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2020-2021学年 人教版八年级数学上册期末冲刺 专题02《全等三角形》（教师版）
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专题02 全等三角形
1．全等三角形定义
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
2．全等三角形的性质
（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等．
（2）全等三角形的周长相等，面积相等．
（3）全等三角形的对应的中线、高、角平分线相等．
（4）传递性：若△ABC≌△DEF，△DEF≌△MNP，则△ABC≌△MNP．
3．全等三角形的判定
（1）判定方法：
①依据定义．
②依据判定定理．
（2）判定定理
①三边分别相等的两个三角形全等（可以简写为“SSS”）．
②两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写为“SAS”）．
③两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写为“ASA”）．
④两角分别相等且其中一角的对边也相等的两个三角形全等（可以简写为“AAS”）．
⑤斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写为“HL”）．
（3）证明思路
①
②
③
（4）常用策略：添加辅助线法
①连接两点的线段．
②过某点做某线的平行线，帮助找到相等的角，从而构造出全等三角形．
③作垂线，以出现直角、距离、高；题中若有角平分线、等腰三角形等条件时常作这样的辅助线，便于找到相等线段或便于用三线合一定理．
④题中出现垂直平分线条件时，向线段两端点连线．
⑤截取与某线段相等的线段，从而构造出全等三角形．
4．角的平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
几何语言：∵OQ平分∠AOB，且QE⊥OB，QD⊥OA，
∴QD=QE．
5．角的平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
几何语言：∵QE⊥OB，QD⊥OA，且QD=QE，
∴OQ平分∠AOB．
6．尺规作图
（1）作已知角（课本P36）．
（2）作角平分线（课本P48）．
（3）作线段的垂直平分线（课本P63）．
（4）作已知直线的垂线（课本P62）．
①过已知直线上一点作已知直线的垂线
②过已知直线外一点作已知直线的垂线
考点一、全等三角形的性质
例1 （2020淄博）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A. AC=DE B. ∠BAD=∠CAE C. AB=AE D. ∠ABC=∠AED.
【答案】B
【解析】∵△ABC≌△ADE，
∴AC=AE，AB=AD，∠ABC=∠ADE，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE. 故A，C，D选项错误，B选项正确，
故选：B.
【名师点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
考点二、全等三角形的判定
例2（2020永州）如图，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（ ）
A. SAS B. AAS C. SSS D. ASA
【答案】A
【解析】∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB（SAS）
故选：A.
【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键．
考点三、角平分线的性质
例3（2020怀化）在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD=3，则DE的长为（ ）
A. 3 B. C. 2 D. 6
【答案】A．
【解析】∵∠B=90°，
∴DB⊥AB，
又∵AD平分∠BAC， DE⊥AC，
∴DE=BD=3，
故选：A．
【名师点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
考点四、角平分线的判定
例4 （2020焦作月考）已知，如图，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P. 且AP=BP，∠APB=120°．
求证：点P在∠MON的平分线上.
【答案】见解析.
【解析】如图，过点P分别作PS⊥OM于点S， PT⊥ON于点T，
∴∠OSP=∠OTP=90°，
在四边形OSPT中，
∠SPT=360°-∠OSP-∠SOT-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°，
∴∠APB=∠SPT=120° ∴∠APS=∠BPT，
又∵∠ASP=∠BTP=90° AP=BP
∴△APS≌△BPT ∴PS=PT
∴点P在∠MON的平分线上.
【名师点睛】本题考查全等三角形的性质和角平分线的判定定理，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．用判定定理证明较为简单．题中角平分线的性质定理和判定定理都要用到，注意书写的规范，弄清每个定理需要的条件及得出的结论．
考点五、尺规作图
例5 （2020金昌）如图，在中，是边上一点，且.
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作的角平分线交于点；
②作线段的垂直平分线交于点.
（2）连接，直接写出线段和的数量关系及位置关系.
【答案】见解析.
【解析】（1）①如图， BE即为所求；
②如图，线段DC的垂直平分线交DC于点F，
（2）∵BD=BA，BE平分∠ABD，
∴点E是AD的中点，
∵点F是CD的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴线段EF和AC的数量关系为：EF=AC，
位置关系为：EF∥AC.
【名师点睛】本题考查了作图——复杂作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质，灵活运用所学知识解决问题．
考点六、全等三角形的判定与性质
例6（2020南通）如图，在△ABC中，AB=2，∠ABC=60°，∠ACB=45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（ ）
A. B. 2 C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵ ∠ABC=60°，AB=2，
∴BH=1，AH=，
在Rt△AHC中，∠ACB=45°，
∴AC=，
∵点B为BC中点，
∴BD=CD，
在△BFD与△CKD中，
∠BFD=∠CKD=90°，∠BDF=∠CDK，BD=CD，
∴△BFD≌△CKD（AAS）
∴BD=CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN，
在Rt△CAN中，AN
故选：A.
【名师点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键.
考点七、全等三角形的实际应用
例7（2020陕西）如图所示，小明家与小华家同住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN，他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数. 于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等. 已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB=31m，BC=18m，试求商业大厦的高MN．
【答案】商业大厦的高MN为80米.
【解析】如图，过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，
∴∠CEF=∠BFE=90°，
∵CA⊥AM，NM⊥AM，
CE⊥MN，BF⊥MN，
∴CE=BF，AE=AC，
∵∠1=∠2，
∴△BFN≌△CEM（ASA），
∴NF=EM=31+18=49，
EF=CB=18，
∴MN=NF+EM-EF=49+59-18=80（m）
答：商业大厦的高MN为80米.
【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义，构造全等三角形解决问题.
一、选择题
1．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．SSS B．SAS
C．AAS D．ASA
【答案】D
【解析】根据题意，由于三角形的两角和它们的夹边是完整的，因此，可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．故选D．
2. （2020荆州一模）如图，两个三角形全等，则∠α的度数是（ ）
A．50° B．58° C．72° D．60°
【答案】A
【解析】∵两个三角形全等，∴∠α＝50°，
故选：A．
3．下列关于全等三角形的说法不正确的是（ ）
A．全等三角形的大小相等 B．两个等边三角形一定是全等三角形
C．全等三角形的形状相同 D．全等三角形的对应边相等
【答案】B
【解析】A、全等三角形的大小相等，说法正确，故A选项错误；
B、两个等边三角形，三个角对应相等，但边长不一定相等，所以不一定是全等三角形，故B选项正确；
C、全等三角形的形状相同，说法正确，故C选项错误；
D、全等三角形的对应边相等，说法正确，故D选项错误．
故选B．
4.（2020鄂州期中）如图，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB为斜边，AC＝BD，BC，AD相交于点E，下列说法错误的是（ ）
A．AD＝BC B．∠DAB＝∠CBA C．△ACE≌△BDE D．AC＝CE
【答案】D
【解析】在Rt△ABC和Rt△BAD中，
AB=BA，AC=BD，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴∠BAD＝∠ABC，AD＝BC，
∴AE＝BE，
又∵∠C＝∠D＝90°，∠AEC＝∠BED，
∴△ACE≌△BDE．
故选：D．
5．如图，P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，下列结论中不正确的是（ ）
A． B．
C．△APE≌△APF D．
【答案】D
【解析】∵P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴PE=PF，又有AP=AP，
∴△APE≌△APF（HL），∴AE=AF，故选D．
6．如图，已知，则图中全等三角形的总对数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】直接数出图中全等三角形的总对数为6对．故选D．
7．如图，，则（ ）
A．45° B．55° C．35° D．65°
【答案】B
【解析】因为，所以CF=BE，而，所以，所以．故选B．
8．（2020通州一模）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF＝3，则BD的长是（ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
【答案】B
【解析】∵CF∥AB，
∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，
在△ADE和△FCE中∠A=∠FCE∠ADE=∠FDE=FE，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF＝3，
∵AB＝4，
∴DB＝AB﹣AD＝4﹣3＝1，故选B．
9．（2020焦作模拟）如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】是的角平分线，，
，，
，
，
，，
，
，，
，
在与中，
，
，
，
，
故选．
10．（2020鄂州）如图，在△AOB和△CDO中，OA=OB，OC=OD，OA
【答案】B
【解析】∵∠AOB=∠COD=36°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
OA=OB，∠AOC=∠BOD，OC=OD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，故②正确.
∵∠OAC=∠ODB，
由三角形的外角性质得：
∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB，
∴∠AMB=∠AOB=36°，故①正确；
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，
则∠OGA=∠OHB=90°，
∵△AOS≌△BOD，
∴OG=OH，
∴MO平分∠AMD，故④正确；
假设OM平分∠AOD，则∠DOM=∠AOM，
在△AOM与△DMA中，
∠AOM=∠DOM，OM=OM，∠AMO=∠DMO，
∴△AMO≌△DMO（ASA），
∴AO=OD，OC=OD，
而OA
故选：B.
二、填空题
11．（2020江西）如图，AC平分∠DCB，CB=CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC=49°，则∠BAE的度数为 ．
【答案】82°.
【解析】∵AC平分∠DCB，
∴∠BCA=∠DCA，
又∵CB=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，（SAS），
∴∠B=∠D，
∴∠B+∠ACB=∠D+∠ACD，
∵∠CAE=∠D+∠ACD=49°，
∴∠B+∠ACB=49°，
∴∠BAE=180°-∠B-∠ACB-∠CAE=82°
故答案为：82°.
12. （2020湘潭）如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD=3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为 ．
【答案】3.
【解析】根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小，
当PM⊥OC时，
又∵OP平分∠AOC，PD⊥OA，PD=3
∴PM=PD=3，
故答案为：3.
13.如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，则∠ADC的度数为______．
【答案】130°
【解析】∵△ABD≌△CBD，∴∠C=∠A=80°，
∴∠ADC=360°-∠A-∠ABC-∠C=360°-80°-70°-80°=130°．
故答案为：130°．
14．（2020菏泽模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是 ．
【答案】83．
【解析】∵DC⊥BC，
∴∠BCD＝90°，
∵∠ACB＝120°，
∴∠ACD＝30°，
延长CD到H使DH＝CD，
∵D为AB的中点，
∴AD＝BD，
在△ADH与△BCD中，CD=DH∠ADH=∠BDCAD=BD，
∴△ADH≌△BCD（SAS），
∴AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，
∵∠ACH＝30°，
∴CH=3AH＝43，
∴CD＝23，
∴△ABC的面积＝2S△BCD＝2×12×4×23=83，
故答案为：83．
15．（2020武汉模拟）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为40和28，则△EDF的面积为 ．
【答案】6
【解析】如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF＝DH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
DE=DG，DF=DH，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴S△EDF＝S△GDH，设面积为S，
同理Rt△ADF≌Rt△ADH（HL）
∴S△ADF＝S△ADH，
即28+S＝40﹣S，
解得S＝6．
故答案为：6.
16.（2020齐齐哈尔）如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB=∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是 ．（只填一个即可）
【答案】（或等）
【解析】，
可以添加，此时满足；
添加条件，此时满足；
添加条件，此时满足，
故答案为：（或等）．
三、解答题
17.（2020鞍山）如图，在四边形ABC D中，∠B=∠D=90°，点E，F分别在AB，AD上，AE=AF，CE=CF，求证：CB=CD．
【答案】见解析．
【解析】证明：连接AC，
在△AEC与△AFC中，
AC=AC，CE=CF，AE=AF，
∴△AEC≌△AFC（SSS），
∠ACE＝∠CAF，
∵∠B＝∠D=90°，
∴CB=CD．
18.（2020大连）如图，△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，BD=CE，求证：∠ADE=∠AED．
【答案】见解析．
【解析】证明：∵AB=AC，
∴∠B＝∠C，
在△ABD与△ACE中，
AB=AC，∠B＝∠C，BD =CE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD=AE，
∠ADE＝∠AED．
19.（2020河池）（1）如图（1），已知CE与AB交于点E，AC=BC，∠1=∠2. 求证：△ACE≌△BCE．
（2）如图（2），已知CD的延长线与AB交于点E，AD=BC，∠3=∠4．探究AE与BE的数量关系，并说明理由．
【答案】见解析．
【解析】（1）证明：在△ACE和△BCE中，
∵AC=BC，∠1=∠2，CE=CE，
∴△ACE≌△BCE（SAS）；
（2）AE=BE，
理由如下：
在CE上截取CF=DE，
在△ADE和△BCF中，
∵AD=CB，∠3=∠4，CF=DE，
∴△ADE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF，∠AED=∠CFB，
∵∠AED+∠BEF=180°，∠CFB+∠EFB=180°，
∴∠BEF=∠EFB，
∴BE=BF，
∴AE=BE.
20．如图，电信部门要在公路m，n之间的S区域修建一座电视信号发射塔P．按照设计要求，发射塔P到区域S内的两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路m，n的距离也必须相等．发射塔P建在什么位置？在图中用尺规作图的方法作出它的位置并标出（不写作法但保留作图痕迹）．
【答案】如图所示，点P就是所求作的点．
【解析】本题主要考查尺规作角平分线和尺规作垂直平分线．
作线段AB的垂直平分线，再作直线m与n的夹角的角平分线，两线的交点就是P点．
21.（2020镇江）如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1=∠B，点E、F分别在AB、BC上，EB=CD，
BE=CD，BF=CA，连接EF．
（1）求证：∠D=∠2；
（2）若EF∥AC，∠D=78°，求∠BAC的度数．
【答案】（1）见解析；（2）∠2=78°．
【解析】（1）在与中，
；
（2）∵，∠D=78°，
∴=78°，
∵EF//AC，
∴=78°．
22.（2020泸州一模）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，OA＝OD．求证：OB＝OC．
【答案】见解析.
【解析】证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，∠B＝∠C，
在△AOB和△DOC中，∠A=∠D∠B=∠COA=OD，
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴OB＝OC．
23.（2020荆门）如图，中，，的平分线交于D，交的延长线于点E，交于点F．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的长．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵，，
∴．
∵平分，
∴，
∵，∴，
∴．
（2）∵，
∴，
又，
∴，∴，
∵
∴，
∴，∴，∴为等边三角形，
∴，∴，
∵，∴，
在中，，设AF=x，则BF=2x，
x2+42=（2x）2，
3x2=16，
x2=，
．
24.（2020内江）如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC的异侧，，AE=DF，∠A=∠D．
（1）求证：AB=CD；
（2）若AB=CF，∠B=40°，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）70°．
【解析】（1）证明：，
，
在与中，
，
；
；
（2）∵，
，，，
∵，
，
，
∴，
．
25．（2020武汉模拟）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则
∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
【答案】（1）证明见解析；
（2）点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变，∠QMC=60°；
（3）点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变，∠QMC=120°．
【解析】（1）证明：∵△ABC是等边三角形．
∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP=BQ，
在△ABQ与△CAP中，
，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）．
（2）点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，
∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°．
（3）点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°-∠PAC=180°-60°=120°．
1．全等三角形定义
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
2．全等三角形的性质
（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等．
（2）全等三角形的周长相等，面积相等．
（3）全等三角形的对应的中线、高、角平分线相等．
（4）传递性：若△ABC≌△DEF，△DEF≌△MNP，则△ABC≌△MNP．
3．全等三角形的判定
（1）判定方法：
①依据定义．
②依据判定定理．
（2）判定定理
①三边分别相等的两个三角形全等（可以简写为“SSS”）．
②两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写为“SAS”）．
③两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写为“ASA”）．
④两角分别相等且其中一角的对边也相等的两个三角形全等（可以简写为“AAS”）．
⑤斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写为“HL”）．
（3）证明思路
①
②
③
（4）常用策略：添加辅助线法
①连接两点的线段．
②过某点做某线的平行线，帮助找到相等的角，从而构造出全等三角形．
③作垂线，以出现直角、距离、高；题中若有角平分线、等腰三角形等条件时常作这样的辅助线，便于找到相等线段或便于用三线合一定理．
④题中出现垂直平分线条件时，向线段两端点连线．
⑤截取与某线段相等的线段，从而构造出全等三角形．
4．角的平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
几何语言：∵OQ平分∠AOB，且QE⊥OB，QD⊥OA，
∴QD=QE．
5．角的平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
几何语言：∵QE⊥OB，QD⊥OA，且QD=QE，
∴OQ平分∠AOB．
6．尺规作图
（1）作已知角（课本P36）．
（2）作角平分线（课本P48）．
（3）作线段的垂直平分线（课本P63）．
（4）作已知直线的垂线（课本P62）．
①过已知直线上一点作已知直线的垂线
②过已知直线外一点作已知直线的垂线
考点一、全等三角形的性质
例1 （2020淄博）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A. AC=DE B. ∠BAD=∠CAE C. AB=AE D. ∠ABC=∠AED.
【答案】B
【解析】∵△ABC≌△ADE，
∴AC=AE，AB=AD，∠ABC=∠ADE，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE. 故A，C，D选项错误，B选项正确，
故选：B.
【名师点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
考点二、全等三角形的判定
例2（2020永州）如图，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（ ）
A. SAS B. AAS C. SSS D. ASA
【答案】A
【解析】∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB（SAS）
故选：A.
【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键．
考点三、角平分线的性质
例3（2020怀化）在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD=3，则DE的长为（ ）
A. 3 B. C. 2 D. 6
【答案】A．
【解析】∵∠B=90°，
∴DB⊥AB，
又∵AD平分∠BAC， DE⊥AC，
∴DE=BD=3，
故选：A．
【名师点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
考点四、角平分线的判定
例4 （2020焦作月考）已知，如图，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P. 且AP=BP，∠APB=120°．
求证：点P在∠MON的平分线上.
【答案】见解析.
【解析】如图，过点P分别作PS⊥OM于点S， PT⊥ON于点T，
∴∠OSP=∠OTP=90°，
在四边形OSPT中，
∠SPT=360°-∠OSP-∠SOT-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°，
∴∠APB=∠SPT=120° ∴∠APS=∠BPT，
又∵∠ASP=∠BTP=90° AP=BP
∴△APS≌△BPT ∴PS=PT
∴点P在∠MON的平分线上.
【名师点睛】本题考查全等三角形的性质和角平分线的判定定理，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．用判定定理证明较为简单．题中角平分线的性质定理和判定定理都要用到，注意书写的规范，弄清每个定理需要的条件及得出的结论．
考点五、尺规作图
例5 （2020金昌）如图，在中，是边上一点，且.
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作的角平分线交于点；
②作线段的垂直平分线交于点.
（2）连接，直接写出线段和的数量关系及位置关系.
【答案】见解析.
【解析】（1）①如图， BE即为所求；
②如图，线段DC的垂直平分线交DC于点F，
（2）∵BD=BA，BE平分∠ABD，
∴点E是AD的中点，
∵点F是CD的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴线段EF和AC的数量关系为：EF=AC，
位置关系为：EF∥AC.
【名师点睛】本题考查了作图——复杂作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质，灵活运用所学知识解决问题．
考点六、全等三角形的判定与性质
例6（2020南通）如图，在△ABC中，AB=2，∠ABC=60°，∠ACB=45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（ ）
A. B. 2 C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵ ∠ABC=60°，AB=2，
∴BH=1，AH=，
在Rt△AHC中，∠ACB=45°，
∴AC=，
∵点B为BC中点，
∴BD=CD，
在△BFD与△CKD中，
∠BFD=∠CKD=90°，∠BDF=∠CDK，BD=CD，
∴△BFD≌△CKD（AAS）
∴BD=CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN，
在Rt△CAN中，AN
故选：A.
【名师点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键.
考点七、全等三角形的实际应用
例7（2020陕西）如图所示，小明家与小华家同住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN，他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数. 于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等. 已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB=31m，BC=18m，试求商业大厦的高MN．
【答案】商业大厦的高MN为80米.
【解析】如图，过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，
∴∠CEF=∠BFE=90°，
∵CA⊥AM，NM⊥AM，
CE⊥MN，BF⊥MN，
∴CE=BF，AE=AC，
∵∠1=∠2，
∴△BFN≌△CEM（ASA），
∴NF=EM=31+18=49，
EF=CB=18，
∴MN=NF+EM-EF=49+59-18=80（m）
答：商业大厦的高MN为80米.
【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义，构造全等三角形解决问题.
一、选择题
1．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．SSS B．SAS
C．AAS D．ASA
【答案】D
【解析】根据题意，由于三角形的两角和它们的夹边是完整的，因此，可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．故选D．
2. （2020荆州一模）如图，两个三角形全等，则∠α的度数是（ ）
A．50° B．58° C．72° D．60°
【答案】A
【解析】∵两个三角形全等，∴∠α＝50°，
故选：A．
3．下列关于全等三角形的说法不正确的是（ ）
A．全等三角形的大小相等 B．两个等边三角形一定是全等三角形
C．全等三角形的形状相同 D．全等三角形的对应边相等
【答案】B
【解析】A、全等三角形的大小相等，说法正确，故A选项错误；
B、两个等边三角形，三个角对应相等，但边长不一定相等，所以不一定是全等三角形，故B选项正确；
C、全等三角形的形状相同，说法正确，故C选项错误；
D、全等三角形的对应边相等，说法正确，故D选项错误．
故选B．
4.（2020鄂州期中）如图，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB为斜边，AC＝BD，BC，AD相交于点E，下列说法错误的是（ ）
A．AD＝BC B．∠DAB＝∠CBA C．△ACE≌△BDE D．AC＝CE
【答案】D
【解析】在Rt△ABC和Rt△BAD中，
AB=BA，AC=BD，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴∠BAD＝∠ABC，AD＝BC，
∴AE＝BE，
又∵∠C＝∠D＝90°，∠AEC＝∠BED，
∴△ACE≌△BDE．
故选：D．
5．如图，P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，下列结论中不正确的是（ ）
A． B．
C．△APE≌△APF D．
【答案】D
【解析】∵P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴PE=PF，又有AP=AP，
∴△APE≌△APF（HL），∴AE=AF，故选D．
6．如图，已知，则图中全等三角形的总对数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】直接数出图中全等三角形的总对数为6对．故选D．
7．如图，，则（ ）
A．45° B．55° C．35° D．65°
【答案】B
【解析】因为，所以CF=BE，而，所以，所以．故选B．
8．（2020通州一模）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF＝3，则BD的长是（ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
【答案】B
【解析】∵CF∥AB，
∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，
在△ADE和△FCE中∠A=∠FCE∠ADE=∠FDE=FE，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF＝3，
∵AB＝4，
∴DB＝AB﹣AD＝4﹣3＝1，故选B．
9．（2020焦作模拟）如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】是的角平分线，，
，，
，
，
，，
，
，，
，
在与中，
，
，
，
，
故选．
10．（2020鄂州）如图，在△AOB和△CDO中，OA=OB，OC=OD，OA
【答案】B
【解析】∵∠AOB=∠COD=36°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
OA=OB，∠AOC=∠BOD，OC=OD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，故②正确.
∵∠OAC=∠ODB，
由三角形的外角性质得：
∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB，
∴∠AMB=∠AOB=36°，故①正确；
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，
则∠OGA=∠OHB=90°，
∵△AOS≌△BOD，
∴OG=OH，
∴MO平分∠AMD，故④正确；
假设OM平分∠AOD，则∠DOM=∠AOM，
在△AOM与△DMA中，
∠AOM=∠DOM，OM=OM，∠AMO=∠DMO，
∴△AMO≌△DMO（ASA），
∴AO=OD，OC=OD，
而OA
故选：B.
二、填空题
11．（2020江西）如图，AC平分∠DCB，CB=CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC=49°，则∠BAE的度数为 ．
【答案】82°.
【解析】∵AC平分∠DCB，
∴∠BCA=∠DCA，
又∵CB=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，（SAS），
∴∠B=∠D，
∴∠B+∠ACB=∠D+∠ACD，
∵∠CAE=∠D+∠ACD=49°，
∴∠B+∠ACB=49°，
∴∠BAE=180°-∠B-∠ACB-∠CAE=82°
故答案为：82°.
12. （2020湘潭）如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD=3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为 ．
【答案】3.
【解析】根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小，
当PM⊥OC时，
又∵OP平分∠AOC，PD⊥OA，PD=3
∴PM=PD=3，
故答案为：3.
13.如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，则∠ADC的度数为______．
【答案】130°
【解析】∵△ABD≌△CBD，∴∠C=∠A=80°，
∴∠ADC=360°-∠A-∠ABC-∠C=360°-80°-70°-80°=130°．
故答案为：130°．
14．（2020菏泽模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是 ．
【答案】83．
【解析】∵DC⊥BC，
∴∠BCD＝90°，
∵∠ACB＝120°，
∴∠ACD＝30°，
延长CD到H使DH＝CD，
∵D为AB的中点，
∴AD＝BD，
在△ADH与△BCD中，CD=DH∠ADH=∠BDCAD=BD，
∴△ADH≌△BCD（SAS），
∴AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，
∵∠ACH＝30°，
∴CH=3AH＝43，
∴CD＝23，
∴△ABC的面积＝2S△BCD＝2×12×4×23=83，
故答案为：83．
15．（2020武汉模拟）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为40和28，则△EDF的面积为 ．
【答案】6
【解析】如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF＝DH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
DE=DG，DF=DH，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴S△EDF＝S△GDH，设面积为S，
同理Rt△ADF≌Rt△ADH（HL）
∴S△ADF＝S△ADH，
即28+S＝40﹣S，
解得S＝6．
故答案为：6.
16.（2020齐齐哈尔）如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB=∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是 ．（只填一个即可）
【答案】（或等）
【解析】，
可以添加，此时满足；
添加条件，此时满足；
添加条件，此时满足，
故答案为：（或等）．
三、解答题
17.（2020鞍山）如图，在四边形ABC D中，∠B=∠D=90°，点E，F分别在AB，AD上，AE=AF，CE=CF，求证：CB=CD．
【答案】见解析．
【解析】证明：连接AC，
在△AEC与△AFC中，
AC=AC，CE=CF，AE=AF，
∴△AEC≌△AFC（SSS），
∠ACE＝∠CAF，
∵∠B＝∠D=90°，
∴CB=CD．
18.（2020大连）如图，△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，BD=CE，求证：∠ADE=∠AED．
【答案】见解析．
【解析】证明：∵AB=AC，
∴∠B＝∠C，
在△ABD与△ACE中，
AB=AC，∠B＝∠C，BD =CE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD=AE，
∠ADE＝∠AED．
19.（2020河池）（1）如图（1），已知CE与AB交于点E，AC=BC，∠1=∠2. 求证：△ACE≌△BCE．
（2）如图（2），已知CD的延长线与AB交于点E，AD=BC，∠3=∠4．探究AE与BE的数量关系，并说明理由．
【答案】见解析．
【解析】（1）证明：在△ACE和△BCE中，
∵AC=BC，∠1=∠2，CE=CE，
∴△ACE≌△BCE（SAS）；
（2）AE=BE，
理由如下：
在CE上截取CF=DE，
在△ADE和△BCF中，
∵AD=CB，∠3=∠4，CF=DE，
∴△ADE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF，∠AED=∠CFB，
∵∠AED+∠BEF=180°，∠CFB+∠EFB=180°，
∴∠BEF=∠EFB，
∴BE=BF，
∴AE=BE.
20．如图，电信部门要在公路m，n之间的S区域修建一座电视信号发射塔P．按照设计要求，发射塔P到区域S内的两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路m，n的距离也必须相等．发射塔P建在什么位置？在图中用尺规作图的方法作出它的位置并标出（不写作法但保留作图痕迹）．
【答案】如图所示，点P就是所求作的点．
【解析】本题主要考查尺规作角平分线和尺规作垂直平分线．
作线段AB的垂直平分线，再作直线m与n的夹角的角平分线，两线的交点就是P点．
21.（2020镇江）如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1=∠B，点E、F分别在AB、BC上，EB=CD，
BE=CD，BF=CA，连接EF．
（1）求证：∠D=∠2；
（2）若EF∥AC，∠D=78°，求∠BAC的度数．
【答案】（1）见解析；（2）∠2=78°．
【解析】（1）在与中，
；
（2）∵，∠D=78°，
∴=78°，
∵EF//AC，
∴=78°．
22.（2020泸州一模）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，OA＝OD．求证：OB＝OC．
【答案】见解析.
【解析】证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，∠B＝∠C，
在△AOB和△DOC中，∠A=∠D∠B=∠COA=OD，
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴OB＝OC．
23.（2020荆门）如图，中，，的平分线交于D，交的延长线于点E，交于点F．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的长．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵，，
∴．
∵平分，
∴，
∵，∴，
∴．
（2）∵，
∴，
又，
∴，∴，
∵
∴，
∴，∴，∴为等边三角形，
∴，∴，
∵，∴，
在中，，设AF=x，则BF=2x，
x2+42=（2x）2，
3x2=16，
x2=，
．
24.（2020内江）如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC的异侧，，AE=DF，∠A=∠D．
（1）求证：AB=CD；
（2）若AB=CF，∠B=40°，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）70°．
【解析】（1）证明：，
，
在与中，
，
；
；
（2）∵，
，，，
∵，
，
，
∴，
．
25．（2020武汉模拟）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则
∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
【答案】（1）证明见解析；
（2）点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变，∠QMC=60°；
（3）点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变，∠QMC=120°．
【解析】（1）证明：∵△ABC是等边三角形．
∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP=BQ，
在△ABQ与△CAP中，
，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）．
（2）点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，
∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°．
（3）点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°-∠PAC=180°-60°=120°．
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