四川省阆中中学2021届高三9月月考 数学（理）（含答案） 试卷
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理科数学
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中
只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合A＝{x|y＝}，B＝(0,1)，则A∩B＝
A．(0,1) B．(0,1] C．(－1,1) D．[－1,1]
2. 已知i为虚数单位，复数Z＝i(3－ai)，且|z|＝5，则实数a＝
A.－4 B.4 C.±4 D.2
3. 已知sin(θ－)＝，且θ∈(0，)，则cos(θ－)＝
A.0 B. C. D.1
4. f(x)＝x(2019＋ln x)，若＝2 020，则x0等于
A．e2 B．1 C．ln 2 D．e
5. 等比数列{an}的各项均为正实数，其前n项和为Sn，若a3＝4，a2·a6＝64，则S5＝
A.32 B.31 C.64 D.63
6．根据如下样本数据：
x | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
y | 4.0 | 2.5 | 0.5 | 0.5 | 0.4 | 0.1 |
得到的线性回归方程为＝x＋，则
A.>0，>0 B.>0，<0 C.<0，>0 D．<0，<0
7．比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分为5分，分值高者为
优)，绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的
数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是
A．乙的逻辑推理能力指标值优于甲的逻辑推理能力指标值
B．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值
C．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平
D．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值
8. 若曲线y＝ex在x＝0处的切线也是曲线y＝ln x＋b的切线，则b＝
A．－1 B．1 C．2 D．e
9. 杨洋爱好玩飞镖，现有如图所示的两个边长都为2的正方形ABCD和OPQR构成
的标靶图形，如果O点正好是正方形ABCD的中心，而正方形OPQR可以绕点O
旋转，则小华随机向标靶投飞镖射中阴影部分的概率是
A. B．
C. D．
10.函数f(x)＝()·sinx的图像大致为
11.已知tan θ＋＝4，则cos2＝
A. B. C. D.
12.已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx－恰有4个
不相等的实数根，则实数k的取值范围是
A． B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知sin α＝，≤α≤π，则tan α＝________.
14.已知平面向量＝(2m－1，2)，＝(－2，3m－2)，且⊥。则|2－3|
＝ 。
15.在(2x－1)7的二项展开式中，第四项的系数为 。
16.函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，给出以下结论：
①f(x)的最小正周期为2；
②f(x)图象的一条对称轴为直线x＝－；
③f(x)在，k∈Z上是减函数；
④f(x)的最大值为A.
则正确的结论为________(填序号)．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为
必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)若α∈(0，π)，且f＝，求tan的值．
18．南充市的“名师云课堂”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在推出
的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现
给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：
点击量 | [0,1 000] | (1 000,3 000] | (3 000，＋∞) |
节数 | 6 | 18 | 12 |
(1)现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3 000的
节数；
(2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[0,1 000]内，
则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1 000,3 000]内，则需要花费
20分钟进行剪辑，点击量超过3 000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的6节课
中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间X的分布列．
- 如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，
M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
(1)证明：MN∥平面C1DE；
(2)求二面角AMA1N的正弦值．
- 如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，A
为椭圆C上一点，AF1与y轴相交于点B，|AB|＝|F2B|，|OB|＝.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作x
轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：y＝kx＋m(k≠0)
与l1，l2分别交于M，N两点，求证：∠MF1N＝∠MF2N.
21．已知函数f(x)＝，其中m∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．
(1)当m＝1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)当常数m∈(2，＋∞)时，函数f(x)在[0，＋∞)上有两个零点，
证明：>ln .
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所
做的第一题计分．
22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标
系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)已知直线l过点 P(1,0)且与曲线C交于A，B两点，若|PA|＋|PB|＝，求直
线l的倾斜角α.
23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.
设函数f(x)＝x2－x－15，且|x－a|<1.
(1)解不等式|f(x)|>5；
(2)求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．
四川省阆中中学校高2018级2020年秋第一学月教学质量检测
理科数学答案
一.选择题（每题5分，共60分）
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
A | C | D | B | B | B | C | C | D | A | C | A |
二.填空题（每题5分，共20分）
13. － 14. 15. -560 16. ①③
17. [解] (1)∵f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x
＝cos 2xsin 2x＋cos 4x＝(sin 4x＋cos 4x)＝sin，
∴函数f(x)的最小正周期T＝.
令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，得＋≤x≤＋，k∈Z.
∴函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
(2)∵f＝，∴sin＝1.
又α∈(0，π)，∴－<α－<，∴α－＝，故α＝.
因此tan＝＝＝2－.
18. 解：(1)根据分层抽样可知，选出的6节课中点击量超过3 000的节数为×6＝2.
(2)由分层抽样可知，(1)中选出的6节课中点击量在区间[0,1 000]内的有1节，点击量在区间(1 000,3 000]内的有3节，故X的可能取值为0,20,40,60.
P(X＝0)＝＝，P(X＝20)＝＝＝，
P(X＝40)＝＝＝，
P(X＝60)＝＝＝，
则X的分布列为
X | 0 | 20 | 40 | 60 |
P |
19. [解] (1)证明：连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝B1C.又因为N为A1D的中点，所以ND＝A1D.由题设知A1B1綊DC，可得B1C綊A1D，故ME綊ND，因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED.又MN⊄平面EDC1，DE⊂平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.
(2)由已知可得DE⊥DA.以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
则A(2,0,0)，A1(2,0,4)，M(1，，2)，N(1,0,2)，＝(0,0，－4)，＝(－1，，－2)，＝(－1,0，－2)，＝(0，－，0)．
设m＝(x，y，z)为平面A1MA的法向量，
则所以可取m＝(，1,0)．
设n＝(p，q，r)为平面A1MN的法向量，
则所以可取n＝(2,0，－1)．
于是cos〈m，n〉＝＝＝，
所以二面角AMA1N的正弦值为.
20. 解：(1)连接AF2，由题意得|AB|＝|F2B|＝|F1B|，所以BO为△F1AF2的中位线．
又因为BO⊥F1F2，所以AF2⊥F1F2，且|AF2|＝2|BO|＝＝.
又离心率e＝＝，a2＝b2＋c2，得a2＝9，b2＝8，
故所求椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)证明：由题可知，l1的方程为x＝－3，l2的方程为x＝3.
直线l的方程分别与直线l1，l2的方程联立得M(－3，－3k＋m)，N(3,3k＋m)，
所以＝(－2，－3k＋m)， ＝(4,3k＋m)，所以·＝－8＋m2－9k2.
联立得(9k2＋8)x2＋18kmx＋9m2－72＝0.
因为直线l与椭圆C相切，所以Δ＝(18km)2－4(9k2＋8)(9m2－72)＝0，
化简得m2＝9k2＋8.
所以·＝－8＋9k2＋8－9k2＝0，所以⊥，故∠MF1N＝.
同理＝(－4，－3k＋m)， ＝(2,3k＋m)，
所以⊥，∠MF2N＝.故∠MF1N＝∠MF2N.
21. 解：(1)当m＝1时，f(x)＝(x－1)ex－x2＋2，∴f′(x)＝xex－2x＝x(ex－2)．
由f′(x)＝x(ex－2)＝0，解得x＝0或x＝ln 2.
当x>ln 2或x<0时，f′(x)>0，
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(ln 2，＋∞)．
当0<x<ln 2时，f′(x)<0，∴f(x)的单调递减区间为(0，ln 2)．
(2)证明：由f′(x)＝x(ex－2m)＝0，解得x＝0或x＝ln 2m.
当x>ln 2m时，f′(x)>0，f(x)在(ln 2m，＋∞)上单调递增；
当0<x<ln 2m时，f′(x)<0，f(x)在[0，ln 2m]上单调递减．
∴f(x)的极小值为f(ln 2m)．
∵函数f(x)在[0，＋∞)上有两个零点x1，x2(x1<x2)，∴f(ln 2m)<0.
由f(0)＝1>0，f(1)＝2－m<0，可知x1∈(0,1)．
f(ln 2m)<0，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，f(x)在(ln 2m，＋∞)上单调递增．
∴x2∈(ln 2m，＋∞)．∴x2>ln 2m>ln 4.
∵0<x1<1，∴x2－x1>ln 4－1＝ln.
22. 解：(1)由ρ＝2cos＝2(cos θ＋sin θ)⇒ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)⇒x2＋y2＝2x＋2y⇒(x－1)2＋(y－1)2＝2，故曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(2)由条件可设直线l的参数方程为(t为参数)，代入圆的方程，有t2－2tsin α－1＝0， 设点A，B对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝2sin α， t1t2＝－1，|PA|＋|PB|＝|AB|＝|t1－t2|＝ ＝＝，
解得sin α＝或sin α＝－(舍去)，故α＝或.
23. [解] (1)因为|x2－x－15|>5，
所以x2－x－15<－5或x2－x－15>5，即x2－x－10<0或x2－x－20>0，
解得<x<或x<－4或x>5，
所以不等式|f(x)|>5的解集为.
(2)证明：因为|x－a|<1，
所以|f(x)－f(a)|＝|(x2－x－15)－(a2－a－15)|
＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a|·|x＋a－1|<1·|x＋a－1|＝|x－a＋2a－1|
≤|x－a|＋|2a－1|<1＋|2a－1|≤1＋|2a|＋1＝2(|a|＋1)，即|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．
