广西普通高中2021届高三上学期高考精准备考原创模拟卷（一）数学（理） (含答案)

广西普通高中2021届高考精准备考原创模拟卷（一）

理科数学

本试卷满分150分，考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

4．做选考题时，考生须按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．已知集合，集合，则（    ）

A．      B．      C．      D．

2．若，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则等于（    ）

A．      B．      C．0      D．1

3．从4个男生、3个女生中随机抽取出3人，则抽取出的3人不全是男生的概率是（    ）

A．      B．      C．      D．

4．已知，则（    ）

A．      B．      C．      D．

5．函数的图象是（    ）

A．    B．    C．    D．

6．我国南北朝时期的数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是面积，“势”即为高，意思是：夹在两平行平面之间的两个几何体，被平行这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相同，那么这两个几何体的体积相等．某几何体的三视图如图所示，该几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（    ）

A．      B．      C．      D．

7．如图是一个计算：的算法流程图，若输入，则由上到下的两个空白内分别应该填入（    ）

A．      B．

C．      D．

8．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为（    ）

A．1      B．2      C．3      D．4

9．现在需要制作一个长和宽分别为和的矩形大裱框，要求其长和宽使用不同的材质，长和宽材质的单价分别为10元/m和20元/m，在总制作费用不超过100元的条件下，可裱框相片的最大面积为（    ）

A．      B．      C．      D．

10．在中，．若以A，B为焦点的双曲线经过点C，则该双曲线的离心率为（    ）

A．      B．      C．      D．

11．在平面直角坐标系中，过y轴正方向上一点作斜率为1的直线，与抛物线相交于A，B两点，过线段的中点P作一条垂直于x轴的直线，与直线交于Q，若的面积为，则c的值为（    ）

A．      B．      C．      D．

12．设定义在R上的函数满足，且当时，，若存在，则的取值范围为（    ）

A．      B．      C．      D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．在二项式的展开式中，项的系数是15，则实数a的值为_______．

14．已知实数x，y满足约束条件则的最大值为__________．

15．在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知，则的面积

为_____________．

16．已知直三棱柱的底面为直角三角形，且内接于球O，若此三棱柱的高为2，体积是1，则球O的半径的最小值为___________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

已知数列中，．

（1）求的值；

（2）是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

18．（12分）

在平行六面体中，已知O为平行四边形的中心，E为的中点．

（1）求证：平面；

（2）若在平面上的射影为四边形的中心，，，，求平面与平面所成二面角（平面角不大于）的大小．

19．（12分）

在网络空前发展的今天，电子图书发展迅猛，大有替代纸质图书之势．但电子阅读的快餐文化本质，决定了它只能承担快捷传递信息性很强的资料，缺乏思想深度和回味，电子阅读只能是传统纸质阅读的一种补充．看传统的书不仅是学习，更是种文化盛宴的享受，读书感受的不仅是跃然于纸上的文字，更注重的是蕴藏于纸质书中的中国传统文化．某地为了提高居民的读书兴趣，准备在各社区兴建一批自助图书站（电子纸质均可凭电子借书卡借书）由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现从一社区内随机抽取了一天中的80名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图．若将该80人分成两个年龄层次，年龄在定义为中青年，在定义为老年．

（1）从这80名读书者中再次随机抽取3人作进一步调查，求抽取的这3人都为中青年的概率（直接用组合数表示）；

（2）为进一步调查阅读习惯（电子阅读和传统阅读）与年龄层次是否有关，得到如下列联表：完善该表数据，并判断：是否有95%的把握认为“阅读习惯与年龄层次有关”．

附：，（其中）

临界值表供参考：

20．（12分）

设函数．

（1）当时，判断的单调性；

（2）若当时，不等式恒成立，求a的取值范围．

21．（12分）

已知椭圆的长轴长为4，且经过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线l的斜率为，且与椭圆相交于A，B两点（异于点P），过P作的角平分线交椭圆于另一点Q．

（ⅰ）证明：直线与坐标轴平行；

（ⅱ）当时，求四边形的面积．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

已知曲线的直角坐标方程为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，四边形的顶点都在曲线上，点A的极坐标为，点A与C关于y轴对称，点D与C关于直线对称，点B与D关于x轴对称．

（1）求点A，B，C，D的直角坐标；

（2）设P为上任意一点，求点P到直线的距离d的取值范围．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

设函数．

（1）解不等式；

（2）若，使得，求实数m的取值范围．

2021届高考精准备考原创模拟卷（一）

理科数学参考答案、提示及评分细则

1．D  ∵集合，集合，所以．

2．B  因为，所以，所以，所以．所以．

3．C  “抽取出的3人不全是男生”记为事件A，则表示“抽取出的3人全是男生”，，所以．

4．C  ∵，∴．

5．B  由题得，所以函数是偶函数．所以图象关于y轴对称，所以排除A．C．又，所以，所以，所以D错误，故答案为B．

6．D  由题意可知几何体的直观图如图：几何体的底面面积为，所以几何体的体积为，故选B．

7．A  将4个选择支分别代入检验得，由上到下的两个空白内依次填入，才可以计算出，所以选A．

8．B  函数，的图象向左平移个单位，得的图象，∴函数；又在上为增函数，∴，即，解，所以的最大值为2．故选B．

9．C  由已知得，，所以，所以，当且仅当，，即时取等号，所以可裱框相片的最大面积为平方米．

10．C  设双曲线的实半轴长，半焦距分别为a，c，因为，所以，因为以A，B为焦点的双曲线经过点C，所以，在三角形中由余弦定理得，所以，解得，所以，所以，所以，故选C．

11．C  由题知，设直线的方程为，与联立消去y得，，设，则，因为P是的中点，P的横坐标为，所以，所以的面积为，因为的面积为，所以，所．

12．D  构造函数，因为，所以，所以为奇函数，当时，，所以在上单调递减，所以在R上单调递减．因为存在，所以，所以，化简得，所以，即．

13．  由二项式定理，．当时，，于是的系数为，从而．

14．  作出可行域为如图所示的三角形边界及其内部区域，易知，，．把变形为，当且仅当动直线过点时，z取得最大值为．

15．  ，∴，∴．

16．  设底面三角形的两条直角边长为a，b，因为三棱柱的高为2，体积是1，所以，所以，将直三棱柱补成一个长方体，则直三棱柱与长方体有同一个外接球，所以球O的半径为，当且仅当时取等号，所以球O的半径的最小值为．

17．解：（1）∵，∴，                      2分

．                        4分

（2）假设存在实数，使得数列为等差数列，

设，由为等差数列，则有，

∴，即，解得．             7分

则．     10分

，                  11分

所以存在实数，使得数列为首项是2，公差是1的等差数列．         12分

18．证明：（1）连结，如图所示．

在平行六面体中，

因为，所以四边形为平行四边形，所以相互平分，

因为O为平行四边形的中心，所以O为的中点，所以O为的中点，     2分

因为E为的中点，所以，

因为平面平面，

所以平面；                          4分

（2）因为，所以，

设四边形的中心为，

因为若在平面上的射影为四边形的中心，所以平面．      5分

如图所示，分别以射线为x，y，z轴建立空间坐标系，

设，则，

所以，             7分

设平面的法向量为，则，

令，则，所以．            9分

取平面的法向量为，

设平面与平面所成的角为，

所以，所以．              12分

19．解：（1）由频率分布直方图可得中青年人数为（人），      2分

从这80名读书者中再次随机抽取3人作进一步调查，

抽取的这3人都为中青年的概率为；                   5分

（2）由（1）得，老年人数为，由此可得列联表如图，

                            8分

由题意，              10分

因为，

所以有95%的把握认为“阅读习惯与年龄层次有关”．                12分

20．解：（1），

令，

当时，，                      3分

所以当时，单调递增；

所以，即，

所以单调递增．                              6分

（2）因为当时，不等式恒成立，

所以当时，不等式恒成立，                      8分

令，所以，              9分

因为当时，，所以，所以单调递增，

所以，所以．                        12分

21．解：（1）由题意可得，解得，                2分

所以椭圆的方程为：；                        3分

（2）设直线l的方程为：，设，

联立直线l与椭圆的方程，整理可得：，

则，即，且．      5分

（ⅰ）因为

，

所以的角平分线平行于y轴．

即可证得直线与坐标轴平行；             7分

（ⅱ）如图所示，当时，则，

所以直线的方程为，即，             8分

代入椭圆的方程可得，即，

可得，所以可得A到直线的距离；                       9分

直线的方程为：，

代入椭圆的方程，即，可得，所以B到直线的距离，                          10分

而由上可得，

所以，

所以四边形的面积为．                12分

22．解：（1）由题知点A，C，D，B的极坐标分别为，           2分

所以点A，C，D，B的直角坐标分别为．           4分

（2）设是曲线上的任意一点，则（为参数），               5分

因为C，D的直角坐标分别为，

所以直线的直角坐标方程为，即，              6分

所以，            8分

因为，所以．        10分

23．解：（1）函数               3分

令，求得，或，

故不等式的解集为．                   5分

（2）若存在，使得，即有解，               7分

由（1）可得的最小值为，                  8分

故，解得．                      10分