2020-2021学年 人教版八年级数学上册期末冲刺 专题05《 分式》（教师版）

专题05 分式

1．分式

一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式．其中A叫做分子，B叫做分母．

分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义．

2．分式的基本性质

　  ， （M为不等于0的整式）．

3．最简分式

分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简．

4．约分

利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫

做分式的约分．

5．通分

利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的

分式，这样的分式变形叫做分式的通分．

6．基本运算法则

分式的运算法则与分数的运算法则类似，具体运算法则如下：

（1）加减运算

；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．

；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．

（2）乘法运算

，其中 是整式，．

两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母．

（3）除法运算  ，其中是整式， ．

两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘．

（4）乘方运算 ．

分式的乘方，把分子、分母分别乘方．

7．零指数

　　 ．

8．负整数指数

　　（，为正整数）．

9．分式的混合运算顺序

   先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．

10．分式方程的概念

分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

11．分式方程的解法

解分式方程的关键是去分母，即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．

12．分式方程的增根问题

增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知

数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不

适合原方程的根——增根．

因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母

中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．

13.分式方程的应用

列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、

恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．

考点一、分式有意义的条件

例1 (200衡阳) 要使分式有意义，则x的取值范围是（   ）

A.x>1   B.x≠1     C.x=1    D.x≠0

【答案】B

【解析】要使分式有意义,需要使分母不为零,即x－1≠0,∴x≠1,故选B.

【名师点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件：分母不为0．

考点二、分式的值为零的条件

例2 （2020雅安）分式，则x的值是（   ）

A. 1       B. -1       C.±1          D. 0

【答案】A

【解析】∵分式，

∴x2-1=0且x+1≠0，

解得x=1.

故选：A

【名师点睛】本题考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键．

考点三、分式的运算

例3 （2020大连）计算：．

【答案】．

【解析】原式=

=

=

=．

【名师点睛】此题主要考查了分式的混合运算，正确化简分式是解题关键．

考点四、分式的化简求值

例4（2020深圳）先化简，再求值：，其中a=2.

【答案】1

【解析】原式=，

=

=

=，

当a=2时，．

【名师点睛】本题主要考查分式的化简求值这一知识点,把分式化到最简是解答的关键．

考点五、整数指数幂

例5（2020玉林）2019新型冠状病毒的直径是0.00012mm，将0.00012用科学记数法表示是（    ）

A.120×10-6       B.12×10-3       C.1.2×10-4        D.1.2×10-5

【答案】C

【解析】0.00012=1.2×10-4．故选D．

【名师点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

考点六、分式方程的解

例6（2020广东）方程的解是_______．

【答案】x=.

【解析】去分母得2x=3，解得x=

经检验x=是原方程的解.故答案为：x=.

【名师点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，熟练掌握解分式方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键．

考点七、分式方程有增根

例7（2020潍坊）若关于x的分式方程有增根,则m的值为______.

【答案】3.

【解析】解原分式方程,去分母得:3x＝（m+3）+(x－2),若原分式方程有增根,则x＝2,将其代入这个一元一次方程,得6＝（m+3）+(2－2),解之得,m＝3. 故答案为：3.

【名师点睛】本题考查的是分式方程的增根，增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．

考点八、列分式方程

例8（2020广西）甲、乙两地相距600km，提速前动车的速度为vkm/h，提速后动车的速度是提速前的1.2倍，提速后行车时间比提速前减少20min，则可列方程为（   ）

A.    B.    C.    D.

【答案】A

【解析】因为提速前动车的速度为vkm/h，提速后动车的速度是提速前的1.2倍，所以提速后动车的速度为1.2vkm/h，

根据题意可列方程为：，

故选A．

【名师点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

考点九、分式方程的应用

例9（2020黔南州）某单位计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙种品牌消毒剂每瓶的价格比甲种品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲种品牌消毒剂的数量与用400元购买乙种品牌消毒剂的数量相同.

（1）求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？

（2）若该单位从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且总费用为1400元，求购买了多少瓶乙种品牌消毒剂？

【答案】（1）甲品牌消毒剂每瓶的价格为30元，乙甲品牌消毒剂每瓶的价格为40元；（2）购买了20瓶乙品牌消毒剂.

【解析】（1）设甲品牌消毒剂每瓶的价格为x元，乙甲品牌消毒剂每瓶的价格为（3x-50）元，

由题意得：，

解得：x=30，

经检验，x=30是原方程的解且符合实际意义.

3x-50=40.

答：甲品牌消毒剂每瓶的价格为30元，乙甲品牌消毒剂每瓶的价格为40元

（2）设购买甲品牌消毒剂y瓶，乙甲品牌消毒剂（40-y）瓶,

由题意得：30y+40（40-y）=1400，

解得：y=20

∴40-y=40-20=20.

答：购买了20瓶乙品牌消毒剂.

【名师点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，读懂题意，找到关键描述语句，找准等量关系以及等量关系是解题的关键．

1．在式子中，分式的个数是（    ）

A．2个    B．3个    C．4个    D．5个

【答案】B

【解析】分式有：，x+共有3个．故选B．

2.（2020衡阳）如果分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ）

A. x≠－ 1          B. x＞－1         C. 全体实数         D. x＝－1

【答案】A．

【解析】由分式在实数范围内有意义，得x＋1≠0，所以x≠－1故选A．

3．（2020威海）人民日报讯，2020年6月23日，中国成功发射北斗系统地55颗导航卫星，至此中国提前半年全面完成北斗三号全球卫星导航系统新座部署，北斗三号卫星上配置的新一代国产原子弹，使北斗导航系统授时精度达到了十亿分之一秒，十亿分之一用科学记数法表示为（    ）

A.10×10-10       B.1×10-9       C.0.1×10-8        D.1×109

【答案】B

【解析】∵十亿分之一==1×10-9

∴十亿分之一用科学记数法表示为：1×10-9

故选B．

4.（2020成都模拟）分式方程的解为（    ）

A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝﹣2

【答案】A

【解析】解：方程两边同时乘以x（x﹣1）得，x（x﹣5）+2（x﹣1）＝x（x﹣1），

解得x＝﹣1，把x＝﹣1代入原方程的分母均不为0，故x＝﹣1是原方程的解．

故选：A．

5．把分式 中的 都扩大到原来的3倍，则分式的值（    ）

 A．扩大到原来的3倍     B．扩大到原来的6倍
C．缩小为原来的       D．不变

【答案】D

【解析】．故选D．

6.（2020河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（　　）

A． B．     C．    D．

【答案】D

【解析】∵a≠b，

A、，故选项错误； 

B、 ，故选项错误；

C、，故选项错误；

D、，故选项正确；

故选：D．

7．对分式通分时，最简公分母是（    ）

A．   B．   C．   D．

【答案】D

【解析】最简公分母为：12xy2．故选D．

8．下列计算中正确的是（    ）

A．       B．

C．        D．

【答案】D

【解析】．

9.（2020随州）的计算结果为（    ）

A．            B．              C．             D．

【答案】B．

【解析】原式＝

=

=

故选B．

10．计算÷（x-），结果正确的是（    ）

A．   B．1    C．   D．-1

【答案】A

【解析】÷(x-)=)==．故选A．

11. （2020鸡西）若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（      ）

A.  3   B.  5   C.  3或5   D.  3或4

【答案】D．

【解析】解分式方程，得，

经检验，是分式方程的解，

分式方程有正整数解，

则整数m的值是3或4．

故选D．

12.（2020荆门）已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（    ）

A．正数    B．负数    C．零    D．无法确定

【答案】A．

【解析】，

（2x+3）（x+3）=k+2(x-2)(x+3) ，

解得，,

∵-4<x<-1且（2x+3）（x+3）≠0且k为整数，

∴，

解得，k=-6、-5、-4、-3、-2、-1、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13.

∴符合条件的所有k值的乘积为正数．

故选Ａ．

二、填空题

13．_______，_______．

【答案】

【解析】 ．故答案为：．

14．(2020金昌) 要使分式有意义，需满足的条件是______.

【答案】x≠

【解析】要使分式有意义,需要使x－1≠0,所以x≠1.

15. （2020镇江）根据数值转换机的示意图，输出的值为______.

【答案】．

【解析】当x=-3时，．

16．（2020长沙模拟）若，则__________．

【答案】

【解析】∵x-3n=6，∴．故答案为：．

17．=__________．

【答案】

【解析】．故答案为：．

18.（2020济宁）已知：，则分式的值是_______．

【答案】

【解析】原式=

=

=，

当时，

原式=.

19．分式方程 若要化为整式方程，在方程两边同乘的最简公分母是_______．

【答案】

【解析】通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．根据定义，最简公分母应为．

20. （2020眉山）关于x的分式方程的解为正实数，则k的取值范围是       ．

【答案】k>-2且k≠2.

【解析】去分母得：1 +2(x-2)＝k﹣1，

解得：x＝，

∵，

∴k≠2，

由题意得：，

解得：k>2,

k的取值范围是k>-2且k≠2.

故答案为：k>-2且k≠2.

三、解答题

21．（2020济南模拟）写出下列分式中的未知的分子或分母：

（1） ；（2） ；（3） ．

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分，而利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分，根据定义，，，，

所以括号内的整式依次为，，．

22．（2020石家庄一模）计算：（1）；

（2）．

【答案】（1）3；（2）.

【解析】（1）

．

（2）原式．

23.（2020河池）先化简，再计算：，其中.

【答案】，3.

【解析】原式=

=

=

当a=2时，原式=.

24.（2020扬州）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．
进货单

商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：
李阿姨：我记得甲商品的进价比乙商品的进价每件高50%．
王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件．
请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．

【答案】甲商品的进价为60元/件，乙商品的进价为40元/件，购进甲商品120件，购进乙商品80件.

【解析】设乙商品的进价为x元/件，则甲商品的进价为（1+50％）x元/件，

依题意，得：，

解得：x=40，

经检验，x=40是原方程的解，且符合题意，

∴（（1+50％）x=60，，.

答：甲商品的进价为60元/件，乙商品的进价为40元/件，购进甲商品120件，购进乙商品80件.

25.（2020永州）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．
（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？
（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？

【答案】（1）一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元；（2）至少购进一次性医用外科口罩1400只.

【解析】（1）设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，依题意有

，

解得：x=2，

经检验，x=2是原方程的解，

x+10=2+10=12.

故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元;

（2）设购进一次性医用外科口罩y只，依题意有

2y+12（2000-y）≤10000，

解得y≥1400.

故至少购进一次性医用外科口罩1400只.

26.（2020湖州）某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．
（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？
（2）为了提前完成生产任务生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变．
方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．

设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．
①求乙车间需临时招聘的工人数；
②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由．

【答案】（1）甲车间有30名工人参与生产，乙车间有20名工人参与生产；（2）①乙车间需临时招聘5名工人，②选择方案一能更节省开支．理由见解析．

【解析】（1）设甲车间有x名工人参与生产，乙车间有y名工人参与生产，由题意的：

，

解得.

∴甲车间有30名工人参与生产，乙车间有20名工人参与生产.

（2）①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，由题意得：

，

解得：m=5.

经检验，m=5是原方程的解，企鹅符合题意.

∴乙车间需临时招聘5名工人.

②企业完成生产任务所需的时间为：

（天）

∴选择方案一增加的费用为900×18+1500=17700（元），

选择方案二增加的费用为5×18×200=18000（元），

∵17700<18000，

∴选择方案一能更节省开支．