第13章轴对称-2020-2021学年八年级上学期期末冲刺综合能力提升训练（人教版）

第13章轴对称
一、单选题
1．已知点M（3，a）和N(b，4)关于x轴对称，则（a+b）2020的值为（ ）
A．1 B．-1 C．72020 D．-72020
2．如图，点E是正方形ABCD内一点，BE交对角线AC于O点，且∠COE=75°，BE=BC，则∠E的度数为（ ）

A．55° B．60° C．65° D．75°
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，如果AP＝2，则AD的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
4．如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且，若的周长为，，则的长为（ ）

A． B． C． D．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，∠B＝30°，则BC为（ ）．
A．1 B． C． D．4
6．下列命题中，错误的是（ ）
A．线段的两个端点关于它的垂直平分线对称；
B．斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等；
C．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合；
D．五边形共有5条对角线．
7．在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣2）关于y轴的对称点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．如图所示，在中，，是的角平分线，，，垂足分别为E、F，①，；②；③若点为上任意一点，且，则的取值范围是；④．其中，正确的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，图①是一个四边形纸条 ABCD，其中 AB∥CD，E，F 分别为边 AB，CD 上的两个点，将纸条 ABCD 沿 EF 折叠得到图②，再将图②沿 DF 折叠得到图③，若在图③中，∠FEM=26°，则∠EFC 的度数为（ ）

A．52° B．64° C．102° D．128°
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分∠BAC，DE垂直平分AB，连接CE，∠B＝70°．则∠BCE的度数为（　　）

A．55° B．50° C．40° D．35°
二、填空题
11．如图，直线AB∥CD，直线EF分别与直线AB和直线CD交于点E和F，点P是射线EA上的一个动点（P不与E重合）把△EPF沿PF折叠，顶点E落在点Q处，若∠PEF=60°,且∠CFQ:∠QFP=2:5，则∠PFE的度数是_______．

12．如图，在中，点在边上，，E为的中点，若则为______________________．

13．如图所示，是等边三角形，，是直角三角形，则_______．

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE是AB的垂直平分线，若∠CBE＝20°，则∠A＝_____°．

15．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点E，过E作DE∥BC，交AB于点D，若DB＝8，则DE＝_____．

16．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为，，，点P在BC（不与点B、C重合）上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为______．

17．已知等边三角形的高为6，在这个三角形所在的平面内有一个点，若点到的距离是1，点到的距离是2，则点到的最小距离与最大距离分别是_______.
18．在△ABC 中，若∠A＝∠B，∠C＝60°，则该三角形的形状是______．
19．如图，平行四边形 的周长为 , 相交于点 ， 交 于点 ，则 的周长为________ .

20．如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度．

三、解答题
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点，DE∥AB．交AC于点E，连结DE，过点E作EF⊥BC于点F．
求证：F为线段CD中点．




22．如图，已知是的一个外角．

（1）求作边上的高及的角平分线；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹并标明字母)
（2）在（1）的基础上，若，求证：．


23．如图，△ABC中，AC的中垂线交AB，AC于点D，E，点D是AB的中点，判断△ABC的形状，并写出理由．






24．如图，在长度为个单位长度的小正方形组成的网格中，点均在小正方形的顶点上．

在图中画出与关于直线成轴对称的．
直接写出的面积为_ ．
在直线上找一点，使的值最小．

25．如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E．
（1）若，求的度数；
（2）若AE=5，△DCB的周长为16，求△ABC的周长．



26．如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点．

（1）画出△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′；
（2）直接写出线段BB′的长度；
（3）直接写出△ABC的面积．


27．如图，已知在中，的垂直平分线交于点，连接．
若，求的度数；
若求线段的长度．



28．在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且AE=BD,

（1）当点E为AB的中点时,如图1,求证:EC=ED;
（2）当点E不是AB的中点时,如图2,过点E作EF//BC,求证:△AEF是等边三角形;
（3）在第(2)小题的条件下,EC与ED还相等吗,请说明理由.


29．等边△ABD和等边△BCE如图所示，连接AE与CD．

证明：（1）AE＝DC；
（2）AE与DC的夹角为60°；
（3）AE延长线与DC的交点设为H，求证：BH平分∠AHC．


30．如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD．

证明：（1）AE与DC的夹角为60°；
（2）AE与DC的交点设为H，BH平分∠AHC．



31．如图,两条公路OA、OB相交于点O,在∠AOB内部有两个村庄C．D,现要在∠AOB内部修建一个水库P,使得该水库到两条公路OA、OB距离相等,且到两个村庄C．D的距离也相等．请通过尺规作图确定水库P的位置.(要求：不写作法,保留作图痕迹,写出结论)





32．如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点、.求证：.




33．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，BC的垂直平分线分别交AC、BC于点D、E，求CD的长．

34．已知：如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AP与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PM⊥AC于点M，PN⊥AB交AB延长线于点N，连接PB，PC．求证：BN=CM．


35．如图，河边有 A,B 两个村庄，现准备在河边建一个水厂，建在何处才能使费用最省？（要 求：画出图形，在图上标出要建设的水厂点 P)


36．如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC．

（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B＝40°，求∠AGC的度数．


37．如图，在中，，是上一点，，过点作的垂线交于点.

求证：.


38．如图，直线MN与x轴、y轴分别相交于B、A两点，OA，OB的长满足式子|OA﹣6|+（OB﹣8）2＝0．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若点O到AB的距离为，求线段AB的长；
（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在点P，使△ABP使以AB为腰的等腰三角形，若存在请直接写出满足条件的点P的坐标．



39．如图，已知A(-1,0),B(1,0),C为y轴正半轴上一点，点D为第三象限一动点，CD交AB于F,且∠ADB=2∠BAC，

(1)求证：∠ADB与∠ACB互补；
(2)求证：CD平分∠ADB；
(3)若在D点运动的过程中，始终有DC=DA+DB,在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数.

40．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴与y轴上，已知正方形边长为3，点D为x轴上一点，其坐标为（1，0），连接CD，点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿折线C→B→A的方向向终点A运动，当点P与点A重合时停止运动，运动时间为t秒．
（1）连接OP，当点P在线段BC上运动，且满足△CPO≌△ODC时，求直线OP的表达式；
（2）连接PC，求△CPD的面积S关于t的函数表达式；
（3）点P在运动过程中，是否存在某个位置使得△CDP为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．





第13章轴对称
一、单选题
1．已知点M（3，a）和N(b，4)关于x轴对称，则（a+b）2020的值为（ ）
A．1 B．-1 C．72020 D．-72020
【答案】A
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出a，b的值，进而求出答案．
【详解】∵M（3，a）和N（b，4）关于x轴对称，
∴a=-4，b=3，
∴
故选A．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
2．如图，点E是正方形ABCD内一点，BE交对角线AC于O点，且∠COE=75°，BE=BC，则∠E的度数为（ ）

A．55° B．60° C．65° D．75°
【答案】D
【分析】根据正方形的性质得到∠BCO=45°，然后根据三角形外角的性质求得∠OBC，最终根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】∵四边形ABCD是正方形
∴∠BCO=45°
∵∠COE=∠OBC +∠BCO =75°
∴∠OBC=30°
∵BE=BC
∴∠BEC=∠BCE
又∵∠BEC+∠BCE+∠OBC=180°
∴∠BEC=∠BCE=75°，即∠E=75°
故选D．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，正方形的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解决本题的关键．
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，如果AP＝2，则AD的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】先利用三角形内角和和角平分线定义计算出∠BAD＝30°，∠ABP＝∠DBP＝30°，则PB＝PA＝2，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到PD＝PB＝1，然后计算AP+PD即可．
【详解】解：∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝30°，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABP＝∠DBP＝30°，
∴PB＝PA＝2，
在Rt△PBD中，PD＝PB＝1，
∴AD＝AP+PD＝2+1＝3
故选：B．
【点评】本题考查直角三角形的性质和角平分线的性质，掌握30°角直角三角形斜边和直角边的关系为解题关键．
4．如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且，若的周长为，，则的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线和等腰三角形三线合一的性质得出AB=AE=CE，再根据的周长为，能推出2DE+2EC=14cm，即可得出答案．
【详解】∵，，EF垂直平分AC，
∴AB=AE=EC，
∵△ABC周长26cm，AC=10cm，
∴AB+BE+EC=16cm，
即2DE+2EC=16cm，
∴DE+EC=DC=8cm．
故选：C．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练应用等腰三角形和垂直平分线的性质进行等量代换为解题关键．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，∠B＝30°，则BC为（ ）．
A．1 B． C． D．4
【答案】C
【分析】根据题意获得下图，根据含30°直角三角形的边角关系，得到BC=AC，即可求解．
【详解】根据题意获得下图，由含30°直角三角形的边角关系，得到：
AB=2AC，由勾股定理得BC=AC
∴BC=AC=

故选C．
【点评】本题考查了含30°直角三角形的边角关系，熟记30°对边：60°对边：90°对边=1：：2是本题的关键．
6．下列命题中，错误的是（ ）
A．线段的两个端点关于它的垂直平分线对称；
B．斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等；
C．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合；
D．五边形共有5条对角线．
【答案】C
【分析】根据垂直平分线的性质、三角形全等判定条件、等腰三角形的三线、多边形的对角线条数公式逐一判断即可．
【详解】垂直平分线也是这条线段的对称轴，故A正确；
符合HL，故B正确；
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合，故C错误；
多边形对角线公式为：，当n=5时，有5条对角线，故D正确；
故选C．
【点评】本题考查了垂直平分线的性质、三角形全等判定条件、等腰三角形的三线、多边形的对角线条数，熟练掌握相关性质并灵活应用是本题的关键．
7．在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣2）关于y轴的对称点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求出对称点的坐标，再根据各象限内点的坐标特点解答．
【详解】解：∵点A（﹣3，﹣2）关于y轴的对称点是（3，﹣2），
∴A（﹣3，﹣2）关于y轴的对称点在第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了已知点的坐标和该点关于y轴的对称点的坐标的关系（二者的纵坐标不变，横坐标互为相反数），以及四个象限中点的坐标的特点．
8．如图所示，在中，，是的角平分线，，，垂足分别为E、F，①，；②；③若点为上任意一点，且，则的取值范围是；④．其中，正确的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=CD，AD⊥BC，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AD上的点到AB、AC两边的距离相等，根据垂线段最短判断PD 的取值范围，根据等边对等角的性质可得∠B=∠C，等角的余角相等即可判断．
【详解】在中，
∵，是的角平分线，
∴，（三线合一），①正确；
∵是的角平分线，，，
∴，②正确；
∵，
∴DF=3，
∵点为上任意一点，且，
∴，③错误；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，④正确；
即①②④正确；
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质和垂线段最短的性质为解题关键．
9．如图，图①是一个四边形纸条 ABCD，其中 AB∥CD，E，F 分别为边 AB，CD 上的两个点，将纸条 ABCD 沿 EF 折叠得到图②，再将图②沿 DF 折叠得到图③，若在图③中，∠FEM=26°，则∠EFC 的度数为（ ）

A．52° B．64° C．102° D．128°
【答案】C
【解析】【分析】先由折叠得：∠BEF=2∠FEM=52°，由平行线的性质得∠EFM=26°，如图③中，根据折叠和平行线的性质得，∠MFC=128°，根据角的差可得结论．
【详解】如图①，由折叠得：∠BEF=2×26°=52°，
如图②，∵AE∥DF，
∴∠EFM=26°，∠BMF=∠DME=52°，
∵BM∥CF，
∴∠CFM+∠BMF=180°，
∴∠CFM=180°-52°=128°，
由折叠得：如图③，∠MFC=128°，
∴∠EFC=∠MFC-∠EFM=128°-26°=102°，
故选C．

【点评】本题考查了平行线的性质、翻折变换的性质等知识；熟练掌握平行线和翻折变换的性质得出相等的角是解决问题的关键．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分∠BAC，DE垂直平分AB，连接CE，∠B＝70°．则∠BCE的度数为（　　）

A．55° B．50° C．40° D．35°
【答案】B
【分析】连接BE，根据等腰三角形性质求出EB＝EC，根据线段垂直平分线性质求出AE＝BE，根据等边对等角求出∠BAE＝∠EBA、∠BCE＝∠EBC，即可求出答案．
【详解】解：如图，连接BE，

∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠ABC＝70°，AC＝AB，
∴∠ACB＝∠ABC＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝40°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝20°，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝EB，
∴∠ABE＝∠BAE＝20°，
∴∠BCE＝∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝70°﹣20°＝50°，
故选B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出∠BAE=∠EBA和∠BCE=∠EBC是解此题的关键．


二、填空题
11．如图，直线AB∥CD，直线EF分别与直线AB和直线CD交于点E和F，点P是射线EA上的一个动点（P不与E重合）把△EPF沿PF折叠，顶点E落在点Q处，若∠PEF=60°,且∠CFQ:∠QFP=2:5，则∠PFE的度数是_______．

【答案】50°
【分析】依据平行线的性质，即可得到∠EFC的度数，再求出∠CFQ，即可求出∠PFE的度数．
【详解】∵AB∥CD，∠PEF＝60°，
∴∠PEF+∠EFC＝180°，
∴∠EFC＝180°﹣60°＝120°，
∵将△EFP沿PF折叠，便顶点E落在点Q处，
∴∠PFE＝∠PFQ，
∵∠CFQ:∠QFP=2:5
∴∠CFQ＝∠EFC＝×120°＝20°，
∴∠PFE＝∠EFQ＝（∠EFC﹣∠CFQ）＝（120°﹣20°）＝50°．
故答案为：50°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及翻折问题的综合应用，正确掌握平行线的性质和轴对称的性质是解题的关键．
12．如图，在中，点在边上，，E为的中点，若则为______________________．

【答案】36°．
【分析】先利用等腰三角形三线合一的性质判断出∠AEC=90°，进而求出∠ADC=∠C=72°，最后用等腰三角形的外角的性质即可得出结论．
【详解】∵AD=AC，点E是CD中点，
∴AE⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∴∠C=90°−∠CAE=72°，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠C=72°，
∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD=∠ADC=36°，
∴∠B=36°，
故答案为：36°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质为解题关键．
13．如图所示，是等边三角形，，是直角三角形，则_______．

【答案】30°
【分析】根据等边三角形的性质求出∠ACB=60°，根据直角三角形的性质得到∠ACD=90°，再利用三角形外角的性质和平行线的性质即可解答.
【详解】∵是等边三角形，是直角三角形，
∴∠ACB=60°，∠ACD=90°，
∴∠DCE=30°，
∵，
∴∠ADC=∠DCE，
∴30°.
故答案为30°.
【点评】此题考查平行线的性质，三角形内角和，解题关键在于求出∠DCE=30°.
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE是AB的垂直平分线，若∠CBE＝20°，则∠A＝_____°．

【答案】35
【分析】利用三角形内角和定理求出∠CEB，再证明∠A＝∠EBA，便可求解了.
【详解】解：∵∠C＝90°，
∴∠CEB＝90°﹣∠CBE＝70°，
∵DE垂直平分线段AB，
∴EA＝EB，
∴∠A＝∠EBA，
∵∠CEB＝∠A+∠EBA，
∴∠A＝∠EBA＝35°，
故答案为35
【点评】本题考查了直角三角形的性质，线段的垂直平分线性质，三角形内角和定理，解题关键是熟悉掌握知识本身.
15．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点E，过E作DE∥BC，交AB于点D，若DB＝8，则DE＝_____．

【答案】8
【分析】根据已知证明∠DBE＝∠DEB，推出DB＝DE便可解决问题.
【详解】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠EBC，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，
∵DB＝8，
∴DE＝8，
故答案为8．
【点评】本题考查等腰三角形判定和性质，平行线性质，解题关键掌握这些基本知识，属于中考的题型.
16．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为，，，点P在BC（不与点B、C重合）上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为______．

【答案】（1,3）或（4,3）
【解析】【分析】根据△ODP是腰长为5的等腰三角形，因此要分类讨论到底是哪两条腰相等：①PD=OD为锐角三角形；②OP=OD；③OD=PD为钝角三角形，注意不重不漏.
【详解】∵C（0,3），A（9,0）
∴B的坐标为（9,3）
①当P运动到图①所示的位置时

此时DO=PD=5
过点P作PE⊥OA于点E，
在RT△OPE中，根据勾股定理4
∴OE=OD-DE=1
此时P点的坐标为（1,3）；
②当P运动到图②所示的位置时

此时DO=PO=5
过点P作PE⊥OA于点E，
在RT△OPE中，根据勾股定理4
此时P点的坐标为（4,3）；
③当P运动到图③所示的位置时

此时OD=PD=5
过点P作PE⊥OA于点E
在RT△OPE中，根据勾股定理4
∴OE=OD+DE=9
此时P点的坐标为（9,3），此时P点与B点重合，故不符合题意.
综上所述，P的坐标为（1,3）或（4,3）
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定以及勾股定理的应用.
17．已知等边三角形的高为6，在这个三角形所在的平面内有一个点，若点到的距离是1，点到的距离是2，则点到的最小距离与最大距离分别是_______.
【答案】3和9
【分析】根据题意画出相应的图形，直线DM与直线NF都与AB的距离为1，直线NG与直线ME都与AC的距离为2，当P与N重合时，HN为P到BC的最小距离；当P与M重合时，MQ为P到BC的最大距离，根据题意得到△NFG与△MDE都为等边三角形，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出DB与FB的长，以及CG与CE的长，进而由DB+BC+CE求出DE的长，由BC-BF-CG求出FG的长，求出等边三角形NFG与等边三角形MDE的高，即可确定出点P到BC的最小距离和最大距离．
【详解】解：根据题意画出相应的图形，直线DM与直线NF都与AB的距离为1，直线NG与直线ME都与AC的距离为2，

当P与N重合时，HN为P到BC的最小距离；当P与M重合时，MQ为P到BC的最大距离，
根据题意得到△NFG与△MDE都为等边三角形，
∵等边三角形ABC的高为6
∴等边三角形ABC的边长：BC=
∴DB=FB，CE=CG，
∴DE=DB+BC+CE=+=，
FG=BC-BF-CG=
∴NH=3，MQ=9
则点P到BC的最小距离和最大距离分别是3，9．
故答案为3，9．
【点评】此题考查了等边三角形的性质，以及平行线间的距离，作出相应的图形是解本题的关键．
18．在△ABC 中，若∠A＝∠B，∠C＝60°，则该三角形的形状是______．
【答案】等边三角形
【分析】利用三角形内角和定理求得∠A=∠B=∠C=60°，则可判断△ABC是等边三角形.
【详解】解：如图：

∵在△ABC中，∠A=∠B，∠C=60°，
∴∠A+∠B=2∠A=180°-∠C=120°，
∴∠A=∠B=60°，即∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ABC是等边三角形.
故答案为等边三角形.
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及三个内角都是60°的三角形是等边三角形.
19．如图，平行四边形 的周长为 , 相交于点 ， 交 于点 ，则 的周长为________ .

【答案】8
【解析】【分析】根据平行四边形性质得出AD=BC，AB=CD，OA=OC，根据线段垂直平分线得出AE=CE，求出CD+DE+EC=AD+CD，代入求出即可．
【详解】解：∵平行四边形ABCD，
∴AD=BC，AB=CD，OA=OC，
∵EO⊥AC，
∴AE=EC，
∵AB+BC+CD+AD=16，
∴AD+DC=8，
∴△DCE的周长是：CD+DE+CE=AE+DE+CD=AD+CD=8，
故答案为8．
【点评】本题考查了平行四边形性质、线段垂直平分线性质的应用，关键是求出AE=CE，主要培养学生运用性质进行推理的能力，题目较好，难度适中．
20．如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度．

【答案】70
【解析】【分析】先利用HL证明△ABE≌△CBF，可证∠BCF=∠BAE=25°，即可求出∠ACF=45°+25°=70°.
【详解】∵∠ABC=90°，AB=AC，
∴∠CBF=180°-∠ABC=90°，∠ACB=45°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)，
∴∠BCF=∠BAE=25°，
∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°，
故答案为70.
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

三、解答题
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点，DE∥AB．交AC于点E，连结DE，过点E作EF⊥BC于点F．
求证：F为线段CD中点．

【答案】见详解
【分析】先证明，再根据等腰三角形三线合一即可证明．
【详解】证明：，
．
，
．
，
．
，
点为线段中点．
【点评】本题考查等腰三角形的性质与判定，理解等腰三角形的性质定理和判定定理是解题关键．
22．如图，已知是的一个外角．

（1）求作边上的高及的角平分线；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹并标明字母)
（2）在（1）的基础上，若，求证：．
【答案】（1）见详解；（2）见详解．
【分析】（1）直接利用高的作法作出BC边上的高，再根据角平分线的作法，作出∠DAC的角平分线即可．
（2）利用垂直关系证明出AF//BC，得到∠B=∠DAF和∠C=∠FAC，又因为∠DAF=∠FAC从而得出答案．
【详解】解:如图，线段即为边上的高，射线即为的角平分线.(尺规作图答案不唯一，正确即可)

证明:由得，
又，
，
，，
由得是的角平分线，
，
，
．
【点评】本题考查尺规作图以及平行线的判定和性质，特别要注意尺规作图的结论要写，这个是失分点，正确掌握基本作图的方法是解题的关键．
23．如图，△ABC中，AC的中垂线交AB，AC于点D，E，点D是AB的中点，判断△ABC的形状，并写出理由．

【答案】△ABC是直角三角形
【分析】连接CD，根据题意得到AD=BD=CD，得到，然后根据三角形内角和即可判断．
【详解】△ABC是直角三角形，理由如下：
连接CD，如下图所示：

∵AC的中垂线交AB，AC于点D，E
∴CD=AD
∴
∵点D是AB的中点
∴BD=AD
∴CD=BD
∴
∵
∴
即
∴△ABC是直角三角形
故答案为：△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记等边对等角，等角对等边是本题的关键．
24．如图，在长度为个单位长度的小正方形组成的网格中，点均在小正方形的顶点上．

在图中画出与关于直线成轴对称的．
直接写出的面积为_ ．
在直线上找一点，使的值最小．
【答案】（1）画图见解析；（2）；（3）画图见解析．
【分析】（1）利用轴对称的性质，做出对应点，然后连线即可；
（2）利用割补法即可得出答案；
（3）连接AC'，直线的交点即为所求．
【详解】（1）如图即所求．

（2）


．
（3）连接交于，点即所求．

【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置，熟记轴对称的性质是解题的关键．
25．如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E．
（1）若，求的度数；
（2）若AE=5，△DCB的周长为16，求△ABC的周长．

【答案】（1）30°；（2）26
【分析】（1）由在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ACB的度数，又由线段垂直平分线的性质，可得AD＝CD，即可求得∠ACD的度数，继而求得答案；
（2）根据DE垂直平分AC得到DA＝DC，EC＝EA＝5，根据△DCB的周长为16，通过线段代换即可求得△ABC的周长．
【详解】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB70°，
∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，
∴在△DAC中，∠DCA＝∠A＝40°，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝30°；
（2）∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，EC＝EA＝5，
∴AC＝2AE＝10，
∴△ABC的周长为：AC+BC+AB= AC+BC+BD+DA＝10+BC+BD+DC＝10+16＝26．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质．此题难度不大，熟练掌握相关性质是解题关键．
26．如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点．

（1）画出△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′；
（2）直接写出线段BB′的长度；
（3）直接写出△ABC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）6；（3）
【分析】（1）由轴对称的性质，首先连接对称点，然后连接线段即可；
（2）由作出的图，查格子数目直接可求BB'；
（3）利用割补法△ABC的面积＝长方形面积-三个直角三角形面积．
【详解】（1）如图：
（2）由图可求BB'＝6；
（3）．

【点评】本题考查了轴对称图形的做法，轴对称图形的性质，和割补法求组合图形的面积，将求△ABC的面积转化为求长方形面积-三个直角三角形面积，是解决本题的关键．
27．如图，已知在中，的垂直平分线交于点，连接．
若，求的度数；
若求线段的长度．

【答案】（1）30°；（2）7
【分析】（1）由在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，利用等腰三角形的性质，即可求得∠ABC的度数，然后由AB的垂直平分线MN交AC于点D，根据线段垂直平分线的性质，可求得AD=BD，继而求得∠ABD的度数，则可求得∠DBC的度数．
（2）由（1）得BD=AD，结合AB=AC，根据BD=AD=AC-CD，代入即可求解．
【详解】（1）

点在的垂直平分线上，



（2）
．
【点评】本题考查了线段垂直平分线和等腰三角形性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
28．在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且AE=BD,

（1）当点E为AB的中点时,如图1,求证:EC=ED;
（2）当点E不是AB的中点时,如图2,过点E作EF//BC,求证:△AEF是等边三角形;
（3）在第(2)小题的条件下,EC与ED还相等吗,请说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），见解析.
【分析】（1）根据等边三角形三线合一的性质可得∠ECB=30°，∠ABC=60°，根据AE=EB=BD，可得∠ECB=∠ACB=30°，∠EDB=∠DEB=∠ACB=30°，根据等角对等边即可证得结论；
（2）根据平行线的性质证得∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠C=60°，即可证得结论；
（3）先求得BE=FC，然后证得△DBE≌△EFC即可.
【详解】（1）如图1，在等边△ABC中，AB=BC=AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，
∵AE=EB=BD，
∴∠ECB=∠ACB=30°，∠EDB=∠DEB=∠ACB=30°，
∴∠EDB=∠ECB，
∴EC=ED；
（2）如图2，

∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠C=60°，
∴△AEF为等边三角形；
（3）EC=ED；
理由：∵∠AEF=∠ABC=60°，
∴∠EFC=∠DBE=120°，
∵AB=AC，AE=AF，
∴AB-AE=AC-AF，即BE=FC，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴ED=EC．
【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
29．等边△ABD和等边△BCE如图所示，连接AE与CD．

证明：（1）AE＝DC；
（2）AE与DC的夹角为60°；
（3）AE延长线与DC的交点设为H，求证：BH平分∠AHC．
【答案】（1）详见解析；（2）60°；（3）详见解析
【分析】（1）根据△ABD和△BCE都是等边三角形，即可得到△ABE≌△DBC（SAS），进而得出AE＝DC；
（2）根据全等三角形的性质以及三角形内角和定理，即可得到△ADH中，∠AHD＝60°，进而得到AE与DC的夹角为60°；
（3）过B作BF⊥DC于F，BG⊥AH于G，根据全等三角形的面积相等，即可得到BG＝BF，再根据BF⊥DC于F，BG⊥AH于G，可得BH平分∠AHC．
【详解】证明：（1）∵△ABD和△BCE都是等边三角形，
∴AB＝DB，EB＝CB，∠ABD＝∠EBC
∴∠ABE＝∠DBC
∴在△ABE和△DBC中

∴△ABE≌△DBC（SAS）
∴AE＝DC；
（2）∵△ABE≌△DBC
∴∠BAE＝∠BDC
又∵∠BAE+∠HAD+∠ADB＝120°
∴∠BDC+∠HAD+∠ADB＝120°
∴△ADH中，∠AHD＝180°﹣120°＝60°
即AE与DC的夹角为60°；
（3）过B作BF⊥DC于F，BG⊥AH于G，如图：

∵△ABE≌△DBC
∴S△ABE＝S△DBC，即AE×BGDC×BF
∵AE＝DC
∴BG＝BF
∵BF⊥DC于F，BG⊥AH于G
∴BH平分∠AHC．
【点评】本题考查了等边三角形性质、全等三角形的性质和判定、三角形的内角和定理、等式性质、角平分线的判定等知识点的综合运用，证明是解决问题的关键．
30．如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD．

证明：（1）AE与DC的夹角为60°；
（2）AE与DC的交点设为H，BH平分∠AHC．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【分析】（1）根据等边三角形性质得出，，，求出．根据证，则，根据三角形的内角和定理可求出；
（2）过点分别作，，垂足为点、，再（1）结论的基础上根据全等三角形的性质以及三角形的面积公式求得，然后根据角平分线的判定即可得证结论．
【详解】证明：（1）∵和是等边三角形
∴，，
∴
在和中，

∴
∴，
∵
∴在中，


；
（2）过点分别作，，垂足为点、，如图：

∵由（1）知：
∴，
∴
∴
∵，
∴点在的平分线上，
∴平分．
【点评】本题考查了等边三角形性质、三角形的面积、全等三角形的性质和判定、三角形的内角和定理、等式性质、角平分线的判定等知识点的综合运用，证明是解决问题的关键．
31．如图,两条公路OA、OB相交于点O,在∠AOB内部有两个村庄C．D,现要在∠AOB内部修建一个水库P,使得该水库到两条公路OA、OB距离相等,且到两个村庄C．D的距离也相等．请通过尺规作图确定水库P的位置.(要求：不写作法,保留作图痕迹,写出结论)

【答案】见解析
【分析】作∠AOB的平分线，再作线段CD的垂直平分线，两线的交点P就是所求点．
【详解】如图所示：

点P即为所求.
【点评】此题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，作图—应用与设计作图，解题关键在于掌握作图法则.
32．如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点、.求证：.

【答案】详见解析
【分析】连接BE，由垂直平分线的性质可求得∠EBC=∠ABE=∠A=30°，在Rt△BCE中，由直角三角形的性质可证得BE=2CE，则可证得结论.
【详解】证明：连接，

为边为垂直平分线，
.
，，
，
，
在中，，
，
.
【点评】本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
33．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，BC的垂直平分线分别交AC、BC于点D、E，求CD的长．

【答案】
【分析】连接DB，根据勾股定理的逆定理得到∠A=90°，根据线段垂直平分线的想知道的DC=DB，设DC=DB=x，则AD=8-x．根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：连接DB，
在△ACB中，
∵AB2+AC2＝62+82＝100，
又∵BC2 ＝102 ＝100，
∴AB2+AC2＝BC2．
∴△ACB是直角三角形，∠A＝90°，
∵DE垂直平分BC，
∴DC＝DB，
设DC＝DB＝x，则AD＝8﹣x．
在Rt△ABD中，∠A＝90°，AB2+AD2＝BD2，
即62+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝，
即CD＝．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，线段的垂直平分线的性质，熟练掌握是解题的关键.
34．已知：如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AP与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PM⊥AC于点M，PN⊥AB交AB延长线于点N，连接PB，PC．求证：BN=CM．

【答案】见解析
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PM=PN，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得PB=PC，然后利用“HL”证明Rt△PBN和Rt△PCM全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
【详解】∵AP是∠BAC的平分线，PM⊥AC，PN⊥AB，
∴PM=PN，
∵PQ是线段BC的垂直平分线，
∴PB=PC，
在Rt△PBN和Rt△PCM中， ，
∴Rt△PBN≌Rt△PCM（HL），
∴BN=CM．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，主要利用了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记各性质并准确确定出全等三角形是解题的关键．
35．如图，河边有 A,B 两个村庄，现准备在河边建一个水厂，建在何处才能使费用最省？（要 求：画出图形，在图上标出要建设的水厂点 P)

【答案】答案见解析
【解析】【分析】根据两点之间线段最短解答．
【详解】作A关于直线l的对称点A′，连结A′B，交直线l于点P，则点P就是所求的点．

【点评】本题考查了作图﹣﹣应用与设计作图．两点之间线段最短在解决实际问题中的灵活应用是考查重点．
36．如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC．

（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B＝40°，求∠AGC的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）70°
【分析】（1）根据AF平分∠DAC得出∠DAF＝∠CAF，再根据AF∥BC求得∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB则可证明△ABC是等腰三角形；（2）根据AB＝AC，∠B＝40°，可求出∠ACE的角度，再根据CG平分∠ACE求出，则利用AF∥BC求出∠AGC的度数．
【详解】（1）证明：∵AF平分∠DAC，
∴∠DAF＝∠CAF，
∵AF∥BC，
∴∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：∵AB＝AC，∠B＝40°，
∴∠ACB＝∠B＝40°，
∴∠BAC＝100°，
∴∠ACE＝∠BAC+∠B＝140°，
∵CG平分∠ACE，
∴ACE＝70°，
∵AF∥BC，
∴∠AGC＝180°﹣∠BCG＝70°．
【点评】本题主要考查了角平分线及平行线的性质，熟练掌握角平分线、平行线的性质及等腰三角形的判定定理是解题的关键.
37．如图，在中，，是上一点，，过点作的垂线交于点.

求证：.
【答案】见解析.
【解析】【分析】首先根据HL证明Rt△ECB≌Rt△EDB，得出∠EBC=∠EBD，然后根据等腰三角形三线合一性质即可证明．
【详解】解：证明：

∵.
∴
∵
∴
在中与中，
∵,
∴ （HL）
∴,
∴（三线合一）.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形“三线合一”的性质，得出∠EBC=∠EBD，是解题的关键．
38．如图，直线MN与x轴、y轴分别相交于B、A两点，OA，OB的长满足式子|OA﹣6|+（OB﹣8）2＝0．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若点O到AB的距离为，求线段AB的长；
（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在点P，使△ABP使以AB为腰的等腰三角形，若存在请直接写出满足条件的点P的坐标．

【答案】 (1) A(0，6)B(8，0)；（2）；（3）存在，（-8,0）、（-2,0）、（18,0）.
【分析】（1）根据非负数的性质可得OA=6、OB=8，即可求得A、B两点的坐标；（2）根据直角三角形面积的两种表示法即可求得AB的长；（3）分AB=B P1、AB=A P2、AB=B P3三种情况求点P的坐标.
【详解】（1）∵，
∴OA=6，OB=8，
∴A(0，6)，B(8，0)；
（2）∵，
∴AB=10；
（3）在x轴上存在点P，是使ΔABP使以AB为腰的等腰三角形，点P的位置如图所示，
①当AB=BP1时，P1的坐标为（18，0）；②当AB=AP2时，P2的坐标为（-8，0）；③当AB=BP3时，P3的坐标为（-2，0）.

【点评】本题非负数的性质、直角三角形的面积求法、及等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解决第（3）问的关键．
39．如图，已知A(-1,0),B(1,0),C为y轴正半轴上一点，点D为第三象限一动点，CD交AB于F,且∠ADB=2∠BAC，

(1)求证：∠ADB与∠ACB互补；
(2)求证：CD平分∠ADB；
(3)若在D点运动的过程中，始终有DC=DA+DB,在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)∠BAC=60°.
【分析】(1)先判断△ABC是等腰三角形，然后在△ABC中利用三角形内角和定理以及∠ADB=2∠BAC即可得到结论；
(2)过点C作AM⊥DA于点M，作CN⊥BD于点N，运用“AAS”证明△CAM≌△CBN得CM=CN，根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；
(3)延长DB至点P，使BP=AD，连接CP，则可得CD=DP，证明△CAD≌△CBP，从而可得 △CDP是等边三角形，从而求∠BAC的度数．
【详解】(1)∵A(-1,0),B(1,0)，
∴OA=OB=1，
∵CO⊥AB，
∴CA=CB，
∴∠ABC=∠BAC，
∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，∠ADB=2∠BAC，
∴∠ADB+∠ACB=180°，
即∠ADB与∠ACB互补；
(2)过点C作AM⊥DA于点M，作CN⊥BD于点N，则∠AMC=∠ANB=90°，

∵∠ADB+∠AMC+∠DNC+∠MCN=360°，
∴∠ADB+∠MCN=180°，
又∵∠ADB+∠ACB=180°，
∴∠MCN=∠ACB，
∴∠MCN-∠CAN=∠ACB-∠CAN，
即∠ACM=∠BCN，
又∵AB=AC，
∴△ACM≌△ABN (AAS)，
∴AM=AN．
∴CD平分∠ADB(到角的两边距离相等的点在角的平分线上)；
(3)∠BAC的度数不变化，
延长DB至点P，使BP=AD，连接CP，

∵CD=AD+BD，
∴CD=DP，
∵∠ADB+∠DBC+∠ACB+∠CAD=360°，∠ADB+∠ACB=180°，
∴∠CAD+∠CBD=180°，
∵∠CBD+∠CBP=180°，
∴∠CAD=∠CBP，
又∵CA=CB，
∴△CAD≌△CBP，
∴CD=CP，
∴CD=DP=CP，即△CDP是等边三角形，
∴∠CDP=60°，
∴∠ADB=2∠CDP=120°，
又∵∠ADB=2∠BAC，
∴∠BAC=60°.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，四边形内角和定理，三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
40．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴与y轴上，已知正方形边长为3，点D为x轴上一点，其坐标为（1，0），连接CD，点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿折线C→B→A的方向向终点A运动，当点P与点A重合时停止运动，运动时间为t秒．
（1）连接OP，当点P在线段BC上运动，且满足△CPO≌△ODC时，求直线OP的表达式；
（2）连接PC，求△CPD的面积S关于t的函数表达式；
（3）点P在运动过程中，是否存在某个位置使得△CDP为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．

【答案】（1）y=3x；（2）S=；（3）满足条件的点P坐标为（2，3）或（3，）或（3，2）或（3，）．
【解析】【分析】(1) 四边形ABCO是正方形, 可得COD=∠OCP, OC=CO继而证明△CPO≌△ODC, 可得P点坐标，即可确定OP解析式;
(2) 分当点P在线段BC上时，当点P在线段AB上时两种情况讨论即可;
(3) 存在, 分别以DC=DP1, DC=DP2, CD=CP3, P4C=P4D四种情况考虑, 利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可.
【详解】（1）∵四边形ABCO是正方形，
∴∠COD=∠OCP，∵OC=CO，
∴当CP=OD=1时，△CPO≌△ODC，
∴P（1，3），
设直线OP的解析式为y=kx，则有3=k，
∴直线OP的解析式为y=3x．
（2）当点P在线段BC上时，如图1中，

S=•CP•CO=t（0＜t≤3），
当点P在线段AB上时，如图2中，

BP=t﹣3，AP=3﹣（t﹣3）=6﹣t，
S=3×3﹣×1×3﹣×3×（t﹣3）﹣×2×（6﹣t）=﹣t=6（3＜t≤6），
综上所述，S=．
（3）如图3中，

①当DC=DP1时，P1（2，3），
②当DC=DP2时，AP2==，
∴P2（3，）．
③当CD=CP3=时，BP3==1，
∴P3（3，2）．
④当P4C=P4D时，设AP4=a，
则有22+a2=32+（3﹣a）2，
解得a=，
∴P4（3，），
综上所述，满足条件的点P坐标为（2，3）或（3，）或（3，2）或（3，）．
【点评】本题考查函数与三角形、等腰三角形的性质等，综合性大，需综合运用所学知识求解.