四川省成都市新津中学2021届高三12月月考 数学（文） (含答案) 试卷
展开新津中学高2018级（高三）12月月考试题
数学（文科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知（），其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知，则“”是“”成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知正项等比数列的前项和为，且，则公比的值为（ ）
A. B. 或 C. D.
5.已知双曲线（，）的一条渐近线方程，且点为双曲线右支上一点，且，为双曲线左右焦点，的面积为，且，则双曲线的实轴的长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D.
6.已知某几何体三视图如图所示，则该几何体的各条棱中最长棱的长度为（ ）
A 4 B. 5 C. D.
7.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点的（ ）
A. 横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
B. 横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度
C. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
D. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度
8.已知直线：上的两点，，且，点为圆：上任一点，则的面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
9.已知函数，满足且，都有，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
10.已知正三棱锥中，所有棱长为4，，分别为，上的点，且满足，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
11.已知函数是定义域为的偶函数，且满足，当时，，（），则函数所有零点的和为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
12.已知函数的导函数是偶函数，若方程在区间(其中为自然对数的底)上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量，，若，则实数________.
14.已知变量，满足约束条件，则的最大值为______.
15.在 中，内角 所对边分别为 ,已知，且，则面积的最大值为________．
16.直线：经过抛物线：（）的焦点，与抛物线相交于，两点，过原点的直线经过弦的中点，并且与抛物线交于点（异于原点），则的取值范围是______.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17.(12分)已知数列的前项和满足，.
（1）求证数列为等比数列，并求关于的表达式；
（2）若，求数列的前项和.
18. (12分)为了迎接2021年的高考，我校进行了第一次模拟考试，其中五个班的考试成绩在500分以上的人数如下表，为班级，表示500分以上的人数
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
20 | 25 | 30 | 30 | 25 |
（1）若给出数据，班级与考试成绩500以上的人数，满足回归直线方程，求出该回归直线方程；
（2）学校为了更好的提高学生的成绩，了解一模的考试成绩，从考试成绩在500分以上1，3班学生中，利用分层抽样抽取5人进行调研，再从选中的5人中，再选3名学生写出“经验介绍”文章，则选的三名学生1班一名，3班2名的概率.
参考公式：，.
19. (12分)已知在多面体中，平面平面，且四边形为正方形，且//，，，点，分别是，的中点
（1）求证：面；
（2）求该几何体的体积.
20. (12分)已知椭圆：（）左、右焦点分别为，，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切，点在椭圆上，，，
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线：与椭圆交于，两点，点，若，求斜率的取值范围.
21. (12分)已知函数（）
（1）函数在点处切线方程为，求函数的极值；
（2）当时，对于任意，当时，不等式恒成立，求出实数的取值范围.
选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题计分.
22.(10分)在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线与曲线两交点所在直线的极坐标方程；
（2）若直线的极坐标方程为，直线与轴的交点为，与曲线相交于两点，求的值．
23. (10分)已知（）.
（1）当，时，求函数的定义域；
（2）若，且对于任意，有恒成立，求的取值范围.
四川省新津中学高2018级（高三）12月考数学（文科）参考答案
一、选择题：
1.C 2.B. 3.A 4.C. 5.B. 6.D. 7.C 8.A. 9.C. 10.D 11.D. 12.B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14.8 15. 16..
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17.【详解】（1）由题可知，
即.①
当时，，得，
当时，，②
①－②，得，即，
所以
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，故
（2）由（1）知，
则，
两式相减得
所以.
18.【详解】（1）根据给出的数据可知，
，
可知，
且经过点，可知，∴，
则回归直线方程为，
故所求的回归直线的方程为.
（2）根据分层抽样可知，1班选2名记为，，
3班选3名记为，，，
所有的情况为：，，，
，，，
，，，，共10种情况
其中1班1名，3班2名的有
，，，，，，
共有6种，
所求的概率为.
19.【详解】（1）过点交于点，连接，如下图所示：
因为平面平面，且交线为,
又四边形为正方形，故可得，
故可得平面，又平面，
故可得.
在三角形中，因为为中点，，
故可得//，为中点；
又因为四边形为等腰梯形，是的中点，
故可得//；
又，
且平面，平面,
故面面，
又因为平面，
故面.即证.
（2）连接，，作交于点，如下图所示：
，
可知多面体分为两部分，四棱锥，三棱锥
，
，
可知该几何体的体积为：
.
20.【详解】（1）依题意有，∴
由及椭圆的定义得.
由余弦定理得
即，
又，解得，.
故椭圆的方程为.
（2）联立可得，，则
，
即，①
又，
设的中点，
则，
∵，∴，
，
解得
代入①可得，
整理可得，
所求斜率的取值范围为.
21.【详解】（1）函数的定义域为，
，，，
可知，，
解得，，
可知在，时，，函数单调递增，
在时，，函数单调递减，
可知函数的极小值为，
极大值为.
（2）可以变形为，
可得，
可知函数在上单调递减
，
，
可得，
设，
，
可知函数在单调递减，
，
可知，
可知参数的取值范围为.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题计分.
22.【详解】(1) 曲线的普通方程为：
曲线的普通方程为：，即
由两圆心的距离，所以两圆相交，
所以两方程相减可得交线为，即.
所以直线的极坐标方程为.
(2) 直线的直角坐标方程：，则与轴的交点为
直线的参数方程为，带入曲线得.
设两点参数为，
所以，，所以，同号.
所以。
23.【详解】（1）当，时，
函数，
∴，
当时，，可得；
当时，可知，解得，可知无解；
当时，，，可知
故函数的定义域为或．
（2），
根据函数解析式可知当时，取得最小值为，
∵，∴，
恒成立，
可知，
∴，，
解得，
故参数的取值范围为.
