结论．
【详解】解:设三角形的第三边为x,
∵三角形两边长为2,5,
∴根据三角形的三边关系得:5-2＜x＜5+2,
∴3＜x＜7,
∴第三边不能是7,
故选D．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系,解决本题的关键是要熟练掌握三角形三边关系.
5．若一个多边形每一个内角都是135º，则这个多边形的边数是 （ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解析】试题分析：设多边形的边数为n，则=135，解得：n=8
考点：多边形的内角.
6．下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】C
【分析】由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为360°．
【详解】∵正三角形的内角=180°÷3=60°，360°÷60°=6，即6个正三角形可以铺满地面一个点，∴正三角形可以铺满地面；
∵正方形的内角=360°÷4=90°，360°÷90°=4，即4个正方形可以铺满地面一个点，∴正方形可以铺满地面；
∵正五边形的内角=180°－360°÷5=108°，360°÷108°≈3.3，∴正五边形不能铺满地面；
∵正六边形的内角=180°－360°÷6=120°，360°÷120°=3，即3个正六边形可以铺满地面一个点，∴正六边形可以铺满地面．
故选C．
【点评】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
7．如图，在中，，，，，连接BC，CD，则的度数是（ ）
A．45° B．50° C．55° D．80°
【答案】B
【分析】连接AC并延长交EF于点M．由平行线的性质得，，再由等量代换得，先求出即可求出．
【详解】解：连接AC并延长交EF于点M．
，
，
，
，
，
，
，
故选B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，属于基础题型．
8．已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数 ，则该三角形的周长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长．
【详解】设第三边为x，
根据三角形的三边关系，得：4-1＜x＜4+1，
即3＜x＜5，
∵x为整数，
∴x的值为4．
三角形的周长为1+4+4=9．
故选C.
【点评】此题考查了三角形的三边关系．关键是正确确定第三边的取值范围．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为( )
A．40° B．36° C．30° D．25°
【答案】B
【分析】根据AB＝AC可得∠B＝∠C，CD＝DA可得∠ADB＝2∠C＝2∠B，BA＝BD，可得∠BDA＝∠BAD＝2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．
【详解】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵CD＝DA，
∴∠C＝∠DAC，
∵BA＝BD，
∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，
设∠B＝α，则∠BDA＝∠BAD＝2α，
又∵∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°，
∴α＋2α＋2α＝180°，
∴α＝36°，即∠B＝36°，
故选B．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想的应用．
10．已知△ABC的三边长为a，b，c，化简|a＋b－c|－|b－a－c|的结果是（ ）
A．2b－2c B．－2b C．2a＋2b D．2a
【答案】A
【分析】已知a，b，c分别是三角形的边长，根据三角形的三边关系可得a+b＞c，a+c＞b，即可得a+b-c＞0，b-a-c＜0，再根据绝对值的性质去掉绝对值号，合并同类项即可求解.
【详解】∵a，b，c分别是三角形的边长，
∴a+b＞c，a+c＞b，
∴a+b-c＞0，b-a-c＜0，
∴|a+b-c|-|b-a-c|=a+b-c-(-b+a+c) =2b-2c.
故选A.
【点评】本题考查了三角形的三边关系及绝对值的性质，根据三角形的三边关系得到a+b-c＞0、b-a-c＜0是解决问题的关键.
11．如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD．若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是（ ）
A．70° B．44° C．34° D．24°
【答案】C
【分析】易得△ABD为等腰三角形，根据顶角可算出底角，再用三角形外角性质可求出∠DAC
【详解】∵AB=BD，∠B=40°，
∴∠ADB=70°，
∵∠C=36°，
∴∠DAC=∠ADB﹣∠C=34°．
故选C.
【点评】本题考查三角形的角度计算，熟练掌握三角形外角性质是解题的关键.
12．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A．∠A=∠1-∠2 B．2∠A=∠1-∠2 C．3∠A=2∠1-∠2 D．3∠A=2（∠1-∠2）
【答案】B
【解析】【分析】本题求的是∠A、∠1、∠2之间的数量关系，首先画出折叠前的三角形，设为△BCF，可根据三角形的外角性质，首先表示出∠DEF的度数，进而根据三角形内角和定理，得到所求的结论．
【详解】如图，设翻折前A点的对应点为F．根据折叠的性质知：∠3＝∠4，∠F＝∠A．
由三角形的外角性质知：∠DEF＝∠5+∠3＝∠A+∠2+∠3．
在△DEF中，∠DEF＝180°﹣∠4﹣∠F，故180°﹣∠4﹣∠F＝∠A+∠2+∠3，即：
180°﹣∠4﹣∠A＝∠A+∠2+∠3，180°﹣∠4﹣∠3＝2∠A+∠2，即∠1＝2∠A+∠2，2∠A＝∠1﹣∠2．
故选B．
【点评】本题考查了图形的翻折变换、三角形内角和定理以及三角形的外角性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．
二、填空题
13．在图中过点P任意画一条直线，最多可以得到____________个三角形.
【答案】6
【解析】【分析】根据题意画出图形，根据图形回答问题即可．
【详解】如图1，有2个三角形；
如图2，有3个三角形；
如图3，有4个三角形；
如图4，有4个三角形；
如图5，有5个三角形，
如图6，有6个三角形，
综上所述，最多有6个三角形，
故答案为6.
【点评】本题考查了三角形，根据题意画出符合条件的图形，运用分类讨论以及数形结合思想是解题的关键.
14．已知a，b，c为三个正整数，如果a+b+c=12，那么以a，b，c为边能组成的三角形是：①等腰三角形，②等边三角形，③直角三角形，④钝角三角形.以上结论正确的是______.（只填序号）
【答案】①②③
【解析】∵a，b，c是三个正整数，且a+b+c=12，∴所有a，b，c可能出现的情况是：①2，5，5，等腰三角形；②3，4，5，直角三角形；③4，4，4，等边三角形.故正确的结论是①②③.
15．如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为_____．
【答案】72°
【分析】首先根据正五边形的性质得到AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，然后利用三角形内角和定理得∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°−108°）÷2=36°，最后利用三角形的外角的性质得到∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°．
【详解】∵五边形ABCDE为正五边形，
∴AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，
∴∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°−108°）÷2=36°，
∴∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°，
故答案为72°．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，利用数形结合求解是解答此题的关键
16．已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则等腰三角形的周长是_____．
【答案】15
【分析】分腰为3和腰为6两种情况考虑，先根据三角形的三边关系确定三角形是否存在，再根据三角形的周长公式求值即可．
【详解】解：当腰为3时，3+3=6，
∴3、3、6不能组成三角形；
当腰为6时，3+6=9＞6，
∴3、6、6能组成三角形，
该三角形的周长为=3+6+6=15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，由三角形三边关系确定三角形的三条边长为解题的关键．
17．如图所示，过正五边形的顶点作一条射线与其内角的角平分线相交于点，且，则_____度．
【答案】66
【分析】首先根据正五边形的性质得到度，然后根据角平分线的定义得到度，再利用三角形内角和定理得到的度数．
【详解】解：∵五边形为正五边形，
∴度，
∵是的角平分线，
∴度，
∵，
∴．
故答案为66．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，题目中还用到了角平分线的定义及三角形内角和定理．
18．图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度．
【答案】360°．
【分析】根据多边形的外角和等于360°解答即可．
【详解】由多边形的外角和等于360°可知，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
故答案为360°．
【点评】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．
三、解答题
19．（1）如图①，的内角的平分线与外角的平分线相交于点，，求的度数.
（2）如图，四边形中，设，，为四边形的内角与外角 的平分线所在直线相交而形成的锐角.
①如图②，若，求的度数.（用、的代数式表示）
②如图③，若，请在图③中画出，并求得 .（用、的代数式表示）
【答案】（1）∠P=20°
（2）①②
【分析】（1）根据角平分线的性质和三角形的外角的性质，可等量代换证明；
（2）①延长BA、CD交于点F，然后根据（1）的解题可得到规律；
②由上面的结论直接写出解答即可.
【详解】（1）∵BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACD
∴∠ABC=2∠PBC ,∠ACD=2∠PCD
∵∠ACD=∠A+∠ABC,∠PCD=∠P+∠PBC
∴2∠PCD=∠A+2∠PBC
∴2（∠P+∠PBC）=∠A+2∠PBC
∴∠P=
∴∠P=20°
（2）①延长BA、CD交于点F，由（1）知∠P=
∴=
②
20．已知正多边形的一个外角等于18度，求这个正多边形的边数．是否存在一个内角度数为100度的正多边形？如果存在,求出边数；如果不存在，请说明理由．
【答案】正20边形，不存在一个内角度数为100度的正多边形
【解析】试题分析：根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数．
试题解析：正多边形的一个外角等于18°，且外角和为360°，
∴这个正多边形的边数是：360°÷18°=20，
因为360°÷(180°−100°)＝，不是整数，
所以不存在一个内角度数为100度的正多边形．
21．如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上几根木条？要使一个边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上几根木条？
【答案】根木条；根木条．
【分析】要使六边形不变形，即需要在内部放入木条，使其变成多个三角形.寻找规律，从四边形需要一根，五边形需要两根，六边形需要三根，同理则n边形需要多少很容易得出规律了.
【详解】解：根据三角形的稳定性，要使六边形木架不变形，至少再钉上根木条；
要使一个边形木架不变形，至少再钉上根木条．
【点评】本题考查三角形的基本概念以及探索规律的能力，熟记三角形具有稳定性是解答本题的关键.
22．如图，ABCD是四根木条钉成的四边形，为了使它不变形，小明加了根木条AE，小明的做法正确吗？说说你的理由．
【答案】小明的做法正确，理由见解析.
【解析】试题分析：根据三角形的稳定性可得出答案．
小明的做法正确，
理由：由三角形的稳定性可得出，四边形ABCD不再变形．
23．木工师傅在做完门框后为防止变形，常像下图中所示的那样，钉上两条斜的木条，即图中的AB，CD两个木条，这是根据数学上什么原理？
【答案】三角形的稳定性
【解析】试题分析：用木条固定门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
如图加上AB，CD两个木条后，可形成两个三角形，防止门框变形．故这种做法根据的是三角形的稳定性．
24．中，，点分别是边上的点，点是一动点，令，，．
（1）若点在线段上，如图①所示，且，则_____；
（2）若点在边上运动，如图②所示，则、、之间的关系为______；
（3）如图③，若点在斜边的延长线上运动，请写出、、之间的关系式，并说明理由．
【答案】（1）140°；（2）∠1＋∠2＝90°＋α．（3）如图1，∠2−∠1＝90°＋∠α；如图2，∠α＝0°，∠2＝∠1＋90°；如图3，∠1−∠2＝∠α−90°．
【分析】（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义得出∠1＋∠2＝∠C＋∠α，进而得出即可；
（2）利用（1）中所求得出答案即可；
（3）利用三角外角的性质分三种情况讨论即可．
【详解】（1）∵∠1＋∠2＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∠C＋∠α＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∴∠1＋∠2＝∠C＋∠α，∵∠C＝90°，∠α＝50°，∴∠1＋∠2＝140°；
（2）由（1）得出：∠α＋∠C＝∠1＋∠2，∴∠1＋∠2＝90°＋α．
（3）如图，
分三种情况：连接ED交BA的延长线于P点，如图1，由三角形的外角性质，∠2＝∠C＋∠1＋∠α，∴∠2−∠1＝90°＋∠α；如图2，∠α＝0°，∠2＝∠1＋90°；如图3，∠2＝∠1−∠α＋∠C，∴∠1−∠2＝∠α−90°．
【点评】本题考查三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质和四边形内角和定理，熟练利用三角形外角的性质是解决问题的关键．
25．阅读
（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．
中线AD的取值范围是________；
（2）问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）2＜AD＜8；（2）证明见解析；（3）BE+DF=EF；理由见解析.
【分析】（1）延长AD至E，使DE=AD，由SAS证明△ACD≌△EBD，得出BE=AC=6，在△ABE中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围；
（2）延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM=CF，由线段垂直平分线的性质得出EM=EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；
（3）延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，证出∠NBC=∠D，由SAS证明△NBC≌△FDC，得出CN=CF，∠NCB=∠FCD，证出∠ECN=70°=∠ECF，再由SAS证明△NCE≌△FCE，得出EN=EF，即可得出结论．
【详解】（1）解：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，如图①所示：
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDA中，BD=CD，∠BDE=∠CDA，DE=AD，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE=AC=6，
在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，
∴2＜AD＜8；
故答案为2＜AD＜8；
（2）证明：延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，如图②所示：
同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），
∴BM=CF，
∵DE⊥DF，DM=DF，
∴EM=EF，
在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，
∴BE+CF＞EF；
（3）解：BE+DF=EF；理由如下：
延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，如图3所示：
∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°，
∴∠NBC=∠D，
在△NBC和△FDC中，
BN=DF，∠NBC =∠D，BC=DC，
∴△NBC≌△FDC（SAS），
∴CN=CF，∠NCB=∠FCD，
∵∠BCD=140°，∠ECF=70°，
∴∠BCE+∠FCD=70°，
∴∠ECN=70°=∠ECF，
在△NCE和△FCE中，
CN=CF，∠ECN=∠ECF，CE=CE，
∴△NCE≌△FCE（SAS），
∴EN=EF，
∵BE+BN=EN，
∴BE+DF=EF．
考点：全等三角形的判定和性质；三角形的三边关系定理.
26．已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．
【答案】证明见解析
【解析】分析：过点A作EF∥BC，利用EF∥BC，可得∠1=∠B，∠2=∠C，而∠1+∠2+∠BAC=180°，利用等量代换可证∠BAC+∠B+∠C=180°．
详解：如图，过点A作EF∥BC，
∵EF∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°，
即∠A+∠B+∠C=180°．
点睛：本题考查了三角形的内角和定理的证明，作辅助线把三角形的三个内角转化到一个平角上是解题的关键．
27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
【答案】(1) 65°；(2) 25°．
【详解】分析：（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由邻补角定义得出∠CBD=130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE=∠CBD=65°；
（2）先根据直角三角形两锐角互余的性质得出∠CEB=90°﹣65°=25°，再根据平行线的性质即可求出∠F=∠CEB=25°．
详解：
（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，
∴∠CBD=130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE=∠CBD=65°；
（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，
∴∠CEB=90°﹣65°=25°．
∵DF∥BE，
∴∠F=∠CEB=25°．
点睛：本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．
28．如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数．
【答案】∠ADB=100°．
【分析】根据AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，得出∠BAD=30°，再利用CE是△ABC的高，∠BCE=40°，得出∠B的度数，进而根据三角形的内角和定理得出∠ADB的度数．
【详解】∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，
∴∠BAD=30°，
又∵CE是△ABC的高，∠BCE=40°，
∴∠BEC=90°
∴∠B=50°
∴∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-50°-30°=100°
一、单选题
1．一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是( ）
A． B． C． D．
2．如图，以点E为顶点的三角形的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边上的中点， 为了稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在( )
A．G，H两点处 B．A，C两点处 C．E，G两点处 D．B，F两点处
4．三角形两边长为2，5，则第三边的长不能是 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．若一个多边形每一个内角都是135º，则这个多边形的边数是 （ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
7．如图，在中，，，，，连接BC，CD，则的度数是（ ）
A．45° B．50° C．55° D．80°
8．已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数 ，则该三角形的周长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为( )
A．40° B．36° C．30° D．25°
10．已知△ABC的三边长为a，b，c，化简|a＋b－c|－|b－a－c|的结果是（ ）
A．2b－2c B．－2b C．2a＋2b D．2a
11．如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD．若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是（ ）
A．70° B．44° C．34° D．24°
12．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A．∠A=∠1-∠2 B．2∠A=∠1-∠2
C．3∠A=2∠1-∠2 D．3∠A=2（∠1-∠2）
二、填空题
13．在图中过点P任意画一条直线，最多可以得到____________个三角形.
14．已知a，b，c为三个正整数，如果a+b+c=12，那么以a，b，c为边能组成的三角形是：①等腰三角形，②等边三角形，③直角三角形，④钝角三角形.以上结论正确的是______.（只填序号）
15．如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为_____．
16．已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则等腰三角形的周长是_____．
17．如图所示，过正五边形的顶点作一条射线与其内角的角平分线相交于点，且，则_____度．
18．图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度．
三、解答题
19．（1）如图①，的内角的平分线与外角的平分线相交于点，，求的度数.
（2）如图，四边形中，设，，为四边形的内角与外角 的平分线所在直线相交而形成的锐角.
①如图②，若，求的度数.（用、的代数式表示）
②如图③，若，请在图③中画出，并求得 .（用、的代数式表示）
20．已知正多边形的一个外角等于18度，求这个正多边形的边数．是否存在一个内角度数为100度的正多边形？如果存在,求出边数；如果不存在，请说明理由．
21．如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上几根木条？要使一个边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上几根木条？
22．如图，ABCD是四根木条钉成的四边形，为了使它不变形，小明加了根木条AE，小明的做法正确吗？说说你的理由．
23．木工师傅在做完门框后为防止变形，常像下图中所示的那样，钉上两条斜的木条，即图中的AB，CD两个木条，这是根据数学上什么原理？
24．中，，点分别是边上的点，点是一动点，令，，．
（1）若点在线段上，如图①所示，且，则_____；
（2）若点在边上运动，如图②所示，则、、之间的关系为______；
（3）如图③，若点在斜边的延长线上运动，请写出、、之间的关系式，并说明理由．
25．阅读
（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．
中线AD的取值范围是________；
（2）问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．
26．已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．
27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
28．如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数．
第11章三角形
一、单选题
1．一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是( ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【分析】根据三角形的定义为：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形解答，
【详解】因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．
故选D．
【点评】考查了三角形的定义．解题的关键是熟练记住定义．
2．如图，以点E为顶点的三角形的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
【解析】分析：根据三角形的概念观察解答即可，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻边的公共端点叫做三角形的顶点.
详解：由图可知，以点E为顶点的三角形有：△ABE, △CDE, △BCE共3个.
故选A.
点睛：本题考查了三角形的概念，熟练掌握三角形的概念是解答本题的关键.
3．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边上的中点， 为了稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在( )
A．G，H两点处 B．A，C两点处 C．E，G两点处 D．B，F两点处
【答案】C
【分析】根据三角形的稳定性进行判断．
【详解】A选项：若钉在G、H两点处则构成了三角形，能固定窗框，故不符合题意；
B选项：若钉在A、C两点处则构成了三角形，能固定窗框，故不符合题意；
C选项：若钉在E、G两点处则构成了两个四边形，不能固定窗框，故符合题意；
D选项：若钉在B、F两点处则构成了三角形，能固定窗框，故不符合题意；
故选C.
【点评】考查三角形稳定性的实际应用．解题关键是利用了三角形的稳定性，判断是否稳定则看能否构成三角形．
4．三角形两边长为2，5，则第三边的长不能是 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】三角形中,任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,根据三角形的三边关系求出第三边的范围即可得出结论．
【详解】解:设三角形的第三边为x,
∵三角形两边长为2,5,
∴根据三角形的三边关系得:5-2＜x＜5+2,
∴3＜x＜7,
∴第三边不能是7,
故选D．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系,解决本题的关键是要熟练掌握三角形三边关系.
5．若一个多边形每一个内角都是135º，则这个多边形的边数是 （ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解析】试题分析：设多边形的边数为n，则=135，解得：n=8
考点：多边形的内角.
6．下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】C
【分析】由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为360°．
【详解】∵正三角形的内角=180°÷3=60°，360°÷60°=6，即6个正三角形可以铺满地面一个点，∴正三角形可以铺满地面；
∵正方形的内角=360°÷4=90°，360°÷90°=4，即4个正方形可以铺满地面一个点，∴正方形可以铺满地面；
∵正五边形的内角=180°－360°÷5=108°，360°÷108°≈3.3，∴正五边形不能铺满地面；
∵正六边形的内角=180°－360°÷6=120°，360°÷120°=3，即3个正六边形可以铺满地面一个点，∴正六边形可以铺满地面．
故选C．
【点评】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
7．如图，在中，，，，，连接BC，CD，则的度数是（ ）
A．45° B．50° C．55° D．80°
【答案】B
【分析】连接AC并延长交EF于点M．由平行线的性质得，，再由等量代换得，先求出即可求出．
【详解】解：连接AC并延长交EF于点M．
，
，
，
，
，
，
，
故选B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，属于基础题型．
8．已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数 ，则该三角形的周长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长．
【详解】设第三边为x，
根据三角形的三边关系，得：4-1＜x＜4+1，
即3＜x＜5，
∵x为整数，
∴x的值为4．
三角形的周长为1+4+4=9．
故选C.
【点评】此题考查了三角形的三边关系．关键是正确确定第三边的取值范围．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为( )
A．40° B．36° C．30° D．25°
【答案】B
【分析】根据AB＝AC可得∠B＝∠C，CD＝DA可得∠ADB＝2∠C＝2∠B，BA＝BD，可得∠BDA＝∠BAD＝2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．
【详解】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵CD＝DA，
∴∠C＝∠DAC，
∵BA＝BD，
∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，
设∠B＝α，则∠BDA＝∠BAD＝2α，
又∵∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°，
∴α＋2α＋2α＝180°，
∴α＝36°，即∠B＝36°，
故选B．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想的应用．
10．已知△ABC的三边长为a，b，c，化简|a＋b－c|－|b－a－c|的结果是（ ）
A．2b－2c B．－2b C．2a＋2b D．2a
【答案】A
【分析】已知a，b，c分别是三角形的边长，根据三角形的三边关系可得a+b＞c，a+c＞b，即可得a+b-c＞0，b-a-c＜0，再根据绝对值的性质去掉绝对值号，合并同类项即可求解.
【详解】∵a，b，c分别是三角形的边长，
∴a+b＞c，a+c＞b，
∴a+b-c＞0，b-a-c＜0，
∴|a+b-c|-|b-a-c|=a+b-c-(-b+a+c) =2b-2c.
故选A.
【点评】本题考查了三角形的三边关系及绝对值的性质，根据三角形的三边关系得到a+b-c＞0、b-a-c＜0是解决问题的关键.
11．如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD．若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是（ ）
A．70° B．44° C．34° D．24°
【答案】C
【分析】易得△ABD为等腰三角形，根据顶角可算出底角，再用三角形外角性质可求出∠DAC
【详解】∵AB=BD，∠B=40°，
∴∠ADB=70°，
∵∠C=36°，
∴∠DAC=∠ADB﹣∠C=34°．
故选C.
【点评】本题考查三角形的角度计算，熟练掌握三角形外角性质是解题的关键.
12．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A．∠A=∠1-∠2 B．2∠A=∠1-∠2 C．3∠A=2∠1-∠2 D．3∠A=2（∠1-∠2）
【答案】B
【解析】【分析】本题求的是∠A、∠1、∠2之间的数量关系，首先画出折叠前的三角形，设为△BCF，可根据三角形的外角性质，首先表示出∠DEF的度数，进而根据三角形内角和定理，得到所求的结论．
【详解】如图，设翻折前A点的对应点为F．根据折叠的性质知：∠3＝∠4，∠F＝∠A．
由三角形的外角性质知：∠DEF＝∠5+∠3＝∠A+∠2+∠3．
在△DEF中，∠DEF＝180°﹣∠4﹣∠F，故180°﹣∠4﹣∠F＝∠A+∠2+∠3，即：
180°﹣∠4﹣∠A＝∠A+∠2+∠3，180°﹣∠4﹣∠3＝2∠A+∠2，即∠1＝2∠A+∠2，2∠A＝∠1﹣∠2．
故选B．
【点评】本题考查了图形的翻折变换、三角形内角和定理以及三角形的外角性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．
二、填空题
13．在图中过点P任意画一条直线，最多可以得到____________个三角形.
【答案】6
【解析】【分析】根据题意画出图形，根据图形回答问题即可．
【详解】如图1，有2个三角形；
如图2，有3个三角形；
如图3，有4个三角形；
如图4，有4个三角形；
如图5，有5个三角形，
如图6，有6个三角形，
综上所述，最多有6个三角形，
故答案为6.
【点评】本题考查了三角形，根据题意画出符合条件的图形，运用分类讨论以及数形结合思想是解题的关键.
14．已知a，b，c为三个正整数，如果a+b+c=12，那么以a，b，c为边能组成的三角形是：①等腰三角形，②等边三角形，③直角三角形，④钝角三角形.以上结论正确的是______.（只填序号）
【答案】①②③
【解析】∵a，b，c是三个正整数，且a+b+c=12，∴所有a，b，c可能出现的情况是：①2，5，5，等腰三角形；②3，4，5，直角三角形；③4，4，4，等边三角形.故正确的结论是①②③.
15．如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为_____．
【答案】72°
【分析】首先根据正五边形的性质得到AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，然后利用三角形内角和定理得∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°−108°）÷2=36°，最后利用三角形的外角的性质得到∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°．
【详解】∵五边形ABCDE为正五边形，
∴AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，
∴∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°−108°）÷2=36°，
∴∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°，
故答案为72°．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，利用数形结合求解是解答此题的关键
16．已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则等腰三角形的周长是_____．
【答案】15
【分析】分腰为3和腰为6两种情况考虑，先根据三角形的三边关系确定三角形是否存在，再根据三角形的周长公式求值即可．
【详解】解：当腰为3时，3+3=6，
∴3、3、6不能组成三角形；
当腰为6时，3+6=9＞6，
∴3、6、6能组成三角形，
该三角形的周长为=3+6+6=15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，由三角形三边关系确定三角形的三条边长为解题的关键．
17．如图所示，过正五边形的顶点作一条射线与其内角的角平分线相交于点，且，则_____度．
【答案】66
【分析】首先根据正五边形的性质得到度，然后根据角平分线的定义得到度，再利用三角形内角和定理得到的度数．
【详解】解：∵五边形为正五边形，
∴度，
∵是的角平分线，
∴度，
∵，
∴．
故答案为66．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，题目中还用到了角平分线的定义及三角形内角和定理．
18．图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度．
【答案】360°．
【分析】根据多边形的外角和等于360°解答即可．
【详解】由多边形的外角和等于360°可知，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
故答案为360°．
【点评】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．
三、解答题
19．（1）如图①，的内角的平分线与外角的平分线相交于点，，求的度数.
（2）如图，四边形中，设，，为四边形的内角与外角 的平分线所在直线相交而形成的锐角.
①如图②，若，求的度数.（用、的代数式表示）
②如图③，若，请在图③中画出，并求得 .（用、的代数式表示）
【答案】（1）∠P=20°
（2）①②
【分析】（1）根据角平分线的性质和三角形的外角的性质，可等量代换证明；
（2）①延长BA、CD交于点F，然后根据（1）的解题可得到规律；
②由上面的结论直接写出解答即可.
【详解】（1）∵BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACD
∴∠ABC=2∠PBC ,∠ACD=2∠PCD
∵∠ACD=∠A+∠ABC,∠PCD=∠P+∠PBC
∴2∠PCD=∠A+2∠PBC
∴2（∠P+∠PBC）=∠A+2∠PBC
∴∠P=
∴∠P=20°
（2）①延长BA、CD交于点F，由（1）知∠P=
∴=
②
20．已知正多边形的一个外角等于18度，求这个正多边形的边数．是否存在一个内角度数为100度的正多边形？如果存在,求出边数；如果不存在，请说明理由．
【答案】正20边形，不存在一个内角度数为100度的正多边形
【解析】试题分析：根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数．
试题解析：正多边形的一个外角等于18°，且外角和为360°，
∴这个正多边形的边数是：360°÷18°=20，
因为360°÷(180°−100°)＝，不是整数，
所以不存在一个内角度数为100度的正多边形．
21．如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上几根木条？要使一个边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上几根木条？
【答案】根木条；根木条．
【分析】要使六边形不变形，即需要在内部放入木条，使其变成多个三角形.寻找规律，从四边形需要一根，五边形需要两根，六边形需要三根，同理则n边形需要多少很容易得出规律了.
【详解】解：根据三角形的稳定性，要使六边形木架不变形，至少再钉上根木条；
要使一个边形木架不变形，至少再钉上根木条．
【点评】本题考查三角形的基本概念以及探索规律的能力，熟记三角形具有稳定性是解答本题的关键.
22．如图，ABCD是四根木条钉成的四边形，为了使它不变形，小明加了根木条AE，小明的做法正确吗？说说你的理由．
【答案】小明的做法正确，理由见解析.
【解析】试题分析：根据三角形的稳定性可得出答案．
小明的做法正确，
理由：由三角形的稳定性可得出，四边形ABCD不再变形．
23．木工师傅在做完门框后为防止变形，常像下图中所示的那样，钉上两条斜的木条，即图中的AB，CD两个木条，这是根据数学上什么原理？
【答案】三角形的稳定性
【解析】试题分析：用木条固定门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
如图加上AB，CD两个木条后，可形成两个三角形，防止门框变形．故这种做法根据的是三角形的稳定性．
24．中，，点分别是边上的点，点是一动点，令，，．
（1）若点在线段上，如图①所示，且，则_____；
（2）若点在边上运动，如图②所示，则、、之间的关系为______；
（3）如图③，若点在斜边的延长线上运动，请写出、、之间的关系式，并说明理由．
【答案】（1）140°；（2）∠1＋∠2＝90°＋α．（3）如图1，∠2−∠1＝90°＋∠α；如图2，∠α＝0°，∠2＝∠1＋90°；如图3，∠1−∠2＝∠α−90°．
【分析】（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义得出∠1＋∠2＝∠C＋∠α，进而得出即可；
（2）利用（1）中所求得出答案即可；
（3）利用三角外角的性质分三种情况讨论即可．
【详解】（1）∵∠1＋∠2＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∠C＋∠α＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∴∠1＋∠2＝∠C＋∠α，∵∠C＝90°，∠α＝50°，∴∠1＋∠2＝140°；
（2）由（1）得出：∠α＋∠C＝∠1＋∠2，∴∠1＋∠2＝90°＋α．
（3）如图，
分三种情况：连接ED交BA的延长线于P点，如图1，由三角形的外角性质，∠2＝∠C＋∠1＋∠α，∴∠2−∠1＝90°＋∠α；如图2，∠α＝0°，∠2＝∠1＋90°；如图3，∠2＝∠1−∠α＋∠C，∴∠1−∠2＝∠α−90°．
【点评】本题考查三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质和四边形内角和定理，熟练利用三角形外角的性质是解决问题的关键．
25．阅读
（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．
中线AD的取值范围是________；
（2）问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）2＜AD＜8；（2）证明见解析；（3）BE+DF=EF；理由见解析.
【分析】（1）延长AD至E，使DE=AD，由SAS证明△ACD≌△EBD，得出BE=AC=6，在△ABE中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围；
（2）延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM=CF，由线段垂直平分线的性质得出EM=EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；
（3）延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，证出∠NBC=∠D，由SAS证明△NBC≌△FDC，得出CN=CF，∠NCB=∠FCD，证出∠ECN=70°=∠ECF，再由SAS证明△NCE≌△FCE，得出EN=EF，即可得出结论．
【详解】（1）解：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，如图①所示：
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDA中，BD=CD，∠BDE=∠CDA，DE=AD，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE=AC=6，
在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，
∴2＜AD＜8；
故答案为2＜AD＜8；
（2）证明：延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，如图②所示：
同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），
∴BM=CF，
∵DE⊥DF，DM=DF，
∴EM=EF，
在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，
∴BE+CF＞EF；
（3）解：BE+DF=EF；理由如下：
延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，如图3所示：
∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°，
∴∠NBC=∠D，
在△NBC和△FDC中，
BN=DF，∠NBC =∠D，BC=DC，
∴△NBC≌△FDC（SAS），
∴CN=CF，∠NCB=∠FCD，
∵∠BCD=140°，∠ECF=70°，
∴∠BCE+∠FCD=70°，
∴∠ECN=70°=∠ECF，
在△NCE和△FCE中，
CN=CF，∠ECN=∠ECF，CE=CE，
∴△NCE≌△FCE（SAS），
∴EN=EF，
∵BE+BN=EN，
∴BE+DF=EF．
考点：全等三角形的判定和性质；三角形的三边关系定理.
26．已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．
【答案】证明见解析
【解析】分析：过点A作EF∥BC，利用EF∥BC，可得∠1=∠B，∠2=∠C，而∠1+∠2+∠BAC=180°，利用等量代换可证∠BAC+∠B+∠C=180°．
详解：如图，过点A作EF∥BC，
∵EF∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°，
即∠A+∠B+∠C=180°．
点睛：本题考查了三角形的内角和定理的证明，作辅助线把三角形的三个内角转化到一个平角上是解题的关键．
27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
【答案】(1) 65°；(2) 25°．
【详解】分析：（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由邻补角定义得出∠CBD=130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE=∠CBD=65°；
（2）先根据直角三角形两锐角互余的性质得出∠CEB=90°﹣65°=25°，再根据平行线的性质即可求出∠F=∠CEB=25°．
详解：
（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，
∴∠CBD=130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE=∠CBD=65°；
（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，
∴∠CEB=90°﹣65°=25°．
∵DF∥BE，
∴∠F=∠CEB=25°．
点睛：本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．
28．如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数．
【答案】∠ADB=100°．
【分析】根据AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，得出∠BAD=30°，再利用CE是△ABC的高，∠BCE=40°，得出∠B的度数，进而根据三角形的内角和定理得出∠ADB的度数．
【详解】∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，
∴∠BAD=30°，
又∵CE是△ABC的高，∠BCE=40°，
∴∠BEC=90°
∴∠B=50°
∴∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-50°-30°=100°
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