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第12章全等三角形-2020-2021学年八年级上学期期末冲刺综合能力提升训练（人教版）
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第12章全等三角形
一、单选题
1．在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C=∠A1，∠B=∠B1，要使这两个三角形全等，还需要条件（ ）
A．AB=A1B1 B．AB=A1C1
C．CA=A1C1 D．∠A=∠C1
2．如图，，，，，垂足分别是点、，，，则的长是（ ）
A． B．2 C．4 D．6
3．如图，直线AC上取点B，在其同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE，CD与GF，下列结论正确的有（ ）
① AE = DC；②ÐAHC=120°；③△AGB≌△DFB；④BH平分ÐAHC；⑤GF∥AC
A．①②④ B．①③⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤
4．如图，正方形的网格中，∠1+∠2+∠3十∠4+∠5等于（ ）
A．175° B．180° C．210° D．225°
5．下列说法正确的个数（ ）①三角形的三条高所在直线交于一点；②一个角的补角比这个角的余角大90°；③垂直于同一条直线的两条直线互相垂直；④两直线相交，同位角相等；⑤面积相等的两个正方形是全等图形；⑥已知两边及一角不能唯一作出三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连结并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（ ）
①是的平分线；②；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角，那么能得出的依据是运用全等三角形判定（ ）
A．边边边 B．边角边 C．角边角 D．角角边
8．如图，已知，再添加一个条件使，则添加的条件不能是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝7，BD＝2，则DE的长是（ ）
A．7 B．5 C．3 D．2
10．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D. 下列结论：①AD是∠BAC的平分线；②点D在AB的垂直平分线上；③∠ADC=60°；④。其中正确的结论有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图所示，AO=BO，CO=DO连接AD,BC，设AD,BC交于点P，结论：①△AOD≌△BOC;②△APC≌△BPD;③点P在∠AOB的平分线上．以上结论中（ ）
A．只有①正确 B．只有②正确
C．只有①②正确 D．①②③都正确
12．如图，在四边形中，，和的延长线交于点，若点使得，则满足此条件的点（ ）
A．有且积有 B．有且只有个
C．组成的角平分线 D．组成的角平分线所在的直线（点除外）
13．已知两角及其夹边作三角形，所用的基本作图方法是（ ）
A．平分已知角
B．作已知直线的垂线
C．作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段
D．作已知直线的平行线
14．如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4cm，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则以下结论：①AD平分∠CDE；②DE平分∠BDA；③AE-BE=BD；④△BDE周长是4cm．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
16．用尺规作图法作已知角的平分线的步骤如下:①以点O为圆心,任意长为半径作弧,交OB于点D,交OA于点E;②分别以点D,E为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧在的内部相交于点C;③作射线OC. 则射线OC为的平分线,由上述作法可得的依据是( )
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
17．如图，已知AC＝AD，BC＝BD，能确定△ACB≌△ADB的理由是（ ）
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
18．如图所示，亮亮课本上的三角形被墨迹涂抹了一部分，但他根据所学知识很快画出了一个完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
19．如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，下列结论不正确的结论是（ ）
A．CD=DN； B．∠1=∠2； C．BE=CF； D．△ACN≌△ABM．
20．如图，在中，，、的垂直平分线与分别交于、两点，则的周长为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
二、填空题
21．Rt△ABC中，∠C是直角，O是角平分线的交点，AC=3，BC=4，AB=5，O到三边的距离r=______．
22．已知△ABC≌△DEF，∠A＝60°，∠F＝50°，点B的对应顶点是点E，则∠B的度数是________．
23．如图，AB∥CD，∠BAC与∠ACD的平分线交于点P，过P作PE⊥AB于E，交CD于F，EF＝10，则点P到AC的距离为_____．
24．一副三角板如图摆放，点F是 45°角三角板△ABC的斜边的中点，AC＝4．当 30°角三角板DEF的直角顶点绕着点F旋转时，直角边DF，EF分别与AC，BC相交于点 M， N．在旋转过程中有以下结论：①MF＝NF；②CF与MN可能相等吗；③MN 长度的最小值为 2；④四边形CMFN的面积保持不变； ⑤△CMN面积的最大值为 2．其中正确的个数是_________.（填写序号）.
25．如图，一块三角形玻璃裂成①②两块，现需配一块同样的玻璃，为方便起见，只需带上碎片________即可
26．判定两直角三角形全等的各种条件：（1）一锐角和一边；（2）两边对应相等；（3）两锐角对应相等.其中能得到两个直角三角形全等的条件是_________.
27．如图：作∠AOB的角平分线OP的依据是_____．（填全等三角形的一种判定方法）
28．已知，△ABC的周长为16，∠A，∠B的角平分线交点到AB的距离为2，则△ABC的面积为________
29．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CD，BE⊥CD，AD=3，DE=4，则BE= ______ ．
30．如图，AC⊥BC，AD⊥DB，下列条件中: ①∠ABD=∠BAC；②∠DAB=∠CBA；③AD=BC；④∠DAC=∠CBD，能使△ABC≌△BAD的有_____（把所有正确结论的序号都填在横线上）
三、解答题
31．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD=AB，AE∥BC，∠BAD=∠CAE，连接DE交AC于点F．
（1）若∠B=70°，求∠C的度数；
（2）若AE=AC，AD平分∠BDE是否成立？请说明理由．
32．如图，在等边△ABC中，点F、E分别在BC、AC边上，AE＝CF，AF与BE相交于点P．
（1）求证：AEP∽BEA；
（2）若BE＝3AE，AP＝2，求等边ABC的边长．
33．已知，如图，∠C＝∠D＝90°，E是CD的中点，AE平分∠DAB．求证：BE平分∠ABC．
34．如图，A、D、B、E四点在同一条直线上，AD＝BE，BC∥EF，BC＝EF．
（1）求证：AC＝DF；
（2）若CD为∠ACB的平分线，∠A＝25°，∠E＝71°，求∠CDF的度数．
35．如图，直线分别与直线、相交于点、，且，、分别平分和，试判断的形状，并说明理由.
36．如图，已知，，请用尺规作图在上取一点，使得．
37．如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线DN交BC于点D，交AB于点N，DF⊥AC于点F，交AE于点M．求证：
（1）AE＝DE； （2）EM＝EC．
38．已知△ABN和△ACM的位置如图，∠1＝∠2，AB＝AC，AM＝AN．
求证：（1）∠M＝∠N．
（2）BD＝CE．
39．已知如图所示，点D在线段AE上，点B在线段FC上，AB=DC，AD=BC，DE=BF，求证：BE=DF.
40．（1）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在△ABC外，连接AD，作DE⊥AB，交BC于点F，AD=AB，AE=AC，连接AF，则DF，BC，CF间的等量关系是 ；
（2）如图2，AB=AD，AC=AE，∠ACB=∠AED=90°，延长BC交DE于点F，写出DF，BC，CF间的等量关系，并证明你的结论.
41．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，BD＝CE，M是AC边的中点，求证△DEM是等腰三角形．
42．如图，将等边绕点顺时针旋转得到，的平分线交于点，连接、.
（1）求度数； （2）求证：.
43．如图，A、C、F、B在同一直线上，AC=BF，AE=BD，且AE∥BD.求证：EF∥CD.
44． 如图，在△ABC中，∠B=90°．
（1）画线段AC的垂直平分线MN，交AC于点M，交AB于点N．
（2）过点M作ME∥BC交AB于点E．
（3）直线BC与直线ME之间的距离是线段_____的长．
45．如图，CD平分∠ECF，∠B＝∠ACB，求证：AB∥CE．
46．按下列要求画图并填空:
(1)用直尺和圆规作出直角的边BC的垂直平分线,分别交边AC,BC于P、E两点,再过点P作边BC的平行线交边AB于点F(保留作图痕迹)
(2)用直尺和三角尺画图：过点P作边BC的平行线交边AB于点F。
(3)如果,那么点P到直线BC的距离是________
47．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且BE=CF.
求证：（1）DE=DF；
（2）AD平分∠BAC．
48．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC．
求证：（1）EC＝BF；
（2）EC⊥BF；
（3）连接AM，求证：AM平分∠EMF．
49．如图，AB＝AC，AD＝AE，CD＝BE.
求证：∠DAB＝∠EAC．
50．如图，是延长线上一点，且，是上一点，，求证：.
第12章全等三角形
一、单选题
1．在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C=∠A1，∠B=∠B1，要使这两个三角形全等，还需要条件（ ）
A．AB=A1B1 B．AB=A1C1
C．CA=A1C1 D．∠A=∠C1
【答案】C
【分析】根据题意做出示意图，然后根据ASA或AAS判断即可．
【详解】根据题意得出下图：
若两个三角形全等，则BC= A1B1，AB= B1C1，AC= A1C1
所以，当时AC= A1C1，结合∠C=∠A1，∠B=∠B1，此时利用AAS即可证明两三角形全等
故选C．
【点评】本题考查了三角形全等的判定条件，正确的画出示意图，根据图示利用AAS或ASA判断是本题的关键．
2．如图，，，，，垂足分别是点、，，，则的长是（ ）
A． B．2 C．4 D．6
【答案】B
【解析】【分析】根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE=DC，就可以求出DE的值．
【详解】∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=90°，
∴∠EBC+∠BCE=90°．
∵∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠EBC=∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE=DC=1，CE=AD=3．
∴DE=EC-CD=3-1=2
故选B．
【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.
3．如图，直线AC上取点B，在其同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE，CD与GF，下列结论正确的有（ ）
① AE = DC；②ÐAHC=120°；③△AGB≌△DFB；④BH平分ÐAHC；⑤GF∥AC
A．①②④ B．①③⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤
【答案】D
【解析】【分析】根据等边三角形的性质得到BA＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，则可根据”SAS“判定△ABE≌△DBC，所以AE＝DC，于是可对①进行判断；根据全等三角形的性质得到∠BAE＝∠BDC，则可得到∠BAH＋∠BCH＝60°，从而根据三角形内角和得到∠AHC＝120°，则可对②进行判断；利用”ASA”可证明△AGB≌△DFB，从而可对③进行判断；利用△ABE≌△DBC得到AE和DC边上的高相等，则根据角平分线的性质定理逆定理可对④进行判断；证明△BGF为等边三角形得到∠BGF＝60°，则∠ABG＝∠BGF，所以GF∥AC，从而可对⑤进行判断．
【详解】解：∵△ABD和△BCE都是等边三角形，
∴BA＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，
∵∠DBE＝180°−60°−60°＝60°，
∴∠ABE＝∠DBC＝120°，
∵BA＝BD，∠ABD＝∠DBC，BE＝BC，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴AE＝DC，所以①正确；
∠BAE＝∠BDC，
∵∠BDC＋∠BCD＝∠ABD＝60°，
∴∠BAE＋∠BCD＝60°，
∴∠AHC＝180°−（∠BAH＋∠BCH）＝180°−60°＝120°，所以②正确；
∵∠BAG＝∠BDF，BA＝BD，∠ABG＝∠DBF＝60°，
∴△AGB≌△DFB（ASA）；所以③正确；
∵△ABE≌△DBC，
∴AE和DC边上的高相等，
即B点到AE和DC的距离相等，
∴BH平分∠AHC，所以④正确；
∵△AGB≌△DFB，
∴BG＝BF，
∵∠GBF＝60°，
∴△BGF为等边三角形，
∴∠BGF＝60°，
∴∠ABG＝∠BGF，
∴GF∥AC，所以⑤正确．
故选D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．也考查了等边三角形的性质．
4．如图，正方形的网格中，∠1+∠2+∠3十∠4+∠5等于（ ）
A．175° B．180° C．210° D．225°
【答案】D
【分析】仔细分析图中角度，可得出，∠1+∠5＝90°，∠2+∠4＝90°，∠3＝45°，所以∠1+∠2+∠3十∠4+∠5＝225°．
【详解】解：∵∠1和∠5所在的三角形全等，
∴∠1+∠5＝90°，
∵∠2和∠4所在的三角形全等，
∴∠2+∠4＝90°，
而：∠3＝45°，
∴∠1+∠2+∠3十∠4+∠5＝225°．
故选D．
【点评】考核知识点：全等三角形性质.理解全等三角形性质是关键.
5．下列说法正确的个数（ ）①三角形的三条高所在直线交于一点；②一个角的补角比这个角的余角大90°；③垂直于同一条直线的两条直线互相垂直；④两直线相交，同位角相等；⑤面积相等的两个正方形是全等图形；⑥已知两边及一角不能唯一作出三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【分析】根据全等图形、三角形的高、互补、垂直以及平行线的性质进行判断即可．
【详解】解：①三角形的三条高交于同一点，所以此选项说法正确；
②设这个角为α，则这个角的补角表示为180°﹣α，这个角的余角表示为90°﹣α，
（180°﹣α）﹣（90°﹣α）＝90°，∴一个角的补角比这个角的余角大90°，此选项正确；
③垂直于同一条直线的两条直线互相平行，所以此选项不正确；
④两直线平行，同位角相等，所以此选项说法不正确；
⑤面积相等的两个正方形是全等图形，此选项正确；
⑥已知两边及一角不能唯一作出三角形，此选项正确．
故选D．
【点评】考核知识点：全等图形、三角形的高、互补、垂直以及平行线的性质.理解相关定义是关键.
6．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连结并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（ ）
①是的平分线；②；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【分析】①连接NP，MP，根据SSS定理可得△ANP≌△AMP，故可得出结论；
②先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再由AD是∠BAC的平分线得出∠1=∠2=30°，
根据直角三角形的性质可知∠ADC=60°；
③根据∠1=∠B可知AD=BD，故可得出结论；
④先根据直角三角形的性质得出∠2=30°，CD= AD，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】①证明：连接NP，MP，
在△ANP与△AMP中，
∵ ，
∴△ANP≌△AMP，
则∠CAD=∠BAD，
故AD是∠BAC的平分线，故此选项正确；
②证明：∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°，
∴∠CAB=60°.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2= ∠CAB=30°，
∴∠3=90°−∠2=60°,∠ADC=60°，故此选项正确；
③证明：∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，故此选项正确；
④证明：∵在Rt△ACD中,∠2=30°，
∴CD=AD，
∴BC=BD+CD=AD+AD=AD,=AC⋅CD= AC⋅AD，
∴=AC⋅BC=AC⋅AD= AC⋅AD，
∴ =1:3，故此选项不正确；
故选C.
【点评】此题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，作图—基本作图，解题关键在于掌握判定定理和作辅助线.
7．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角，那么能得出的依据是运用全等三角形判定（ ）
A．边边边 B．边角边 C．角边角 D．角角边
【答案】A
【解析】【分析】由作图可知OD=OD′=OC=OC′，CD=C′D′，根据SSS可证△ODC≌△O′D′C′，根据全等三角形的对应角相等即可得∠A′O′B′=∠AOB．可得答案.
【详解】由作图可知OD=OD′=OC=OC′，CD=C′D′，
∴△ODC≌△O′D′C′（SSS），
∴∠A′O′B′=∠AOB，
故选A.
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定和有关角的作法，主要考查学生的观察能力和推理能力，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
8．如图，已知，再添加一个条件使，则添加的条件不能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用全等三角形的判定分别分得出即可
【详解】A. ，，AC=AC，由SSS可以判定
B. 不可以判定，符合题意；
C. ，，AC=AC，由SAS可以判定
D. 可得，由SAS可以判定
故答案选:B
【点评】此题考查全等三角形的判定，利用全等三角形的判定与性质是解题关键
9．如图，AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝7，BD＝2，则DE的长是（ ）
A．7 B．5 C．3 D．2
【答案】B
【分析】首先由AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，判断出Rt△AEC≌Rt△CDB，又由AE＝7，BD＝2，得出CE=BD=2，AE=CD=7，进而得出DE=CD-CE=7-2=5.
【详解】解：∵AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，
∴Rt△AEC≌Rt△CDB
又∵AE＝7，BD＝2，
∴CE=BD=2，AE=CD=7，
DE=CD-CE=7-2=5.
【点评】此题主要考查直角三角形的全等判定，熟练运用即可得解.
10．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D. 下列结论：①AD是∠BAC的平分线；②点D在AB的垂直平分线上；③∠ADC=60°；④。其中正确的结论有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】【分析】①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；
②利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的垂直平分线上；
③利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；
④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．
【详解】解：如图：
根据作图方法可得AD是∠BAC的平分线，故①正确；
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC=∠DAB=30°，
∵∠B=30°，∠DAB=30°，
∴AD=DB，
∴点D在AB的中垂线上，故②正确；
∴∠ADC=60°，故③正确；
∵∠CAD=30°，
∵AD=DB，
∴
故④正确。
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
11．如图所示，AO=BO，CO=DO连接AD,BC，设AD,BC交于点P，结论：①△AOD≌△BOC;②△APC≌△BPD;③点P在∠AOB的平分线上．以上结论中（ ）
A．只有①正确 B．只有②正确
C．只有①②正确 D．①②③都正确
【答案】D
【解析】【分析】根据全等三角形的判定和角平分线的性质解答即可．
【详解】连接OP,
在△AOD与△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC，①正确；
∴∠A=∠B；
∵AO=BO，CO=DO，
在△APC与△BPD中，
，
∴△APC≌△BPD，②正确；
∴AP=BP，
在△AOP与△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP，
∴∠AOP=∠BOP，即点P在∠AOB的平分线上，③正确.
故选D.
【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.
12．如图，在四边形中，，和的延长线交于点，若点使得，则满足此条件的点（ ）
A．有且积有 B．有且只有个
C．组成的角平分线 D．组成的角平分线所在的直线（点除外）
【答案】D
【解析】【分析】根据角平分线的性质分析，作∠E的平分线，点P到AB和CD的距离相等，即可得到S△PAB＝S△PCD．
【详解】解：作∠E的平分线，
可得点P到AB和CD的距离相等，
因为AB＝CD，
所以此时点P满足S△PAB＝S△PCD．
故选D．
【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据AB＝CD和三角形等底作出等高即可．
13．已知两角及其夹边作三角形，所用的基本作图方法是（ ）
A．平分已知角
B．作已知直线的垂线
C．作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段
D．作已知直线的平行线
【答案】C
【分析】看利用ASA是怎么作三角形的.
【详解】已知两角及其夹边作三角形，可先作一条线段等于已知线段，再在线段的两个端点分别作两个角等于已知角，故所用的基本作图方法是作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段.
故选C．
【点评】考核知识点：利用全等三角形性质作图.
14．如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】由∠ABC=45°，AD是高，得出BD=AD后，证△ADC≌△BDH后，得到BH=AC，即可求解．
【详解】∵∠ABC=45°，AD⊥BC，
∴AD=BD，∠ADC=∠BDH，
∵∠AHE+∠DAC=90°，∠DAC+∠C=90°，
∴∠AHE=∠BHD=∠C，
在△ADC与△BDH中，
∴△ADC≌△BDH
∴BH=AC=4．
故选C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．由∠ABC=45°，AD是高，得出BD=AD是正确解答本题的关键．
15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4cm，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则以下结论：①AD平分∠CDE；②DE平分∠BDA；③AE-BE=BD；④△BDE周长是4cm．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】【分析】根据角平分线性质求出CD=DE，根据等腰三角形的判定得出BE=DE，求出CD=DE=BE，根据勾股定理和CD=DE求出AC=AE，求出AC=AE=BC，再逐个判断即可．
【详解】解：∵DE⊥AB，
∴∠DEA=∠DEB=90°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
∵∠C=90°，∠CDA+∠C+∠CAD=180°，∠DEA+∠BAD+∠EDA=180°，
∴∠CDA=∠EDA，∴①正确；
∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠B=45°，
∵∠C=∠DEA=∠DEB=90°，
∴∠CDE=360°-90°-45°-90°=135°，∠BDE=180°-90°-45°=45°，
∵∠CDA=∠EDA，
∴∠CDA=∠EDA==67.5°≠45°，
∴∠EDA≠∠BDE，
∴DE不平分∠BDA，∴②错误；
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE，
由勾股定理得：AC=AE，
∵AC=BC，
∴AE=AC=BC，
∵∠B=∠BDE=45°，
∴BE=DE=CD，
∴AE-BE=BC-CD=BD，∴③正确；
△BDE周长是BE+DE+BD=BE+CD+BD=BC+BE=AE+BE=AB=4cm，∴④正确；
即正确的个数是3，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定、勾股定理、角平分线性质等知识点，能求出AC=AE=BC和CD=DE=BE是解此题的关键．
16．用尺规作图法作已知角的平分线的步骤如下:①以点O为圆心,任意长为半径作弧,交OB于点D,交OA于点E;②分别以点D,E为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧在的内部相交于点C;③作射线OC. 则射线OC为的平分线,由上述作法可得的依据是( )
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
【答案】D
【分析】根据作图得出符合全等三角形的判定定理SSS，即可得出答案．
【详解】在△OEC和△ODC中,
,
∴△OEC≌△ODC（SSS），
故选D．
【点评】考查的是作图-基本作图及全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
17．如图，已知AC＝AD，BC＝BD，能确定△ACB≌△ADB的理由是（ ）
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
【答案】D
【分析】因为AC=AD，BC=BD，AB共边，所以可根据SSS判定△ACB≌△ADB．
【详解】∵AC=AD，BC=BD，AB=AB，
∴△ABC≌△ABD（SSS），
A、B、C都不是全等的原因．
故选D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟练地掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS．
18．如图所示，亮亮课本上的三角形被墨迹涂抹了一部分，但他根据所学知识很快画出了一个完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【答案】D
【分析】图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可．
【详解】由图可知，三角形两角及夹边还存在，
∴根据可以根据三角形两角及夹边作出图形，
所以，依据是ASA．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
19．如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，下列结论不正确的结论是（ ）
A．CD=DN； B．∠1=∠2； C．BE=CF； D．△ACN≌△ABM．
【答案】A
【解析】【分析】利用“角角边”证明△ABE和△ACF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAE=∠CAF，然后求出∠1=∠2，全等三角形对应边相等可得BE=CF，AB=AC，再利用“角边角”证明△ACN和△ABM全等．
【详解】在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴∠BAE=∠CAF，BE=CF，AB=AC，故C选项结论正确；
∴∠BAE-∠BAC=∠CAF-∠BAC，
即∠1=∠2，故B选项结论正确；
在△ACN和△ABM中，
，
∴△ACN≌△ABM（ASA），故D选项结论正确；
CD与DN的大小无法确定，故A选项结论错误．
故选A．
【点评】考查了全等三角形的判定与性质，熟记三角形全等的判定方法并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
20．如图，在中，，、的垂直平分线与分别交于、两点，则的周长为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解析】【分析】根据垂直平分线的性质得到AE=BE,AF=CF,再根据三角形的周长组成即可求解.
【详解】∵、的垂直平分线与分别交于、两点，
∴AE=BE,AF=CF,
∴的周长为AE+EF+AF=BE+EF+AF=BC=8，
故选B.
【点评】此题主要考查垂直平分线的性质，解题的关键是熟知垂直平分线的定义.
二、填空题
21．Rt△ABC中，∠C是直角，O是角平分线的交点，AC=3，BC=4，AB=5，O到三边的距离r=______．
【答案】1
【分析】由Rt△ABC中，∠C是直角，O是角平分线的交点，AC=3，BC=4，AB=5，可得S△ABC=AC•BC=(AC+BC+AB)•r，继而可求得答案．
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C是直角，O是角平分线的交点，AC=3，BC=4，AB=5，
∴S△ABC=AC•BC=(AC+BC+AB)•r，
∴3×4=(3+4+5)×r，
解得：r=1．
故答案为1．
【点评】本题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握S△ABC=AC•BC=(AC+BC+AB)•r．
22．已知△ABC≌△DEF，∠A＝60°，∠F＝50°，点B的对应顶点是点E，则∠B的度数是________．
【答案】70o
【解析】【分析】由全等三角形的性质可求得∠F=∠C，∠A=∠D，再根据三角形内角各即可求得．
【详解】∵△ABC≌△DEF，∠A＝60°，∠F＝50°，点B的对应顶点是点E，
∴∠C＝∠F＝50°，
∴∠B＝180°－∠A－∠C=70o.
故答案是：70o.
【点评】考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
23．如图，AB∥CD，∠BAC与∠ACD的平分线交于点P，过P作PE⊥AB于E，交CD于F，EF＝10，则点P到AC的距离为_____．
【答案】5
【分析】作PH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到PE=PH，PF=PH，根据题意计算即可．
【详解】作PH⊥AC于H，
∵AP平分∠BAC，PE⊥AB，PH⊥AC，
∴PE＝PH，
∵AB∥CD，PE⊥AB，
∴PF⊥CD，
∵CP平分∠ACD，PF⊥CD，PH⊥AC，
∴PF＝PH，
∴PH＝PE＝PF＝EF＝5，即点P到AC的距离为5，
故答案为5．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
24．一副三角板如图摆放，点F是 45°角三角板△ABC的斜边的中点，AC＝4．当 30°角三角板DEF的直角顶点绕着点F旋转时，直角边DF，EF分别与AC，BC相交于点 M， N．在旋转过程中有以下结论：①MF＝NF；②CF与MN可能相等吗；③MN 长度的最小值为 2；④四边形CMFN的面积保持不变； ⑤△CMN面积的最大值为 2．其中正确的个数是_________.（填写序号）.
【答案】①②④⑤
【解析】【分析】利用两直角三角形的特殊角、性质及旋转的性质分别判断每一个结论，找到正确的即可．
【详解】解：①连接CF，
∵F为AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，
∴AF=BF=CF，CF⊥AB，
∴∠AFM+∠CFM=90°．
∵∠DFE=90°，∠CFM+∠CFN=90°，
∴∠AFM=∠CFN．
同理，∵∠A+∠MCF=90°，∠MCF+∠FCN=90°，
∴∠A=∠FCN，
在△AMF与△CNF中，
∴△AMF≌△CNF（ASA），
∴MF=NF．
故①正确；
∴②∵F是AB中点，△ABC是等腰直角三角形，
,
当M，N分别是AC，BC中点时，,
CF=MN，故正确；
③连接MN，当M为AC的中点时，CM=CN，根据边长为4知CM=CN=2，此时MN最小，最小值为，故③错误；
④当M、N分别为AC、BC中点时，四边形CMFN是正方形．
∵△AMF≌△CNF，
∴S△AMF=S△CNF
∴S四边形CDFE=S△AFC．
故④正确；
⑤由于△MNF是等腰直角三角形，因此当FM最小时，FN也最小；
即当DF⊥AC时，FM最小，此时，
，
当△CMN面积最大时，此时△FMN的面积最小．
此时S△CMN=S四边形CMFN-S△FMN=S△AFC-S△FMN=4-2=2，
故⑤正确．
【点评】此题考查的知识点有等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点，综合性强，难度较大，是一道难题．
25．如图，一块三角形玻璃裂成①②两块，现需配一块同样的玻璃，为方便起见，只需带上碎片________即可
【答案】②
【解析】【分析】此题实际上考查全等三角形的应用，②中两边及其夹角，进而可确定其形状．
【详解】②中满足两边夹一角完整，即可得到一个与原来三角形全等的新三角形，所以只需带②去即可．
故答案是：②．
【点评】本题考查了三角形全等的应用；能够灵活运用全等三角形的判定，解决一些实际问题，注意认真读图．
26．判定两直角三角形全等的各种条件：（1）一锐角和一边；（2）两边对应相等；（3）两锐角对应相等.其中能得到两个直角三角形全等的条件是_________.
【答案】（1）（2）
【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS；直角三角形的判定地理HL对（1）、（2）（3）逐个分析，然后即可得出答案．
【详解】解：∵（1）一锐角与一边对应相等，
可利用AAS或ASA判定两直角三角形全等，
（2）两边对应相等，可以根据SAS或HL证明全等；
（3）两锐角对应相等，缺少对应边相等这一条件，
所以不能判定两直角三角形全等．
故答案为（1），（2）．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS；直角三角形的判定定理HL．
27．如图：作∠AOB的角平分线OP的依据是_____．（填全等三角形的一种判定方法）
【答案】SSS
【解析】【分析】根据作法可知OC=OD，PC=PD，OP=OP，故可得出△OPC≌△OPD，进而可得出结论．
【详解】解：在△OPC与△OPD中，
∵，
∴△OPC≌△OPD（SSS），
∴OP是∠AOB的平分线．
故答案为SSS．
【点评】此题考查全等三角形的判定，作图—基本作图，解题关键在于掌握判定定理.
28．已知，△ABC的周长为16，∠A，∠B的角平分线交点到AB的距离为2，则△ABC的面积为________
【答案】16
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到△ABC三边的距离相等，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：设∠A和∠B的平分线相交于P，P到边AB的距离为2，
∴点P到AC、BC的距离为2，
∵△ABC的周长为16，
∴△ABC的面积=×AB×2+×BC×2+×AC×2=×(AB+BC+AC)×2=×16×2=16．
故答案为16．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并判断出点P到三角形三边的距离相等是解题的关键．
29．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CD，BE⊥CD，AD=3，DE=4，则BE= ______ ．
【答案】7
【解析】【分析】根据垂直的定义与直角三角形的两个锐角互余的性质可以推知△ACD≌△CBE（ASA）；最后根据全等三角形的对应边相等知CE=AD=3，由BE=CD=CE+ED求解．
【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，BE⊥CD，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE（等量代换）；
∴在△ACD和△CBE中，
AC=BC，
∠ADC=∠BEC=90°，
∠ACD=∠CBE，
∴△ACD≌△CBE（ASA），
∴CE=AD=3（全等三角形的对应边相等），
∴BE=CD=CE+ED=3+4=7；
故答案为7．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．解答该题时，围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定对应线段相等．
30．如图，AC⊥BC，AD⊥DB，下列条件中: ①∠ABD=∠BAC；②∠DAB=∠CBA；③AD=BC；④∠DAC=∠CBD，能使△ABC≌△BAD的有_____（把所有正确结论的序号都填在横线上）
【答案】①②③
【解析】【分析】先得到∠C=∠D=90°，若添加∠ABD=∠BAC，则可根据“AAS”判断△ABC≌△BAD；若添加∠DAB=∠CBA，则可先利用“AAS”证明△ABC≌△BAD；若添加AD=BC，则可利用“HL”判断ABC≌△BAD；若添加∠DAC=∠CBD，则不能判断ABC≌△BAD．
【详解】解：∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠C=∠D=90°，
①在△ABC和△BAD中，
,
∴△ABC≌△BAD（AAS），所以①正确；
②在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（AAS），所以②正确；
③在Rt△ABC和Rt△BAD中
，
∴△ABC≌△BAD（HL），所以③正确；
④∠C=∠D和∠DAC=∠CBD两个条件不能判定△ABC≌△DCB，所以④错误．
所以正确结论的序号为①②③，
故答案为①②③．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）是解题的关键．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
三、解答题
31．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD=AB，AE∥BC，∠BAD=∠CAE，连接DE交AC于点F．
（1）若∠B=70°，求∠C的度数；
（2）若AE=AC，AD平分∠BDE是否成立？请说明理由．
【答案】（1）∠C=40°；（2）AD平分∠BDE成立，理由见解析．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠ADB=∠B=70°，根据三角形的内角和定理求出∠BAD=40°，求出∠CAE=40°，根据平行线的性质得出即可；
（2）求出∠BAC=∠DAE，根据全等三角形的判定推出△BAC≌△DAE，根据全等三角形的性质得出∠B=∠ADE，求出∠ADE=∠ADB即可．
【详解】（1）∵∠B=70°， AB=AD，
∴ ∠ADB=∠B=70°．
∵ ∠B+∠BAD+∠ADB=180°，
∴ ∠BAD=40°．
∵ ∠CAE=∠BAD，
∴ ∠CAE=40°．
∵ AE∥BC，
∴∠C =∠CAE=40°．
（2）∵ ∠BAD=∠CAE，
∴ ∠BAC=∠DAE．
在△BAC和△DAE中，
∵
∴ △BAC≌△DAE．
∴ ∠B=∠ADE．
∵ ∠B=∠ADB，
∴ ∠ADE=∠ADB，即AD平分∠BDE．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定定理，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
32．如图，在等边△ABC中，点F、E分别在BC、AC边上，AE＝CF，AF与BE相交于点P．
（1）求证：AEP∽BEA；
（2）若BE＝3AE，AP＝2，求等边ABC的边长．
【答案】（1）见解析；（2）6
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB＝AC，∠C＝∠CAB＝60°，根据全等三角形的性质得到∠ABE＝∠CAF，于是得到结论；
（2）根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠C＝∠CAB＝60°，
又∵AE＝CF，
在△ABE和△CAF中，
∴
∴∠ABE＝∠CAF，
∵∠AEB＝∠BEA，
∴（有两个角对应相等的两个三角形相似）；
（2）解：∵
∴，
∵BE＝3AE，AP＝2，
∴AB＝6，
∴等边的边长是6．
【点评】本题考查了全等三角形的证明方法中的边角边定理（两个三角形中有两条边对应相等，并且这两条边的夹角也对应相等，则这两个三角形全等）；两个三角形相似的证明方法之一：两个三角形有两个角对应相等，则这两个三角形相似．熟记并灵活运用这两种方法是解本题的关键．
33．已知，如图，∠C＝∠D＝90°，E是CD的中点，AE平分∠DAB．求证：BE平分∠ABC．
【答案】见解析.
【分析】根据题意，先过E点作EF⊥AB于点F，然后根据角平分线的性质及判定定理进行解答即可.
【详解】过E点作EF⊥AB于点F，
∵∠D＝∠AFE＝90°，AE平分∠DAB
∴DE=EF
∵E是CD的中点
∴DE＝EC
∴EF＝EC
∵EF⊥AB，∠C＝90°
∴BE平分∠ABC．
【点评】本题主要考查了有关角平分线的辅助线画法，以及角平分线的性质及判定的证明，熟练掌握有关角平分线的性质及判定的证明方法是解决本题的关键，这类题目是考试的重点，要理解性掌握.
34．如图，A、D、B、E四点在同一条直线上，AD＝BE，BC∥EF，BC＝EF．
（1）求证：AC＝DF；
（2）若CD为∠ACB的平分线，∠A＝25°，∠E＝71°，求∠CDF的度数．
【答案】（1）详见解析；（2）42°.
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ABC＝∠DEF，再结合题意根据SAS判断△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质即可得到答案；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ABC＝∠E＝71°，∠A＝∠FDE＝25°，再根据角平分线的性质进行计算即可得到答案.
【详解】证明：（1）∵AD＝BE
∴AB＝DE
∵BC∥EF
∴∠ABC＝∠DEF，且AB＝BE，BC＝EF
∴△ABC≌△DEF（SAS）
∴AC＝DF
（2）∵△ABC≌△DEF
∴∠ABC＝∠E＝71°，∠A＝∠FDE＝25°
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝84°
∵CD为∠ACB的平分线
∴∠ACD＝42°＝∠BCD
∵∠CDB＝∠A+∠ACD＝∠CDF+∠EDF
∴∠CDF＝42°
【点评】本题考查全等三角形的判定（SAS）和性质、平行线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定（SAS）和性质、平行线的性质的综合运用.
35．如图，直线分别与直线、相交于点、，且，、分别平分和，试判断的形状，并说明理由.
【答案】是直角三角形.理由见解析.
【分析】先根据题意的得到AB∥CD，故可得出∠BMF+∠END=180°，再由角平分线的性质得出∠3+∠4的度数，进而可得出结论．
【详解】是直角三角形.
理由：，，
，
，
.
，分别平分和，
，
，
是直角三角形.
【点评】本题考查平行线的判定和性质、角平分线的性质及直角三角形的判定，解题的关键是掌握平行线的判定和性质、角平分线的性质及直角三角形的判定.
36．如图，已知，，请用尺规作图在上取一点，使得．
【答案】详见解析.
【解析】【分析】作线段的垂直平分线，直线交于点，连接，点即为所求．
【详解】解：如图点即为所求．
理由：垂直平分线段，
，
．
【点评】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键在于灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
37．如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线DN交BC于点D，交AB于点N，DF⊥AC于点F，交AE于点M．求证：
（1）AE＝DE；
（2）EM＝EC．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，得到∠DAB＝∠B＝22.5°，根据三角形的外角性质得到∠ADE＝∠DAB+∠B＝45°，根据等腰三角形的性质证明；
（2）证明△MDE≌△CAE，根据全等三角形的性质证明结论．
【详解】证明：（1）∵DN是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝22.5°，
∴∠ADE＝∠DAB+∠B＝45°，
∵AE⊥BC，
∴∠AED＝90°，
∴∠DAE＝∠ADE＝45°，
∴AE＝DE；
（2）∵DF⊥AC，AE⊥BC，
∴∠MDE＝∠CAE，
在△MDE和△CAE中，
，
∴△MDE≌△CAE（ASA），
∴EM＝EC．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
38．已知△ABN和△ACM的位置如图，∠1＝∠2，AB＝AC，AM＝AN．
求证：（1）∠M＝∠N．
（2）BD＝CE．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）用SAS先证明△ABN≌△ACM，再根据全等三角形的性质即得结论；
（2）由（1）题△ABN≌△ACM可得∠B＝∠C，再用ASA证明△ABD≌△ACE即可.
【详解】证明：（1）∵∠1＝∠2，
∴∠BAN＝∠CAM，
又∵AB＝AC，AN＝AM，
∴△ABN≌△ACM（SAS），
∴∠M＝∠N，
（2）∵△ABN≌△ACM，
∴∠B＝∠C，
又∵AB＝AC，∠1＝∠2，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴BD＝CE.
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.
39．已知如图所示，点D在线段AE上，点B在线段FC上，AB=DC，AD=BC，DE=BF，求证：BE=DF.
【答案】见解析.
【解析】【分析】连接BD，根据SSS推出△ABD≌△CDB，根据全等三角形的性质得出∠A=∠C，根据SAS推出△EAB≌△FCD即可．
【详解】证明：连接DB，
在△ABD和△CDB中，
∵AD=CB，AB=CD，DB=BD，
∴△ABD≌△CDB(SSS).
∴∠A=∠C.
∵AD=CB，DE=BF，
∴AD+DE=CB+BF，即AE=CF.
在△ABE和△CDF中，AE=CF，∠A=∠C，AB=DC.
∴△ABE≌△CDF(SAS).
∴BE=DF.
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
40．（1）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在△ABC外，连接AD，作DE⊥AB，交BC于点F，AD=AB，AE=AC，连接AF，则DF，BC，CF间的等量关系是 ；
（2）如图2，AB=AD，AC=AE，∠ACB=∠AED=90°，延长BC交DE于点F，写出DF，BC，CF间的等量关系，并证明你的结论.
【答案】（1）；（2）；证明见解析处.
【分析】（1）首先根据已知条件可判定，得出，再次利用同样的原理判定，可得出，进而得出三者的等量关系为；
（2）首先连接，根据已知条件可判定，得出，再根据同理即可判定，得出，进而得出三者等量关系为.
【详解】解：（1）∵∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴
又∵AD=AB，AE=AC，
∴
∴
又∵AE=AC，，
∴
∴
又∵
∴
故答案为.
（2）
证明：连接，如图所示，
∵AB=AD，AC=AE，∠ACB=∠AED=90°，
∴
∴
又∵AC=AE，，
∴
∴
又∵
∴
【点评】此题主要考查直角三角形全等的判定，然后利用其性质进行等量转换.
41．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，BD＝CE，M是AC边的中点，求证△DEM是等腰三角形．
【答案】详见解析
【解析】【分析】根据AB=BC，AM=MC，得出BM⊥AC，且∠ABM=∠CBM=∠ABC=45°，进而得出△ADM≌△BEM，即可得出DM=EM．
【详解】证明：连接BM，
∵AB＝BC，AM＝MC，
∴BM⊥AC，且∠ABM＝∠CBM＝∠ABC＝45°，
∵AB＝BC，所以∠A＝∠C＝＝45°，
∴∠A＝∠ABM，所以AM＝BM，
∵BD＝CE，AB＝BC，
∴AB－BD＝BC－CE，即AD＝BE，
在△ADM和△BEM中，
∴△ADM≌△BEM（SAS），
∴DM＝EM，
∴△DEM是等腰三角形．
【点评】此题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，解题关键在于得出BM⊥AC.
42．如图，将等边绕点顺时针旋转得到，的平分线交于点，连接、.
（1）求度数；
（2）求证：.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可求解；
（2）由“”可证，可得，即可证．
【详解】解：（1）是等边三角形
，
等边绕点顺时针旋转得到
，，
，
（2）和是等边三角形
，
平分
，，，
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练运用旋转的性质是本题关键．
43．如图，A、C、F、B在同一直线上，AC=BF，AE=BD，且AE∥BD.求证：EF∥CD.
【答案】见解析
【分析】利用SAS证明△EAF≌△DBC，根据全等三角形的性质即可得.
【详解】证明：∵AE//BD,
∴∠A=∠B，
∵AC=BF，
∴AC+CF=BF+CF，
∴BC=AF，
在△EAF和△DBC中
，
∴△EAF≌△DBC（SAS），
∴∠EFA＝∠BCD，
∴EF//CD.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握是解题的关键.
44． 如图，在△ABC中，∠B=90°．
（1）画线段AC的垂直平分线MN，交AC于点M，交AB于点N．
（2）过点M作ME∥BC交AB于点E．
（3）直线BC与直线ME之间的距离是线段_____的长．
【答案】（1）如图所示，直线MN即为所求；见解析；（2）如图所示，ME即为所求；见解析；（3）BE.
【解析】【分析】（1）根据线段中垂线的尺规作图可得；
（2）根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图作ME⊥AB，即可得；
（3）由直线间的距离的概念求解可得．
【详解】解：（1）如图所示，直线MN即为所求；
（2）如图所示，ME即为所求；
（3）直线BC与直线ME之间的距离是线段BE的长.
【点评】本题主要考查尺规作图，解题的关键是掌握线段中垂线和过直线外一点作已知直线垂线的尺规作图及平行线间的距离．
45．如图，CD平分∠ECF，∠B＝∠ACB，求证：AB∥CE．
【答案】见解析
【解析】【分析】依据角平分线的定义以及对顶角相等，即可得到∠ECD=∠ACB，再根据∠B=∠ACB，即可得出∠B=∠ECD，进而判定AB∥CE．
【详解】∵CD平分∠ECF，
∴∠ECD=∠DCF，
∵∠ACB=∠DCF，
∴∠ECD=∠ACB，
又∵∠B=∠ACB，
∴∠B=∠ECD，
∴AB∥CE．
【点评】考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行．
46．按下列要求画图并填空:
(1)用直尺和圆规作出直角的边BC的垂直平分线,分别交边AC,BC于P、E两点,再过点P作边BC的平行线交边AB于点F(保留作图痕迹)
(2)用直尺和三角尺画图：过点P作边BC的平行线交边AB于点F。
(3)如果,那么点P到直线BC的距离是________
【答案】(1)如图所示；(2) 如图所示；(3)3
【解析】【分析】（1）作直角△ABC的边BC的垂直平分线，分别交边AC，BC于P、E两点，再过点P作边BC的平行线交边AB于点F即可；
（2）先判断出四边形BEPF是矩形，进而可得出结论．
【详解】解：(1)如图所示；(2) 如图所示；
（2）∵∠B=90°，PF∥BC，∴∠BFP=90°，
∵PE⊥BC，∴∠BEP=90°，∴四边形BEPF是矩形，
∴PE=FB=3，即P到直线BC的距离是3；故答案为3．
【点评】本题考查的是作图能力，掌握线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
47．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且BE=CF.
求证：（1）DE=DF；
（2）AD平分∠BAC．
【答案】见解析.
【分析】（1）可由HL得到Rt△BED≌Rt△CFD，得出DE=DF，
（2）由角平分线的判定定理，即可得到AD平分∠BAC．
【详解】证明：（1）∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠BED=∠CFD=90°
在Rt△BED和Rt△CFD中
∴Rt△ BED≌Rt△ CFD（HL），
∴DE=DF；
（2）又∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴D在∠BAC的平分线上
即AD平分∠BAC．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形角平分线的判定定理问题，能够掌握并熟练运用．
48．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC．
求证：（1）EC＝BF；
（2）EC⊥BF；
（3）连接AM，求证：AM平分∠EMF．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】【分析】（1）先求出∠EAC=∠BAF，然后利用“边角边”证明△ABF和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠AEC=∠ABF，设AB、CE相交于点D，根据∠AEC+∠ADE=90°可得∠ABF+∠ADM=90°，再根据三角形内角和定理推出∠BMD=90°，从而得证．
（3）作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．由△EAC≌△BAF，推出AP=AQ（全等三角形对应边上的高相等）．由AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，可得AM平分∠EMF；
【详解】证明：（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠BAE＝∠CAF＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，
即∠EAC＝∠BAF，
在△ABF和△AEC中，
∵ ，
∴△ABF≌△AEC（SAS），
∴EC＝BF；
（2）根据（1），△ABF≌△AEC，
∴∠AEC＝∠ABF，
∵AE⊥AB，
∴∠BAE＝90°，
∴∠AEC+∠ADE＝90°，
∵∠ADE＝∠BDM（对顶角相等），
∴∠ABF+∠BDM＝90°，
在△BDM中，∠BMD＝180°﹣∠ABF﹣∠BDM＝180°﹣90°＝90°，
所以EC⊥BF．
（3）作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．如图：
∵△EAC≌△BAF，
∴AP＝AQ（全等三角形对应边上的高相等）．
∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，
∴AM平分∠EMF．
【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解题关键在于掌握判定定理.
49．如图，AB＝AC，AD＝AE，CD＝BE.
求证：∠DAB＝∠EAC．
【答案】详见解析
【分析】利用SSS可证明△ADC≌△AEB，可得∠DAC＝∠EAB，进而得∠DAC-∠BAC=∠EAB-∠BAC，即可证明∠DAB＝∠EAC.
【详解】在△ADC和△AEB中，
∵AC＝AB，CD＝BE，AD＝AE，
∴△ADC≌△AEB(SSS)，
∴∠DAC＝∠EAB，
∴∠DAC-∠BAC=∠EAB-∠BAC，即∠DAB＝∠EAC
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键.
50．如图，是延长线上一点，且，是上一点，，求证：.
【答案】详见解析
【解析】【分析】分别过点D、C作AB的垂线，构建与，证其全等即可求得答案.
【详解】如图，过点C作于点G，过点D作的延长线于点F，
则有∠DFB=∠CGB=∠CGA=90°，
又∵∠DBF=∠CBG，BD=BC，
∴，
∴DF=CG，.
又，
∴≌，
.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键.
一、单选题
1．在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C=∠A1，∠B=∠B1，要使这两个三角形全等，还需要条件（ ）
A．AB=A1B1 B．AB=A1C1
C．CA=A1C1 D．∠A=∠C1
2．如图，，，，，垂足分别是点、，，，则的长是（ ）
A． B．2 C．4 D．6
3．如图，直线AC上取点B，在其同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE，CD与GF，下列结论正确的有（ ）
① AE = DC；②ÐAHC=120°；③△AGB≌△DFB；④BH平分ÐAHC；⑤GF∥AC
A．①②④ B．①③⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤
4．如图，正方形的网格中，∠1+∠2+∠3十∠4+∠5等于（ ）
A．175° B．180° C．210° D．225°
5．下列说法正确的个数（ ）①三角形的三条高所在直线交于一点；②一个角的补角比这个角的余角大90°；③垂直于同一条直线的两条直线互相垂直；④两直线相交，同位角相等；⑤面积相等的两个正方形是全等图形；⑥已知两边及一角不能唯一作出三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连结并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（ ）
①是的平分线；②；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角，那么能得出的依据是运用全等三角形判定（ ）
A．边边边 B．边角边 C．角边角 D．角角边
8．如图，已知，再添加一个条件使，则添加的条件不能是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝7，BD＝2，则DE的长是（ ）
A．7 B．5 C．3 D．2
10．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D. 下列结论：①AD是∠BAC的平分线；②点D在AB的垂直平分线上；③∠ADC=60°；④。其中正确的结论有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图所示，AO=BO，CO=DO连接AD,BC，设AD,BC交于点P，结论：①△AOD≌△BOC;②△APC≌△BPD;③点P在∠AOB的平分线上．以上结论中（ ）
A．只有①正确 B．只有②正确
C．只有①②正确 D．①②③都正确
12．如图，在四边形中，，和的延长线交于点，若点使得，则满足此条件的点（ ）
A．有且积有 B．有且只有个
C．组成的角平分线 D．组成的角平分线所在的直线（点除外）
13．已知两角及其夹边作三角形，所用的基本作图方法是（ ）
A．平分已知角
B．作已知直线的垂线
C．作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段
D．作已知直线的平行线
14．如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4cm，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则以下结论：①AD平分∠CDE；②DE平分∠BDA；③AE-BE=BD；④△BDE周长是4cm．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
16．用尺规作图法作已知角的平分线的步骤如下:①以点O为圆心,任意长为半径作弧,交OB于点D,交OA于点E;②分别以点D,E为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧在的内部相交于点C;③作射线OC. 则射线OC为的平分线,由上述作法可得的依据是( )
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
17．如图，已知AC＝AD，BC＝BD，能确定△ACB≌△ADB的理由是（ ）
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
18．如图所示，亮亮课本上的三角形被墨迹涂抹了一部分，但他根据所学知识很快画出了一个完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
19．如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，下列结论不正确的结论是（ ）
A．CD=DN； B．∠1=∠2； C．BE=CF； D．△ACN≌△ABM．
20．如图，在中，，、的垂直平分线与分别交于、两点，则的周长为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
二、填空题
21．Rt△ABC中，∠C是直角，O是角平分线的交点，AC=3，BC=4，AB=5，O到三边的距离r=______．
22．已知△ABC≌△DEF，∠A＝60°，∠F＝50°，点B的对应顶点是点E，则∠B的度数是________．
23．如图，AB∥CD，∠BAC与∠ACD的平分线交于点P，过P作PE⊥AB于E，交CD于F，EF＝10，则点P到AC的距离为_____．
24．一副三角板如图摆放，点F是 45°角三角板△ABC的斜边的中点，AC＝4．当 30°角三角板DEF的直角顶点绕着点F旋转时，直角边DF，EF分别与AC，BC相交于点 M， N．在旋转过程中有以下结论：①MF＝NF；②CF与MN可能相等吗；③MN 长度的最小值为 2；④四边形CMFN的面积保持不变； ⑤△CMN面积的最大值为 2．其中正确的个数是_________.（填写序号）.
25．如图，一块三角形玻璃裂成①②两块，现需配一块同样的玻璃，为方便起见，只需带上碎片________即可
26．判定两直角三角形全等的各种条件：（1）一锐角和一边；（2）两边对应相等；（3）两锐角对应相等.其中能得到两个直角三角形全等的条件是_________.
27．如图：作∠AOB的角平分线OP的依据是_____．（填全等三角形的一种判定方法）
28．已知，△ABC的周长为16，∠A，∠B的角平分线交点到AB的距离为2，则△ABC的面积为________
29．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CD，BE⊥CD，AD=3，DE=4，则BE= ______ ．
30．如图，AC⊥BC，AD⊥DB，下列条件中: ①∠ABD=∠BAC；②∠DAB=∠CBA；③AD=BC；④∠DAC=∠CBD，能使△ABC≌△BAD的有_____（把所有正确结论的序号都填在横线上）
三、解答题
31．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD=AB，AE∥BC，∠BAD=∠CAE，连接DE交AC于点F．
（1）若∠B=70°，求∠C的度数；
（2）若AE=AC，AD平分∠BDE是否成立？请说明理由．
32．如图，在等边△ABC中，点F、E分别在BC、AC边上，AE＝CF，AF与BE相交于点P．
（1）求证：AEP∽BEA；
（2）若BE＝3AE，AP＝2，求等边ABC的边长．
33．已知，如图，∠C＝∠D＝90°，E是CD的中点，AE平分∠DAB．求证：BE平分∠ABC．
34．如图，A、D、B、E四点在同一条直线上，AD＝BE，BC∥EF，BC＝EF．
（1）求证：AC＝DF；
（2）若CD为∠ACB的平分线，∠A＝25°，∠E＝71°，求∠CDF的度数．
35．如图，直线分别与直线、相交于点、，且，、分别平分和，试判断的形状，并说明理由.
36．如图，已知，，请用尺规作图在上取一点，使得．
37．如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线DN交BC于点D，交AB于点N，DF⊥AC于点F，交AE于点M．求证：
（1）AE＝DE； （2）EM＝EC．
38．已知△ABN和△ACM的位置如图，∠1＝∠2，AB＝AC，AM＝AN．
求证：（1）∠M＝∠N．
（2）BD＝CE．
39．已知如图所示，点D在线段AE上，点B在线段FC上，AB=DC，AD=BC，DE=BF，求证：BE=DF.
40．（1）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在△ABC外，连接AD，作DE⊥AB，交BC于点F，AD=AB，AE=AC，连接AF，则DF，BC，CF间的等量关系是 ；
（2）如图2，AB=AD，AC=AE，∠ACB=∠AED=90°，延长BC交DE于点F，写出DF，BC，CF间的等量关系，并证明你的结论.
41．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，BD＝CE，M是AC边的中点，求证△DEM是等腰三角形．
42．如图，将等边绕点顺时针旋转得到，的平分线交于点，连接、.
（1）求度数； （2）求证：.
43．如图，A、C、F、B在同一直线上，AC=BF，AE=BD，且AE∥BD.求证：EF∥CD.
44． 如图，在△ABC中，∠B=90°．
（1）画线段AC的垂直平分线MN，交AC于点M，交AB于点N．
（2）过点M作ME∥BC交AB于点E．
（3）直线BC与直线ME之间的距离是线段_____的长．
45．如图，CD平分∠ECF，∠B＝∠ACB，求证：AB∥CE．
46．按下列要求画图并填空:
(1)用直尺和圆规作出直角的边BC的垂直平分线,分别交边AC,BC于P、E两点,再过点P作边BC的平行线交边AB于点F(保留作图痕迹)
(2)用直尺和三角尺画图：过点P作边BC的平行线交边AB于点F。
(3)如果,那么点P到直线BC的距离是________
47．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且BE=CF.
求证：（1）DE=DF；
（2）AD平分∠BAC．
48．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC．
求证：（1）EC＝BF；
（2）EC⊥BF；
（3）连接AM，求证：AM平分∠EMF．
49．如图，AB＝AC，AD＝AE，CD＝BE.
求证：∠DAB＝∠EAC．
50．如图，是延长线上一点，且，是上一点，，求证：.
第12章全等三角形
一、单选题
1．在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C=∠A1，∠B=∠B1，要使这两个三角形全等，还需要条件（ ）
A．AB=A1B1 B．AB=A1C1
C．CA=A1C1 D．∠A=∠C1
【答案】C
【分析】根据题意做出示意图，然后根据ASA或AAS判断即可．
【详解】根据题意得出下图：
若两个三角形全等，则BC= A1B1，AB= B1C1，AC= A1C1
所以，当时AC= A1C1，结合∠C=∠A1，∠B=∠B1，此时利用AAS即可证明两三角形全等
故选C．
【点评】本题考查了三角形全等的判定条件，正确的画出示意图，根据图示利用AAS或ASA判断是本题的关键．
2．如图，，，，，垂足分别是点、，，，则的长是（ ）
A． B．2 C．4 D．6
【答案】B
【解析】【分析】根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE=DC，就可以求出DE的值．
【详解】∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=90°，
∴∠EBC+∠BCE=90°．
∵∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠EBC=∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE=DC=1，CE=AD=3．
∴DE=EC-CD=3-1=2
故选B．
【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.
3．如图，直线AC上取点B，在其同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE，CD与GF，下列结论正确的有（ ）
① AE = DC；②ÐAHC=120°；③△AGB≌△DFB；④BH平分ÐAHC；⑤GF∥AC
A．①②④ B．①③⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤
【答案】D
【解析】【分析】根据等边三角形的性质得到BA＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，则可根据”SAS“判定△ABE≌△DBC，所以AE＝DC，于是可对①进行判断；根据全等三角形的性质得到∠BAE＝∠BDC，则可得到∠BAH＋∠BCH＝60°，从而根据三角形内角和得到∠AHC＝120°，则可对②进行判断；利用”ASA”可证明△AGB≌△DFB，从而可对③进行判断；利用△ABE≌△DBC得到AE和DC边上的高相等，则根据角平分线的性质定理逆定理可对④进行判断；证明△BGF为等边三角形得到∠BGF＝60°，则∠ABG＝∠BGF，所以GF∥AC，从而可对⑤进行判断．
【详解】解：∵△ABD和△BCE都是等边三角形，
∴BA＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，
∵∠DBE＝180°−60°−60°＝60°，
∴∠ABE＝∠DBC＝120°，
∵BA＝BD，∠ABD＝∠DBC，BE＝BC，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴AE＝DC，所以①正确；
∠BAE＝∠BDC，
∵∠BDC＋∠BCD＝∠ABD＝60°，
∴∠BAE＋∠BCD＝60°，
∴∠AHC＝180°−（∠BAH＋∠BCH）＝180°−60°＝120°，所以②正确；
∵∠BAG＝∠BDF，BA＝BD，∠ABG＝∠DBF＝60°，
∴△AGB≌△DFB（ASA）；所以③正确；
∵△ABE≌△DBC，
∴AE和DC边上的高相等，
即B点到AE和DC的距离相等，
∴BH平分∠AHC，所以④正确；
∵△AGB≌△DFB，
∴BG＝BF，
∵∠GBF＝60°，
∴△BGF为等边三角形，
∴∠BGF＝60°，
∴∠ABG＝∠BGF，
∴GF∥AC，所以⑤正确．
故选D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．也考查了等边三角形的性质．
4．如图，正方形的网格中，∠1+∠2+∠3十∠4+∠5等于（ ）
A．175° B．180° C．210° D．225°
【答案】D
【分析】仔细分析图中角度，可得出，∠1+∠5＝90°，∠2+∠4＝90°，∠3＝45°，所以∠1+∠2+∠3十∠4+∠5＝225°．
【详解】解：∵∠1和∠5所在的三角形全等，
∴∠1+∠5＝90°，
∵∠2和∠4所在的三角形全等，
∴∠2+∠4＝90°，
而：∠3＝45°，
∴∠1+∠2+∠3十∠4+∠5＝225°．
故选D．
【点评】考核知识点：全等三角形性质.理解全等三角形性质是关键.
5．下列说法正确的个数（ ）①三角形的三条高所在直线交于一点；②一个角的补角比这个角的余角大90°；③垂直于同一条直线的两条直线互相垂直；④两直线相交，同位角相等；⑤面积相等的两个正方形是全等图形；⑥已知两边及一角不能唯一作出三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【分析】根据全等图形、三角形的高、互补、垂直以及平行线的性质进行判断即可．
【详解】解：①三角形的三条高交于同一点，所以此选项说法正确；
②设这个角为α，则这个角的补角表示为180°﹣α，这个角的余角表示为90°﹣α，
（180°﹣α）﹣（90°﹣α）＝90°，∴一个角的补角比这个角的余角大90°，此选项正确；
③垂直于同一条直线的两条直线互相平行，所以此选项不正确；
④两直线平行，同位角相等，所以此选项说法不正确；
⑤面积相等的两个正方形是全等图形，此选项正确；
⑥已知两边及一角不能唯一作出三角形，此选项正确．
故选D．
【点评】考核知识点：全等图形、三角形的高、互补、垂直以及平行线的性质.理解相关定义是关键.
6．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连结并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（ ）
①是的平分线；②；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【分析】①连接NP，MP，根据SSS定理可得△ANP≌△AMP，故可得出结论；
②先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再由AD是∠BAC的平分线得出∠1=∠2=30°，
根据直角三角形的性质可知∠ADC=60°；
③根据∠1=∠B可知AD=BD，故可得出结论；
④先根据直角三角形的性质得出∠2=30°，CD= AD，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】①证明：连接NP，MP，
在△ANP与△AMP中，
∵ ，
∴△ANP≌△AMP，
则∠CAD=∠BAD，
故AD是∠BAC的平分线，故此选项正确；
②证明：∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°，
∴∠CAB=60°.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2= ∠CAB=30°，
∴∠3=90°−∠2=60°,∠ADC=60°，故此选项正确；
③证明：∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，故此选项正确；
④证明：∵在Rt△ACD中,∠2=30°，
∴CD=AD，
∴BC=BD+CD=AD+AD=AD,=AC⋅CD= AC⋅AD，
∴=AC⋅BC=AC⋅AD= AC⋅AD，
∴ =1:3，故此选项不正确；
故选C.
【点评】此题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，作图—基本作图，解题关键在于掌握判定定理和作辅助线.
7．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角，那么能得出的依据是运用全等三角形判定（ ）
A．边边边 B．边角边 C．角边角 D．角角边
【答案】A
【解析】【分析】由作图可知OD=OD′=OC=OC′，CD=C′D′，根据SSS可证△ODC≌△O′D′C′，根据全等三角形的对应角相等即可得∠A′O′B′=∠AOB．可得答案.
【详解】由作图可知OD=OD′=OC=OC′，CD=C′D′，
∴△ODC≌△O′D′C′（SSS），
∴∠A′O′B′=∠AOB，
故选A.
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定和有关角的作法，主要考查学生的观察能力和推理能力，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
8．如图，已知，再添加一个条件使，则添加的条件不能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用全等三角形的判定分别分得出即可
【详解】A. ，，AC=AC，由SSS可以判定
B. 不可以判定，符合题意；
C. ，，AC=AC，由SAS可以判定
D. 可得，由SAS可以判定
故答案选:B
【点评】此题考查全等三角形的判定，利用全等三角形的判定与性质是解题关键
9．如图，AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝7，BD＝2，则DE的长是（ ）
A．7 B．5 C．3 D．2
【答案】B
【分析】首先由AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，判断出Rt△AEC≌Rt△CDB，又由AE＝7，BD＝2，得出CE=BD=2，AE=CD=7，进而得出DE=CD-CE=7-2=5.
【详解】解：∵AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，
∴Rt△AEC≌Rt△CDB
又∵AE＝7，BD＝2，
∴CE=BD=2，AE=CD=7，
DE=CD-CE=7-2=5.
【点评】此题主要考查直角三角形的全等判定，熟练运用即可得解.
10．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D. 下列结论：①AD是∠BAC的平分线；②点D在AB的垂直平分线上；③∠ADC=60°；④。其中正确的结论有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】【分析】①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；
②利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的垂直平分线上；
③利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；
④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．
【详解】解：如图：
根据作图方法可得AD是∠BAC的平分线，故①正确；
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC=∠DAB=30°，
∵∠B=30°，∠DAB=30°，
∴AD=DB，
∴点D在AB的中垂线上，故②正确；
∴∠ADC=60°，故③正确；
∵∠CAD=30°，
∵AD=DB，
∴
故④正确。
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
11．如图所示，AO=BO，CO=DO连接AD,BC，设AD,BC交于点P，结论：①△AOD≌△BOC;②△APC≌△BPD;③点P在∠AOB的平分线上．以上结论中（ ）
A．只有①正确 B．只有②正确
C．只有①②正确 D．①②③都正确
【答案】D
【解析】【分析】根据全等三角形的判定和角平分线的性质解答即可．
【详解】连接OP,
在△AOD与△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC，①正确；
∴∠A=∠B；
∵AO=BO，CO=DO，
在△APC与△BPD中，
，
∴△APC≌△BPD，②正确；
∴AP=BP，
在△AOP与△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP，
∴∠AOP=∠BOP，即点P在∠AOB的平分线上，③正确.
故选D.
【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.
12．如图，在四边形中，，和的延长线交于点，若点使得，则满足此条件的点（ ）
A．有且积有 B．有且只有个
C．组成的角平分线 D．组成的角平分线所在的直线（点除外）
【答案】D
【解析】【分析】根据角平分线的性质分析，作∠E的平分线，点P到AB和CD的距离相等，即可得到S△PAB＝S△PCD．
【详解】解：作∠E的平分线，
可得点P到AB和CD的距离相等，
因为AB＝CD，
所以此时点P满足S△PAB＝S△PCD．
故选D．
【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据AB＝CD和三角形等底作出等高即可．
13．已知两角及其夹边作三角形，所用的基本作图方法是（ ）
A．平分已知角
B．作已知直线的垂线
C．作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段
D．作已知直线的平行线
【答案】C
【分析】看利用ASA是怎么作三角形的.
【详解】已知两角及其夹边作三角形，可先作一条线段等于已知线段，再在线段的两个端点分别作两个角等于已知角，故所用的基本作图方法是作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段.
故选C．
【点评】考核知识点：利用全等三角形性质作图.
14．如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】由∠ABC=45°，AD是高，得出BD=AD后，证△ADC≌△BDH后，得到BH=AC，即可求解．
【详解】∵∠ABC=45°，AD⊥BC，
∴AD=BD，∠ADC=∠BDH，
∵∠AHE+∠DAC=90°，∠DAC+∠C=90°，
∴∠AHE=∠BHD=∠C，
在△ADC与△BDH中，
∴△ADC≌△BDH
∴BH=AC=4．
故选C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．由∠ABC=45°，AD是高，得出BD=AD是正确解答本题的关键．
15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4cm，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则以下结论：①AD平分∠CDE；②DE平分∠BDA；③AE-BE=BD；④△BDE周长是4cm．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】【分析】根据角平分线性质求出CD=DE，根据等腰三角形的判定得出BE=DE，求出CD=DE=BE，根据勾股定理和CD=DE求出AC=AE，求出AC=AE=BC，再逐个判断即可．
【详解】解：∵DE⊥AB，
∴∠DEA=∠DEB=90°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
∵∠C=90°，∠CDA+∠C+∠CAD=180°，∠DEA+∠BAD+∠EDA=180°，
∴∠CDA=∠EDA，∴①正确；
∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠B=45°，
∵∠C=∠DEA=∠DEB=90°，
∴∠CDE=360°-90°-45°-90°=135°，∠BDE=180°-90°-45°=45°，
∵∠CDA=∠EDA，
∴∠CDA=∠EDA==67.5°≠45°，
∴∠EDA≠∠BDE，
∴DE不平分∠BDA，∴②错误；
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE，
由勾股定理得：AC=AE，
∵AC=BC，
∴AE=AC=BC，
∵∠B=∠BDE=45°，
∴BE=DE=CD，
∴AE-BE=BC-CD=BD，∴③正确；
△BDE周长是BE+DE+BD=BE+CD+BD=BC+BE=AE+BE=AB=4cm，∴④正确；
即正确的个数是3，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定、勾股定理、角平分线性质等知识点，能求出AC=AE=BC和CD=DE=BE是解此题的关键．
16．用尺规作图法作已知角的平分线的步骤如下:①以点O为圆心,任意长为半径作弧,交OB于点D,交OA于点E;②分别以点D,E为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧在的内部相交于点C;③作射线OC. 则射线OC为的平分线,由上述作法可得的依据是( )
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
【答案】D
【分析】根据作图得出符合全等三角形的判定定理SSS，即可得出答案．
【详解】在△OEC和△ODC中,
,
∴△OEC≌△ODC（SSS），
故选D．
【点评】考查的是作图-基本作图及全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
17．如图，已知AC＝AD，BC＝BD，能确定△ACB≌△ADB的理由是（ ）
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
【答案】D
【分析】因为AC=AD，BC=BD，AB共边，所以可根据SSS判定△ACB≌△ADB．
【详解】∵AC=AD，BC=BD，AB=AB，
∴△ABC≌△ABD（SSS），
A、B、C都不是全等的原因．
故选D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟练地掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS．
18．如图所示，亮亮课本上的三角形被墨迹涂抹了一部分，但他根据所学知识很快画出了一个完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【答案】D
【分析】图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可．
【详解】由图可知，三角形两角及夹边还存在，
∴根据可以根据三角形两角及夹边作出图形，
所以，依据是ASA．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
19．如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，下列结论不正确的结论是（ ）
A．CD=DN； B．∠1=∠2； C．BE=CF； D．△ACN≌△ABM．
【答案】A
【解析】【分析】利用“角角边”证明△ABE和△ACF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAE=∠CAF，然后求出∠1=∠2，全等三角形对应边相等可得BE=CF，AB=AC，再利用“角边角”证明△ACN和△ABM全等．
【详解】在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴∠BAE=∠CAF，BE=CF，AB=AC，故C选项结论正确；
∴∠BAE-∠BAC=∠CAF-∠BAC，
即∠1=∠2，故B选项结论正确；
在△ACN和△ABM中，
，
∴△ACN≌△ABM（ASA），故D选项结论正确；
CD与DN的大小无法确定，故A选项结论错误．
故选A．
【点评】考查了全等三角形的判定与性质，熟记三角形全等的判定方法并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
20．如图，在中，，、的垂直平分线与分别交于、两点，则的周长为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解析】【分析】根据垂直平分线的性质得到AE=BE,AF=CF,再根据三角形的周长组成即可求解.
【详解】∵、的垂直平分线与分别交于、两点，
∴AE=BE,AF=CF,
∴的周长为AE+EF+AF=BE+EF+AF=BC=8，
故选B.
【点评】此题主要考查垂直平分线的性质，解题的关键是熟知垂直平分线的定义.
二、填空题
21．Rt△ABC中，∠C是直角，O是角平分线的交点，AC=3，BC=4，AB=5，O到三边的距离r=______．
【答案】1
【分析】由Rt△ABC中，∠C是直角，O是角平分线的交点，AC=3，BC=4，AB=5，可得S△ABC=AC•BC=(AC+BC+AB)•r，继而可求得答案．
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C是直角，O是角平分线的交点，AC=3，BC=4，AB=5，
∴S△ABC=AC•BC=(AC+BC+AB)•r，
∴3×4=(3+4+5)×r，
解得：r=1．
故答案为1．
【点评】本题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握S△ABC=AC•BC=(AC+BC+AB)•r．
22．已知△ABC≌△DEF，∠A＝60°，∠F＝50°，点B的对应顶点是点E，则∠B的度数是________．
【答案】70o
【解析】【分析】由全等三角形的性质可求得∠F=∠C，∠A=∠D，再根据三角形内角各即可求得．
【详解】∵△ABC≌△DEF，∠A＝60°，∠F＝50°，点B的对应顶点是点E，
∴∠C＝∠F＝50°，
∴∠B＝180°－∠A－∠C=70o.
故答案是：70o.
【点评】考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
23．如图，AB∥CD，∠BAC与∠ACD的平分线交于点P，过P作PE⊥AB于E，交CD于F，EF＝10，则点P到AC的距离为_____．
【答案】5
【分析】作PH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到PE=PH，PF=PH，根据题意计算即可．
【详解】作PH⊥AC于H，
∵AP平分∠BAC，PE⊥AB，PH⊥AC，
∴PE＝PH，
∵AB∥CD，PE⊥AB，
∴PF⊥CD，
∵CP平分∠ACD，PF⊥CD，PH⊥AC，
∴PF＝PH，
∴PH＝PE＝PF＝EF＝5，即点P到AC的距离为5，
故答案为5．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
24．一副三角板如图摆放，点F是 45°角三角板△ABC的斜边的中点，AC＝4．当 30°角三角板DEF的直角顶点绕着点F旋转时，直角边DF，EF分别与AC，BC相交于点 M， N．在旋转过程中有以下结论：①MF＝NF；②CF与MN可能相等吗；③MN 长度的最小值为 2；④四边形CMFN的面积保持不变； ⑤△CMN面积的最大值为 2．其中正确的个数是_________.（填写序号）.
【答案】①②④⑤
【解析】【分析】利用两直角三角形的特殊角、性质及旋转的性质分别判断每一个结论，找到正确的即可．
【详解】解：①连接CF，
∵F为AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，
∴AF=BF=CF，CF⊥AB，
∴∠AFM+∠CFM=90°．
∵∠DFE=90°，∠CFM+∠CFN=90°，
∴∠AFM=∠CFN．
同理，∵∠A+∠MCF=90°，∠MCF+∠FCN=90°，
∴∠A=∠FCN，
在△AMF与△CNF中，
∴△AMF≌△CNF（ASA），
∴MF=NF．
故①正确；
∴②∵F是AB中点，△ABC是等腰直角三角形，
,
当M，N分别是AC，BC中点时，,
CF=MN，故正确；
③连接MN，当M为AC的中点时，CM=CN，根据边长为4知CM=CN=2，此时MN最小，最小值为，故③错误；
④当M、N分别为AC、BC中点时，四边形CMFN是正方形．
∵△AMF≌△CNF，
∴S△AMF=S△CNF
∴S四边形CDFE=S△AFC．
故④正确；
⑤由于△MNF是等腰直角三角形，因此当FM最小时，FN也最小；
即当DF⊥AC时，FM最小，此时，
，
当△CMN面积最大时，此时△FMN的面积最小．
此时S△CMN=S四边形CMFN-S△FMN=S△AFC-S△FMN=4-2=2，
故⑤正确．
【点评】此题考查的知识点有等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点，综合性强，难度较大，是一道难题．
25．如图，一块三角形玻璃裂成①②两块，现需配一块同样的玻璃，为方便起见，只需带上碎片________即可
【答案】②
【解析】【分析】此题实际上考查全等三角形的应用，②中两边及其夹角，进而可确定其形状．
【详解】②中满足两边夹一角完整，即可得到一个与原来三角形全等的新三角形，所以只需带②去即可．
故答案是：②．
【点评】本题考查了三角形全等的应用；能够灵活运用全等三角形的判定，解决一些实际问题，注意认真读图．
26．判定两直角三角形全等的各种条件：（1）一锐角和一边；（2）两边对应相等；（3）两锐角对应相等.其中能得到两个直角三角形全等的条件是_________.
【答案】（1）（2）
【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS；直角三角形的判定地理HL对（1）、（2）（3）逐个分析，然后即可得出答案．
【详解】解：∵（1）一锐角与一边对应相等，
可利用AAS或ASA判定两直角三角形全等，
（2）两边对应相等，可以根据SAS或HL证明全等；
（3）两锐角对应相等，缺少对应边相等这一条件，
所以不能判定两直角三角形全等．
故答案为（1），（2）．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS；直角三角形的判定定理HL．
27．如图：作∠AOB的角平分线OP的依据是_____．（填全等三角形的一种判定方法）
【答案】SSS
【解析】【分析】根据作法可知OC=OD，PC=PD，OP=OP，故可得出△OPC≌△OPD，进而可得出结论．
【详解】解：在△OPC与△OPD中，
∵，
∴△OPC≌△OPD（SSS），
∴OP是∠AOB的平分线．
故答案为SSS．
【点评】此题考查全等三角形的判定，作图—基本作图，解题关键在于掌握判定定理.
28．已知，△ABC的周长为16，∠A，∠B的角平分线交点到AB的距离为2，则△ABC的面积为________
【答案】16
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到△ABC三边的距离相等，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：设∠A和∠B的平分线相交于P，P到边AB的距离为2，
∴点P到AC、BC的距离为2，
∵△ABC的周长为16，
∴△ABC的面积=×AB×2+×BC×2+×AC×2=×(AB+BC+AC)×2=×16×2=16．
故答案为16．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并判断出点P到三角形三边的距离相等是解题的关键．
29．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CD，BE⊥CD，AD=3，DE=4，则BE= ______ ．
【答案】7
【解析】【分析】根据垂直的定义与直角三角形的两个锐角互余的性质可以推知△ACD≌△CBE（ASA）；最后根据全等三角形的对应边相等知CE=AD=3，由BE=CD=CE+ED求解．
【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，BE⊥CD，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE（等量代换）；
∴在△ACD和△CBE中，
AC=BC，
∠ADC=∠BEC=90°，
∠ACD=∠CBE，
∴△ACD≌△CBE（ASA），
∴CE=AD=3（全等三角形的对应边相等），
∴BE=CD=CE+ED=3+4=7；
故答案为7．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．解答该题时，围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定对应线段相等．
30．如图，AC⊥BC，AD⊥DB，下列条件中: ①∠ABD=∠BAC；②∠DAB=∠CBA；③AD=BC；④∠DAC=∠CBD，能使△ABC≌△BAD的有_____（把所有正确结论的序号都填在横线上）
【答案】①②③
【解析】【分析】先得到∠C=∠D=90°，若添加∠ABD=∠BAC，则可根据“AAS”判断△ABC≌△BAD；若添加∠DAB=∠CBA，则可先利用“AAS”证明△ABC≌△BAD；若添加AD=BC，则可利用“HL”判断ABC≌△BAD；若添加∠DAC=∠CBD，则不能判断ABC≌△BAD．
【详解】解：∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠C=∠D=90°，
①在△ABC和△BAD中，
,
∴△ABC≌△BAD（AAS），所以①正确；
②在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（AAS），所以②正确；
③在Rt△ABC和Rt△BAD中
，
∴△ABC≌△BAD（HL），所以③正确；
④∠C=∠D和∠DAC=∠CBD两个条件不能判定△ABC≌△DCB，所以④错误．
所以正确结论的序号为①②③，
故答案为①②③．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）是解题的关键．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
三、解答题
31．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD=AB，AE∥BC，∠BAD=∠CAE，连接DE交AC于点F．
（1）若∠B=70°，求∠C的度数；
（2）若AE=AC，AD平分∠BDE是否成立？请说明理由．
【答案】（1）∠C=40°；（2）AD平分∠BDE成立，理由见解析．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠ADB=∠B=70°，根据三角形的内角和定理求出∠BAD=40°，求出∠CAE=40°，根据平行线的性质得出即可；
（2）求出∠BAC=∠DAE，根据全等三角形的判定推出△BAC≌△DAE，根据全等三角形的性质得出∠B=∠ADE，求出∠ADE=∠ADB即可．
【详解】（1）∵∠B=70°， AB=AD，
∴ ∠ADB=∠B=70°．
∵ ∠B+∠BAD+∠ADB=180°，
∴ ∠BAD=40°．
∵ ∠CAE=∠BAD，
∴ ∠CAE=40°．
∵ AE∥BC，
∴∠C =∠CAE=40°．
（2）∵ ∠BAD=∠CAE，
∴ ∠BAC=∠DAE．
在△BAC和△DAE中，
∵
∴ △BAC≌△DAE．
∴ ∠B=∠ADE．
∵ ∠B=∠ADB，
∴ ∠ADE=∠ADB，即AD平分∠BDE．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定定理，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
32．如图，在等边△ABC中，点F、E分别在BC、AC边上，AE＝CF，AF与BE相交于点P．
（1）求证：AEP∽BEA；
（2）若BE＝3AE，AP＝2，求等边ABC的边长．
【答案】（1）见解析；（2）6
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB＝AC，∠C＝∠CAB＝60°，根据全等三角形的性质得到∠ABE＝∠CAF，于是得到结论；
（2）根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠C＝∠CAB＝60°，
又∵AE＝CF，
在△ABE和△CAF中，
∴
∴∠ABE＝∠CAF，
∵∠AEB＝∠BEA，
∴（有两个角对应相等的两个三角形相似）；
（2）解：∵
∴，
∵BE＝3AE，AP＝2，
∴AB＝6，
∴等边的边长是6．
【点评】本题考查了全等三角形的证明方法中的边角边定理（两个三角形中有两条边对应相等，并且这两条边的夹角也对应相等，则这两个三角形全等）；两个三角形相似的证明方法之一：两个三角形有两个角对应相等，则这两个三角形相似．熟记并灵活运用这两种方法是解本题的关键．
33．已知，如图，∠C＝∠D＝90°，E是CD的中点，AE平分∠DAB．求证：BE平分∠ABC．
【答案】见解析.
【分析】根据题意，先过E点作EF⊥AB于点F，然后根据角平分线的性质及判定定理进行解答即可.
【详解】过E点作EF⊥AB于点F，
∵∠D＝∠AFE＝90°，AE平分∠DAB
∴DE=EF
∵E是CD的中点
∴DE＝EC
∴EF＝EC
∵EF⊥AB，∠C＝90°
∴BE平分∠ABC．
【点评】本题主要考查了有关角平分线的辅助线画法，以及角平分线的性质及判定的证明，熟练掌握有关角平分线的性质及判定的证明方法是解决本题的关键，这类题目是考试的重点，要理解性掌握.
34．如图，A、D、B、E四点在同一条直线上，AD＝BE，BC∥EF，BC＝EF．
（1）求证：AC＝DF；
（2）若CD为∠ACB的平分线，∠A＝25°，∠E＝71°，求∠CDF的度数．
【答案】（1）详见解析；（2）42°.
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ABC＝∠DEF，再结合题意根据SAS判断△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质即可得到答案；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ABC＝∠E＝71°，∠A＝∠FDE＝25°，再根据角平分线的性质进行计算即可得到答案.
【详解】证明：（1）∵AD＝BE
∴AB＝DE
∵BC∥EF
∴∠ABC＝∠DEF，且AB＝BE，BC＝EF
∴△ABC≌△DEF（SAS）
∴AC＝DF
（2）∵△ABC≌△DEF
∴∠ABC＝∠E＝71°，∠A＝∠FDE＝25°
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝84°
∵CD为∠ACB的平分线
∴∠ACD＝42°＝∠BCD
∵∠CDB＝∠A+∠ACD＝∠CDF+∠EDF
∴∠CDF＝42°
【点评】本题考查全等三角形的判定（SAS）和性质、平行线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定（SAS）和性质、平行线的性质的综合运用.
35．如图，直线分别与直线、相交于点、，且，、分别平分和，试判断的形状，并说明理由.
【答案】是直角三角形.理由见解析.
【分析】先根据题意的得到AB∥CD，故可得出∠BMF+∠END=180°，再由角平分线的性质得出∠3+∠4的度数，进而可得出结论．
【详解】是直角三角形.
理由：，，
，
，
.
，分别平分和，
，
，
是直角三角形.
【点评】本题考查平行线的判定和性质、角平分线的性质及直角三角形的判定，解题的关键是掌握平行线的判定和性质、角平分线的性质及直角三角形的判定.
36．如图，已知，，请用尺规作图在上取一点，使得．
【答案】详见解析.
【解析】【分析】作线段的垂直平分线，直线交于点，连接，点即为所求．
【详解】解：如图点即为所求．
理由：垂直平分线段，
，
．
【点评】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键在于灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
37．如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线DN交BC于点D，交AB于点N，DF⊥AC于点F，交AE于点M．求证：
（1）AE＝DE；
（2）EM＝EC．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，得到∠DAB＝∠B＝22.5°，根据三角形的外角性质得到∠ADE＝∠DAB+∠B＝45°，根据等腰三角形的性质证明；
（2）证明△MDE≌△CAE，根据全等三角形的性质证明结论．
【详解】证明：（1）∵DN是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝22.5°，
∴∠ADE＝∠DAB+∠B＝45°，
∵AE⊥BC，
∴∠AED＝90°，
∴∠DAE＝∠ADE＝45°，
∴AE＝DE；
（2）∵DF⊥AC，AE⊥BC，
∴∠MDE＝∠CAE，
在△MDE和△CAE中，
，
∴△MDE≌△CAE（ASA），
∴EM＝EC．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
38．已知△ABN和△ACM的位置如图，∠1＝∠2，AB＝AC，AM＝AN．
求证：（1）∠M＝∠N．
（2）BD＝CE．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）用SAS先证明△ABN≌△ACM，再根据全等三角形的性质即得结论；
（2）由（1）题△ABN≌△ACM可得∠B＝∠C，再用ASA证明△ABD≌△ACE即可.
【详解】证明：（1）∵∠1＝∠2，
∴∠BAN＝∠CAM，
又∵AB＝AC，AN＝AM，
∴△ABN≌△ACM（SAS），
∴∠M＝∠N，
（2）∵△ABN≌△ACM，
∴∠B＝∠C，
又∵AB＝AC，∠1＝∠2，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴BD＝CE.
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.
39．已知如图所示，点D在线段AE上，点B在线段FC上，AB=DC，AD=BC，DE=BF，求证：BE=DF.
【答案】见解析.
【解析】【分析】连接BD，根据SSS推出△ABD≌△CDB，根据全等三角形的性质得出∠A=∠C，根据SAS推出△EAB≌△FCD即可．
【详解】证明：连接DB，
在△ABD和△CDB中，
∵AD=CB，AB=CD，DB=BD，
∴△ABD≌△CDB(SSS).
∴∠A=∠C.
∵AD=CB，DE=BF，
∴AD+DE=CB+BF，即AE=CF.
在△ABE和△CDF中，AE=CF，∠A=∠C，AB=DC.
∴△ABE≌△CDF(SAS).
∴BE=DF.
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
40．（1）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在△ABC外，连接AD，作DE⊥AB，交BC于点F，AD=AB，AE=AC，连接AF，则DF，BC，CF间的等量关系是 ；
（2）如图2，AB=AD，AC=AE，∠ACB=∠AED=90°，延长BC交DE于点F，写出DF，BC，CF间的等量关系，并证明你的结论.
【答案】（1）；（2）；证明见解析处.
【分析】（1）首先根据已知条件可判定，得出，再次利用同样的原理判定，可得出，进而得出三者的等量关系为；
（2）首先连接，根据已知条件可判定，得出，再根据同理即可判定，得出，进而得出三者等量关系为.
【详解】解：（1）∵∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴
又∵AD=AB，AE=AC，
∴
∴
又∵AE=AC，，
∴
∴
又∵
∴
故答案为.
（2）
证明：连接，如图所示，
∵AB=AD，AC=AE，∠ACB=∠AED=90°，
∴
∴
又∵AC=AE，，
∴
∴
又∵
∴
【点评】此题主要考查直角三角形全等的判定，然后利用其性质进行等量转换.
41．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，BD＝CE，M是AC边的中点，求证△DEM是等腰三角形．
【答案】详见解析
【解析】【分析】根据AB=BC，AM=MC，得出BM⊥AC，且∠ABM=∠CBM=∠ABC=45°，进而得出△ADM≌△BEM，即可得出DM=EM．
【详解】证明：连接BM，
∵AB＝BC，AM＝MC，
∴BM⊥AC，且∠ABM＝∠CBM＝∠ABC＝45°，
∵AB＝BC，所以∠A＝∠C＝＝45°，
∴∠A＝∠ABM，所以AM＝BM，
∵BD＝CE，AB＝BC，
∴AB－BD＝BC－CE，即AD＝BE，
在△ADM和△BEM中，
∴△ADM≌△BEM（SAS），
∴DM＝EM，
∴△DEM是等腰三角形．
【点评】此题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，解题关键在于得出BM⊥AC.
42．如图，将等边绕点顺时针旋转得到，的平分线交于点，连接、.
（1）求度数；
（2）求证：.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可求解；
（2）由“”可证，可得，即可证．
【详解】解：（1）是等边三角形
，
等边绕点顺时针旋转得到
，，
，
（2）和是等边三角形
，
平分
，，，
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练运用旋转的性质是本题关键．
43．如图，A、C、F、B在同一直线上，AC=BF，AE=BD，且AE∥BD.求证：EF∥CD.
【答案】见解析
【分析】利用SAS证明△EAF≌△DBC，根据全等三角形的性质即可得.
【详解】证明：∵AE//BD,
∴∠A=∠B，
∵AC=BF，
∴AC+CF=BF+CF，
∴BC=AF，
在△EAF和△DBC中
，
∴△EAF≌△DBC（SAS），
∴∠EFA＝∠BCD，
∴EF//CD.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握是解题的关键.
44． 如图，在△ABC中，∠B=90°．
（1）画线段AC的垂直平分线MN，交AC于点M，交AB于点N．
（2）过点M作ME∥BC交AB于点E．
（3）直线BC与直线ME之间的距离是线段_____的长．
【答案】（1）如图所示，直线MN即为所求；见解析；（2）如图所示，ME即为所求；见解析；（3）BE.
【解析】【分析】（1）根据线段中垂线的尺规作图可得；
（2）根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图作ME⊥AB，即可得；
（3）由直线间的距离的概念求解可得．
【详解】解：（1）如图所示，直线MN即为所求；
（2）如图所示，ME即为所求；
（3）直线BC与直线ME之间的距离是线段BE的长.
【点评】本题主要考查尺规作图，解题的关键是掌握线段中垂线和过直线外一点作已知直线垂线的尺规作图及平行线间的距离．
45．如图，CD平分∠ECF，∠B＝∠ACB，求证：AB∥CE．
【答案】见解析
【解析】【分析】依据角平分线的定义以及对顶角相等，即可得到∠ECD=∠ACB，再根据∠B=∠ACB，即可得出∠B=∠ECD，进而判定AB∥CE．
【详解】∵CD平分∠ECF，
∴∠ECD=∠DCF，
∵∠ACB=∠DCF，
∴∠ECD=∠ACB，
又∵∠B=∠ACB，
∴∠B=∠ECD，
∴AB∥CE．
【点评】考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行．
46．按下列要求画图并填空:
(1)用直尺和圆规作出直角的边BC的垂直平分线,分别交边AC,BC于P、E两点,再过点P作边BC的平行线交边AB于点F(保留作图痕迹)
(2)用直尺和三角尺画图：过点P作边BC的平行线交边AB于点F。
(3)如果,那么点P到直线BC的距离是________
【答案】(1)如图所示；(2) 如图所示；(3)3
【解析】【分析】（1）作直角△ABC的边BC的垂直平分线，分别交边AC，BC于P、E两点，再过点P作边BC的平行线交边AB于点F即可；
（2）先判断出四边形BEPF是矩形，进而可得出结论．
【详解】解：(1)如图所示；(2) 如图所示；
（2）∵∠B=90°，PF∥BC，∴∠BFP=90°，
∵PE⊥BC，∴∠BEP=90°，∴四边形BEPF是矩形，
∴PE=FB=3，即P到直线BC的距离是3；故答案为3．
【点评】本题考查的是作图能力，掌握线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
47．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且BE=CF.
求证：（1）DE=DF；
（2）AD平分∠BAC．
【答案】见解析.
【分析】（1）可由HL得到Rt△BED≌Rt△CFD，得出DE=DF，
（2）由角平分线的判定定理，即可得到AD平分∠BAC．
【详解】证明：（1）∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠BED=∠CFD=90°
在Rt△BED和Rt△CFD中
∴Rt△ BED≌Rt△ CFD（HL），
∴DE=DF；
（2）又∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴D在∠BAC的平分线上
即AD平分∠BAC．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形角平分线的判定定理问题，能够掌握并熟练运用．
48．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC．
求证：（1）EC＝BF；
（2）EC⊥BF；
（3）连接AM，求证：AM平分∠EMF．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】【分析】（1）先求出∠EAC=∠BAF，然后利用“边角边”证明△ABF和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠AEC=∠ABF，设AB、CE相交于点D，根据∠AEC+∠ADE=90°可得∠ABF+∠ADM=90°，再根据三角形内角和定理推出∠BMD=90°，从而得证．
（3）作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．由△EAC≌△BAF，推出AP=AQ（全等三角形对应边上的高相等）．由AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，可得AM平分∠EMF；
【详解】证明：（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠BAE＝∠CAF＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，
即∠EAC＝∠BAF，
在△ABF和△AEC中，
∵ ，
∴△ABF≌△AEC（SAS），
∴EC＝BF；
（2）根据（1），△ABF≌△AEC，
∴∠AEC＝∠ABF，
∵AE⊥AB，
∴∠BAE＝90°，
∴∠AEC+∠ADE＝90°，
∵∠ADE＝∠BDM（对顶角相等），
∴∠ABF+∠BDM＝90°，
在△BDM中，∠BMD＝180°﹣∠ABF﹣∠BDM＝180°﹣90°＝90°，
所以EC⊥BF．
（3）作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．如图：
∵△EAC≌△BAF，
∴AP＝AQ（全等三角形对应边上的高相等）．
∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，
∴AM平分∠EMF．
【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解题关键在于掌握判定定理.
49．如图，AB＝AC，AD＝AE，CD＝BE.
求证：∠DAB＝∠EAC．
【答案】详见解析
【分析】利用SSS可证明△ADC≌△AEB，可得∠DAC＝∠EAB，进而得∠DAC-∠BAC=∠EAB-∠BAC，即可证明∠DAB＝∠EAC.
【详解】在△ADC和△AEB中，
∵AC＝AB，CD＝BE，AD＝AE，
∴△ADC≌△AEB(SSS)，
∴∠DAC＝∠EAB，
∴∠DAC-∠BAC=∠EAB-∠BAC，即∠DAB＝∠EAC
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键.
50．如图，是延长线上一点，且，是上一点，，求证：.
【答案】详见解析
【解析】【分析】分别过点D、C作AB的垂线，构建与，证其全等即可求得答案.
【详解】如图，过点C作于点G，过点D作的延长线于点F，
则有∠DFB=∠CGB=∠CGA=90°，
又∵∠DBF=∠CBG，BD=BC，
∴，
∴DF=CG，.
又，
∴≌，
.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键.
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